ÔN tập CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC

Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Bất Đẳng Thức Trong toán học, bất đẳng thức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng (Xem thêm: đẳng thức) • • Ký hiệu Ký hiệu có nghĩa a nhỏ b có nghĩa a lớn b Những quan hệ nói gọi bất đẳng thức nghiêm ngặt; ta có • • có nghĩa a nhỏ b có nghĩa a lớn b Người ta dùng ký hiệu khác để đại lượng lớn nhiều so với đại lượng khác • Ký hiệu a >> b có nghĩa a lớn b nhiều Các ký hiệu a, b hai vế bất đẳng thức biểu thức biến Sau ta xét bất đẳng thức với biến nhận giá trị tập số thực tập Nếu bất đẳng thức với giá trị tất biến có mặt bất đẳng thức, bất đẳng thức gọi bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu bất đẳng thức với số giá trị biến, với giá trị khác bị đổi chiều hay không goị bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức hai vế thêm vào bớt giá trị, hay hai vế nhân hay chia với số dương Một bất đẳng thức bị đảo chiều hai vế nhân hay chia số âm Hai toán thường gặp bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức với trị giá trị biến thuộc tập hợp cho trước, toán chứng minh bất đẳng thức Tìm tập giá trị biến để bất đẳng thức Đó toán giải bất phương trình Các phương pháp biến đổi chứng minh BĐT 1.Biến đổi tương đương: sử dụng phép biến dổi tương đương cần ý tới dấu BĐT đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện Giải: , chứng tỏ : Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục , bất đẳng thức giả thiết Đẳng thức xảy 2.Đưa hàm số: đưa hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu liên tục Ví dụ:Cho số x, y thỏa mãn : Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : Giải: Từ giả thiết Ta có : Đặt với ; có P hàm nghịch biến đoạn ( đạt ( đạt ) ) 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: PP tương đối khó việc Cm BĐT,tùy dạng mà có cách đánh giá khác nhau.Cần ý điều kiện đề để có hướng phù hợp cho toán Ví dụ 1: Cho ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục (đpcm) Đẳng thức xảy chẳng hạn Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên ta có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh với Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm) Ví dụ 3: Cho Giải: Chứng minh: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Dấu “ ” xảy số 1, số lại 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh với u, v thỏa mãn điều kiện , ta có: Giải: - Nếu - Nếu bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên với đpcm Vế trái (1) tam thức bậc với nên (1) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh với ( đpcm) Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Hãy nêu chứng minh kết tổng quát kết toán Giải: Ta chứng minh kết tổng quát sau đây: Với Chứng minh ( quy nạp toán học theo n): - Với - Giả sử khẳng định với ( , ta chứng minh khẳng định với Do khẳng định với Vì Mà vế phải Vậy khẳng định với Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si bất đẳng thức kinh điển quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề muốn giới thiệu phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Ví dụ 1) Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Hoàn toàn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy a=b=c=1 Trong để sử dụng bất đẳng thức ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Dấu "=" xảy a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta chứng minh toán mà giải phương pháp khác dài chí không giải ,sau số tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với số dương a,b,c,d ta có: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Bài 2)Chứng minh với a,b,c,d số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta có: Bài 3)Cho số a+b+c=3.Chứng minh rằng: bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu với a,b,c số thưc không âm số dương r, ta có bất đẳng thức sau: dấu đẳng thức xảy a = b = c hai số chúng số lại không Khi r số nguyên dương chẵn, bất đẳng thức với số thực x, y, z Chứng minh Ta giả sử cách tổng quát thức Biến đổi vế trái bất đẳng thức để được: dựa vào tính chất đối xứng bất đẳng Điều hiển nhiên số hạng vế trái không âm Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức cộng Chebyshev, đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, phát biểu rằng: Nếu cho Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Tương tự, Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev chứng minh cách dùng qui tắc xếp bất đẳng thức Giả sử ta có hai chuỗi số cho sau Vậy thì, theo qui tắc xếp bất đẳng thức, ta có giá trị lớn xếp từ hai chuỗi số Cộng vế theo vế, ta có: chia hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh) Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Là bất đẳng thức thường áp dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn đại số tuyến tính dùng cho vector, giải tích dùng cho chuỗi vô hạn tích phân tích, lý thuyết xác suất dùng cho phương sai hiệp phương sai Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Bunyakovski tên dài nói đảo thứ tự bất đẳng thức Bunyakovski– Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt bất đẳng thức BCS Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức phát biểu x y phần tử không gian tích thực hay phức Dấu đẳng thức xảy x y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học chúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt x y chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học vuông góc) tích chúng zero Như vậy, bất đẳng thức cho thấy có mối liên quan khái niệm "góc hai vector" với khái niệm tích trong, khái niệm hình học Euclide không mang đầy đủ ý nghĩa trường hợp này, mức độ đấy, cho thấy ý niệm không gian tích tổng quát hoá không gian Euclide Một hệ quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích hàm liên tục Một dạng khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn hiểu chuẩn không gian tích Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức trường hợp vector thực hữu hạn chiều đến năm 1859, học trò Cauchy V.Ya Bunyakovsky nhận xét lấy giới hạn thu dạng tích phân bất đẳng thức Kết tổng quát trường hợp không gian tích chứng minh K.H.A Schwarz vào năm 1885 Chứng minh Bất đẳng thức rõ ràng với y = 0, ta giả sử khác zero Giả sử λ số phức Khi đó, có bất đẳng thức chắn sau: Chọn Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục mà bất đẳng thức hay tương đương: (điều phải chứng minh) Một số trường hợp đặc biệt đáng ý • Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức trở thành Đặc biệt hơn, không gian Euclide với số chiều hay 3, tích vô hướng xác định theo góc hai vector, bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: Hơn nữa, trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy từ đồng thức Lagrange cách bỏ qua số hạng Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng thức Lagrange có dạng: Hệ bất đẳng thức bất đẳng thức • Trong không gian tích hàm giá trị phức khả tích-bình phương, có Một dạng tổng quát hai bất đẳng thức phần bất đẳng thức Holder Một hệ khác, bất đẳng thức Schwarz hay nhiều tài liệu gọi bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel Chọn điểm rơi Bất Đẳng Thức Cô-Si Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có Từ Áp dụng BĐT Svacxơ Mặt khác ta lại có Vậy , suy minQ = 30, đạt BĐT tam giác định lý phát biểu tam giác chiều dài cạnh phải nhỏ tổng, lớn hiệu, hai cạnh lại Bất đẳng thức định lý không gian hệ thống số thực, tất không gian Euclide, Bất đẳng thức xuất tiên đề định nghĩa nhiều cấu trúc giải tích toán học giải tích hàm, chẳng hạn không gian vectơ định chuẩn Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác phát biểu sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y thuộc V tức là, chuẩn tổng hai vectơ lớn tổng chuẩn hai vectơ Đường thẳng thực không gian vectơ định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối, phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực x y sau: Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường dùng để ước lượng chặn tốt cho giá trị tổng hai số, theo giá trị số hai số Cũng có ước lượng chặn mà tìm cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu với hai số thực x y: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli bất đẳng thức cho phép tính gần lũy thừa + x Bất đẳng thức phát biểu sau: với số nguyên r ≥ với số thực x > −1 Nếu số mũ r chẵn, bất đẳng thức với số thực x Bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt sau: với số nguyên r ≥ với số thực x ≥ −1 với x ≠ Bất đẳng thức Bernoulli thường dùng việc chứng minh bất đẳng thức khác Bản thân chứng minh phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức mà rõ ràng Bây giả sử bất đẳng thức với r=k: Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết (vì ) => Bất đẳng thức với r=k+1 Theo nguyên lý quy nạp, suy bất đẳng thức với Số mũ r tổng quát hoá thành số thực sau: x > −1, với r ≤ or r ≥ 1, với ≤ r ≤ Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói cách so sánh đạo hàm ) Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Một lần nữa, bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt x ≥ -1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức ước lượng lũy thừa bậc r + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, có với e = 2.718 Bất đẳng thức chứng minh cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e Kỹ thuật chọn điểm rơi toán BĐT cực trị Thời gian qua nhận nhiều yêu cầu bạn hướng dẫn cách làm tập BĐT cực trị.Đây mảng kiến thức sâu rộng tương đối khó.Bài viết hướng dẫn bạn hướng suy nghĩ giải tập dạng thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức điểm ta dự đoán để từ có hướng giải phù hợp Ký hiệu sqrt bậc cbb bậc Ta toán đơn giản: Bài 1: Cho Tìm Min của: Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi để thuẫn với đk dấu = xảy a=1, mâu Ta dự đoán từ đề P nhỏ a=3 "điểm rơi" toán.Khi a=3 Ta áp dụng Cosi sau: ta có Khi kết hợp với đk Dễ thấy a=3 ta có Vậy Bài 2: Cho a,b,c dương abc=1.CMR: a=3 Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra a=b=c=1.Lúc sau: 1+b=2.Ta áp dụng Cosi Tương tự cho BĐT lại.Khi ta có Tiếp tục áp dụng Cosi cho số ta có Thay vào ta có Bài 3: Cho số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Giải: Đầu tiên ta thấy có dạng nên nghĩ đến sử dụng Bunhi dạng Ở dễ thấy Vậy a b.Ta sử dụng PP "điểm rơi" Ta viết dấu "=" đạt x+y+z=1 "dự đoán" dấu = xảy toán b=9 ta ngay: Ta ý tiếp đk Khi ta có 9a=b.Cho a=1 Tương tự cho y z.Cuối ta có toán đơn giản nhiều TH đặc biệt toán Cuối toán xin dành lời giải cho bạn: Bài 4: Cho a,b,c dương a+b+c=3.Tìm Min: P= + + MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CÓ ĐIỀU KIỆN Chúng ta thường gặp dạng toán chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có kĩ thuật ta chứng minh : Nếu chứng minh , từ điều kiện ta suy Sau số ví dụ: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : Giải : Ta có : mà nên nên Ví dụ 2:Cho x,y số dương thỏa mãn ,chứng minh : Giai: Ta có : Mà Ví dụ 4:Cho x,y số dương thỏa ,chứng minh : Giải: Ta có : (x,y số dương) tương tự ta suy Mong phương pháp hỗ trợ cho bạn giải toán ,đặc biệt yêu toán BĐT HẾT ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG A GIỚI THIỆU Định lí Lagrange phát biểu sau: Cho hàm số F(x) liên tục [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b) tồn cho: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Chúng ta tìm hiểu toán sử dụng định lí Lagrange chương trình THPT sau: I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương pháp Từ định lí Lagrange , thì: Vậy Từ định lí Lagrange để áp dụng kết trên, điều quan trọng xác định hàm số F(x) *Ví dụ minh họa VD1: CMR th×: Giải Bất đẳng thức cho tương đương với: Xét hàm số: liên tục , có đạo hàm khoảng định lí Lagrange tồn cho: Ta có: Theo Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục (đpcm) NX: Điều quan trọng toán nhận hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT cho Ta xét VD … VD 2: Cho Chứng minh: Giải BĐT cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange hàm số: , tồn cho: Từ (1) suy ra: Suy ra: (đpcm) NX: Bài khó chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế nhận đựơc hàm số f (x) VD 3: Cho a[...]... dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu rằng với bất kỳ hai số thực x và y: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli là một bất đẳng thức cho phép tính gần đúng các lũy thừa của 1 + x Bất đẳng thức này được phát biểu như sau: với mọi số nguyên r ≥ 0 và với mọi số thực x > −1 Nếu số mũ r là chẵn, thì bất đẳng thức này đúng với mọi số thực x Bất đẳng. ..Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si Khi áp dụng bđt côsi trong các bài... (vì ) => Bất đẳng thức đúng với r=k+1 Theo nguyên lý quy nạp, chúng ta suy ra bất đẳng thức đúng với mọi Số mũ r có thể tổng quát hoá thành số thực bất kỳ như sau: nếu x > −1, thì với r ≤ 0 or r ≥ 1, và với 0 ≤ r ≤ 1 Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng quát hoá nói trên bằng cách so sánh các đạo hàm ) Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Một lần nữa, bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm... số thực x Bất đẳng thức này trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt như sau: với mọi số nguyên r ≥ 2 và với mọi số thực x ≥ −1 với x ≠ 0 Bất đẳng thức Bernoulli thường được dùng trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác Bản thân nó có thể được chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành tức là mà rõ ràng đúng Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng với r=k: Cần... hiệu, của hai cạnh còn lại Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải tích hàm, chẳng hạn trong các không gian vectơ định chuẩn Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác được phát... thuộc tập số tự nhiên Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức dưới đây ước lượng lũy thừa bậc r của 1 + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, chúng ta có với e = 2.718 Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e Kỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cực trị Thời gian qua mình đã nhận được nhiều yêu cầu của các bạn hướng dẫn cách làm bài tập về... bài luyện tập Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Ngoài ra đôi lúc trong việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cô-Si BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ... Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực ) thì ta có: và Ta sẽ chứng minh BĐT (1) bằng BĐT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ số , và ta được BĐT (1) Đẳng thức xảy ra khi Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh BĐT (Ở đây chỉ là những hướng dẫn cơ bản để các bạn có thể chứng minh BĐT, còn phần đẳng. .. y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y thuộc V tức là, chuẩn của tổng hai vectơ không thể lớn hơn tổng chuẩn của hai vectơ đó Đường thẳng thực là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là giá trị tuyệt đối, vì thế có thể phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực bất kỳ x và y như sau: Trong giải tích toán học, bất đẳng thức tam giác thường được dùng để ước lượng chặn trên tốt nhất cho giá trị tổng... khoảng (a,b) thì luôn tồn tại sao cho: Ket-noi.com diễn đàn công nghệ, giáo dục Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau: I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương