Giáo trình toán kinh tế phần 1

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ (Dùng cho hệ Đại học Cao đẳng) Lƣu hành nội Vinh, năm 2014 UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ (Dùng cho hệ Đại học Cao đẳng) Lƣu hành nội Th.S Nguyễn Thị Hà (Chủ biên) Th.S Trần Hà Lan Vinh, năm 2014 MỤC LỤC Chƣơng 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - 1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất - 1.2 Bài toán phân công lao động - 1.3 Bài toán vận tải - BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (QHTT) - 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát - 2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc chuẩn tắc - 2.3 Chuyển đổi dạng toán quy hoạch tuyến tính - THUẬT TOÁN ĐỒ THỊ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI BIẾN - 11 3.1 Nhận xét - 11 3.2 Thuật toán đồ thị giải toán quy hoạch tuyến tính - 11 n MỘT SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN ¡ - 14 4.1 Tập hợp lồi - 14 4.2 Tính chất tập hợp lồi - 15 TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - 15 5.1 Các giả thiết ban đầu - 15 5.2 Các tính chất toán quy hoạch tuyến tính - 16 PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH - 25 6.1 Cơ sở lý luận phƣơng pháp đơn hình - 25 6.2 Công thức đổi tọa độ bảng đơn hình - 30 6.3 Bài toán suy biến - 35 PHƢƠNG PHÁP TÌM PHƢƠNG ÁN CỰC BIÊN XUẤT PHÁT - 37 7.1 Bài toán giả tạo - 37 7.2 Mối quan hệ phƣơng án tối ƣu toán giả tạo toán tắc tƣơng ứng - 39 Chƣơng - 42 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU - 42 KHÁI NIỆM BÀI TOÁN QHTT ĐỐI NGẪU - 42 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng - 42 1.2 Quy tắc thành lập toán đối ngẫu - 44 LƢỢC ĐỒ TỔNG QUÁT - 45 Dạng - 45 Dạng - 45 1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu đối xứng - 46 CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU - 48 PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU - 52 3.1 Nội dung phƣơng pháp - 52 3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu - 53 Chƣơng - 56 BÀI TOÁN VẬN TẢI - 56 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI - 56 1.1 Nội dung kinh tế dạng toán học toán vận tải - 56 1.2 Mô hình bảng toán vận tải - 60 1.3 Tính chất toán vận tải cân thu phát - 62 THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT - 64 2.1 Phƣơng pháp tìm phƣơng án cực biên xuất phát - 64 2.2 Tiêu chuẩn tối ƣu cho phƣơng án toán vận tải cân thu phát - 68 2.3 Phƣơng pháp cải tiến phƣơng án - 70 - BÀI TOÁN PHÂN PHỐI - 88 4.1 Định nghĩa - 88 4.2 Phƣơng pháp giải - 88 BÀI TOÁN Ô CẤM - 93 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG BÀI - 97 TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH - 97 I BÀI TOÁN SẢN XUẤT ĐỒNG BỘ - 97 CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN SẢN XUẤT ĐỒNG BỘ - 97 1.1 Nội dung kinh tế mô hình toán học toán sản xuất đồng - 97 1.2 Tính chất toán sản xuất đồng - 101 PHƢƠNG PHÁP NHÂN TỬ GIẢI BÀI TOÁN SẢN XUẤT ĐỒNG BỘ - 105 2.1 Phƣơng pháp tìm phƣơng án cực biên suy rộng ban đầu - 105 2.2 Xây dựng hệ thống số kiểm tra tiêu chuẩn tối ƣu - 108 2.3 Điều chỉnh phƣơng án - 109 2.4 Thuật toán nhân tử giải toán sản xuất đồng - 111 II BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN - 115 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU - 115 1.1 Ví dụ trò chơi ma trận - 115 1.2 Bài toán trò chơi ma trận - 115 1.3 Hàm thu hoạch P - 117 ĐIỂM YÊN NGỰA VÀ CHIẾN LƢỢC TỐI ƢU - 118 2.1 Điểm yên ngựa - 118 2.2 Chiến lƣợc tối ƣu - 119 2.3 Trò chơi đối xứng - 120 PHƢƠNG PHÁP TÌM CHIẾN LƢỢC TỐI ƢU CHO BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN .121 3.1 Đƣa trò chơi ma trận toán quy hoạch tuyến tính - 121 3.2 Phƣơng pháp tìm chiến lƣợc tối ƣu cho toán trò chơi ma trận - 123 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 126 - LỜI NÓI ĐẦU Toán học kinh tế hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với Kinh tế nguồn cảm hứng cho toán học thực khả tiềm mình, toán học công cụ giúp cho việc phân tích, giải vấn đề kinh tế cách chặt chẽ, hợp lý hiệu Toán kinh tế việc nghiên cứu để mô tả vấn đề kinh tế dƣới dạng mô hình toán học thích hợp từ góc độ toán học tìm lời giải cho mô hình đó, từ giúp nhà kinh tế tìm giải pháp tối ƣu cho toán kinh tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập môn Toán kinh tế cho sinh viên hệ đại học cao đẳng, biên soạn giáo trình Giáo trình không sâu vào vấn đề lý luận kỹ thuật toán học phức tạp mà tập trung trình bày nội dung thuật toán lý thuyết tối ƣu tuyến tính Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ giáo trình có đầy đủ ví dụ cụ thể mô tả tình huống, hƣớng dẫn tỉ mỉ toàn trình giải vấn đề Nội dung giáo trình gồm chƣơng: Chương Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Chương Bài toán vận tải Chương Một số toán ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính Mặc dù có nhiều cố gắng, nhƣng giáo trình chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong đƣợc bạn đọc góp ý để sách ngày hoàn thiện Các tác giả -1- Chƣơng 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1.1.1 Nội dung toán Một sở sản xuất sản xuất đƣợc hai loại sản phẩm A B, từ nguyên liệu I, II, III Chi phí loại nguyên liệu tiền lãi đơn vị sản phẩm, nhƣ dự trữ nguyên liệu cho Bảng 1.1 Bảng 1.1 Nguyên liệu Lãi I II III A B 1 Dự trữ Sản phẩm (đơn vị tiền) Hãy lập toán thể kế hoạch sản xuất cho có tổng số lãi lớn phù hợp với điều kiện dự trữ nguyên liệu 1.1.2 Mô hình toán học toán Gọi x1, x2 lần lƣợt số sản phẩm A B đƣợc sản xuất Khi đó: Tổng số lãi là: 3x1 + 5x2 Tổng số nguyên liệu I cần sử dụng là: 2x1 + x2 Tổng số nguyên liệu II cần sử dụng là: x2 Tổng số nguyên liệu III cần sử dụng là: x1 Theo ra, ta có mô hình toán học: Tìm X(x1, x2) cho f(X) = 3x1 + 5x2 max -2- 2x1 x với điều kiện x2 x1 xj 0, j 1,2 1.2 Bài toán phân công lao động 1.2.1 Nội dung toán Một phân xƣởng có dây chuyền sản xuất khác sản xuất loại sản phẩm Lƣợng sản phẩm loại sản xuất đƣợc sử dụng dây chuyền sản xuất loại chi phí sản xuất dây chuyền sau hoạt động với nhu cầu tối thiểu sản phẩm đƣợc cho Bảng 1.2 Bảng 1.2 Sản phẩm (SP) Dây chuyền sản xuất Nhu cầu I II III IV tối thiểu SP 1 1600 SP 2 2200 SP 3 2000 Chi phí (1000đ) 10 13 16 Hãy lập toán để bố trí thời gian cho dây chuyền sản xuất cho thỏa mãn nhu cầu tối thiểu sản phẩm đồng thời tổng chi phí sản xuất thấp 1.2.2 Mô hình toán học toán Gọi xj thời gian (giờ) áp dụng dây chuyền sản xuất thứ j (j = 1,4 ) đó: Tổng chi phí sản xuất là: 10x1 + 5x2 + 13x3 + 16x4 (1000đ) Tổng lƣợng sản phẩm sản xuất là: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 Tổng lƣợng sản phẩm sản xuất là: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 Tổng lƣợng sản phẩm sản xuất là: 3x1 + x2 + 4x3 + 5x4 Theo ra, ta có mô hình toán học: Tìm X(x1, x2, x3, x4) cho f(X) = 10x1 + 5x2 + 13x3 + 16x4 -3- 2x1 3x với điều kiện x3 x1 2x 3x 3x1 x2 xj 0, x 1600 4x 2200 4x 5x 2000 j 1,4 1.3 Bài toán vận tải 1.3.1 Nội dung toán Một đơn vị vận tải cần vận chuyển xi măng từ kho K 1, K2, K3 tới công trƣờng xây dựng T1, T2, T3, T4 Cho biết lƣợng xi măng có kho, lƣợng xi măng cần công trƣờng giá cƣớc vận chuyển (ngàn đồng) xi măng từ kho tới công trƣờng nhƣ Bảng 1.3 Bảng 1.3 Kho xi măng Công trƣờng xây dựng T1: 130 T2: 160 T3: 120 T4: 140 K1: 170 20 18 22 25 K2: 200 15 25 30 15 K3: 180 45 30 40 35 Hãy lập toán tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ kho tới công trƣờng cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ kho phát hết lƣợng xi măng có, công trƣờng nhận đủ lƣợng xi măng cần? 1.3.2 Mô hình toán học toán Gọi xij lƣợng xi măng cần vận chuyển từ kho i (i = 1, 2, 3) tới công trƣờng j (j = 1, 2, 3, 4) Khi đó: Kho K1 phát hết lƣợng xi măng có: x11 + x12 + x13 + x14 = 170 Kho K2 phát hết lƣợng xi măng có: x21 + x22 + x23 + x24 = 200 Kho K3 phát hết lƣợng xi măng có: x31 + x32 + x33 + x34 = 180 Công trƣờng T1 nhận đủ số xi măng cần: x11 + x21 + x31 = 130 Công trƣờng T2 nhận đủ số xi măng cần: x12 + x22 + x32 = 160 Công trƣờng T3 nhận đủ số xi măng cần: x13 + x23 + x33 = 120 -4- Công trƣờng T4 nhận đủ số xi măng cần: x14 + x24 + x34 = 130 Lƣợng hàng vận chuyển không âm: xij 0, i = 1,3 , j = 1,4 Tổng chi phí vận chuyển: f(X) = 20x11 + 18x12 + 22x13 + 25x14 + 15x21 + 25x22 + 30x23 + 15x24 + 45x31 + 30x32 + 40x33 + 35x34 Vậy mô hình toán học toán là: Tìm X = [xij]3x4 cho f(X) với X thỏa mãn điều kiện Tổng quát: Gọi m số kho chứa hàng (điểm phát), n số nơi tiêu thụ hàng (điểm thu) lƣợng hàng có (cung) điểm phát thứ i (i = 1,m ) bj lƣợng hàng cần (cầu) điểm thu thứ j (j = 1,n ) cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j xij lƣợng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j Mô hình toán học toán vận tải có dạng: m n f (X) cijx ij i j n x ij a ,i 1,m i j m x b , j 1,n với điều kiện ij j i x 0,i 1,m; j 1,n ij BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (QHTT) 2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát Định nghĩa 1.1 Từ toán thực tế nêu nhiều toán khác, ta thấy toán QHTT dạng tổng quát có dạng sau: Tìm véctơ X(x1, x2, , xn) cho hàm số n f (X) c1x1 c x c n x n c jx j j -5- (max) (1.1) n a ijx j bi ,i 1,p (1.2) a ijx j bi ,i p 1,q (1.3) a ijx j bi ,i q 1,m (1.4) j n với điều kiện: j n j xj 0, j 1,k; x j 0, j k 1,r; (1.5) đó: p, q, m, k, n, r số nguyên thỏa mãn: p q m; k r n xj biến số, hệ số cj, aij, bi (j = 1,n ; i = 1,m ) Khi đó: ▪ Hàm số f(X) = n c jx j đƣợc gọi hàm mục tiêu j ▪ Các bất phƣơng trình (1.2) - (1.5) đƣợc gọi hệ ràng buộc toán Các ràng buộc (1.2) - (1.4) đƣợc gọi ràng buộc (hay ràng buộc cưỡng bức) Các ràng buộc (1.5) gọi ràng buộc dấu (hay ràng buộc tự nhiên) toán Định nghĩa 1.2 Véc tơ X(x1, x2, , xn) thỏa mãn hệ ràng buộc (1.2) - (1.5) đƣợc gọi phương án toán Ký hiệu tập hợp phƣơng án toán QHTT Ta có khả năng: - Bài toán (1.2) (1.5) có vô số phƣơng án, tức tập có vô số phần tử - Bài toán (1.2) (1.5) có phƣơng án, tức tập có phần tử - Bài toán (1.2) (1.5) phƣơng án nào, tức tập Định nghĩa 1.3 Phƣơng án X * ( x1* , x2* , , xn* ) toán (1.2) = (1.5) đƣợc gọi phương án tối ưu (PATƢ) toán nếu: f(X*) f(X), X (đối với toán f(X) min) f(X*) f(X), X (đối với toán f(X) max) Chú ý: Tập PATƢ toán QHTT điểm vô số điểm điểm -6- Tại bảng IV, có X=( j 0, j = 1,5 nên ta có phƣơng án tối ƣu là: 14 12 36 , , , 0, 0, 0) fmax = - gmin = 5 5 Như vậy: Để giải toán QHTT không suy biến ta thực theo bƣớc sau: a) Đƣa toán dạng tắc không dạng tắc b) Thêm biến giả tạo giải toán giả tạo chƣa biết phƣơng án cực biên xuất phát c) Từ lời giải toán tắc hay toán giả tạo ta suy lời giải toán cho - 41 - Chƣơng BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU Chƣơng đề cập tới vấn đề đối ngẫu quy hoạch tuyến tính (QHTT) Đối ngẫu phƣơng pháp mà tƣơng ứng với toán quy hoạch tuyến tính cho (gọi toán gốc) ta thiết lập toán quy hoạch tuyến tính khác (gọi toán đối ngẫu) cho từ lời giải toán ta thu đƣợc thông tin lời giải toán Sau đây, trình bày cách xây dựng toán đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính cho, nêu định lý đối ngẫu phƣơng pháp đơn hình đối ngẫu KHÁI NIỆM BÀI TOÁN QHTT ĐỐI NGẪU 1.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu không đối xứng Cho toán QHTT dạng tắc (I): n f (X) c1x1 c2 x cn x n c jx j (2.1) j n với điều kiện a ijx j bi , i 1,m (2.2) j xj 0, j 1,n (2.3) Định nghĩa 2.1 Bài toán QHTT (I ) sau m g(X) b1y1 b2 y2 bm ym b i yi max (2.1)' i m với điều kiện a ij yi c j, j 1,n (2.2)' i yi R, i 1,m đƣợc gọi toán QHTT đối ngẫu toán gốc (I) Cặp toán (I) toán (I ) đƣợc gọi cặp toán QHTT đối ngẫu không đối xứng - 42 - Nhận xét: Phân tích cấu trúc hai toán, ta rút nhận xét, đồng thời nguyên tắc thành lập toán đối ngẫu: (i) Nếu toán gốc tìm Min toán đối ngẫu tìm Max hệ ràng buộc toán đối ngẫu có dạng “ ” (ii) Số ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) toán số biến số toán kia, từ ta thấy tƣơng ứng với ràng buộc toán biến số toán (iii) Hệ số hàm mục tiêu toán vế phải hệ ràng buộc toán (iv) Ma trận điều kiện hai toán chuyển vị (v) Các biến số toán đối ngẫu ràng buộc dấu Định nghĩa 2.2 Các cặp bất phƣơng trình sau m xj a ij yi c j, j 1,n i n a ijx j bi yi R, i 1, m j đƣợc gọi cặp điều kiện đối ngẫu Ví dụ 2.1: Cho toán QHTT f(X) = 13x1 – 3x2 – 4x3 + 19x4 2x1 với điều kiện x2 x 3x x1 2x 3x 3x1 x xj 44 x4 23 x 6x 96 0, j 1,4 Viết toán đối ngẫu cho toán cặp điều kiện đối ngẫu Giải: Do toán gốc tìm Min nên toán đối ngẫu tìm Max toán gốc có ràng buộc (không kể ràng buộc dấu) nên toán đối ngẫu có số ẩn Hệ số hàm mục tiêu toán đối ngẫu tƣơng ứng vế phải hệ ràng buộc toán gốc - 43 - Do g(Y) = 44y1 + 23y2 + 96y3 max Các cặp điều kiện đối ngẫu: 2x1 x2 x 3x x1 2x 3x 3x1 x x4 x 6x 44 y1 R 23 y R 96 y3 R x1 2y1 y2 3y3 13 x2 y1 2y 3y3 x3 x4 3y1 y1 3y 3y3 y2 6y3 19 Ta có toán đối ngẫu: g(Y) = 44y1 + 23y2 + 96y3 y1 , y , y R 2y1 y2 3y 13 y1 2y 3y 3 y1 3y 3y y2 6y 19 với điều kiện 3y1 max Chú ý: Nếu toán gốc (I) đƣợc viết dƣới dạng ma trận f(X) = CX với điều kiện AX B X O toán đối ngẫu (I ) có dạng: g(Y) = YB max với điều kiện YA C, O ma trận không cấp n 1, Y = (y1 y2 ym) ma trận hàng cấp m 1.2 Quy tắc thành lập toán đối ngẫu Đối với toán để xác định toán đối ngẫu, trƣớc hết ta đƣa toán dạng tắc, sau xây dựng toán đối ngẫu toán gọi toán đối ngẫu toán cho Việc làm phức tạp - 44 - sử dụng quy tắc nêu lƣợc đồ dƣới để trực tiếp viết toán đối ngẫu mà không cần phải thực bƣớc biến đổi dạng tắc LƢỢC ĐỒ TỔNG QUÁT Dạng Bài toán gốc: f (X) n c jx j Bài toán đối ngẫu: g(Y) m bi yi max i j m * Nếu xj a ij yi cj a ij yi cj a ij yi cj i m * Nếu xj i m * Nếu xj không ràng buộc dấu i * Nếu n a ijx j bi yi không ràng buộc dấu a ijx j bi yi a ijx j bi yi j * Nếu n j * Nếu n j Dạng Bài toán gốc: f (X) n c jx j max Bài toán đối ngẫu: g(Y) m bi yi i j m * Nếu xj a ij yi cj a ij yi cj a ij yi cj i m * Nếu xj i m * Nếu xj không ràng buộc dấu i * Nếu n a ijx j bi yi không ràng buộc dấu a ijx j bi yi a ijx j bi yi j * Nếu n j * Nếu n j - 45 - Chú ý: Do tính đối xứng cặp toán đối ngẫu nên khái niệm toán gốc toán đối ngẫu mang tính tƣơng đối, nghĩa toán toán gốc toán toán đối ngẫu ngƣợc lại Ví dụ 2.2: Viết toán đối ngẫu toán sau: f(X) = - 4x1 + x2 + 5x3 3x1 6x x3 2x1 3x với điều kiện + 3x5 2x 4x 5x 4x 0, 4x x5 24 3x1 2x 3x x3 15 x5 6x 3x 8x x1 0, x5 Giải: Bài toán đối ngẫu có dạng g(Y) = - 15y1 + 8y2 + 9y3 + 24y4 với điều kiện 3y1 2y2 3y4 6y1 3y2 6y3 2y y1 4y 3y3 2y1 5y2 8y3 3y 4y1 max y 4y3 y4 y1 y2 y4 1.3 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu đối xứng Cho toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (II) n f (X) c jx j (2.4) j n với điều kiện a ijx j bi , i 1,m (2.5) j xj 0, j 1,n Khi toán đối ngẫu toán (II) toán (II) - 46 - (2.6) m g(Y) bi yi max (2.4)’ i m a ij yi với điều kiện c j , j 1,n (2.5)' i yj 0, i 1,m (2.6)' Định nghĩa 2.3 Cặp toán (II) toán (II) đƣợc gọi cặp toán đối ngẫu đối xứng Dùng ký hiệu ma trận ta viết cặp toán QHTT đối ngẫu đối xứng nhƣ sau: Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu f (X) CX Với điều kiện max g(Y) YB AX B X On Với điều kiện YA C Y O1 m Chú ý: Cặp toán QHTT đối ngẫu đối xứng có m + n cặp điều kiện đối ngẫu Ví dụ 2.3: Tìm toán đối ngẫu toán f (X) 2x1 x x3 x1 2x x3 với điều kiện 2x1 x 2x x1 , x , x Giải: Bài toán đối ngẫu g(Y) 2y1 5y2 y1 2y với điều kiện 2y1 y y1 2y y1 , y max 1 - 47 - CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU Ta có định lý sau phản ánh mối quan hệ toán gốc toán đối ngẫu Các chứng minh đƣợc thực cho cặp toán đối ngẫu không đối xứng Sự đắn kết luận cặp toán đối ngẫu tùy ý đƣợc suy từ nhận xét cặp toán đối ngẫu đƣa đƣợc dạng cặp toán đối ngẫu không đối xứng Xét cặp toán QHTT đối ngẫu không đối xứng Bài toán gốc (I) f (X) CX Bài toán đối ngẫu ( I ) g(Y) YB AX B X On Với điều kiện max với điều kiện YA C Định lý 2.1 Giả sử X phương án tùy ý toán gốc (I), Y phương án tùy ý toán đối ngẫu (I) Khi ta có f(X) g(Y) Chứng minh: Giả sử X phƣơng án tùy ý toán (I), Y phƣơng án tùy ý toán (I) n n m j m n a ij yi x j c jx j f(X) = CX = j i m a ijx j yi = i j bi yi = YB = g(Y) i Vậy f(X) g(Y) ■ Định lý 2.2 Nếu X* phương án toán (I), Y* phương án toán (I) thỏa mãn f(X*) = g(Y*) X* phương án tối ưu toán (I) Y* phương án tối ưu toán đối ngẫu (I) Chứng minh: Giả sử X phƣơng án toán (I), theo định lý 2.1 chƣơng 2, ta có f(X) g(Y*) = f(X*), X Suy min{f(X)} = f(X*) Do X* phƣơng án tối ƣu toán (I) Tƣơng tự, lấy Y phƣơng án toán (I) , ta có - 48 - g(Y) f(X*) = g(Y*), Y Suy max{g(Y)} = g(Y*) Do Y* phƣơng án tối ƣu toán (I) ■ Hệ 2.1 Cặp toán đối ngẫu (I) (I) có phương án tối ưu chúng có phương án Chứng minh: Điều kiện cần: Hiển nhiên Điều kiện đủ: Giả sử X0, Y0 cặp phƣơng án toán (I), (I) Để chứng minh toán (I) (I) có phƣơng án tối ƣu, ta chứng minh hàm mục tiêu chúng bị chặn Thật vậy, lấy X phƣơng án toán (I), theo định lý 2.1 chƣơng 2, ta có: f(X) g(Y0), X Suy hàm mục tiêu f(X) bị chặn dƣới tập phƣơng án toán gốc (I), theo định lý 1.7 chƣơng toán gốc (I) phải có phƣơng án tối ƣu Vẫn theo định lý 2.1 chƣơng 2, ta có g(Y) f(X0), Y Suy g(Y) bị chặn tập phƣơng án toán (I) , theo định lý 1.7 chƣơng 1, toán (I) phải có phƣơng án tối ƣu.■ Hệ 2.2 Nếu hai toán (I) (I) có tập phương án khác phương án tối ưu toán có tập phương án Chứng minh: (Sinh viên tự chứng minh xem tập) Định lý 2.3 (Định lý đối ngẫu thứ nhất) Nếu hai toán cặp toán đối ngẫu có phương án tối ưu toán có phương án tối ưu, đồng thời min{f(X)} = max{g(Y)} Ta thừa nhận định lý vừa nêu - 49 - Định lý 2.4 (Định lý lệch – bù hay định lý đối ngẫu thứ hai) Cặp phương án X*, Y* tương ứng cặp toán đối ngẫu tối ưu cặp điều kiện đối ngẫu, điều kiện thỏa mãn lỏng điều kiện thỏa mãn chặt Áp dụng định lý đối ngẫu Khảo sát tồn phương án, phương án tối ưu Ví dụ 1: Cho toán QHTT f(X) = 2x1 – x2 + 3x3 – 2x4 x1 x với điều kiện 15 x3 xj x4 0, j 1,4 Hãy viết toán đối ngẫu chứng tỏ có phƣơng án tối ƣu? Giải: Bài toán đối ngẫu g(Y) = 15y1 + 8y2 y1 với điều kiện max y1 y2 y2 Dễ dàng thấy X(15, 8) Y(1, 2) phƣơng án cặp toán đối ngẫu Theo hệ 1, suy toán có phƣơng án tối ƣu Mặt khác, hạng hệ ràng buộc toán đối ngẫu có phƣơng án cực biên tối ƣu Kiểm tra phương án có tối ưu hay không ▪ Nếu biết cặp phƣơng án X*, Y* cần kiểm tra điều kiện f(X*) = f(Y*) ▪ Nếu biết phƣơng án X* sử dụng định lý lệch bù tìm phƣơng án Y* toán đối ngẫu Ví dụ 2: Cho toán QHTT - 50 - f X 2x1 4x x1 3x với điều kiện 2x1 x4 x2 x3 x2 xj x3 max 3x 0, j 1,4 a) Hãy chứng tỏ Xo(1, 1, 0, 0) phƣơng án cực biên đồng thời = phƣơng án tối ƣu b)Tìm phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu Xác định để toán có vô số phƣơng án tối ƣu Giải: a) Thử lại ta thấy X0 phƣơng án toán cho Mặt khác X0 thỏa mãn chặt ràng buộc độc lập, phƣơng án cực biên Xét toán đối ngẫu 4y1 3y2 3y3 y1 2y 3y1 y2 với điều kiện y3 3y3 y2 y1 y3 Áp dụng định lý lệch bù, x1, x2 > X0 thỏa mãn lỏng điều kiện thứ nên ta có hệ phƣơng trình y1 2y 3y1 y2 y3 y3 Y( , ,0 ) 5 Thử lại ta thấy Y0 phƣơng án toán đối ngẫu Vậy phƣơng án tối ƣu - 51 - = 0, X0 b) Rõ ràng = 0, Y0 phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu Không Y0 phƣơng án toán đối ngẫu Do thế, với ta có X0 phƣơng án tối ƣu với Với < , Y0 thỏa mãn lỏng ràng buộc thứ 3, y1, y2 > 0, phƣơng án tối ƣu X (nếu có) phải thỏa mãn: x1 3x 2x1 x2 Giải ta đƣợc X = x4 x3 x3 x 2x , ,0, x 5 Để X phƣơng án X phải thỏa mãn điều kiện lại x1, x2, x4 x2 – 3x4 Từ suy Vậy < x4 tập phƣơng án tối ƣu toán gốc X= x 2x , ,0, x , với 5 x4 PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 3.1 Nội dung phƣơng pháp Về thực chất, phƣơng pháp đơn hình áp dụng vào toán đối ngẫu, nhƣng để tìm lời giải toán gốc Phƣơng pháp Lemke G E đề xuất năm 1954 Phƣơng pháp đơn hình giải toán QHTT phƣơng án cực biên xuất phát (nghiệm AX = B X - 52 - 0) mà chƣa thỏa mãn tiêu chuẩn tối ƣu Sau bƣớc lặp ta tìm đƣợc phƣơng án cực biên tốt phƣơng án cũ trình tiếp tục tìm đƣợc phƣơng án thỏa mãn tiêu chuẩn tối ƣu Phƣơng pháp đơn hình đối ngẫu, lại xuất phát từ “giả phương án” (nghiệm phƣơng trình AX = B) mà thỏa mãn tiêu chuẩn tối ƣu ( nhƣng không thỏa mãn X j 0) 0, nghĩa bảng đơn hình ban đầu phần tử dƣơng dòng ƣớc lƣợng (dòng cuối) nhƣng lại có phần tử âm cột phƣơng án (vì có tên cột giả phương án) Các bảng đơn hình đƣợc biến đổi cho đảm bảo điều kiện tối ƣu trình tiếp diễn nhận đƣợc phƣơng án (không phần tử âm cột Giả phƣơng án) Phƣơng án đƣợc gọi phƣơng án tối ƣu 3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu Bước Xuất phát từ hệ m vectơ độc lập tuyến tính có ma trận D = [Aj] với j J, |J| = m, cho 0, j = 1, n j Tìm giả phƣơng án X0 = (X*, 0), X* = C*D -1, với C* = ci xj = 0, j J Bước Kiểm tra xi 0, i J? + Nếu có, X phƣơng án tối ƣu + Nếu không, sang bƣớc Bước Tại xi < 0, kiểm tra xij 0, j = 1, n ? + Nếu có, toán phƣơng án tối ƣu + Nếu không, sang bƣớc Bước Tồn xi < 0, tồn xij < Chọn xl đƣa Al khỏi sở xi xi Bước Tìm phần tử trục xlk từ cách chọn: = x lj j k x lj x lk đƣa Ak vào sở - 53 - i J ; Bước Xây dựng phƣơng án X1 cách biến đổi bảng đơn hình nhƣ thƣờng lệ Gán X0 := X1, trở lại bƣớc Chú ý: Trong trƣờng hợp toán đối ngẫu suy biến o = 0, o = ta áp dụng thuật toán bình thƣờng, điều làm nảy sinh khả xuất hiện tƣợng xoay vòng nhiên, giống nhƣ phƣơng pháp đơn hình, thực tế tính toán ta dễ dàng thoát khỏi tƣợng xoay vòng Dấu hiệu xuất phƣơng án cực biên suy biến véc tơ ứng với o o đạt nhiều số, đƣa vào sở, ta chọn véc tơ cách ngẫu nhiên số chúng đƣa vào sở mà không cần sử dụng quy tắc từ vựng Ví dụ 2.6: Giải toán sau phƣơng pháp đơn hình đối ngẫu f (X) x1 x với điều kiện x3 x 2x1 x x 3x x1 x4 4x1 x xj x4 2x 0, j 1,5 Giải: Đƣa thêm ẩn phụ x6 0, ta có toán dạng tắc f (X) x1 x 2x1 với điều kiện x5 x3 x3 x5 x 3x x1 x4 4x1 x xj x4 x4 x6 2x 0, j 1,6 Nếu chọn sở A3A6A2, ta đƣợc giả phƣơng án X0 = (0, 5, 6, 0, 0, -3) Ta có bảng đơn hình đối ngẫu: Bảng 2.1 - 54 - Bảng Cơ sở Hệ số Tọa -1 1 số Ai ci độ xio A1 A2 A3 A4 A5 A6 A3 -1 0 -3 -1 0 -1 -1 -1 f(X) = -3 0 -1 0 I II A6 A2 A3 3 -1 A4 0 -1 A2 -1 0 -1 f(X) = -2 0 0 -1 Tại bảng II, có phần tử cột giả phƣơng án không âm nên phƣơng án tối ƣu toán X(0, 8, 9, 3, 0) fmin = - 55 - [...]... nờn tha món rng buc (1. 7) y1A1 + y2A2 + + ymAm = B, (1. 21) v giỏ tr ca hm mc tiờu ti Y l n c j y j = c1y1 + c2y2 + + cnyn f(Y) = (1. 22) j 1 m Vỡ j 0, ci x ij j 1, n cj, j 1, n v yj 0, j 1, n nờn t i 1 (1. 22) ta cú n m j 1 i 1 m n i 1 j 1 c jx ij y j f(Y) y jx ij ci (1. 23) Mt khỏc, trong (1. 21) thay Aj bi (1. 16) ta c n n y jA j B= j 1 m yj j 1 m n i 1 j 1 x ijAi y jx ij Ai i 1 (1. 24) M X0 l phng ỏn... Ak ( k = m 1, n ; k ng vi k > 0), ta c c s mi A1,A2 , ,Al 1, Al 1, ,A m ,A k Theo (1. 28) ta cú m m x ik A i = Ak = i 1 x ik Ai x lk A l , xlk > 0 (1. 31) i 1 i l Vi mi j = 1, n vộct Aj biu din qua c s c v mi l m m x ijAi Aj = i 1 x ijAi m x 'ij Ai i 1 (1. 32) i 1 i l m Aj = x ljA l x 'ij A i i 1 i l T (1. 31) ta cú - 31 - x 'lj A l (1. 33) m 1 Ak Al = x lk x ik A i (1. 34) i 1 i l Thay (1. 33) vo (1. 32) ta c... sao cho n f (X) c1x1 c2 x 2 cn x n c jx j min (1. 6) j 1 n vi iu kin a ijx j bi ,i 1, m (1. 7) j 1 xj 0, j 1, n a 11 a12 a a 22 Nu ký hiu A = 21 a m1 a m2 (1. 8) a1n a 2n l ma trn cp m a mn rng buc ca bi toỏn; -7- n, gi l ma trn x1 x X= 2 xn b1 b B= 2 bm ; n 1 0 0 O= 0 ; m 1 n 1 Khi ú bi toỏn QHTT chớnh tc (1. 6) (1. 8) vit c di dng ma trn sau: f(X) = CX min AX B X 0 vi iu kin a1j a2j Nu ký hiu:... 5 13 x 3 5x 4 2x 5 1 x 3 9x 4 3x 5 7 0, j 1, 5 Hi vộct X(4, 5, 0, 0, 0) cú phi l phng ỏn cc biờn ca bi toỏn ó cho hay khụng? Gii: Thay X vo h rng buc ta thy tha món nờn X l phng ỏn ca bi toỏn - 20 - Phng ỏn X cú hai thnh phn dng l x 1, x2 H vộct ct ca ma trn rng buc A ng vi cỏc thnh phn ta dng ca X l: A1 = 2 1 ; A2 = 3 1 1 1 Xột ma trn D = [A1, A2] = 2 1 1 1 3 1 h1 h2 1 1 2 1 3 1 2h1 h 2 3h1 h 3 1 1... quỏt, gi s X cú dng X = (x1, x2, , xk, 0, , 0), trong ú x1, x2, , xk > 0 iu kin cn: Gi s X l phng ỏn cc biờn Ta chng minh h vộc t A1, A2, , Ak c lp tuyn tớnh Tht vy, gi s ngc li h A1, A2, , Ak ph thuc tuyn tớnh, ngha l tn ti s 0 (s [1, k]) m 1A1+ 2A2 + + kAk = 0 (1. 12) x1A1 + x2A2 + + xkAk = B (1. 13) Li do X l phng ỏn nờn T (1. 12) v (1. 13) ta cú (x1 1) A1 + (x2 2)A2 + + (xk Vỡ x1, x2, , xk > 0, nờn cú... quỏt gi s a Aj ( j = m 1, n ) vo c s mi (Aj cú dng (1. 16)) T (1. 14) v (1. 15), ta cú x1o x1j A1 x 2o x 2 j A2 x mo x mj Am A j B, (1. 17) trong ú l mt s dng tựy ý i 1, m , nờn cú th tỡm c s Vỡ xio > 0, x io xij bộ sao cho > 0, i 1, m (1. 18) Khi ú rừ rng vộct X*(x*j) = (x1o x1j , x 2o x 2 j , , x mo x mj ,0, 0, ,0, ,0) , ( j = m 1, n ) v? trớ th? j l mt phng ỏn ca bi toỏn (1. 6) (1. 8), v ti ú giỏ tr ca... xn) sao cho n f (X) c1x1 c2 x 2 cn x n c jx j min (1. 9) j 1 n vi iu kin a ijx j bi ,i 1, m (1. 10) j 1 xj 0, j 1, n (1. 11) -8- Bi toỏn QHTT dng chun tc (1. 9) (1. 11) vit c di dng ma trn nh sau: f(X) = CX vi iu kin min AX B X 0 Bi toỏn QHTT dng chun tc (1. 9) (1. 11) vit c di dng vộct sau õy: n f (X) c jx j min j 1 n vi iu kin x jAj B j 1 xj 0, j 1, n 2.3 Chuyn i dng bi toỏn quy hoch tuyn tớnh Bng cỏch thc... 3x1 2x 3 x 4 14 3x1 4x 2 x1 7x 2 2x 4 8 x 3 3x 4 7 x1 0 S rng buc cht ỳng bng s bin ca bi toỏn v nh thc ca ma trn cỏc h s ng vi h 4 rng buc cht l: 3 1 A= 1 1 0 4 7 0 2 0 1 0 1 2 3 0 0 2 4 0 7 1 1 2 3 0 Suy ra h 4 rng buc cht l h rng buc cht ph thuc tuyn tớnh, do ú phng ỏn X0 khụng phi l phng ỏn cc biờn Xột X1(4, 0, 0, -2) - Thay X1 vo h rng buc ca bi toỏn ta c - 17 - 3x1 2x 3 x 4 14 3x1 4x 2 2x 4 x1... ỏn nờn cng cú m x io A i B = x1oA1 + x2oA2 + + xmoAm = (1. 25) i 1 So sỏnh (1. 24) v (1. 25) ta cú n y jx ij , x i0 = i 1, m (1. 26) j 1 T (1. 23) v (1. 25) suy ra f(Y) f(Xo). nh lý 1. 11 (Du hiu bi toỏn khụng cú li gii) Nu tn ti mt vộct Aj ngoi c s liờn kt ca phng ỏn cc biờn Xo= (x1o, x2o, , xmo, 0, , 0) sao cho j > 0 v Xj = (x1j, x2j, , xmj ) - 28 - 0 thỡ bi toỏn (1. 6) (1. 8) khụng cú phng ỏn ti u, c th... Vớ d 1. 9: Chng minh bi toỏn sau cú phng ỏn ti u f (X) 3x1 3x 2 x1 2x 2 x1 2x 2 9x 3 3x1 xj min x3 1 5x 3 vi iu kin x3 x 2 3x 3 16 3 6 0, j 1, 3 Gii: Nhn thy X(0, 0, 2) l mt phng ỏn ca bi toỏn, do ú tp phng ỏn ca bi toỏn l khỏc rng - 23 - Chng t hm mc tiờu f(X) b chn di T h rng buc ta cú x1 2x 2 x3 1 x1 3x1 Vỡ x j 5x 3 x 2 3x 3 0, j 1, 3 nờn x3 f (X) 16 3x1 3x 2 x3 9 3x1 3x 2 x3 9, 6 - x3 Do ú 3x1 3x ... A7 -1 -2 0 M 1 -1 M -1 0 j -1 0 0 j 10 -1 0 10 0 M -1 0 -1 1 12 0 j 2 32 0 0 j -1 0 -1 0 52 0 32 A2 -2 12 0 12 A3 52 34 14 12 11 0 34 A7 A4 A6 II A3 A4 III Ta A1 -1 14 0 25 35 A2 -2 12 15 15 A3... A1 A2 A3 A4 A5 A6 A1 1 -1 A2 -1 12 1 A5 0 f(X) = -10 0 -1 A4 -2 1 -1 A2 -1 10 -1 -1 0 A5 -2 f(X) = -14 -2 -3 0 A4 -2 3 1 A2 -1 A6 -1 5 f(X) = -17 21 I III Ti bng III, ta thy j 0, 5 5 0 j = 1, 6... Tỡm X(x1, x2, , xn) cho n f (X) c1x1 c2 x cn x n c jx j (1. 9) j n vi iu kin a ijx j bi ,i 1, m (1. 10) j xj 0, j 1, n (1. 11) -8- Bi toỏn QHTT dng chun tc (1. 9) (1. 11) vit c di dng ma trn nh sau: