Tổng hợp bất đẳng thức và cực trị năm 2016

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 TỔNG HỢP BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ I.CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƢỜNG ĐƢỢC SỬ DỤNG  Bất đẳng thƣ́c Cauchy (AM – GM)   a, b  0, thì: a  b  a.b D}́u "  " xảy khi: a  b   a, b, c  0, thì: a  b  c  3 a.b.c D}́u "  " xảy v| khi: a  b  c Nhiều trường hợp đánh giá dạng: ab  ab ab abc  a.b    v| a.b.c     2      Bất đẳng thƣ́c Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)   a, b, x, y  , thì: ( a.x  b.y )2  ( a  b2 )( x  y ) D}́u "  " xảy khi: a b   x y   a, b, c , x , y , z  , thì: ( a.x  b.y  c.z )2  ( a  b  c )( x  y  z ) D}́u "  " xảy v| khi: a b c    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b.y  ( a2  b2 )( x2  y ) Hệ quả Nếu a, b, c l| c{c số thực v| x , y , z l| c{c số dương thì: a b ( a  b) a b c ( a  b  c )2 v| : b}́t đẵng thức cộng m}̂u số      x y xy x y z xyz  Bất đẳng thƣ́c véctơ Xét c{c véctơ: u  ( a; b), v  ( x; y) Ta có : u  v  u  v  a2  b2  x2  y  (a  x)2  (b  y)2 D}́u "  " xảy u v| v cùng hướng  Một số biến đổi hằng đẳng thƣ́c thƣờng gặp  x3  y3  ( x  y)3  3xy( x  y)   x3  y3  z3  ( x  y  z)3  3( x  y)( y  z)( z  x)  x3  y3  z3  3xyz  (x  y  z) x2  y2  z2  (xy  yz  zx) x2  y  z2  ( x  y  z)2  2( xy  yz  zx)  (a  b)(b  c)(c  a)  ab2  bc  ca2  (a2 b  b2 c  c a)  ( a  b)(b  c)(c  a)  (a  b  c)(ab  bc  ca)  abc  ( a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  2( a2  b2  c  ab  bc  ca)  2( a3  b3  c )  6abc  abc  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  3(a  b)(b  c)(c  a) ( a  b)  ( a  b ) 2   2    ( a  b)2  ( a  b)2 v| ab   Một số đánh giá bản và bất đẳng thƣ́c phụ Các đánh giá bản thƣờng đƣợc sử dụng (không cần chứng minh lại)  .( a2  b2 )  .ab  suy  x  y  z  xy  yz  zx a  x; y; z   VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 suy  ( x  y)( y  z)( z  x)  xyz b  x; y; z   c  x; y; z  suy   3( x  y  z )  ( x  y  z)2 suy  ( x  y  z)( x  y  z )  3( x y  y z  z x) d  x; y; z   suy  ( x  y  z)2  3( xy  yz  zx) e  x; y; z   suy  x y  y z  z x  xyz( x  y  z) f  x; y; z   suy  ( xy  yz  zx)2  xyz( x  y  z) g  x; y; z   h  x; y; z  suy   3( x y  y z  z x )  ( xy  yz  zx)2 suy   ( x  y  z)( xy  yz  zx)  ( x  y)( y  z)( z  x) Các bất đẳng thức phụ thƣờng đƣợc sử dụng (chứng minh lại áp dụng) suy j  x; y    x  y  ( x  y) 1 1 suy suy        k  xy   v|  xy   2 2  xy  xy 1 x 1 y 1 x 1 y i  x; y; z  suy Suy ra:  xy    suy  l  x; y   1 1 suy v|  xy          x  y  xy  x  y  xy 1    2  xy (1  x) (1  y) suy  m  x; y  0;1  1 x  1 y   xy  x, y     1  suy n       1   1    1  x  y  xy  x  y  Chƣ́ng minh các đánh giá bản suy  x  y  z  xy  yz  zx a Chƣ́ng minh:  x; y; z    x2  y  x2 y  xy    Áp dụng BĐT Cauchy:  y  z  y z  yz  x  y  z  xy  yz  zx D}́u "  " x  y  z  2 2  z  x  z x  zx suy  ( x  y)( y  z)( z  x)  xyz b Chƣ́ng minh:  x; y; z    x  y  xy  nhân Áp dụng BĐT Cauchy  y  z  yz  ( x  y)( y  z)( z  x)  x y z  xyz D}́u "  " x  y  z   z  x  zx c Chƣ́ng minh:  x; y; z  suy   3( x  y  z )  ( x  y  z)2 Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz dạng cộng m}̂u số, ta được: x2  y  z  x2 y z2 ( x2  y  z )     3( x  y  z )  ( x  y  z)2 D}́u "  " x  y  z 1 suy  ( x  y  z)( x  y  z )  3( x y  y z  z x) d Chƣ́ng minh:  x; y; z   Ta có: ( x  y  z)(x2  y  z )  ( x3  xy )  ( y  yz )  ( z  zx2 )  x2 y  y z  z x Áp dụng BĐT Cauchy cho từng dấu ([...]...TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 Dựa vào BBT ta có f (c)   , c  (0;1) (2) 9 1 1 Từ (1) và (2) suy ra P   , dấu đẳng thức xảy ra khi a  b  c  3 9 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  9 Câu 9: Với x, y, z là các số thực đôi một phân biệt Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2  2x  y   2 y  z   2z  x  M        x y  ... thỏa mãn điều kiện x  y  2016 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P  5 x 2  xy  3 y 2  3x 2  xy  5 y 2  x 2  xy  2 y 2  2 x 2  xy  y 2 Trƣờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 3 Lời giải tham khảo P  A B Trong đó A  5 x 2  xy  3 y 2  3x 2  xy  5 y 2 và B  x 2  xy  2 y 2  2 x 2  xy  y 2  A  3  x  y   3  2016  6048 * dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008...   18  x  y  2  B  2  x  y   2  2016  4032 ** dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 4 B  16 x 2  16 xy  32 y 2  32 x 2  16 xy  16 y 2   3x  5 y  2  7 x  y   3 y  5x  2 2  7  y  x 2   3x  5 y    3 y  5 x   8  x  y  Từ * và  ** ta đươc P  A  B  6048  4032  10080 , dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x  y  1008 Vậy Pmin  10080 ... min f  t    t 0 Vậy ta có P   3 2 3 khi và chỉ khi t  1 2 3 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là  a  b  c  1 16 4 1  a  ,b  ,c   21 21 21 a  4b  16c 3  16 4 1  khi và chỉ khi  a,b,c    , ,  2  21 21 21  Câu 34: Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  (a  b)3  (b  c)3  (c  a ) 3 Trƣờng... THI THPT QUỐC GIA 2016 Do đó abc 1 1 1 1  1 1 1 1  ab  bc  ca Suy ra P         4   2  ab 4 bc 4 ca  2  a 2 abc b c 2 abc Từ giả thiết, ta có a  b  c  4032 abc Do đó P  2016 Với a  b  c  1 , ta có P  2016 Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2016 1344 2 Câu 20:Cho hai số dương x, y ph}n biệt thỏa mãn: x 2  2y  12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4 4 5 ... suy ra : 5a  1  1  18a  3, a   0;  2 aa  2 Ta cũng có 2 bất đẳng thức tương tự: 5b  1 5c  1  1  1  18b  3, b   0;  và  18c  3, c   0;  2 2 bb cc  2  2 Cộng các bất đẳng thức này lại với nhau ta có : T 5a  1 5b  1 5c  1    18  a  b  c   9  9 a  a 2 b  b2 c  c 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi a  b  c  1 1  Tmax  9 đạt được  a  b  c  3 3 Vậy... vế 3 bất đẳng thức trên ta được P 9a 2 9b2 9c 2 9 2 2 2 9    a  b  c   16 16 16 16 4 Và dấu ‚=‛ xảy ra  a  b  c  Vậy min P  2 3 3 2 3 9 đạt được, khi và chỉ khi a  b  c  3 4 Câu 24: Cho a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c  b  abc VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 20 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Tìm giá trị nhỏ nhất... GIA 2016 Do đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  2 y 4 x  8 y  4 z 8 y  8 z  4 x 2 y   8 y 4 z            17 x y z x   z y   y 4x 2 y 8 y 4z 2  17  12 2  17; y x z y P2     Đẳng thức xảy ra khi b  1  2 a, c  4  3 2 a Vậy GTNN của P là 12 2  17 Câu 28:Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  1 ; c  a  b  c   3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. .. YÊN 26 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 t 1 4 + f’(t) + - 0 1/4 f(t) 0 0 a  b  c  3 1   a  b  c 1 Vậy giá trị lớn nhất của P  khi a  b  c 4 c  1  Câu 33: Cho các số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P 2 3  a  ab  3 abc abc Trƣờng THPT Đồng Xoài – Bình Phƣớc – Lần 3 Lời giải tham khảo Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 1 a  4b 1 a  4b  16c... a, b, c l| độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1 , thì giá trị lớn nhất của biểu thức : T 4 4 4 1 1 1 1      bằng 9 v| đạt được khi và chỉ khi a  b  c  3 ab bc ca a b c VÌ CỘNG ĐỒNG - THẦY TÀI – 0977.413.341 – MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN 16 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2016 Chú ý: Để có được bất đẳng thức 5a  1  1  18a  3, a   0;  ta đã sử dụng phương ph{p tiếp