Giáo trình toán kinh tế phần 2

Chƣơng BÀI TOÁN VẬN TẢI CÁC KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 1.1 Nội dung kinh tế dạng toán học toán vận tải 1.1.1 Nội dung kinh tế toán Giả sử cần vận chuyển loại hàng hóa từ m trạm phát, ký hiệu A i (i = 1, m ) Lƣợng hàng cần chuyển trạm A i tƣơng ứng (đơn vị hàng), tới n trạm cần thu hàng, ký hiệu B j (j = 1, n ), lƣợng hàng cần thu trạm B j tƣơng ứng bj (đơn vị hàng) Giả sử cƣớc phí vận chuyển từ trạm phát hàng A i tới trạm thu B j cij (đơn vị tùy theo qui ƣớc) Giả thiết > 0, bj > 0, cij m n ( i 1, m, j 1, n ) i bj Q (bài toán j cân thu phát) Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ đồng thời thoả mãn nhu cầu thu phát hàng (các trạm phát, phát hết hàng trạm thu, thu đủ hàng) 1.1.2 Mô hình toán học toán Xác định kế hoạch vận chuyển hàng nghĩa xác định lƣợng hàng cần chuyển từ trạm phát tới trạm thu tƣơng ứng Gọi xij lƣợng hàng hoá vận chuyển từ trạm phát A i tới trạm thu B j (xij Mọi trạm phát, phát hết hàng nên ta có: 0, i = 1, m , j = 1, n ) n x ij a i , i 1, m j Mọi trạm thu, thu đủ hàng nên ta có: m x ij b j , j 1, n i Nhƣ tổng chi phí vận chuyển là: m n i 1j Khi mô hình toán học toán là: - 56 - cij x ij , đòi hỏi phải cực tiểu m n f (X) cijx ij (3.1) i j n x ij a i , (i 1, m) (3.2) x ij b j , ( j 1, n ) (3.3) j m i xij (i = 1, m , j = 1, n ) (3.4) Trong ma trận X = (xij)m.n đƣợc gọi ma trận phân phối hàng cần phải tìm Hàm f(X) đƣợc gọi hàm mục tiêu tổng chi phí vận chuyển Hiển nhiên (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) mô hình toán học toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc Chú ý: Bài toán vận tải (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) đƣợc viết dƣới dạng tƣờng minh nhƣ sau: c11x11 + c12x 12 + … + c1nx 1n + c 21x 21 + c22x22 + … + c2nx2n + … + cm1x m1 + cm2xm2 + … +c mnx mn x11 + x 12 + … + x 1n = a1 x 21 + x22 + … + x2n = a2 ………………………………………………………………… x m1 + xm2 + … +x mn = am + x21 + ………… … x11 + xm1 + x22 + ……………… x12 = b1 + xm2 = b2 …………………………………………………………… + x1n + x2n + ……………… + xmn = bn Theo đó, ma trận ràng buộc A toán (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) là: - 57 - A 11 00 00 10 01 00 00 11 00 10 01 00 n n 00 00 11 10 01 00 m n n Nhận thấy ma trận A đƣợc chia làm 2m khối: m khối m dòng đầu khối ma trận cấp m.n có dòng có phần tử 1, dòng khác phần tử 0; khối thứ k có dòng thứ k với k = 1, m Còn m khối n dòng sau khối ma trận đơn vị cấp n Gọi Aij cột hệ số ẩn xij , ta có Aij véc tơ cột thứ j nhóm cột thứ i ma trận A, ta có Aij = Ei + E m + j, i = 1, m, j 1, n , Ek ma trận cấp (m.n, 1) có phần tử hàng thứ k 1, phần tử khác Định nghĩa 3.1 Mọi toán qui hoạch tuyến tính có dạng toán học (3.1) (3.2) m (3.3) (3.4) với giả thiết > 0, bj > 0, cij n ( i 1, m, j 1, n ); i bj Q đƣợc j gọi toán vận tải cân thu phát Ngoài toán vận tải cân thu phát hay toán dạng đóng ta có hai toán vận tải không cân thu phát hay toán dạng mở nhƣ sau: m n +) bj : i j m n f (X) cijx ij i j n x ij a i ,(i 1,m) j - 58 - m x ij b j , ( j 1, n ) i (i = 1, m , j = 1, n ) xij m n +) bj : i j m n f (X) cijx ij i j n x ij a i , (i 1, m) x ij b j ,( j 1,n) j m i xij (i = 1, m , j = 1, n ) Định nghĩa 3.2 Ma trận X = (xij)m.n thoả mãn hệ điều kiện (3.2) (3.3) (3.4) toán vận tải cân thu phát đƣợc gọi phương án toán hay phương án phân phối hàng K hiệu tập hợp phƣơng án toán D Định nghĩa 3.3 Phƣơng án X thoả mãn yêu cầu (3.1) hàm mục tiêu f(X) đƣợc gọi phương án tối ưu Đặt: X ma trận cột gồm m.n thành phần: X = (x11 x12 … x1n x21 x22 … x2n … xm1 xm …xm n) c, C ma trận dòng gồm m.n thành phần: C = (c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … cm1 cm …cm n), B ma trận cột gồm m + n thành phần: B = (a1 a2 … am b1 b2 … bn) A = (aij)(m + n)(m.n) ma trận hệ số ẩn (3.2) (3.3) Khi dạng (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) có dạng ma trận sau: f (X) CX AX B X - 59 - 1.2 Mô hình bảng toán vận tải 1.2.1 Bảng vận tải Ngoài cách mô tả toán dƣới dạng tổng quát, đặc thù lớp toán vận tải, ta mô tả toán dƣới dạng bảng để thuận lợi cho việc tìm lời giải toán Bảng 3.1 T P A1: a1 A2: a2 … Am: am B1: b1 B2: b2 … Bn: bn c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n … … … … cm1 cm2 … cmn Bảng 3.1 đƣợc gọi bảng vận tải Không tính dòng đầu (ghi lƣợng hàng trạm thu), cột đầu (ghi lƣợng hàng trạm phát) bảng có m dòng, n cột m.n ô Mỗi cột tƣơng ứng cho trạm phát, dòng tƣơng ứng cho trạm thu Ô nằm dòng i, cột j k hiệu ô (i, j) Góc bên trái ô (i, j) ta ghi giá cƣớc cij, góc dƣới bên phải ghi giá trị xij lƣợng hàng vận chuyển từ trạm Ai đến trạm Bj, ta ghi giá trị xij vào ô (i, j) xij > gọi ô ô chọn; xij = ta bỏ trống vị trí (trừ trƣờng hợp đặc biệt) gọi ô ô loại K hiệu C(X) = {(i, j): xij > 0} 1.2.2 Vòng tính chất Định nghĩa Một tập hợp gồm k ô (k 4) bảng vận tải đƣợc đánh số thứ tự 1, 2, …, k (xem ô ô ô cuối cùng) đƣợc gọi vòng - 60 - chúng thỏa mãn điều kiện: hai ô liên tiếp phải nằm dòng hay cột ba ô liên tiếp nằm dòng hay cột Vòng thƣờng đƣợc k hiệu V đƣợc biểu diễn: V = {(i1, j1), (i1, j2), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( ip, j1)} V = {(i1, j1), (i2, j1), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( i 1, jp)}, với ik ik + , j k j k + 1, k = 1, 2, …, p Ví dụ 1: Ta có vòng nhƣ Bảng 3.2 sau: V = {(1,2), (3, 2), (3, 3), (5, 3), (5, 5), (1, 5)} Bảng 3.2 (1) (2) (6) (3) (4) (5) Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy số ô hàng cột mà vòng qua hai ô, tổng số ô có mặt vòng số chẵn phải có bốn ô Định nghĩa 3.5 Một tập hợp ô mà từ lấy đƣợc số ô để tạo thành vòng tập hợp ô đƣợc gọi có chứa vòng Định l 3.1 Cho K tập hợp ô bảng vận tải (Aij): (i, j) K (3.5) Tập hợp K có chứa vòng họ (3.5) họ véc tơ phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Cần: Giả sử K chứa vòng V có dạng: V = (i1, j1), (i1, j2), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( ip, j 1) Vì Aij = Ei + Em + j nên rõ ràng ta có: - 61 - Ai j 1 Ai j Ai Ai j 2 Ai j p p j p 0, đẳng thức chứng tỏ họ (3.5) họ véc tơ phụ thuộc tuyến tính Đủ: Giả sử họ (3.5) phụ thuộc tuyến tính, ta có: ij A ij 0, (3.6) (i , j) K với hệ số ij ij (Ei Từ (3.6) ta có: (3.7) Em j ) (i, j) K Giả sử i j1 Khi số hạng thứ i1 m + j i j1 i j1 Ai j1 i j1 (Ei Em j1 ) có hai thành phần Để làm triệt tiêu thành phần thứ i1 số hạng vế trái (3.6) phải chứa số hạng có thành phần thứ i khác không Giả sử số hạng thứ i1j2: i j Ai j Lại xuất thành phần thứ m + j2 khác Để làm triệt tiêu thành phần vế trái (3.6) phải chứa số hạng có thành phần thứ m + j2 khác Giả sử số hạng : xuất thành phần thứ i2 i j2 Ai j2 Lại v.v…Vì vế trái (3.6) tổng hữu hạn nên cuối để làm triệt tiêu thành phần thứ m + i (xuất lúc đầu) vế trái (3.6) phải chứa số hạng có thành phần thứ m + i1 khác Giả sử số hạng i p j1 Ai p j1 Đồng thời với việc chọn số hạng khác không ta chọn đƣợc tập hợp ô tƣơng ứng là: (i1, j 1); (i1, j 2); (i2, j 2); …; (ip, j p); (ip, j 1) tập hợp ô vòng tập (3.5) Vậy (3.5) chứa vòng 1.3 Tính chất toán vận tải cân thu phát Định l 3.2 Bài toán vận tải cân thu phát (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) có phương án tối ưu Chứng minh: Áp dụng định lý 1.8, ta cần toán có phƣơng án hàm mục tiêu f(X) bị chặn dƣới tập phƣơng án Thật vậy: - 62 - m n Giả sử X = (xij) D, cij 0, xij i, j nên f ( x ) cij x ij Nhƣ i 1j với X Đặt aib j x ij0 Q D, hàm f(x) bị chặn dƣới D m ( , i 1, m; j 1, n n i m n x ij0 j b j , j 1,n ; x0ij x ij0 a i ,i 1,m ; Q) Đặt X0 = (x0ij)m.n Khi ta có: bj 0, i = 1, m , j = 1, n i j Vậy X0 phƣơng án toán Ta có điều phải chứng minh Định l Trong toán vận tải với dạng ma trận hạng ma trận ràng buộc A rankA = m + n - Chứng minh: Ta có tổng m dòng đầu ma trận A tổng n dòng sau ma trận A (1, 1, …, 1) Suy m + n dòng A phụ thuộc tuyến tính, rankA m + n -1 Ta chứng minh m + n -1 dòng A kể từ dòng thứ hai độc lập tuyến tính Thật vậy: Gọi Di dòng thứ i ma trận A, xét đẳng thức sau: m n i Di (3.8) i Vế trái (3.8) véc tơ gồm m.n thành phần, ta xét n cột đầu Khi từ (3.8) ta có m n i d ij j 1,n ; mà dij = i = m + j; dij = i 0, m + j i m Do i 0, i m j, j 1, n Hay m+j = 0, j = 1, n Khi ta có m (3.8) i Di i ( 2, 2, …, k = 0, k k = 0, k 2, 3, 3, …, 3, …, m, m, …, m) = 2, m 2, m n Vậy m + n – dòng sau A độc lập tuyến tính, hay rankA = m + n – - 63 - Từ kết này, ta thấy giải toán vận tải phƣơng pháp đơn hình bỏ dòng hệ ràng buộc Định l 3.4 Giả sử X = (xij) m.n phương án toán vận tải cân thu phát (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) Khi điều kiện cần đủ để X phương án cực biên C(X) không chứa vòng Chứng minh: Theo định lý 1.6 phƣơng án X toán tắc phƣơng án cực biên {Aij : xij > 0}độc lập tuyến tính, mà {Aij : xij > 0} = {Aij : (i, j) C(X)}, theo định lý 2.1 họ độc lập tuyến tính C(X) không chứa vòng Từ định lý ta có hệ sau: Hệ 3.1 Mọi tập hợp gồm nhiều m + n – ô bảng vận tải m.n có chứa vòng Hệ 3.2 Điều kiện cần để phương án X phương án cực biên số thành phần dương thực không vượt m + n – Định nghĩa 3.6 Phƣơng án cực biên X toán vận tải (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) đƣợc gọi phương án không suy biến có đủ m + n – thành phần dƣơng thực sự, không phƣơng án gọi suy biến Định nghĩa 3.7 Giả sử X phƣơng án cực biên J tập hợp gồm m + n – ô không chứa vòng đồng thời J chứa ô ứng với thành phần dƣơng thực X Khi J đƣợc gọi hệ ô chọn sở phƣơng án cực biên X Từ định nghĩa ta có, phƣơng án cực biên X không suy biến C(X) hệ ô sở X Nếu X suy biến C(X) J X có nhiều hệ sở khác THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 2.1 Phƣơng pháp tìm phƣơng án cực biên xuất phát 2.1.1 Phương pháp cước phí bé - 64 - J Phƣơng pháp ƣu tiên phân phối cho ô có cƣớc phí nhỏ bảng Nội dung phƣơng pháp nhƣ sau: Trên bảng vận tải, ta tìm ô có cƣớc phí nhỏ nhất, phân vào ô lƣợng hàng lớn đƣợc Khi có dòng hay cột thỏa mãn nhu cầu (nghĩa trạm phát tiêu thụ hết hàng trạm thu nhận đủ số hàng so với nhu cầu), xóa bỏ dòng hay cột lặp lại công việc ô lại, sau số hữu hạn bƣớc lặp ta thu đƣợc ma trận X = (x ij)m.n Tập hợp giá trị {x ij}, i = 1, m , j = 1, n thu đƣợc từ cách tìm nhƣ phƣơng án toán, chúng thoả mãn ràng buộc Hơn phƣơng án cực biên Thật vậy, theo cách phân phối, ô chọn có xij > Giả sử tập ô chọn có số ô tạo thành vòng có dạng: V = {(i1, j1), (i1, j2), ( i2, j2), …, ( ip, jp)( ip, j1)} Khi có trƣờng hợp sau xảy ra: - Hoặc yêu cầu trạm phát A i thoả mãn, hàng i1 bị loại khỏi bảng, ô (i1, j2) đƣợc phân phối - Hoặc yêu cầu trạm thu B j thoả mãn, hàng j1 bị loại khỏi bảng, ô (ik, j1) đƣợc phân phối - Hoặc yêu cầu trạm phát A i trạm thu B j thoả mãn, hàng 1 i1 cột j1 bị loại khỏi bảng, ô (i1, j2) ô (ik, j1) đƣợc phân phối Vậy X phƣơng án cực biên toán vận tải cân thu phát Ví dụ 3.1: Tìm phƣơng án cực biên toán vận tải sau (Bảng 3.1) phƣơng pháp cƣớc phí nhỏ - 65 - Đƣa ô (i2, j2) vào tập ô chọn thay cho ô (i1, j1) - Xây dựng hệ thống nhân tử w2 = (ui' , v'j ) cách: + Hoặc ui' v j hàng i hay cột j có chữ λ ui , v'j + Hoặc tính lại từ đầu cách đặt nhân tử vj = cột j đó, sau tính ui, vj theo công thức ui – aijvj = với (i, j ) H Ta có phƣơng án cực biên w2 tốt w1 Gán w2 = w1 quay trở lại bƣớc Sau hữu hạn bƣớc lặp ta tìm đƣợc phƣơng án tối ƣu Chú ý: + Trƣờng hợp toán đối ngẫu suy biến, gặp λ =1, ta áp dụng thuật toán bình thƣờng nhƣng kết không cho phƣơng án cực biên suy rộng mà chuyển sang sở khác phƣơng án Điều làm xuất hiện tƣợng xoay vòng Tuy nhiên thực tế tính toán dễ dàng thoát khỏi tƣợng xoay vòng + Khi λ đạt nhiều ô khác dấu hiệu toán suy biến, ta chọn ngẫu nhiên ô vào làm ô chọn Ví dụ 4.2: Tìm phƣơng án tối ƣu toán sản xuất đồng với phƣơng án cực biên suy rộng xây dựng đƣợc nhƣ ví dụ Bảng 4.4 50 60 100 * 96 * 99 70 45 * 70 72 57 * 80 65 * 40 41 u1 = 100 * (-) * 25 38 (+) v1 = 5/3 V2 = v3 = 25/24 v4 = 100/41 λ - 112 - u2 = 100 λ u3 = 75 u4 = 95 ui Z i vj 100 100 75 95 60,19 / 25 / 24 100 / 41 j Nhận thấy cột có ô chọn (2, 4) nên x 24 = Z/a24 > Trên hàng có ô chọn (2, 1) (2, 4) nên x21 + x24 = Suy x21 = - x24 < 0, ghi dấu (-) vào ô (2, 1) nhƣ bảng Ta chuyển sang điều chỉnh phƣơng án x21 < nên u2 phải sửa, dóng theo dòng gặp ô chọn (2, 4) nhân tử cột v4 phải sửa Dóng theo cột không gặp ô chọn nữa, nhân tử khác giữ nguyên (những nhân tử phải sửa ta viết thêm chữ λ vào cạnh bên để đánh dấu nhƣ bảng trên) A = {(1, 4), (3, 4), (4, 4)}, λ = 100 75 95 , , 100 100 100 40 25 38 41 41 41 41 40 Cực tiểu đạt ô (1, 4) (4, 4) Lấy ô làm ô chọn thay ô (2, 1) bị loại, chẳng hạn ô (4, 4), ghi dấu (+) vào ô (4, 4) nhƣ bảng Xây dựng bảng với hệ thống ô chọn mới, hệ thống nhân tử theo hai cách: Hoặc ui' v j hàng i hay cột j có chữ λ, tính ui , v'j lại từ đầu cách đặt nhân tử cột vj = Bảng 4.5 50 100 * 96 60 99 70 * 40 41 45 * 70 72 57 * 80 65 V2 = v3 = 25/24 v4 = 5/2 v1 = 5/3 * - 113 - u1 = 100 * 25 38 u2 = 102,5 u3 = 75 * u4 = 95 ui Ta có Z i vj 100 102,5 75 95 / 25 / 24 / 60 j x12 + x13 = x24 = x31 + x33 = x41 + x44 = 45x31 + 57x41 = 60 100x12 = 60 96x13 + 72x33 = 60 41x24 + 38x44 = 60 Giải hệ ta tìm đƣợc: x24 = 1; x44 = 0,5; x41 = 0,5; x31 = 0,7; x33 = 0,3; x13 = 0,4; x12 = 0,6 Do xij ≥ nên phƣơng án tối ƣu cần tìm toán cho X* 0,6 0,4 0 0 0,7 0,3 0,5 0 0,5 với số sản phẩm đủ sản xuất đƣợc nhiều fmax= 60 - 114 - II BÀI TOÁN TRÕ CHƠI MA TRẬN MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Ví dụ trò chơi ma trận + Quy tắc chơi: Hai đối thủ P Q chơi, ngƣời có viên bi trắng (T) viên bi xanh (X) Cùng lúc (bằng hiệu lệnh đó) ngƣời lấy viên bi đặt lên bàn + Cách trả tiền: Q trả cho P đồng hai viên bi chọn màu, – đồng (nghĩa P trả cho Q đồng) hai viên bi chọn khác màu Trong trƣờng hợp đầu ta nói P thắng, Q thua; trƣờng hợp sau ta nói Q thắng, P thua Trò chơi tiếp tục nhƣ Số tiền trả hay – biểu thị số thu nhập hay số tổn thất P P mong muốn làm cực đại số thu nhập nên P đƣợc gọi người chơi max, Q mong muốn làm cực tiểu số thu nhập đối thủ P (hay cực tiểu số tổn thất mình) nên Q đƣợc gọi người chơi + Ma trận trò chơi: đƣợc thể nhƣ bảng 4.6 Bảng 4.6 Q S N S -1 N -1 P Ma trận A = 1 đƣợc gọi ma trận thu hoạch hay ma trận thắng hay ma trận trả tiền P Ví dụ dạng trò chơi ma trận hay gọi trò chơi đối kháng hai đối thủ với tổng (số thu hoạch ngƣời số tổn thất ngƣời kia) 1.2 Bài toán trò chơi ma trận Định nghĩa 4.3 Trò chơi ma trận trò chơi đƣợc xác định ma trận m hàng, n cột A = (aij)mxn với aij số thực tùy ý cho trƣớc Ma trận A đƣợc gọi ma trận - 115 - thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền) Phần tử aij biểu thị mức độ thắng (chẳng hạn số tiền mà Q phải trả cho P, thắng a ij > 0, thua aij < 0,hòa aij = 0) P P chọn cách chơi thứ i, Q chọn cách chơi thứ j Đối với ngƣời chơi P A ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền), ngƣợc lại ngƣời chơi Q - A ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền) Định nghĩa 4.4 Với i = 1, 2, …, m, véc tơ đơn vị thứ i X = (0, 0, …, 1, …, 0) m với số tọa độ thứ i, đƣợc gọi chiến lược đơn thứ i P Véc tơ chiến lƣợc thứ i biểu thị việc ngƣời chơi P chọn hàng i ma trận A Để đơn giản, thay nói chiến lƣợc đơn thứ i ta nói chiến lƣợc i Tƣơng tự, Với j = 1, 2, …, n, véc tơ đơn vị thứ j X = (0, 0, …, 1, …, 0) n với số tọa độ thứ j, đƣợc gọi chiến lược đơn thứ j Q Véc tơ chiến lƣợc thứ j biểu thị việc ngƣời chơi Q chọn hàng j ma trận A Để đơn giản, thay nói chiến lƣợc đơn thứ j ta nói chiến lƣợc j Chú ý trò chơi ma trận, thông tin cách chơi đối thủ cần đƣợc giữ kín Ở lần chơi, đối thủ không chọn cố định chiến lƣợc đơn ( hàng, cột) cụ thể mà lựa chọn phối hợp hàng (cột) theo tỷ lệ (xác suất) Vì thế, ta đến khái niệm chiến lƣợc hỗn hợp Định nghĩa 4.5 Véc tơ X = (x1, x2, …, xm) với xi 0,i 1,m x1 + x2 + …+ xm = 1, xi biểu thị xác suất để P chọn cách chơi thứ i, đƣợc gọi chiến lược hỗn hợp P Tƣơng tự, Véc tơ Y = (y1, y2, …, yn) với yj 0, j 1,n y1 + y2 + …+ yn = 1, yj biểu thị xác suất để Q chọn cách chơi thứ j, đƣợc gọi chiến lược hỗn hợp Q - 116 - 1.3 Hàm thu hoạch P Khi P chọn chiến lƣợc hỗn hợp X = (x1, x2, …, xm) Q chọn chiến lƣợc hỗn hợp Y = (y1, y2, …, yn) phần thắng P (cũng phần thua Q) đƣợc tính nhƣ sau: Nếu Q chọn chiến lƣợc đơn thứ (cột A) kỳ vọng thắng m P là: a11x1 + a21x2 + … + am1xm = a i1x i i Nếu Q chọn chiến lƣợc đơn thứ hai (cột A) kỳ vọng thắng P là: a12x1 + a22x2 + … + am2xm = m a i2 x i i … Nếu Q chọn chiến lƣợc đơn thứ n (cột n A) kỳ vọng thắng P là: a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm = m a in x i i Do Q chọn chiến lƣợc hỗn hợp Y = (y1, y2, …, yn) nên kỳ vọng thắng P là: m m a i1x i + y2 E(X, Y) = y1 i a i2 x i + … + yn i m n m j i a in x i = i a ijx i y j Định nghĩa 4.6 Hàm thu hoạch hay số thu hoạch P số thực n m E(X, Y) = a ijx i y j , j i X = (x1, x2, …, xm) Y = (y1, y2, …, yn) tƣơng ứng chiến lƣợc hỗn hợp P Q Ví dụ 4.3: Xét trò chơi cho ma trận chữ nhật (m = 3, n = 4): 3 1 - 117 - Xét cặp chiến lƣợc X = 4 Y = 1 1 Tính số thu 4 hoạch P? Q chọn cột 1: kỳ vọng thắng P là: 1/ 1/ 1/ 2,5 Q chọn cột 2: kỳ vọng thắng P là: 1/ 1/ 1/ 2,25 Q chọn cột 3: kỳ vọng thắng P là: 1/ 1/ 1/ Q chọn cột 1: kỳ vọng thắng P là: 1/ 1/ 4 1/ 2,25 Vậy số thu hoạch P là: E(X, Y) = 2,5 1/ 2,25 1/ 1/ 2,25 1/ 2,25 ĐIỂM YÊN NGỰA VÀ CHIẾN LƢỢC TỐI ƢU 2.1 Điểm yên ngựa Xét trò chơi cho ma trận trả tiền A = (aij) Nếu P chọn chiến lƣợc đơn thứ i P tin nhận đƣợc số thu hoạch a ij j Do P chọn chiến lƣợc đơn nên P chọn chiến lƣợc đơn làm cực đại số thắng cuộc, nghĩa P chọn i cho a ij lớn Bằng cách chọn j chiến lƣợc đơn này, P bảo đảm thắng max a ij i j Tƣơng tự, Q chọn chiến lƣợc đơn j, Q tin số tiền phải trả (tổn thất) nhiều max a ij Nhƣ Q cách chọn chiến lƣợc đơn làm cực tiểu số tổn i thất Bằng cách chọn chiến lƣợc đơn Q giữ cho P thắng nhiều (Q thua nhất) max a ij j i Định nghĩa 4.7 Nếu ma trận trả tiền A thỏa mãn điều kiện: max a ij = max a ij = ahk = v, i j j i ta nói trò chơi ma trận có điểm yên ngựa giá điểm yên ngựa phần tử ahk = v - 118 - Khi trò chơi có điểm yên ngựa ahk, P thắng v, P chọn chiến lƣợc đơn h Q thua nhiều v, Q chọn chiến lƣợc đơn k Khi h chiến lƣợc tối ƣu cho P k chiến lƣợc tối ƣu cho Q Ví dụ 4.4: Cho trò chơi với ma trận trả tiền 3 Ta có: a1j = a11 = a13 = 1, a 2j = a23 = 0, a 3j = a33 = j j j max a ij = = a33 i j max a i1 = a21 = 5, max a i2 = a22 = 4, max a i3 = a33 = 2, max a i4 = a34 = i i i i max a ij = = a33 j i Vậy giá điểm yên ngựa a33 = = v, ứng với cặp chiến lƣợc đơn X = (0, 0, 1) Y = (0, 0, 1, 0) Ta nhận xét a33 vừa phần tử nhỏ hàng 3, vừa phần tử lớn cột Bất điểm yên ngựa có tính chất Tổng quát, ta có ahk = v giá điểm yên ngựa h chiến lƣợc đơn tối ƣu P k chiến lƣợc đơn tối ƣu Q Tuy nhiên trò chơi ma trận có điểm yên ngựa, nghĩa có chiến lƣợc đơn tối ƣu Vì ta đến khái niệm chiến lƣợc hỗn hợp tối ƣu 2.2 Chiến lƣợc tối ƣu Định nghĩa 4.8 Nghiệm trò chơi ma trận cặp chiến lƣợc hỗn hợp X (x1 , x , , x m ),Y (y1, y , , y n ) số thực v, ký hiệu E( X , Y , v) cho: a E( X , Y ) = v, b E( X , j) v với chiến lƣợc đơn j = 1, 2, …, n, c E(i, Y ) = v với chiến lƣợc đơn i = 1, 2, …, m - 119 - X , Y tƣơng ứng gọi chiến lược tối ưu P Q, v gọi giá trò chơi Định nghĩa cho thấy P chọn cách chơi theo tỷ lệ cho chiến lƣợc tối ƣu X dù Q chơi nào, P thắng v Cũng vậy, Q chọn cách chơi theo tỷ lệ cho chiến lƣợc tối ƣu Y dù P chơi nào, Q thua nhiều v Giá v dƣơng, âm Định lý 4.9 ( Định lý minimax) Mọi trò chơi ma trận với phần tử dương, hàm thu hoạch E(X, Y) tồn giá tối ưu, hay ta có max E( X ,Y ) X Y m ax E( X ,Y ) = v Y X Nhận xét: 1) Mọi trò chơi ma trận, với aij > 0, có nghiệm ( X , Y , v) thỏa mãn E(X, Y ) ≤ E( X , Y ) = v ≤ E( X ,Y), với cặp chiến lƣợc hỗn hợp X, Y 2) Nếu ma trận trả tiền A có phần tử âm ta thay ma trận Ap = (aij + p), với aij + p > 0, cách chọn p = – min{aij: aij < 0} Ngƣời ta chứng minh đƣợc chiến lƣợc tối ƣu hai trò chơi ứng với ma trận trả tiền A Ap nhƣ nhau, đồng thời vp = v + p > 2.3 Trò chơi đối xứng 2.3.1 Định nghĩa Trò chơi đối xứng trò chơi có ma trận trả tiền A thỏa mãn điều kiện sau: a) A ma trận vuông cấp n; b) aii = 0,với i; c) aij = -aji, với i, j Ma trận A với tính chất a, b, c nhƣ gọi ma trận đối xứng lệch Ví dụ 4.5: Trò chơi dân gian: “One – Two -Three” (đọc chệch Oẳn tù tì) trò chơi ma trận với tập chiến lƣợc đơn giống cho hai đấu thủ: lần chơi, ngƣời chơi giơ tay hiệu chọn “Giấy” “Búa” “Kéo” với quy ƣớc: Giấy thắng Búa, Búa thắng Kéo, Kéo thắng Giấy Ma trận trả tiền có dạng: - 120 - Bảng 4.7 Q Giấy Búa Kéo Giấy -1 Búa -1 Kéo -1 P 2.3.2 Tính chất trò chơi đối xứng +) Nếu X = Y E(X, Y) = 0, nghĩa hai ngƣời chơi sử dụng chiến lƣợc nhƣ kỳ vọng thắng họ +) Giả sử chiến lƣợc tối ƣu hai ngƣời lần lƣợt X Y Khi X = Y v = E( X , Y ) = 0, nghĩa giá trò chơi đối xứng Chiến lƣợc tối ƣu cho trò chơi “Giấy – Búa – Kéo” X = Y = (1/3, 1/3, 1/3) với giá v = PHƢƠNG PHÁP TÌM CHIẾN LƢỢC TỐI ƢU CHO BÀI TOÁN TRÕ CHƠI MA TRẬN 3.1 Đƣa trò chơi ma trận toán quy hoạch tuyến tính Xét trò chơi ma trận A = (aij)mxn Theo định nghĩa định nghĩa toán P tìm véc tơ X = (x1, x2, …, xm) số v cho a11x1 + a21x2 + … + am1xm ≥ v (cộng theo cột 1), a12x1 + a22x2 + … + am2xm ≥ v (cộng theo cột 2), … a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm ≥ v (cộng theo cột n), x1 + x2 + … + xm = 1, xi ≥ 0, i = 1, 2, …, m Bài toán Q tìm véc tơ Y = (y1, y2, …, yn) số v cho a11y1 + a12y2 + … + a1nyn ≤ v (cộng theo hàng 1), a21y1 + a22y2 + … + a2nyn ≤ v (cộng theo hàng 2), … am1y1 + am2y2 + … + amnyn ≤ v (cộng theo hàng m), - 121 - y1 + y2 + … + yn = 1, yj ≥ 0, i = 1, 2, …, n Không tính tổng quát, ta giả thiết aij > v > Đặt x i' yj xi ,i 1,m y'j v x1' v x '2 x 'm , j 1,n Ta có y1' v y '2 y 'n v Ta thấy v số tiền mà P nhận đƣợc v số tiền mà Q phải trả nên P tìm cách làm cực đại v hay cực tiểu 1/v; Q tìm cách làm cực tiểu v hay cực đại 1/v Vì ta có cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu: Bài toán P: x1' x '2 x 'm f1 a11x1' a 21x '2 a m1x 'm a12 x1' a 22 x '2 a m2 x 'm a1n x1' a 2n x '2 a mn x 'm x i' 0,i 1,m Bài toán Q: y1' y'2 y'n f2 max a11y1' a12 y'2 a1n y'n a 21y1' a 22 y'2 a 2n y'n a m1y1' a m2 y'2 a mn y'n y'j 0, j 1,n Nhận xét + Hai toán lập thành cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Hơn nữa, rõ ràng hai toán có phƣơng án nên hai toán có m phƣơng án tối ƣu X' n x i ' i y'j max Y' j 1 v (Số tiền thắng nhỏ P số tiền thua lớn Q) - 122 - + Chiến lƣợc tối ƣu P1 P2 tƣơng ứng là: xi v x i' ,i 1,n y j v y 'j , j 1,n 3.2 Phƣơng pháp tìm chiến lƣợc tối ƣu cho toán trò chơi ma trận + Xét ma trận A thỏa mãn aij > 0, chƣa ta đƣa ma trận A ma trận Ap cho aij > 0, cách chọn p = – min{aij: aij < 0};Ap = (aij + p)mxn + Viết cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tƣơng ứng P Q + Giải hai toán phƣơng pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu Từ tìm phƣơng án tối ƣu cho toán lại + Từ phƣơng án tối ƣu X’ = ( x i' ) Y’ = ( y'j ) cặp toán đối ngẫu ta tìm đƣợc chiến lƣợc tối ƣu X* = (xi) Y* = (yj) P Q với xi v p x i' ,i 1,n y j v p y 'j , j 1,n , với vp = 1/f1; v* = vp - p Ví dụ 4.6: Tìm chiến lƣợc tối ƣu trò chơi ma trận A 2 1 2 Ta thấy – min{ aij: aij < 0} = 3, chọn p = Xét ma trận Ap nhƣ sau: 4 Ap Mọi phần tử Ap dƣơng nên vp > Cặp toán đối ngẫu P Q là: (P) f1 x1' x '2 x3' 6x1' 2x '2 5x 3' 3x1' 4x '2 6x 3' 4x1' 2x '2 x 3' x1' 0, x '2 0, x 3' - 123 - (Q) y1' y'2 f2 y3' max 6y1' 3y '2 4y3' 2y1' 4y'2 2y3' 5y1' 6y'2 y3' y1' 0, y'2 0, y3' Ta giải toán (Q) Đƣa toán (Q) dạng tắc nhƣ sau: y1' y'2 f2 6y1' 3y'2 y3' 4y3' y '4 2y1' 4y'2 5y3' 5y1' 6y'2 y'j y5' y3' y'6 0, j 1,6 Chọn sở {A4, A5, A6} với phƣơng án cực biên xuất phát ta có bảng đơn hình nhƣ sau Bảng 4.8 Bảng Cơ sở Hệ số Số Ai ci A4 I A5 A6 Tọa độ xio -1 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 0 0 0 1 1 0 0 1/2 7/2 7/2 -1/2 1/3 -4/3 4/3 -2/3 -1 1/6 5/6 1/6 0 1/6 F(X) = -1/6 1/6 0 -1/6 A3 -1 1/7 1 2/7 -1/7 A5 1/7 -8/3 0 -8/21 -6/7 A2 -1 1/7 2/3 -1/21 4/21 -2/3 0 -5/21 -1/21 A4 III -1 f(X) = -10 II -1 A5 A2 F(X) = -2/7 - 124 - 5/6 Tại bảng III ta thấy j j = 1,6 nên phƣơng án tối ƣu toán (Q) 0, là: Y’ = (0, 1/7, 1/7, 0, 1/7, 0) Suy phƣơng án tối ƣu toán (Q) Y’ = (0, 1/7, 1/7) f1 = f1 = 2/7 = 1/vp Ta có Y’ = (0, 1/7, 1/7) thỏa mãn lỏng ràng buộc sau y'2 y3' 2y1' 4y'2 , 2y3' nên theo định lý lệch bù ta có 3x1' 4x '2 6x 3' 4x1' 2x '2 x 3' x '2 x1' / 21 x '2 x 3' / 21 Phƣơng án tối ƣu toán (P) X’ = (5/21, 0, 1/21) Nghiệm trò chơi là: + Chiến lƣợc tối ƣu P là: X* = v.X’ = 7/2.(5/21, 0, 1/21) = (5/6, 0, 7/42) + Chiến lƣợc tối ƣu Q là: Y* = v.Y’ = 7/2.(0, 1/7, 1/7) = (0, 1/2, 1/2) + Giá trò chơi: v* = vp – p = 7/2 – = -1/2 - 125 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Đông, Ngô Văn Thứ, Hoàng Đình Tuấn, Giáo trình mô hình toán kinh tế, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [2] Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [3] Phạm Đình Phùng, Nguyễn Văn Quý, Giáo trình mô hình toán kinh tế, Nhà xuất tài Hà Nội, 2002 [4] Trần Túc, Quy hoạch tuyến tính, Đại học Kinh tế Quốc dân, 2001 [5] Trần Vũ Thiệu, giáo trình tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 - 126 - [...]... có mô hình toán học nhƣ sau: Tìm ma trận X = (xij)3x3 sao cho: f(X) = 15x11 + 17x 12 + 14x13 + 12x21 + 10x 22 + 11x23 + 20 x31 + 16x 32 + 21 x11 min x11 + x 12 + x13 = 80 x21 + x 22 + x24 = 60 x31 + x 32 + x33 = 100 x11 + x21 x21 + x31 + x 22 x13 110 + x 32 + x23 xij 90 + x33 110 0, i 1,3, j 1,3 b Ta lập thêm trạm phát giả A4 với luợng hàng tƣợng trƣng cần chuyển đi là: 3 3 bj a4 j 1 a i = 310 - 27 0 = 70 đơn...Bảng 3.3 T 30 P 20 25 35 40 30 13 7 6 2 12 20 5 1 10 5 11 40 10 5 3 7 14 60 6 3 2 11 10 Giải: Trên bảng vận tải 3.3, ta thấy ô (2, 2) có cƣớc phí nhỏ nhất c 22 = 5 Phân vào ô đó lƣợng hàng lớn nhất có thể đƣợc là x 22 = 20 Khi đó trạm phát A2 hết hàng và trạm thu B2 nhận đủ hàng, trạm phát A1 còn 80 đơn vị hàng Xóa bỏ hàng 2, cột 2, lặp lại công việc trên sau một số hữu hạn... phát sau: - 89 - i = 1,4 Khi Bảng 3 .28 T 100 20 0 150 140 110 150 17 19 14 12 0 20 0 23 15 16 10 0 20 0 18 20 19 19 0 150 24 19 13 18 0 P - Tìm phƣơng án cực biên xuất phát: Dùng phƣơng pháp Fogels, ta thu đƣợc phƣơng án cực biên nhƣ bảng 3 .29 Bảng 3 .29 T 100 20 0 150 140 110 P 150 20 0 20 0 150 17 19 14 12 0 16 10 0 2, 5x 150 23 15 100 18 50 20 50 19 19 150 24 19 13 0 0 90 1x 1,1x 3,3x 1,1,1 50 18 7,1,5... T 25 P 35 42 53 5 45 4 8 7 6 0 38 10 12 3 9 0 57 7 5 4 12 0 20 11 1 5 8 0 - Tìm phƣơng án cực biên xuất phát: Dùng phƣơng pháp cƣớc phí bé nhất, ta thu đƣợc phƣơng án cực biên X0 nhƣ bảng 3.17 Bảng 3.17 T 25 P 45 38 57 20 4 35 8 42 7 53 6 25 10 5 0 20 12 3 9 0 12 0 38 7 5 4 15 11 1 4 5 33 8 20 Tập ô cơ sở J0 là tập các ô chọn nhƣ bảng trên - 80 - 5 0 Bảng 3.18 4 8 25 10 7 (3) 11 v1=10 7 12 5 6 - 0 20 ... nhƣ ở bảng 3 .24 - 85 - (i, j) J0, ta thu Bảng 3 .24 15 12 17 10 (2) 80 11 (3) 60 20 16 70 0 14 0 21 30 0 u1 = 14 u2 = 14 u3 = 20 40 30 v1 = 0 v2 = -4 v3 = 0 - Kiểm tra tiêu chuẩn tối ƣu: tính ij u4 = 0 = ui + vj – cij đối với các ô loại, thấy ô (2, 1) và (2, 3) vi phạm tiêu chuẩn tối ƣu - Điều chỉnh phƣơng án: lấy ô (2, 3) làm ô điều chỉnh, ta đƣợc vòng điều chỉnh V = { (2, 3), (2, 2) , (3, 2) , (3, 1),... loại, ô (2, 3) có hàng trở thành ô chọn, đồng thời ta có cơ sở mới J1 Bảng 3 .25 15 (2) 12 17 10 (2) 20 14 80 11 30 30 u1 = 17 u2 = 14 16 21 u3 = 20 40 60 0 0 0 u4 = 0 70 v1 = 0 v2 = -4 v3 = -3 Xây dựng hệ thống thế vị, nhƣ bảng trên và kiểm tra tiêu chuẩn tối ƣu, ta nhận thấy ô (1, 1) và ô (2, 1) vi phạm - 86 - Lấy ô (2, 1) làm ô điều chỉnh, ta đƣợc vòng điều chỉnh: V = { (2, 1), (3, 1), (3, 2) , (2, 2) }... 12 25 15 12 11 1 5 8 20 V1=7 v2 = 5 V3 = 4 v4=10 u2 = -1 0 5 0 v5 = 0 u3 = 0 u4 = -4 - Xây dựng hệ thống thế vị: dùng công thức ui + vj = cij, (i, j) J2, ta đƣợc hệ thống thế vị nhƣ bảng 3 .20 - Kiểm tra tiêu chuẩn tối ƣu: ij 0, phƣơng án tối ƣu: X2 0 0 0 45 0 0 0 30 8 0 25 15 12 0 5 0 20 0 0 0 Phƣơng án tối ƣu của bài toán gốc là: - 82 - (i, j) Vậy phƣơng án cực biên X2 là X 0 0 0 45 0 0 30 8 , 25 ... phƣơng án cực biên xuất phát X0 nhƣ bảng 3.7 Bảng 3.7 T P 20 45 55 X0 30 4 25 40 25 2 10 6 8 12 20 1 3 30 5 5 3 10 9 7 30 0 20 0 0 30 5 10 0 0 0 30 25 Phƣơng án cực biên X0 có cơ sở J0 là tập các ô chọn - 73 - 25 Bảng 3.8 4 2 10 - 20 1 3 - 12 5 3 10 v1 = 0 7 30 V2 = 2 u2 = 1 - 9 (1) - u1 = 0 - 8 30 5 6 25 v3 = 7 u3 = 2 v4 = 5 - Xây dựng hệ thống thế vị: từ công thức ui + vj = cij (i, j) J0, cho u1 =... lẻ, ta đƣợc phƣơng án cực biên thứ X2 nhƣ bảng 3 .26 Bảng 3 .26 15 17 (0) 12 10 30 20 16 10 90 0 0 70 v1 = 0 v2 = -4 14 80 11 30 u1 = 15 u2 = 12 21 u3 = 20 0 u4 = 0 v3 = -1 Xây dựng hệ thống thế vị, kiểm tra thấy ij 0, (i, j) Vậy phƣơng án cực biên thứ X2 là phƣơng án tối ƣu của bài toán cân bằng thu phát X2 0 0 80 30 0 30 10 90 0 70 0 0 Vậy phƣơng án tối ƣu của bài toán gốc là: X 0 0 80 30 0 30 10 90... 4 2 10 - 20 1 3 30 5 - v1 = 2 12 15 9 5 v2 = 3 u1 = - 1 (0) 8 3 - 6 u2 = - 1 7 25 V3 = 9 - 74 - 25 v4 = 7 u3 = 0 - Xây dựng hệ thống thế vị: từ công thức ui + vj = cij (i, j) J1, cho u3 = 0, ta đƣợc hệ thống thế vị nhƣ ở bảng 3.9 Tính ij, ta thấy ij 0, (i, j) Vậy phƣơng án cực biên X1 là phƣơng án tối ƣu của bài toán X1 0 20 0 0 30 0 15 0 , 0 5 25 25 tổng cƣớc phí vận chuyển nhỏ nhất là: f(x) = 2. 20 ... 1n + c 21 x 21 + c22x 22 + … + c2nx2n + … + cm1x m1 + cm2xm2 + … +c mnx mn x11 + x 12 + … + x 1n = a1 x 21 + x 22 + … + x2n = a2 ………………………………………………………………… x m1 + xm2 + … +x mn = am + x21 + ………… …... T 25 P 45 38 57 20 35 42 53 25 10 20 12 12 38 15 11 33 20 Tập ô sở J0 tập ô chọn nhƣ bảng - 80 - Bảng 3.18 25 10 (3) 11 v1=10 12 - 20 u1 = -6 38 (2) 12 15 33 5 (0) 20 v2 = V3 = V4= 12 v5 = u2... mô hình toán học nhƣ sau: Tìm ma trận X = (xij)3x3 cho: f(X) = 15x11 + 17x 12 + 14x13 + 12x21 + 10x 22 + 11x23 + 20 x31 + 16x 32 + 21 x11 x11 + x 12 + x13 = 80 x21 + x 22 + x24 = 60 x31 + x 32 + x33