ĐỀ CƯƠNG MÔN NHÂN TRẮC HỌC

Trung bình cộng: - KháI niệm: số trung bình cộng là một đặc tính thờng hay đợc tính nhất để biểu hiện khuynh hớng trung tâm của sự phân phối.. x’ là độ chênh lệch của giá trị giữa của mỗ

Copyright â utehy

đề cơng môn nhân trắc học

1 Đặc tính của sự phân phối:

1.1 Đặc tính trung tâm:

1.1.1 Trung bình cộng:

- KháI niệm: số trung bình cộng là một đặc tính thờng hay đợc tính nhất để biểu hiện khuynh hớng trung tâm của sự phân phối Nó là một đại lợng phổ biến nhất, điển hính nhất trong bất kỳ một thống kê nào( ký hiệu:X )

Để tìm trị số trung bình có 2 phơng pháp:

a Phơng pháp tính trực tiếp:

VD: X1, X2, … Xn là các trị số đo

F1, F2, … Fn là tần suất của các trị số

n: là tổng số các số đo trong một phân phối thực nghiệm (n =∑ fi )

Ta có: X =

n

xi fi

=

∑

∑

fi

xi fi.

=

42

1 99 1 96

3 78 2

b Phơng pháp dùng đại lợng trung bình chỉ định tuỳ ý:

M là đại lợng trung bình chỉ định tuỳ ý Thông thờng nên chọn M là giá trị giữa của lớp có tần suất lớn nhất vì nh vậy M sẽ gần X nhất và các phép tính sẽ đơn giản

x’ là độ chênh lệch của giá trị giữa của mỗi lớp so với số trung bình chỉ định tuỳ ý Độ lệch này không tính bằng giá trị tuyệt đối mà tính theo từng đơn vị -1, -2, -3, 1, 2, 3 của từng lớp so với đại lợng TB chỉ

định: X = M+i

n

fx

i : là khoảng của mỗi lớp

f : là tần suất của mỗi lớp

Trong VD trên ta có : i = 3 , M = 84cm nên X = 84 + 3

42

14 = 85cm

1.1.2 Số giữa:

Số giữa (X m ) là số có trị số ở giữa dãy số , sau khi ta đã xếp các số trong dãy số theo thứ tự từ nhỏ tới lớn Hàng số giữa sẽ đợc tính theo công thức:

m

X =

2

1

'+

n ( n’ là tổng số lớp trong phân phối thực nghiệm)

Trong VD trên số giữa là 87, vị trí của số giữa là

2

1

9+ = 5

- Số giữa cũng là một đặc trng biểu hiện xu hớng trung tâm giống nh số trung bình cộng X

Trong trờng hợp (n’) của dãy số là một số lẻ thì số giữa rơI đúng vào giữa (trong VD trên) , trong tr -ờng hợp n’ là một số chẵn thì số giữa sẽ là số nhỏ trong số 2 số trung tâm

VD: n’ = 10 thì có hai số trung tâm là 5 và 6, số giữa là số ở vị trí số 5

1.1.3 Quactin:

Copyright â utehy

Nếu ta chia một dãy ra làm 4 phần bằng nhauthì ta đợc quactin, Quactin thứ nhất ( Q1) là số có trị số là số giữa của phần thứ nhất và thứ nhì, quactin thứ 2 (Q2) chính là số giữa của dãy số, nghĩa là Q2 =X m Còn quactin thứ 3 là số giữa của phần thứ 3 với phần thứ t

VD một dãy số có 100 số thì Q1 là số thứ 25, Q2 là số thứ 50, Q3 là số thứ 75

1.1.4 Đêxil:

Nếu ta lại chia nhỏ dãy số ra nữa, VD làm 100 phần bằng nhau, thì ta sẽ đợc các đêxil Một dãy số có 100

số thì đêxil thứ nhất sẽ rơI vảo trị số của số thứ 10, đêxil thứ 2 sẽ rơI vào trị số của số thứ 20…

1.1.4 Trung bình nhân và trung bình điều hoà:

- Giá trị trung bình nhân G: G = n

n

X X

X1 2 với X1, X2, …., Xn là giá trị số đo

- Giá trin trung bình diều hoà H :

H

1

=

n

X X

X

1

1 1

2 1

+ + +

1.2 Đặc tính tản mạn:

1.2.1 Khoảng phân phối:

Khoảng phân phối là khoảng cách giữa các trị số cực tiểu (mn) và trị số cực đại(mx) của một phân phối thực nghiệm, khonảg này càng lớn thì độ tản mạn càng lớn

VD: Đo chiều cao của 2 nhóm thanh niên, mỗi nhóm có 5 ngời

Nhóm thứ nhất ta có đợc các thông số: 150cm, 155cm 160cm, 165cm, 170cm

Nhóm thứ 2 ta có đợc các thông số: 156cm, 158cm, 160cm, 162cm, 164cm

Nh vậy hai nhóm đều có chiều cao trùn bình nh nhau X = 160cm nhng nhóm đầu có khoảng phân phối

là hiệu số (mx-mn) = 170 – 150 = 20cm, nhóm thứ 2 có khoảng phân phối là hiệu số (mx-mn) = 164 -

156 = 8cm, nh vậy nhóm 1 có khoảng phân phối rộng hơn nhóm 2 tức là nhóm 1 tản mạn hơn nhóm 2

1.2.2 Độ lệch trung bình (ε)

Độ lệch trung bình đợc tính theo công thức

n

X

X i

= ε Trong đó: ε: là độ lệch trung bình

Xi : là trị số trong phân phối thực nghiệm

X : là trị số trung bình cộng

n : là tổng các trị số

Độ lệch trung bình biểu hiện sự chênh lệch trung bình giữa các trị số của sự phân phôiso với đại lợng trung bình

Trong VD trên, ε1 của chiều cao của nhóm thanh niên 1 là :

1

5

160 170 160 165 160 160 160 155 160

150

=

− +

− +

− +

− +

−

2

5

160 164 160 162 160 160 160 158 160

156

=

− +

− +

− +

− +

−

ε >1 ε2Chứng tỏ sự phân tán của nhóm 1 > nhóm 2 Nh vậy độ lệch trung bình lớn thì sự phân tán sẽ lớn

1.2.3 Độ lệch tiêu chuẩn (s) :

Độ lệch tiêu chuẩn hay còn gọi là độ lệch trung bình bình phơng là đặc trng hay dùng nhất để đánh giá

độ tản mạn của một phân phối thực nghiệm

Các phơng pháp tính s:

1 Tính trực tiếp theo công thức:

2 = X m Q3 mn

Dãy số n

Copyright â utehy

S =

n

X Xci fi

∑ ( − )2 nếu n > 30

S =

1

)

−

−

∑

n

X Xci

fi nếu n <30

VD: trong ví dụ về chiều cao mặt của 42 em học sinh mẫu giáo HN chúng ta thấy: X = 85 : S = 42

1110 = 5,14

)2

2 Phơng pháp dùng đại lợng trung bình chỉ định tuỳ ý ( áp dụng khi n > 30)

S = i

2

'

















− ∑

∑

n

fx n

fx

VD: với ví dụ trên ta có bảng:

Vậy s = 3 ) 5.14

42

14 ( 42

128− 2 =

Đo n số đo của một phân phối thực nghiệm, ta tính đợc số trung bình X và độ lệch tiêu chuẩn s dựa vào đó ngời ta có thể xếp tập hợp mẫu thành nhiều loại:

- Loại trung bình nằm trong khoảng X ± s

- Loại lớn nằm trong khoảng X +1s vàX +2s

- Loại rất lớn nằm trong khoảng X +2s và X +3s

- Loại bé nằm trong khoảng X -1s và X-2s

- Loại rất bé nằm trong khoảngX -2s và X -3s

VD: Đo 30000 nam thanh niên miền bắc ta đợc chiều cao trung bình X =158cm với s = 4 ta có thể xếp loại nh sau:

Copyright â utehy

Theo tính toán thống kê:

Khoảng X± s: bao gồm 68.3% tổng số các số đo của tập hợp mẫu

Khoảng X± 2s: bao gồm 95.5% tổng số các số đo của tập hợp mẫu

Khoảng X± 3s: bao gồm 99.7% tổng số các số đo của tập hợp mẫu

Một số ý kiến cho rằng nếu phân loại nh trên làm cho các khoảng có biên độ không đều nhau Do vậy

để cho bảng phân loại, các loại đều có một khoảng biên độ bằng nhau là 1s ngời ta xếp vào loại trung bình các trị số nằm trong khoảng X ± 0.5s

Với VD trên ta có bảng phân loại sau:

1.2.4 Hệ số biến sai:(C.V)

C.V = 100

X s

C.V chính là tỉ lệ giữa s và X , do đó C.V không phụ thuộc vào đơn vị đo và trị số của X , nó nói lên giá trị tơng đối của độ lệch tiêu chuẩn s so với số trung bình cộng X Vì vậy hệ số biến sai cho phép ta so sánh mức độ tản mạn của cả hai phân phối thực nghiệm có số trung bình công khác nhau và đơ vị đo khác nhau

VD: với chiều cao mặt của 42 em học sinh 5 tuổi ta có X = 8.5 cm và s = 0.51cm Trong khi đó chiều cao đứng của các em là97.5cm và s =4.4cm

Nếu chỉ nhìn vào độ lệch tiêu chuẩn s, ta không thể kết luận đợc chiều cao đứng có s = 4.4cm có độ tản mạn lớn hơn chiều cao mặt có s = 0.51cm

Nếu ta tính hệ số biến sai của 2 kích thớc đó ta đợc

- Hệ số biến sai của chiều cao mặt là: C.V = 100

5 8

51

0 = 6

- Hệ số biến sai của chiều cao đứng là: C.V = 100

5 97

4 4 = 4.5

Nh vậy hệ số biến sai của kích thớc chiều cao mặt lớn hơn của kích thớc chiều cao đứng.Do đó ta có thể kết luận là mức độ phân tán tản mạn của kích thớc chiều cao mặt lớn hơn chiều cao đứng

1.2.5 Sai số chuẩn cuả số trung bình và khoảng tin cậy:

1 Sai số chuẩn của số trung bình:

mX =

n

s

mX: là sai số chuẩn của số trung bình

s: là độ lệch chuẩn

Copyright â utehy

n: là tổng số các số đo trong một phân phối thực nghiệm

mX tỉ lệ thuận với s và tỉ lệ nghịch với n Nh vậy sai số càng nhỏ nếu độ lệch tiêu chuẩn s càng nhỏ

và n càng lớn

Ta thấy số trung bình của tập hợp mẫu càng chính xác nếu tập hợp có cỡ n càng lớn, nghĩa là càng có nhiều số đo và nếu độ lệch tiêu chuẩn càng bé

2 Khoảng tin cậy:

Muốn suy từ số trung bình của một tập hớp mẫu sang tập hợp sinh hay chính là sự xác định số trung bình thực sự có khả năng rơI vào khoảng nào của số trung bình của tập hợp mẫu, ta tính giới hạn của của khoảng tin cậy theo công thức sau dây:

Giới hạn tin cậy = t

n s

Và khoảng tin cậy của số trung bình cộng sẽ là : X t.±

n

s

T phụ thuộc vào n, sau đây là bảng t:

n t n t n t

1 12.71 7 2.36 16 2.12

2 4.30 8 2.31 18 2.10

3 3.18 9 2.26 20 2.09

4 2.78 10 2.23 25 2.06

5 2.57 12 2.18 30 2.05

6 2.45 14 2.14 ∞ 1.96

VD: Với chiều cao mặt của 42 em học sinh, thì khoảng tin cậy của số trung bình của chiều cao mặt của

42 em học sinh đó là:

X t.±

n

s

= 85mm 1.96 x 0.79 = 85mm 1.54± ± Suy rông ra điều này có nghĩa là các em Việt Nam 5 tuổi nói chung có chiều cao mặt có trị số rơI vào khoảng giữa 85mm - 1.54 và 85mm +1.54 với độ chính xác tới 95%

1.2.6 so sánh hai số trung bình cộng bằng phơng pháp student:

Tính sai số chuẩn mX còn cho phép ta so sánh đợc số trung bình X của hai tập hợp mẫu khác nhau VD: khi đo cùng một số đo nh cân nặng của hai tập hợp mẫu của các em VN 5 tuổi, một ở nội thành

và 1 ở ngoại thànhchẳng hạn ta đợc số trung bình của các em nội thành là X 1 = 17kg , và của các em ngoại thành là X 2= 16kg Vấn đề đặt ra là xem sự khác nhau của hai số trung bình này có ý nghĩa thống

kê hay không, nói một cách khác các em nội thành có nặng hơn các em ngoại thành do một nguyên nhân thực tại hay chỉ là ngẫu nhiên do chọn mẫu

- Hệ số student : t =

2

2 2 1

2 1

2 1

n

s n s

X X

+

−

Trong đó : X 1, X 2 là số trung bình của hai tập hợp mẫu 1 và 2

s1, s2 là độ lệch tiêu chuẩn của hai tập hợp mẫu 1 và 2

n1, n2 là số các số đo của 2 tập hợp mẫu 1 và 2 Trong trờng hợp n1, n2 > 30 nghĩa là mẫu lớn thì ta tra bảng t ở trên nếu t > 1.96 thì có thể kết luận là hai số trung bình của hai tập hợp mẫu khác nhau có y nghĩa thống kê chứ không phảI do ngẫu nhiên( với

độ tin cậy 95%), nếu ngợc lại t <1.96 thì ta kết luận là hai số không khác nhau về ý nghĩa thống kê, nghĩa

là sự khác nhau có thể chỉ là ngẫu nhiên do ta chọn 2 mẫu khác nhau

2 Đám đông và mẫu:

Trên thực tế, muốn điều tra một kích thớc nào đócủa toàn thể ngời VN ở một lứa tuổi nhất định, ngời

ta không thể đo kích thớc đó trên trên tất cả ngời VN đang ở lứa tuổi đó mà sẽ chọn ra một số trong toàn

bộ dân VN đang ở lứa tuổi đó một cách ngẫu nhiênđể đo, rồi từ đó suy ra toàn bộ Phần chọn ra đó gọi là mẫu và cáI toàn bộ gọi là đám đông Mnốn từ mẫu suy ra đợc đám đông phảI só 2 điều kiện sau đây:

Copyright â utehy

- Việc chọn mẫu phảI tuân theo một nguyên tắc để đảm bảo hoàn toàn tính chất ngẫu nhiên của sự chọn

- Đám đông phảI có dạng phân phối xác định, thờng là phân phối chuẩn

2.2 Cách chọn mẫu:

Muốn đảm bảo mức chính xác cần thiết, các số đo phảI đạt một số điều kiện sau đây:

1 Các số đo có thể tin cậy đợc và có thể so sánh đợc với nhau: Muốn vậy thì các mốc đo phảI chính xác thờng đó là những mỏm hoặc mấu xơng sờ they ngay dới da và không bị cơ che đI, hoặc không phảI

là mấu xơng thì phảI có một mốc chắc chắn mà ai cũng sờ và nhìn ngay they đợc

2 Đối tợng đo phảI tơng đối thuần nhất:

- Cùng chủng: VD ngời Kinh, ngời Tày, ngời Nùng…

- Cùng điều kiện xã hội, hoàn cảnh địa lý và nghề nghiệp: VD thành phố, nông thôn, miền núi, đồng bằng, công nhân, nông dân, quân đội…

- Cùng giới tính

- Cùng tuổi

3 Số đối tợng đo phảI phảI đủ tới một mức tối thiểu để khi tính các đặc tính thống kê không bị ảnh h-ởng bởi một vài trị số của các cá thể đặc biệt trong nhóm đợc đo Thông thờng, theo các tính toán thống

kê, số đo trên 30 cá thể có thể đảm bảo đợc các đặc tính thống kê

2.2.Dạng phân phối của đám đông:

Trong nghiên cứu nhân trắc học, có 2 dạng phân phối thờng gặp nhất của đám đông là phân phối chuẩn và phân phối nhị thức

2.2.1 Phân phối chuẩn:

VD về việc đo kích thớc chiều cao mặt(từ đờng kích gốc mũi tới cằm) của 42 em học sinh nam lớp mẫu giáo 5 tuổi Kết quả thu đợc gồm 42 trị số rảI rác từ 75mm đến 100mm đợc tổng hợp thành bảng s

Theo công thức tính trị số trung bình cộng (X ) ta đợc kết quả X = 85 Đối chiếu bảng trên ta thấy, chiều cao mặt của các em 5 tuổi không phảI phân phối một cách lung tung mà có quy luật xác định Lớp

có trị số giữa(xc) gần với trị số trung bình cộng nhất thì tần suet lặp là cao nhất Càng đI về hai cực( cực

đại và cực tiểu) thì tần suet gặp càng ít đi Nếu đem số liệu ở bảng trên vẽ thành một biểu đồ với trục hoành ghi trị số các lớp, trục tung ghi tần suất các lớp Mỗi lớp điựơc biểu diến bằng hình chữ nhật đứng, với chiều rộng là khoảng cách các lớp, chiều cao là tần suất gặp của lớp đó Nối các điểm giữa của cạnh trên hình chữ nhật ta đợc đồ thị biểu diễn tần suất nh sau:

Copyright â utehy

Đờng cong Gaus:

nếu ta coi tần suất ở trên là một đờng cong thì

đồ thị đó

có dạng hình chuông úp

mà đờng biểu diễn có một cực đại là đỉnh của chuông , có hai tiệm cận ở hai đầu với trục hoành ứng vói phơng trình

y=ex2nh đờng cong gauss biểu diễn ở hình bên trên Loại phân phối nh vậy gọi là phân phối chuẩn ,

2.2.2.Trị số ngỡng của dấu hiệu nhân trắc

ỉng dụng tính chất của phân phối chuẩn ,ngời ta tính giới hạn trên và dới cho dấu hiệu nhân trắc theo

tỷ lệ phần trăm Đây là cơ sở phơng pháp pểcentil.Nếu chia diện tích tự chặn bởi đờng cong phân phối chuẩn thành 100% bằng nhau thì sẽ có 99 bậc centil mỗi phần là một bậc đợc đánh số theo thứ tự

c1,c2… c99 ,trị số bằng số của các dấu hiệu nhân trắc tơng ứng với percentil đợc tính bằng công thức sau

cp=X + Kp δ

Trong đó :Cp là trị số của số cần tìm của dấu hiệu nhân trắc tơng ứng với các percentile ;X là trị số trung bình cộng ;δ là hệ số đợc tính từ hàm tích phân của phân phối chuẩn có giá trị trong bảng sau :

96

87 90 93 99 84

81 78 75

2 4 6 8 10 12 14

Copyright â utehy

50.0 -0.000(tơng ng giới hạn dới ) 50.0 0.000(tơng ứng giới hạn trên)

Đờng cong phân phối chuẩn (hình vẽ )

Bài toán ứng dụng :Tìm ngỡng trên và dới trong phạm vi giới hạn 90% mẫu nghiên cứu của chiều cao

đứng của nam giới ngời lao động của việt nam ,khi X=161,5cm;s=5,7

Để tính ngỡng trên và dới trong phạm vi giới hạn 90% có nghĩa là ta phải tính P5,P95 của chiều cao

đứng

P95=X +K95.s =161,5 +1,645x5,7 = 170.9 cm

P5=X +K5.s =161,5 – 1,645x5,7 =152,1 cm

Nh vậy ,có 99% nam giới ngời việt nam trong lứa tuổi lao động cao từ 152,1cm đến 170,9 cm

2.3 Tính tơng quan : trong đo đạc thống kê nhân trắc ,có nhiều trờng hợp một kích thớc này thay đổi

thì kéo theo sự thay đổi của một kích thứơc khác, nói cách khác hai kích thớc đó là sự tơng quan với nhau

VD: Giữa cân nặng và chiều cao của một mẫu có sự tơng quan với nhau , ngời càng cao thì cân càng nặng ,tỷ lệ giữa cân nặng và chiều cao là một hằng số Giữa chiều dài của chi hoặc từng đoạn chi với chiều cao đứng ,giũa vòng ngực với đờng kính ngực cũng vậy ,cũng có sự tơng quan …

* Hệ số tơng quan : để dánh giá mc độ tông quan giữa hai đại lợng x và y ngời ta tính hệ số tơng quan

rx,y theo công thức :

C 99

C 95

Tri số trung bình

C 5

C 1

Copyright â utehy

) (

) (

) )(

(

2

y i x i

y i

X y X x

X y Xx Xi

−

−

−

−

∑

∑

Trong đó :xi; yilần lợt là từng trị số của đại lợng x;y

X x;X y lần lợt là số trung bình cộng của x,y

Nếu ta đã tính đợc độ lệch tiêu chuẩn Sx của đại lợng x và Sy của đại lợng y thì (*) có thể viết thành :

(*)

) )(

(

y x

y i

S nS

X y Xx

Xi

Hệ số rx,y sẽ thay đổi trong khoảng -1 đến 1 Nếu :

rx,y =0 ⇒ giữa x, y không có sự tơng quan

rx,y =±1 ⇒sự tơng quan giữa x và y là hoàn toàn chặt chẽ

rx,y 〉0 ⇒ giữa x và y có sự tơng quan cùng chiều x↑thì y↑và ngợc lại

rx,y 〉 ⇒0 giữa x và y có sự tơng quan ngợc chiều x↑thì y↓ và ngợc lại

Dựa theo chỉ số của rx,y ngời ta có sự đánh giá về mức độ tơng quan giữa hai đại lợng x và y :

Mức độ tơng quan Trị số tuyệt đối của r

Tơng quan ít

Tơng quant rung bình

Tơng quan chặt chẽ

Dới 0,3

Từ 0.3 đến 0.6 Trên 0,6

Để đánh giá giá trị độ tin cậy của hệ thông tơng quan r , ngời ta tính tỷ số giữa hệ số tơng quan r với sai số của nó Sai số thờng đợc tính nhất là sai số chuẩn mr mr=

n

r2

1−

Nếu

r

m

r

< 1.96 ta kết luận mối tơng quan giữa hai đại lợng đó là không có thực

Nếu 1.96 ≤

r

m

r

< 2.58 ta kết luận là tơng quan giữa hai đại lợng đó là có thực với mức xác suất p = 0.95 hay p < 0.05

Nếu 2.58 ≤

r

m

r

< 3.29 ta kết luận mối quan hệ giữa hai đại lợng là có thực với mức xác suất p = 0.99 hay p < 0.01

Nếu

r

m

r

> 3.29 ta kết luận mối quan hệ giữa hai đại lợng là có thực với mức xác suất p = 0.999 hay p

< 0.001

2.4 Xác định tính chất chuẩn:

Trong thực tế không mấy khi đờng cong thực nghiệm của mẫu nghiên cứu lại hoàn toàn chập với đợn cong chuẩn lý thuyết Nhng trong một chừng mực nào đó thì có thể coi một mẫu là dạng phân phối chuẩn Để xác định mẫu nghiên cứu đó thợc dạng phân phối chuẩn hay không ngời ta thờng sử dụng hai phơng pháp sau:

1 Phơng pháp xác định bằng giấy kẻ ô:

VD: Muốn xác định kích thớc chiều cao mặt của mẫu nghiên cứu gồm 42 em học sainh 5 tuổi có đợc coi là dạng phân phối chuẩn hay không ngời ta tổng hợp 42 số đo đó chia thành các lớp và tổng hợp vào bảng:

KT xếp thành lớp Tần suất Tần suất tích luỹ(f’) Tỷ số % tần suất tích

luỹ(%f’)

Copyright â utehy

Trong đó tần suất tích luỹ f’ đợc tính theo công thức: f’i = fi + fi-1 + …+ f1

%f’i=

n

f i' 100 với n là tổng tần suất

Sau đó ta vẽ đồ thị lên giấy kẻ ô Lấy trị số các lớp làm trục hoành và tỉ số % tần suất tích luỹ làm trục tung nối các điểm với nhau Nếu ta đợc một dạng đuờng thẳng thì chứng tỏ mẫu nghiên cứu của ta có dạng phân phối chuẩn

2 Phơng pháp chỉnh lý đờng cong thực nghiệm thành đờng cong lý thuyết:

Để chỉnh lý đờng cong tần suất thực nghiệm thành đờng cong lý thuyết ta tiến hành các bớc sau: B1 : Xác định độ chênh lệch của các trị số giữa của mối lớp so với số trung bình cộng

B2 : Chuyển độ chênh lệch đó thành độ lệch rút gọn bắng cách chia nó với độ lệch tiêu chuẩn

B3 : Tìm trị số tơng ứng với độ lệch rút gọn bằng cách tra giá trị tơng ứng trong bảng tung độ của đ-ờng cong chuẩn rút gọn

B4 : Nhân các trị số tìm đợc trong bảng với

s

i

n. ta sẽ đợc các tần suất lý thuyết VD: Cho 1 phân phối thực nghiệm gồm 42 số đo chiều cao mặt các em học sinh 5 tuổi đợc tổng hợp thành các lớp với tần suất tơng ứng nh sau: 75-2, 78-3, 81-7, 84-14, 87-7,90-4,93-3, 96-1, 99-1

Vé biểu đồ biểu diễn đờng cong tần suất thực nghiệm và lý thuyết Mẫu nghiên cứu này có thuộc dạng phân phối chuẩn không?

Giải

Ta có trị số trung bình cộng:

X =

n

X f X

f X

f1 1+ 2 2 + + n n

42

1 99 1 96

3 78 2

100 75 50 25 0

99 96

93 90

87 84

81 78

75