Bài tập cơ học đất

Bài tập cơ học đất

1 in/min = 0,0254 m/min Lực

Hệ số thấm

1 in/sec = 25,4 mm/sec

1

in2/sec = 6,452 cm

2/sec

CHƯƠNG 1 TÍNH CHẤT VẬT LÝ CỦA ĐẤT

Bài 1:

Cho một mẫu đất ẩm vào một hộp đựng mẫu khô có khối lượng 462 gam Sau khi sấy khô trong tủ sấy trong một đêm tại nhiệt độ 1100C, cân mẫu và hộp đựng mẫu được 364 gam Khối lượng của hộp đựng mẫu là 36 gam.Yêu cầu xác định độ ẩm của mẫu đất

Bài giải

Lập thành một biểu đồ tính như sau và điền đầy đủ các số liệu cho và kết quả

đo vào (a),(b) và (d) sau đó tính toán kết quả điền vào (c),(e) và (f)

Khối lượng tổng của mẫu + hộp đựng mẫu = 462 g

Khối lượng đất khô + hộp đựng mẫu = 364 g

Khối lượng nước(a-b) = 98 g

Khối lượng hộp đựng mẫu = 39 g

Khối lượng đất khô( b-d) = 325 g

Độ ẩm (c/e) x 100% = 30.2%

Bài 2:

Cho  = 1.76 T/m3 (khối lượng riêng tổng); W = 10% ( Độ ẩm)

Yêu cầu: Xác định d (khối lượng riêng khô), e (hệ số rỗng), n (độ rỗng), S (độ bão hoà) và sat (khối lượng riêng bão hoà)

Bài giải:

Vẽ sơ đồ ba thể (Hình ví dụ 2.2a), giả thiết rằng Vt=1 m3

Từ định nghĩa về độ ẩm( phương trình 2-5) và khối lượng riêng tổng( phương trình 2-6) chúng ta có thể xác định Ms và Mw Lưu ý khi tính toán độ ẩm được biểu thị theo số thập phân

0,1/

76,1

m

M M V

M m

Hình ví dụ 2.2a

Thay Mw = 0.1 Ms ta nhận được:

1,76Mg/m3 = 3

0,1

10,0

m

M

M s  s

Ms = 1,60Mg và Mw= 1,16 Mg Những giá trị này bây giờ được ghi lên cạnh khối lượng của sơ đồ ba thể ( hình ví dụ 2.2b) và tiếp tục tính toán các chỉ tiêu tiếp theo

Từ định nghĩa của ρw (công thức 2-8) có thể tính tiếp Vw:

w

w w

1

16,0

m m

Mg

Mg M

Đưa các giá trị này vào sơ đồ ba thể hình ví dụ 2.2b

Để tính Vs, giả thiết khối lượng riêng hạt s=2.7 Mg/m3 Từ định nghĩa của s(Phương trình 2-7), có thể tính trực tiếp Vs, hoặc:

3

3 0,593/

70,2

6,1

m m

Mg

Mg M

Hình ví dụ 2.2b

Vì Vt = Va + Vw + Vs , có thể tính Va, vì đã biết các đại lượng khác

Va = Vt - Vw - Vs = 1.0 -0.593 - 0.16 = 0.247 m3Khi sơ đồ ba thể đã được điền đầy, việc giải tiếp bài toán chỉ là điền đủ các số cụ thể vào các định nghĩa tương ứng đã nêu Nhưng chú ý rằng, khi tính toán bạn phải viết

ra dạng công thức, sau đó đưa các giá trị theo đúng thứ tự các số hạng đã ghi trong công thức Và cũng lưu ý thêm là nên viết cả đơn vị vào biểu thức khi tính

Việc tính toán các yêu cầu còn lại trở nên dễ dàng

Từ phương trình 2-9:

3

3 1,6 /1

6,1

m Mg m

Mg V

,0

160,0247,0

v

V

V V V

V e

Từ phương trình 2-2:

%7,401000

,1

160,0247,0

v

V

V V V

V n

Từ phương trình 2-4:

%3,39100160,0247,0

160,1

w

V V

V V

V S

Khối lượng riêng bão hoà sat là khối lượng riêng của đất khi lỗ rỗng trong đất chứa đầy nước, đó cũng là khi đất bão hoà hoàn toàn với S=100%( Phương trình 2-10) Vì

thế khi thể tích khí Va chứa đầy nước, nó sẽ có khối lượng là 0.247 m3 x 1Mg/m3hoặc là 0.247 Mg Khi đó:

3

1

6,1)16,0247

,0(

m Mg m

Mg Mg

Mg V

M M

t

w s



Một cách khác, thậm chí có lẽ dễ hơn cách đã giải ví dụ này đó, là giả thiết Vs là thể tích đơn vị =1m3 Theo định nghĩa Ms = ρs = 2,7 (khi s được giả thiết bằng 2.7 Mg/m3) Sơ đồ ba thể hoàn chỉnh được thể hiện trên hình ví dụ 2-2c

Vì w = Mw/Ms = 0,10; Mw = 0,27Mg và Mt=Mw+Ms = 2,97Mg Cũng có Vw = Mw,

do w = 1Mg/m3,vì vậy 0.27 Mg của lượng nước sẽ chiếm một thể tích là 0.27 m3

Có hai ẩn số còn lại cần phải xác định trước khi chúng ta có thể tính toán tiếp, đó là

Va và Vt Để có được hai giá trị này, chúng ta phải dùng giá trị đã cho =1.76 Mg/m3 Từ định nghĩa về khối lượng riêng tổng (phương trình 2-6):

ρ =1,76 Mg/m3 =

t t

t

V

Mg V

M 2,97

Xác định Vt

3

3 1.688/

76.1

97.2

m m

Mg

Mg M

Bài 3:

Xuất phát từ công thức định nghĩa chứng minh các công thức sau

Khối lượng riêng  

1

s w

G eS e

  

 Khối lượng riêng bão hòa:  

1

s

G e e

G e

  

 Trong đó Gs là tỷ trọng hạt đất

Bài 4:

Cho một mẫu đất sét bụi với s=2700 kg/m3, S=100%, và độ ẩm =46% Yêu cầu tính

hệ số rỗng e, khối lượng riêng bão hoà, khối lượng riêng đẩy nổi hoặc khối lượng riêng ngập nước theo đơn vị kg/m3

Bài giải

Đưa số liệu đã cho vào sơ đồ ba thể (hình ví dụ 2-6)

Giả thiết Vs=1 m3, có M s V s  s 2700kg Từ phương trình 2-15 có thể tính trực tiếp hệ số rỗng:

242.10.11000

270046.0

w e

24.11

27001242

kg e

M M V

t

t sat

242 1 1000 2700

w sat 



,   = 1758 kg/m3 – 1000 kg/m3 = 758 kg/m3

hoặc là:

e e

w w s

Bài 5: Ví dụ tham khảo 3.1:

Cho kết quả phân tích hạt và các chỉ tiêu giới hạn của 3 mẫu đất như sau:

Cỡ sàng

% các hạt nhỏ hơn cỡ sàng No.4

124

47

77 NP*: Không dẻo

Yêu cầu: Phân loại 3 mẫu đất theo hệ thống phân loại đất USCS

Bài giải:

Sử dụng bảng 3-2 và hình 3.4 để phân loại đất

1 Vẽ đường cong cấp phối hạt của 3 mẫu đất , kết qủa được thể trên hình 3.1:

2 Đường cong cấp phối của mẫu 1 cho ta thấy trên 50% lượng hạt dưới sàng No.200 (60%) Như vậy, mẫu 1 là đất hạt mịn và ta cần sử dụng các giới hạn Atterberg để phân loại đất Với giá trị LL = 20 và PI = 5, mẫu 1 ở vị trí vùng gạch chéo trên biểu đồ dẻo nên đất được phân loại là CL-ML

3 Ta có thể nhận ra ngay mẫu 2 là đất hạt thô vì chỉ 5% lượng hạt dưới sàng No.200 Vì 97% lượng hạt dưới sàng No.4 nên mẫu 2 được coi là cát thì chính xác hơn sỏi Dựa vào bảng 3-2 và hình 3.4, do chỉ 5% lượng hạt dưới sàng No200 nên mẫu 2 nằm ở vùng ranh giới và có ký hiệu ghép đôi như SP-

SM hoặc SW-SM tuỳ thuộc vào giá trị của Cu và Cc Từ đường cong cấp phối hạt, ta có kết quả D60 = 0.71 mm, D30 = 0.34 mm và D10 = 0.18 mm… Như vậy, hệ số không đều hạt Cu là:

69.318.0

71.010

C u

và hệ số cong Cc là:

1 91 0 71 0 18 0

) 34 0 ( )

60 10

2



x xD

4 Mẫu 3 là đất hạt mịn vì chứa 97% lượng hạt dưới sàng No.200 Do giới hạn chảy LL của mẫu đất lớn hơn 100 nên không thể trực tiếp dùng biểu đồ dẻo (hình 3.2) mà phải sử dụng phương trình của đường thẳng A trên hình 3.2 để phân loại đất là CH hoặc MH

PI = 0.73 (LL - 20) = 0.73 (124 - 20) = 75.9

Vì chỉ số dẻo PI của mẫu 3 nằm phía trên đường thẳng A nên mẫu 3 được phân loại là CH

Hình VD 3.1

Bài 6:

Trên giấy bán lôgarit năm chu kì, vẽ các đường cong cấp phối hạt từ các số liệu phân tích thành phần hạt sau đây của 6 loại đất, từ A đến F Xác định kích thước hiệu quả cũng như hệ số đồng đều và hệ số cấp phối cho mỗi loại đất Tính toán phần trăm cuội sỏi, cát, bùn và sét theo

a) ASTM; b) AASHTO; c) USCS; d) Hệ Tiêu chuẩn Anh

Phần trăm qua theo trọng lượng

sao

Bài 8:

Một mẫu đất có tổng thể tích của là 80 000 mm3 và cân nặng 145g Trọng lượng khô của mẫu là 128g, và khối lượng riêng hạt là 2,68 Hãy xác định: a) Độ ẩm; b) Hệ số

rỗng; c) Độ rỗng; d) Độ bão hòa; e) Khối lượng riêng ướt; f) Khối lượng riêng khô Cho kết quả các phần (e) và (f) theo hệ đơn vị quốc tế SI và hệ đơn vị Anh

Bài 9:

Cho một số loại đất có các giới hạn Atterberg và độ ẩm tự nhiên cho dưới đây Xác định chỉ số dẻo PI và chỉ số chảy LI cho mỗi loại đất và dẫn giải về hoạt tính chung của chúng

Đặc tính Đất A Đất B Đất C Đất D Đất E Đất F

CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA ĐẤT Bài 1: Ví dụ 7.3

Cho một bình chứa đất như trong hình Ví dụ 7.3 Khối lượng riêng bão hòa là 2.0 Mg/m3

Yêu cầu tính các ứng suất tổng, trung hòa và hiệu quả tại độ cao A khi (a) mực nước tại độ cao A và (b) mực nước dâng lên đến độ cao B

b) Nếu mực nước dâng lên độ cao B, sự thay đổi trong ứng suất hiệu quả tại độ cao

A sẽ xuất hiện do đất bão hòa bị ngập, chịu lực đẩy nổi Các ứng suất tại độ cao

A gây ra bởi đất và nước ở trên sẽ được tính như sau:

Cho lớp đất như trong hình ví dụ 7.5

Yêu cầu tính ứng suất tổng và ứng suất hiệu quả tại điểm A

Hình ví dụ 7.5

Lời giải:

Đầu tiên ta cần tính  d và  sat của cát, khi này cần nhớ lại các quan hệ về các pha

trong đất Lấy V t = 1 m 3 , khi đó n = V v và:

 

12.70 1 0.5 1.35 Mg (1350 kg)

1.35 1 0.5

1.85 Mg/m1

s d t

sat

M V

hiệu quả tại điểm giữa của lớp đất sét có khả năng nén Sau đó giả sử rằng lớp cát chặt trung bình vẫn bão hòa, tính lại ứng suất hiệu quả trong lớp sét tại điểm giữa khi mà mực nước ngầm hạ xuống 5 m đến đỉnh của lớp sét cứng Bình luận về sự khác biệt của ứng suất hiệu quả

Bài 4: VÍ DỤ 8.1

Cho kết quả thí nghiệm cố kết trong phòng ở hình 8.7 Yêu cầu, với đường cong nén BCD trong phòng thí nghiệm, xác định: (a) ứng suất cố kết trước theo phương pháp của Casagrande; (b) giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có thể có của trị số ứng suất này; (c) trị số OCR nếu ứng suất lớp phủ hiệu quả tại hiện trường là 80 kPa

Hình 8-7: Đường cong quan hệ giữa hệ số rỗng và log tải trọng mô tả quá trình trầm tích, lấy mẫu (giảm tải) và cố kết lại trong thiết bị thí nghiệm cố kết

-

vo

, p

, 2

2 1log





e e

215.0100

300log

655.0870.0log ,





a b

b a c

e e C



Cách giải thứ hai bằng đồ thị để xác định e ở một chu trình; ví dụ

10 log

100

1000

log  =1, khi có kết quả này Cc=e Ở hình vẽ ví dụ 8.9 tỷ lệ đứng không

đủ để thể hiện cho ’= 1 chu trình log, nhưng có thể làm ở hai bước, ea tới eb và ecđến ed (để kéo dài đường thẳng eaeb cho đủ một chu trình trên cùng một đồ thị, chọn

ec tại cùng giá trị áp lực như eb Sau đó vẽ một đường eced song song với eaeb Đường thứ hai này đơn thuần là kéo dài đường thẳng eaeb để đồ thị trên giấy mở rộng xuống dưới mức đang nhìn, hay:

)(

=0.451 giống kết quả đã tính ở trên

c Chỉ số nén cải biếnCcε được tính theo:

865.01

451.0

1  



o

c c

Yêu cầu: theo phương pháp của Schmertmann xác định (a) độ dốc của đường cong nén nguyên sơ hiện trường (b) Tính độ lún của tầng sét nếu độ gia tăng ứng suất trong khoảng từ 275-800 kPa Khi tính toán dùng cả đường cong nén nguyên sơ hiện trường và trong phòng (c) Nhận xét về sự khác nhau nếu có

Bài giải

a) Trước hết xây dựng đường cong nén hiện trường theo các bước của Schmertmann nêu ở trên Trên đường cong ở hình ví dụ 8.15, theo phương pháp Casagrande để nhận được ứng suất cố kết trước σ’p Trị số ,

p

 tìm được = 275 kPa Kẻ đường nằm ngang từ trị số e o=0.912 cắt đường thẳng đứng tại vị trí áp lực cố kết trước tại điểm khống chế 1, thể hiện bằng tam giác 1

Hìnhví dụ-8.15

Kéo dài đường cong nén nguyên sơ tới cắt đường nằm ngang kẻ từ điểm 0.42e o

tức là 0.42 x 0.912 = 0.38 Nhận được điểm khống chế 2 Nối hai điểm 1 và 2 sẽ được đường cong nén nguyên sơ hiện trường

Giá trị C c được xác định từ đường cong nén nguyên sơ hiện trường giống như làm với đường cong cố kết trong phòng (xem ví dụ 8.6, 8.7 và 8.9) Với chu kỳ log từ 1000 đến 10000 kPa, có e1000=0.705 và e10000=0.329; vì thế C c=0.705-0.329=0.376 Độ dốc của đường cong nén nguyên sơ trong phòng được thành lập cũng như vậy và bằng 0.31 Giá trị này sẽ cần dùng sau

b) Để tính toán độ lún, có thể dùng phương trình 8-4 và 8-11 Trước hết dùng phương trình 8-4:

o o

e

e s





1

Sự thay đổi hệ số rỗng, e, chỉ đơn thuần là sự khác biệt về hệ số rỗng tại trị số tải trọng =275 kPa và =800 kPa Những giá trị này là 0.912 tại điểm a và 0.744 tại điểm b ở hình ví dụ 8.15 xác định trên đường cong nén nguyên sơ hiện trường Vì vậy

10 912 0 1

744 0 912 0

v vo o o

c

e

C s

376 0

31 0

thể chấp nhận được ở hiện trường Mặt khác đề phòng sự chính xác quá lớn trong các tính lún Khi các kỹ sư nền móng trình bày kết quả của họ trong báo cáo kĩ thuật, thường họ chỉ nói kết quả tính lún “khoảng 0.9 m”, bởi vì có chứa đựng nhiều số liệu tương đối hơn là các số liệu chính xác tuyệt đối

Bài 7: VÍ DỤ 8.16

Cho số liệu của hệ số rỗng và tải trọng như bảng dưới Hệ số rỗng ban đầu là 0.725

và áp lực lớp phủ hiệu quả thẳng đứng hiện tại là 130 kPa

c Xác định chỉ số nén hiện trường dùng phương pháp của Schmertmann

d Nếu thí nghiệm cố kết này đại biểu cho lớp đất sét dày 12 m , tính độ lún của lớp sét này nếu gia tăng thêm trị số ứng suất là 220 kPa

Bài giải:

a Quan hệ e và log '

vc

 được thể hiện ở hình ví dụ 8.16

Hình ví dụ- 8.16: (Số liệu có sửa đổi đôi chút bởi Soderman và Kim,1970)

vo o

o c vo

p o

e

C s

190

220 130 log 12 725 0 1

262 0 130

190 log 12 725 0

Yêu cầu

a Tính và vẽ biểu đồ ứng suất hiệu quả thẳng đứng theo chiều sâu trước khi có lớp đắp

b Tính và vẽ ứng suất tăng thêm,, do khối đắp

c Tính ứng suất tăng thêm theo chiều sâu bởi móng có kích thước 3 x4 m, khi đáy móng được đặt ở độ sâu 1 m so với đỉnh của khối đắp Dùng phương pháp 2:1 (Giả thiết trọng lượng của móng cộng với đất đắp bằng trọng lượng của đất đào bỏ)

Hình ví 8.17 a

dụ-Hình ví dụ- 8.17b

Bài giải

a Như đã thực hiện ở chương 7, phân bố ứng suất hiệu quả ban đầu đã được tính và

vẽ ở hình ví dụ 8.17a Tại mặt đất(z=0) trị số ứng suất bằng 0, ở độ sâu z=20m trị số ứng suất là 330 kPa ( gz1.68x9.81x20330 kPa)

b Ứng suất tăng thêm do 2 m đắp gây ra 2x2.04x9.81=40 kPa Thể hiện ở hình ví

dụ 8.17a bằng đường thẳng song song với đường ứng suất hiệu quả ban đầu tại chỗ Lưu ý ở độ sâu bất kỳ, ứng suất tăng thêm gây bởi khối đắp luôn luôn bằng

40 kPa, bởi vì đắp trên diện tích rộng vì thế mà 100% tải trọng được truyền qua nền

c Ứng suất tiếp xúc  ogiữa móng và đất bằng tải trọng cột đất 1400 kN chia cho

Bài 9: VÍ DỤ 8.18

Cho móng chữ nhật có kích thước 3x4 ở ví dụ 8-17 chịu tải trọng phân bố đều với cường độ bằng 117 kPa

Yêu cầu

a Xác định ứng suất thẳng đứng tại điểm góc móng ở độ sâu 2 m

b Xác định ứng suất thẳng đứng ở độ sâu 2 m dưới tâm móng

x=1.5 m; y=2 m; z=2m thì

2

5 1

c Tại độ sâu 2 m so với đáy móng, ứng suất thẳng đứng phân bố theo quy luật 2:1

là 47 kPa ( xem hình 8.17 b) Giá trị này tiêu biểu cho trị số ứng suất trung bình bên dưới đáy móng tại độ sâu -2 m Trị số ứng suất trung bình tại góc và tâm móng theo lý thuyết đàn hồi sẽ là: (26+74.2)/2 =50.1 kPa Vì thế mà phương pháp 2:1 đánh giá thấp trị số ứng suất thẳng đứng tại tâm móng, nhưng đánh giá cao ứng suất σz tại các góc móng

Bài 10: VÍ DỤ 8.20

Cho bể tròn đường kính 3.91 m chịu tải trọng phân bố đều là 117 kPa

Yêu cầu

a Xác định trị số ứng suất ở độ sâu 2 m so với đáy bể, tại vị trí tâm bể

b Xác định trị số ứng suất ở độ sâu 2 m so với đáy bể, tại vị trí cạnh bể

z

0 95 1 / 0

x

Xác định được I=0.63 Dùng phương trình 8-30 ta được:

7463.0

b Lần nữa liên hệ với hình 8.22, tính ứng suất tại cạnh diện chịu tải hình tròn:

z = 2 m

r = 3.91/2 = 1.95 m

x = r = 1.95 m;

02 1 95 1 / 2

z

0 1 / r x Xác định được I = 0.33 Dùng phương trình 8-30 ta được:

3933.0

c) Xác định chỉ số nén cải biến và chỉ số nén lại của những loại đất này

d) ước lượng ứng suất cố kết trước của đất sét này (theo A Casagrande)

s 

 ; w n 105.7% Mẫu đất có chiều cao ban đầu là 2.54 cm; thể tích là 75.14 cm3 Vẽ biểu đồ quan hệ giữa phần trăm cố kết và log áp lực Đánh giá áp lực cố kết trước và chỉ số nén nguyên sơ cải biến

Bài 13.(Bài 8-13)

Vẽ quan hệ hệ số rỗng và log áp lực nén cho dữ liệu ở bài tập 8-12 Đánh giá áp lực

cố kết trước và chỉ số nén nguyên sơ Các giá trị này có phù hợp với các giá trị đã tìm ở bài tập 8-12 không? Nhận xét

 Tính khối lượng riêng khô, ướt và độ bão hoà của mẫu thí nghiệm

cố kết nếu trọng lượng riêng khô của mẫu là 52.8 g Nếu độ ẩm cuối cùng là 59.6%, tính độ bão hoà và khối lượng riêng khô lúc kết thúc cố kết

Bài 15.(Bài 8-20)

Dựa vào quan hệ cho trong bảng sau vẽ đường cong quan hệ hệ số rỗng và áp lực, đánh giá chỉ số nén và chỉ số nén lại Xác định áp lực cố kết trước

Hình Ví dụ 10.1

2 Xác định gốc của các mặt phẳng hay điểm cực Sẽ dễ dàng hơn nếu dùng mặt phẳng nằm ngang mà  tác động trên nó Trạng thái của ứng suất trên mặt phẳng này được chỉ ra thông qua điểm A trên Hình Ví dụ 10.1b Vẽ một đường thẳng song song với mặt phẳng trên đó ứng suất (, 0) tác động (mặt phẳng nằm ngang) qua điểm có tọa độ  và 0 Theo định nghĩa, điểm cực P là điểm đường này cắt vòng tròn Mohr [Trùng hợp ngẫu nhiên, nó cắt tại ()] Đường thẳng A đi qua điểm cực nghiêng góc  so với mặt phẳng nằm ngang sẽ song song với mặt phẳng trên phân tố trong Hình.Ví dụ 10.1a, đây cũng là mặt phẳng mà trên đó ta cần tính ứng suất pháp và ứng suất cắt Giao điểm là điểm C trên Hình.Ví dụ 10.1b, ta thấy rằng kPa và =18.6kPa

Có thể kiểm tra lại các kết quả này bằng cách sử dụng các Pt 10-5 và 10-6 Chú

ý rằng   là dương vì điểm C xuất hiện ở phần trên trục hoành Do đó chiều của trên mặt phẳng nghiêng góc 350 được xác định như trên Hình.Ví dụ 10.1.c

và d, nó đại diện cho phần đỉnh và đáy của phân tố đã cho Với cả hai phần, phương hay chiều của ứng suất cắt  là như nhau và ngược nhau (như nó vẫn thế) Tuy nhiên, chúng đều là ứng suất cắt dương theo quy ước dấu (Hình 10.2)

Hình Ví dụ 10.2

3 Bây giờ tìm các thành phần ứng suất trên mặt phẳng nghiêng góc  Như trước đây mặt nghiêng góc 350 so với đáy của phần tử Từ đường AP, mở góc 350 có

cùng hướng như trên phần tử, các thành phần ứng suất trên mặt phẳng được định nghĩa bởi giao điểm của đường thẳng với vòng tròn Mohr (trong trường hợp này

là điểm C) Từ tọa độ của C theo tỷ lệ ta xác định  và  Chú ý rằng các ứng

suât này cũng tương tự như trên Hình 10.1 Điều đó xảy ra là do không có gì thay đổi, ngoại trừ hướng của phần tử trong không gian

Với bước thứ 2, ta cũng có thể sử dụng điểm trên mặt ứng suất chính nhỏ nhất làm điểm bắt đầu Trong trường hợp này ta kẻ một đường từ (3, 0) nghiêng góc

700 so với mặt ngang (song song với mặt -3), nó sẽ cắt vòng tròn Mohr vẫn tại điểm như trên, điểm P Bây giờ ta kiểm tra bước này – nếu các bước đều làm đúng, ta sẽ được cùng một cực Do đường AP song song với mặt ứng suất chính lớn nhất, ta có thể thể hiện ngay phương của 1 trên đường này trên Hình Ví dụ 10.2; tương tự, đường nét đứt từ cực đến 3sẽ song song với mặt 3

Bây giờ có thể thấy điều gì thực sự xảy ra với điểm cực Đây chỉ là một cách liên hệ vòng tròn ứng suất Mohr với hình dạng hay hướng của phần tử ngoài thực tế Ta có thể xoay hệ trục trùng với các phương của các ưng suất chính trong không gian, nhưng thông thường quan hệ  và  được vẽ với các trục ngang và đứng

Xác định phương của mặt ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất

Xác định ứng suất cắt lớn nhất và phương của mặt phẳng nó tác động

Giải:

Vẽ vòng tròn Mohr, như trên Hình.Ví dụ 10.3, theo các bước sau:

1 Vẽ trạng thái ứng suất trên mặt phẳng nằm ngang (6,2) tại điểm A Chú ý rằng ứng suất cắt gây ra mômen theo chiều kim đồng hồ quanh a và vì vậy là dương

2 Theo cách tương tự, vẽ điểm B(-4, -2) Ứng suất cắt trên mặt phẳng thẳng đứng

âm do nó gây ra mômen ngược chiều kim đồng hồ