ceminar DAO ĐỘNG CỦA TINH THỂ CÓ CƠ SỞ (NỀN) GỒM MỘT NGUYÊN TỬ

Xemina DAO ĐỘNG CỦA TINH THỂ CÓ CƠ SỞ (NỀN) GỒM MỘT NGUYÊN TỬ Về mặt lí thuyết, nhiệt độ không tuyệt đối, nguyên tử nằm vị trí lượng thấp mà không chuyển động Khi nhiệt cung cấp cho tinh thể nguyên tử dao động xung quanh vị trí cân chúng Mỗi nguyên tử hành động thể gắn với nguyên tử lân cận lò xo Năng lượng dự trữ tinh thể dạng động nguyên tử giãn nén lò xo Xét dao động đàn hồi tinh thể có nguyên tử ô đơn vị tối giản Chúng ta cần tìm tần số sóng đàn hồi theo vecto sóng số đàn hồi Nghiệm phương trình sóng đơn giản sóng truyền theo hướng [100], [110], [111] mạng tinh thể lập phương Đây hướng cạnh hình hộp, đường chéo mặt bên đường chéo Khi sóng truyền theo hướng này, toàn mặt phẳng nguyên tử dịch chuyển song song (hình 2) vuông góc với vecto sóng (hình 3) Chúng ta gọi us thay đổi vị trí mặt phẳng s so với vị trí cân Bây xét toán chiều Chúng ta giả sử dịch chuyển vị trí mạng so với vị trí cân tỉ lệ với lực đàn hồi; lực tác dụng lên mặt phẳng s thay đổi vị trí mặt phẳng s+p tỉ lệ với hiệu dịch chuyển vị trí chúng us+p – us Để cho ngắn gọn, xét tương tác gần nhất, với p=±1 Lực tác dụng tổng cộng lên mặt phẳng s mặt phẳng s+1 s – gây là: Fs=C(us+1 – us) + C(us-1 – us) (1) Lực tỉ lệ với thay đổi vị trí biểu thức có dạng định luật Hooke Hằng số C số lực mặt phẳng lân cận gần khác sóng dọc sóng ngang Từ nay, thuận tiện, xem C định nghĩa cho nguyên tử mặt phẳng, Fs lực tác dụng nguyên tử mặt phẳng s Nghĩa xét dãy nguyên tử, nguyên tử có tương tác với lực đàn hồi Phương trình chuyển động nguyên tử mặt phẳng s là: (2) M khối lượng nguyên tử Nghiệm phương trình có dạng: us(t)=uexp(isKa)exp(–iωt), (3) Suy ra: us±1(t)=uexp[i(s±1)Ka)exp(–iωt)=us exp(±Ka) (3’) a khoảng cách mặt phẳng chúng vị trí cân K vecto sóng Giá trị a phụ thuộc vào hướng K Từ (3) suy d2us/dt2=–ω2us, (2) trở thành –Mω2us=C(us+1+us–1 –2us ) (4) Thế số hạng us+1, us-1, us vào vế phải, ta được: ω2M=–C[exp(iKa)+exp(–iKa)–2] (5) Mặt khác exp(iKa)+exp(–iKa)=2cosKa nên có hệ thức tán sắc ω(K) là: ω2=(2C/M)(1–cosKa) (7) Người ta định nghĩa vùng Brillouin thứ vùng có vecto sóng nằm khoảng Từ (7), thấy hệ số góc đường cong ω theo K biên vùng vì: dω2/dK=(2Ca/M)sinKa dω2/dK(K=±π/a)=(2Ca/M)sin±π=0 Ý nghĩa đặc biệt vecto sóng phonon nằm biên vùng thể công thức (12) bên Sử dụng hệ thức lượng giác, (7) viết lại là: ω2=(4C/M)sin2½Ka; ω=(4C/M)1/2|sin½Ka| (9) Đồ thị ω theo K có dạng hình Hình 4: Đồ thị ω theo K Vùng Brillouin thứ Đối với sóng đàn hồi, khoảng giá trị K chứa đựng ý nghĩa vật lí thực sự? Câu trả lời là: Chỉ giá trị K nằm vùng Brillouin thứ Từ (3) (3’), tỉ số độ dịch chuyển vị trí hai mặt phẳng lân cận là: (10) Giá trị pha Ka khoảng từ –π đến π chứa tất giá trị độc lập hàm mũ (điều I) Chúng ta chứng minh điều bên Nghĩa là, khoảng giá trị độc lập K là: –π ≤ Ka ≤π, –π/a≤ K≤ π/a Khoảng vùng Brillouin thứ mạng chiều Cực đại vùng nằm Kmax=±π/a Giá trị K nằm vùng Brillouin thứ đơn tạo lại chuyển động mạng giống vùng Brillouin thứ Bây chứng minh tỉ lệ độ dịch chuyển vị trí vùng Brillouin thứ vùng (chứng minh điều I) Xét K nằm vùng Brillouin thứ (B1) Bằng cách lấy vecto sóng (độ lớn) trừ số nguyên lần 2π/a, vecto nằm vùng B1.Chẳng hạn, kí hiệu vecto sóng : , n số nguyên Do đó, tỉ lệ dịch chuyển vị trí biểu thức (10) trở thành: (11) Bởi exp(i2πn)=1 Do dịch chuyển vị trí luôn mô tả vecto sóng vùng B1 Chúng ta ý 2πn/a vecto mạng đảo 2π/alà vecto mạng đảo Vì thế, cách lấy K trừ cho vecto mạng đảo thích hợp, luôn thu vecto sóng tương đương với vecto sóng vùng Brillouin thứ Tại biên vùng Brillouin Kmax=±π/a nên: us=uexp(isKa)=uexp(±isπ)=u(-1)s (chúng ta khảo sát sóng biến đổi không gian nên không viết thành phần phụ thuộc thời gian) (12) Nghĩa nghiệm không biễu diễn sóng chạy mà sóng đứng Những nguyên tử cạnh dao động ngược pha us=±u tùy theo s số nguyên chẵn hay lẻ Sóng không chuyển động sang phải mà không chuyển động sang trái Trường hợp tương tự tượng phản xạ Bragg tia X: điều kiện Bragg thõa mãn sóng chạy không truyền mạng Những mặt phẳng cạnh phản xạ tới lui hình thành nên sóng đứng Xem lại tượng phản xạ Bragg: Cực trị K Kmax=±π/a tìm thõa mãn định luật Bragg 2dsinθ=nλ Thật vậy, Kmax=±π/a tương ứng với λ=2a; lại có θ=½π, d=a, n=1, vào ta 2asin½π=2a Với tia X, n số nguyên khác không biên độ sóng điện từ có nghĩa toàn không gian biên độ độ dịch chuyển vị trí sóng đàn hồi thường có nghĩa nguyên tử Vận tốc nhóm Vận tốc nhóm vận tốc truyền bó sóng: Hoặc (13) Nghĩa vận tốc nhóm gradient tần số K Đây vận tốc truyền lượng môi trường Với hệ thức tán sắc (9) vận tốc nhóm (hình 6) là: (14) Vận tốc nhóm biên vùng Ở sóng sóng đứng, (12), suy truyền vận tốc toàn phần sóng đứng Vận tốc pha Vận tốc pha vận tốc lan truyền pha sóng không gian υph=ω/K Xem video (bạn có thấy vận tốc chuyển động bó sóng chậm vận tốc chuyển động pha sóng bên không ?) Giới hạn bước sóng dài Khi Ka[...]... hình tinh thể có thể tích V, trong đó có một giá trị của K trong thể tích (2π)3/V của không gian Fourier) Vì thế, những nhánh âm dọc và 2 nhánh âm ngang có tổng cộng 3N chế độ, do đó chiếm tổng cộng 3N bậc tự do Số bậc tự do còn lại là (3p – 3)N được dành cho các nhánh quang học Chúng ta xét một tinh thể lập phương với những nguyên tử có khối lượng M1 nằm ở một tập hợp mặt phẳng và những nguyên tử có. .. u là sự dịch chuyển của yếu tố thể tích so với vị trí cân bằng của nó đặt tại điểm x trong tinh thể Cũng như đối với bất kì dao động tử điều hòa nào, khi lấy trung bình theo thời gian, năng lượng trong chế độ bằng một phần hai động năng và một phần hai thế năng Mật độ động năng là , ở đây là khối lượng riêng Trong tinh thể có thể tích V, tích phân theo thể tích của động năng là Động năng trung bình... này, nghiệm có dạng: (2C/M1)1/2 và (2C/M2)1/2 Đây là tính chất đặc trưng của sóng đàn hồi trong mạng đa nguyên tử Có một khe tần số tại biên của vùng Brillouin thứ nhất Kmax=±π/a SỰ LƯỢNG TỬ HÓA SÓNG ĐÀN HỒI Năng lượng của dao động mạng bị lượng tử hóa Lượng tử năng lượng này được gọi là phonon, tương tự với lượng tử năng lượng của trường điện từ là photon Năng lượng của một chế độ dao động đàn hồi... trạng thái lượng tử n là: (27) Số hạng là năng lượng điểm không của chế độ Nó xuất hiện ở cả phonon và photon do chúng tương đương với dao động tử điều hòa lượng tử tần số dao động tử điều hòa, trị riêng năng lượng cũng là của phonon được xây dựng trong phụ lục C Đối với Lí thuyết lượng tử Chúng ta có thể lượng tử hóa bình phương trung bình của biên độ phonon Xét chế độ sóng đứng của biên độ u=u0cos(Kx)cos(ωt)... ω là số ảo ĐỘNG LƯỢNG PHONON Một phonon có vecto sóng K sẽ tương tác với những hạt chẳng hạn như photon, nơtron, electron như thể nó có động lượng ћK Tuy nhiên, phonon không mang động lượng thực Nguyên nhân phonon trong mạng không mang động lượng thực là tọa độ phonon (ngoại trừ K=0) liên quan đến những tọa độ tương đối của các nguyên tử Vì thế trong phân tử hidro chẳng hạn, tọa độ dao động giữa các... độ của chế độ dao động là: (29) Biểu thức này thiết lập mối quan hệ giữa độ dịch chuyển vị trí với sự chiếm phonon ở mức lượng tử thứ n của chế độ Dấu của ω là gì? Phương trình chuyển động (chẳng hạn như (2)) là phương trình của ω2, và nếu đây là đại lượng dương thì ω có thể có dấu + hoặc – Nhưng năng lượng của phonon phải dương, vì thế sẽ thuận tiện và hợp lí hơn khi xem ω dương Nếu cấu trúc tinh thể. .. panel có tên là Mass ratio (tỉ số khối lượng giữa của 2 nguyên tử) Để thay đổi giá trị của ka chúng ta kéo nút hình chữ nhật trong panel ka Các thuật ngữ tiếng Anh: • • • • Stop: dừng Start: bắt đầu Acoustic mode: chế độ dao động âm Optical mode: chế độ dao động quang Thế (23) vào (20), đối với nhánh quang tại K=0, chúng ta tìm được: (26) Những nguyên tử dao động ngược pha nhau nhưng tâm khối của chúng... không mang động lượng Tọa độ của tâm khối ½(r1+r2) tương ứng với chế độ đồng nhất K=0 và có thể mang động lượng Trong tinh thể tồn tại quy tắc lựa chọn vecto sóng cho những dịch chuyển giữa những trạng thái lượng tử Trong chương 2, chúng ta thấy rằng tán xạ đàn hồi của photon tia X qua mạng tinh thể tuân theo quy tắc chọn lựa vecto sóng: +G (30) ở đây G là vecto của mạng đảo, k là vecto sóng của photon... đứng yên Nếu hai nguyên tử mang điện tích trái dấu, như trong hình 10, chúng ta có thể kích thích chuyển động loại này bằng điện trường của sóng ánh sáng, vì thế nhánh này được gọi là nhánh quang Đối với giá trị K bất kì, tỉ số u/υ sẽ là số phức theo các phương trình trong (20) Đối với nhánh âm, khi K=0 thì u=υ Những nguyên tử (và khối tâm của chúng) di chuyển cùng nhau như trong dao động âm ở bước sóng... màu xanh đại diện cho hai loại nguyên tử khác nhau Click tại đây Làm thí nghiệm: Mô tả: Trong thí nghiệm này, chúng ta sẽ khảo sát sự thay đổi của đường cong tán sắc, của chế độ dao động theo tỉ số khối lượng và tích Ka trong mạng chứa nền gồm 2 nguyên tử khác loại (trong thí nghiện K được kí hiệu là k) Đường thẳng màu xanh lá cây thẳng đứng cho biết sự thay đổi giá trị của ka Để thay đổi khối lượng,