Bài giảng toán kinh tế phần 2 TS trần ngọc minh

Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng CHƯƠNG BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 4.1 Một số khái niệm 4.1.1 Định nghĩa đồ thị hữu hạn a) Đồ thị hữu hạn (Graph) cặp tập hợp; ký hiệu G = {X.A}, X = {x1, x2, , xn} tập hữu hạn điểm (đỉnh, nút) A = {(i, j)} tập hợp cạnh (cung) nối tất phần điểm xi  X lại với nhau, cách nối điểm i với điểm j, ký hiệu (i, j) Thí dụ 4.1 G = {X.A}, X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7} A = {(1,2), (2,1), (1,4),(1,3), (2,5), (4,3), (3,5), (3,6), (3,7), (5,7), (4,6), (6,7)} x5 x2 x7 x1 x3 x6 PT IT x4 Hình 4.1 Đồ thị vô hướng: Ký hiệu {G  X.A} X tập đỉnh (nút, điểm) A tập nhánh Nhánh cặp không kể đến thứ tự hai đỉnh khác xi xj với xi  X, xj  X, ký hiệu (i, j) Vậy (xi, xj) = (xj, xi) đồ thị vô hướng Cung gọi cạnh có hướng Cung (xi, xj) gọi nối đỉnh xi với đỉnh xj Cấp đỉnh số cung nối tới Cấp đồ thị cấp cực đại cấp đỉnh Một đường từ đỉnh x1 đến đỉnh xt t nút khác x1, x2, , xk cho (xk , xk+1) A với k= 1, 2, , t-1 Chu trình (mạch vòng) t đỉnh: x1, x2, , xt cho x1, , xt-1 đường đi, xt ≡ x1 có ba đỉnh khác (tức t - ≥ 3) Đồ thị vô hướng gọi liên thông ứng với cặp xi, xj  X có đường từ xi đến xj Số đỉnh đồ thị thường ký hiệu n số nhánh m Đồ thị có hướng: Ký hiệu G = {X.A} nhánh là cặp có thứ tự Vì (xi , xj) ≠ (xj, xi) Nhưng đồ thị không chứa cung tự nối dạng (xi, xi) Thí dụ 4.2: Hình 4.2 đồ thị có hướng x1 G = {X.A}.Với X = {x1, x2, x3, x4, x5} A ={(x1,x2),(x2,x1),(x1,x3),(x1,x4),(x3,x2),(x4,x3), (x3,x5)} Ta x4 nói cung (xi, xj) ký hiệu (i, j) từ đỉnh i đến đỉnh j Đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng đồ x thị nhận không tính đến hướng cung Đồ thị có hướng liên thông đồ thị vô hướng tương ứng liên thông Hình 4.2 x3 x5 119 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng PT IT Mỗi đường đồ thị vô hướng tương ứng gọi đường đồ thị có hướng Nhưng đồ thị chứa hai cung (i, j) (j, i), nên để xác định đường phải nói rõ dãy đỉnh x1, , xt dãy cung a1, , at-1 Khi cung ak có dạng "thuận" ak = (ik, ik+1) ta nói ak cung tiến đường Ngược lại ak = (ik+1, ik) ak cung lùi Chu trình định nghĩa đồ thị vô hướng, cho phép chu trình gồm hai đỉnh khác nhau.Một đường chu trình gọi có hướng chứa cung tiến Trong hình 4.2 (1,3), (3,2), (2,1) chu trình có hướng Nhưng (1,3), (1,2), (3,2) chu trình hướng (1,3) (3,2) cung lùi Đường tối giản đường qua đỉnh đường lần Tương tự chu trình tối giản chu trình mà đỉnh đồ thị gặp lần, từ đỉnh đến đỉnh cuối 4.1.2 Các yếu tố khác đồ thị a Ánh xạ ánh xạ ngược: - Một ánh xạ đỉnh xi đồ thị G = {X.A}ký hiệu Г(xi) tập hợp đỉnh cuối tất cung có đỉnh đầu xi Thí dụ hình 4.2: Г(x1) = {x2, x3, x4} - Ánh xạ ngược đỉnh xj đồ thị G ={X.A}ký hiệu Г-1(xi) tập hợp đỉnh đầu tất cung có đỉnh cuối xj Chẳng hạn hình 4.3: Г-1(x3) = {x1, x4} b Cây Đồ thị vô hướng gọi liên thông không chứa chu trình Mỗi đỉnh cấp gọi Định lý 4.1: - Mỗi có đỉnh có - Đồ thị vô hướng liên thông có n- cung - Với hai đỉnh xi ≠ xj có tồn đường từ xi tới xj - Nếu thêm cạnh vào đồ thị nhận có chu trình Cây bao trùm:(cây tối đại) đồ thị liên thông, vô hướng   G  X A G mà chứa tất đỉnh G Vậy bao trùm T có dạng T = {X.A1} A1  A Định lý 4.2 Giả sử {G  X.A} đồ thị vô hướng liên thông A0  A Nếu cung A0 không tạo thành chu trình bổ sung thêm cung đồ thị vào A0 để tập A1 cho {X A1} bao trùm Trong hệ thống kỹ thuật, người ta thường sử dụng loại sau đây: - Cây người chào hàng: Là đường qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh qua lần - Cây có chiều dài ngắn nhất: Là đường nhận từ đồ thị cách loại khỏi cung theo trình tự giảm dần chiều dài cung kiểm tra tính liên thông đồ thị, đưa dần vào cung vào đồ thị theo trình tự tăng dần chiều dài cung cấm không tạo thành chu trình - Cây Steiner: Nếu cho phép đưa thêm vào tập hợp đỉnh đồ thị đỉnh phụ độ dài ngắn giảm xuống Đỉnh phụ đưa thêm vào đồ thị có nhánh cách 1200 gọi đỉnh Steiner c Lát cắt: tập hợp nhánh cho loại chúng khỏi đồ thị đồ thị trở nên không liên thông 120 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng PT IT Lát cắt gọi phân chia hai đỉnh xi xj đồ thị, sau loại lát cắt khỏi đồ thị hai đỉnh xi xj không liên hệ với Lát cắt tối giản lát cắt không chứa lát cắt khác d Đồ thị phẳng đồ thị không phẳng: - Đồ thị G = (X.A) gọi đồ thị phẳng biểu diễn mặt phẳng mặt cầu cho hai cạnh cắt - Đồ thị không thỏa mãn điều kiện gọi đồ thị không phẳng e Đồ thị đối ngẫu Đối với đồ thị G = (X A), cặp đỉnh ta gọi đỉnh vào (đỉnh đầu) đỉnh (đỉnh cuối) ta xây dựng đồ thị đối ngẫu G' = {X'.A} theo trình tự sau đây: - Vẽ thêm cung nối liền hai đỉnh "vào" "ra" đồ thị G = {X.A} - Trong "diện" G = {X.A}("diện" phần đồ thị giới hạn cung mà bên không chứa cung khác đồ thị), kể diện (diện phần mặt phẳng không giới hạn cung đồ thị) ta đặt đỉnh x' tập X' đồ thị đối ngẫu xây dựng - Nối đỉnh tập X' lại với cung, cắt cung tương ứng đồ thị phẳng ban đầu, số cung đồ thị đối ngẫu số cung đồ thị phẳng ban đầu Hướng cung đồ thị đối ngẫu xác định sau: Nếu cung đồ thị đối ngẫu từ đỉnh nằm bên diện đồ thị phẳng ban đầu cắt cung G ={X.A} có hướng thuận với chiều kim đồng hồ theo mạch vòng đa diện, hướng cung xét đồ thị đối ngẫu từ bên diện bên diện ngược lại Nếu cung đồ thị phẳng ban đầu hướng cung tương ứng G' = {X'.A} hướng Hình 4.3a 4.3b cho thí dụ cách xây dựng đồ thị đối ngẫu 6' 2' `` a1 a2 a7 a3 3' a1 a4 a2 3' ' a5 5' a4 4' a8 a8 a6 a7 a9 6' ' a5 4' a9 a6 a3 5' 1' Hình 4.3 a Hình 4.3 b - Tính đối ngẫu đường lát cắt đồ thị phẳng Đối với đồ thị phẳng G = {X.A}, tương ứng với cặp đỉnh "vào", "ra", ta dựng đồ thị đối ngấu G' = {X'.A} 121 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng Đường G = {X.A} tương ứng với lát cắt G' = {X'.A} ngược lại Ta có cặp đối ngẫu sau: Trong G' = {X'.A} Lát cắt Đường Trong G = {X.A} Đường Lát cắt - Ý nghĩa mạng đối ngẫu: Giả sử ta phải chuyển lượng hàng bi > từ đỉnh i = 1, 2, , n-1 tới đỉnh n theo mạng riêng Khi nghiệm tối ưu toán dòng mạng cho ta cách vận chuyển tốt Lại giả sử có công ty vận tải mở dịch vụ vận chuyển từ đỉnh i đến đỉnh n (theo mạng họ) với giá vận chuyển đơn vị hàng pi Nếu (i, j) cung mạng riêng ta phí tổn vận chuyển đơn vị hàng cung cij, ta tự chuyển hàng từ i đến j giao cho công ty vận tải chuyển nốt đến đỉnh n, với giá đơn vị cij + pi Công ty vận tải biết véc tơ b c tìm cách bao hết việc vận chuyển hàng ta, kể cung (i, j) Khi họ phải giá để cạnh tranh pi ≤ cij + pj pn = Với giá đủ hấp dẫn này, coi ràng buộc, n 1 mục đích họ tất nhiên làm cực đại doanh thu p b i i Vậy toán công ty PT IT i 1 toán đối ngẫu với toán tự vận chuyển ta Định lý đối ngẫu mạnh quy hoạch tuyến tính nói doanh thu tối ưu công ty phí tổn tối ưu ta tự vận chuyển mạng riêng Nói cách khác, hai phía tìm cách vận chuyển tối ưu giá công ty đặt cước phí 4.1.3 Biểu diễn đồ thị dạng ma trận a Ma trận liên hệ trực tiếp Giả sử cho đồ thị G = {X A}, ma trận liên hệ trực tiếp ký hiệu A = {aij}, xác định sau: 1 , G = {X.A} có cung (i, j) (kể cung tự nối) a ij   , G = {X.A} cung (i, j) 0 Thí dụ 4.3 Cho đồ thị G = {X.A} hình 4.4 Khi ma trận liên hệ trực tiếp đồ thị cho bảng 4.1 Bảng 4.1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 122 Bài giảngToán kinh tế ` Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng a3 x2 a1 x1 a2 x3 a9 a4 a8 x6 a5 a10 x4 a7 x5 a6 Hình 4.4 Với đồ thị G = {X.A}ta có ma trận liên hệ trực tiếp tương ứng, xác định đầy đủ cấu trúc đồ thị Tổng phần tử theo dòng bảng 4.1 cho ta số cung khỏi đỉnh xi, tổng phần tử theo cột cho ta số cung vào đỉnh xi b Ma trận liên hệ cung nút Cho đồ thị G = {X.A} có n đỉnh m cung Ma trận liên hệ cung nút đồ thị, ký hiệu B = {bij}, có kích thước m×n với phần tử xác định sau: PT IT 1 , xi đỉnh đầu cung aj  b ij  - 1, xi đỉnh cuối cung aj 0 , xi đỉnh đầu đỉnh  cuối cung aj cung aj cung tự nối Thí dụ 4.4 Đối với đồ thị cho hình 4.4 ma trận cung nút có dạng bảng 4.2 Bảng 4.2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 x1 1 0 0 -1 -1 x2 -1 0 0 0 0 x3 -1 0 -1 0 0 x4 0 0 -1 0 0 x5 0 -1 -1 0 x6 0 0 0 1 Vậy cột B có hai phần tử khác không -1; đỉnh đầu đỉnh cuối cung tương ứng cột Khi xét hàng ta thấy hàng i ứng với đỉnh i ràng buộc là: a Ti x  x - x ij jO(i) ji  bi jI(i) a iT x hàng i ma trận B Như vậy, phần tử khác (là -1) hàng i B cột có nghĩa cung tương ứng cột có nối tới đỉnh i (1 ứng với cung từ đỉnh i, -1 ứng với cung vào đỉnh i) Ma trận B gọi ma trận nối cung - nút gọi tắt ma trận nối Nhận xét tổng tất hàng B véc tơ Vì n hàng B phụ thuộc tuyến tính Vì vậy, bỏ hàng (nếu toán chấp nhận được), thường hàng ứng với đỉnh đồ thị 123 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng 4.2 Bài toán đường ngắn 4.2.1 Ý nghĩa nội dung toán Bài toán đường ngắn toán quan trọng nảy sinh từ nhiều toán thực tế vận tải, mạng thông tin, điều khiển tối ưu, Có thể phát biểu dạng toán học chung cho toán thành toán dòng mạng sau Cho đồ thị có hướng G = {X.A} Mỗi cung (i, j) có cước phí cij > độ dài cung Để tìm đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh r ta thấy cần tính nhiều chí đường ngắn từ đỉnh khác đỉnh r tới đỉnh r Vì người ta gọi toán đường ngắn toán tìm đường ngắn từ đỉnh X tới đỉnh r thuộc X cho trước, gọi đỉnh gốc Để đưa toán dòng mạng, đặt bi = cho đỉnh i ≠ r br  -  bi ir PT IT Ta giải toán đường ngắn thuật toán đơn hình mạng Đường ngắn từ đỉnh i tới đỉnh r cung thuộc bao trùm tối ưu T nối từ đỉnh i đến đỉnh r (đây đường có hướng, đường cung lùi) Có nhiều cách để giải toán tìm đường ngắn nhất, khuôn khổ giảng ta nghiên cứu thuật toán tỏ có hiệu nhất, thuật toán gán nhãn Dijkstra công bố năm 1959 Ý tưởng thuật toán tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh gốc ký hiệu n, đỉnh có đường ngắn cả, theo thứ tự đỉnh có đường ngắn làm trước Cụ thể gán cho đỉnh đồ thị số gọi nhãn đỉnh Cho đỉnh vào đồ thị x1 có nhãn 0, sau cung từ x1 đến đỉnh xj, j  Г(x1), ta chọn cung có độ dài nhỏ gán nhãn cố định cho nó.Tiếp theo cung từ đỉnh có nhãn cố định đến đỉnh có nhãn tạm thời ta lại chọn cung cho độ dài cộng với nhãn đỉnh gán nhãn nhỏ nhất, giá trị gán cho đỉnh cuối đường Quá trình tiếp tục đỉnh cuối (đỉnh gốc) gán nhãn cố định 4.2.2 Thuật toán Dijkstra Cho đồ thị G = {X.A}, tìm đường ngắn từ xs đến xt, ký hiệu L(xi) nhãn đỉnh xi (i = 1, n ) Thuật toán sau: Bước 1: Đặt L(x1) = L(xs) = +0 coi nhãn cố định Đặt L(xi) = +∞ với i≠1 xem đỉnh có nhãn tạm thời Gán xp ≡ xs Bước 2: Với tất đỉnh xi  Г(xp) có nhãn tạm thời thay đổi nhãn tạm thời theo điều kiện sau: L(xi) = Min{L(xi); L(xp) + cpi} (4.1) Bước 3: Trong số đỉnh có nhãn tạm thời (cũ thay đổi) ta tìm đỉnh j có nhãn tạm thời thỏa mãn điều kiện: L*(xj) = Min{L(xi)│L(xi) có nhãn tạm thời mới} (4.2) Coi nhãn đỉnh xj ứng với điều kiện (4.2) nhãn cố định đặt xp ≡ xj chuyển sang bước sau Bước 4: a Nếu cần tìm đường ngắn từ đỉnh xs đến đỉnh xt có hai trường hợp xảy ra: - Khi xp≡xt L(xp) chiều dài đường ngắn cần tìm Thuật toán dừng - Khi xp ≠ xt quay lại bước 124 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng PT IT b Nếu cần tìm đường ngắn từ đỉnh xs đến đỉnh lại đồ thị, có hai trường hợp xảy ra: - Khi nhãn tất đỉnh nhãn cố định trị số nhãn đỉnh xj (j ≠ s) chiều dài đường ngắn từ đỉnh xs đến đỉnh xj đồ thị G = {X.A} - Nếu đồ thị đỉnh có nhãn tạm thời quay lại bước Thí dụ 4.5 Cho đồ thị G ={X.A} thể ma trận khoảng cách cho bảng 4.3 Các trị số ô biểu thị độ dài đường từ i đến j.(đơn vị tính: km) Hãy vẽ đồ thị G tìm đường ngắn từ đỉnh x1 đến tất đỉnh lại Bảng 4.3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 10 12 x1 10 18 13 x2 18 25 20 x3 25 16 x4 10 x5 20 10 14 15 x6 14 24 x7 23 x8 12 13 24 x9 Giải toán thuật toán Dijkstra: 18 x2 x3 25 10 x1 13 20 x4 14 x7 24 12 x9 16 x6 10 15 x8 x5 23 Hình 4.5 Vòng lặp 1: Bước 1: Đặt L(x1) = +0; L(xi) = +∞  i ≠ Đặt xp ≡ x1 → B2 Bước 2: Г(xp) = Г(x1) = {x2, x7, x8, x9}, đỉnh x2, x7, x8, x9 thay nhãn tạm thời sau: L(x2) = Min{L(x2); L(xp)+cp2} = Min{+∞; + 10} = 10 L(x7) = Min{L(x7); L(xp)+cp7} = Min{+∞; + 3} = L(x8) = Min{L(x8); L(xp)+cp8} = Min{+∞; + 6} = L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{+∞; + 12} = 12 Bước 3: Gán nhãn có định 125 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng PT IT L*(xi) = Min{L(x2), L(x7), L(x8), L(x9), L(x3), L(x4), L(x5), L(x6) = Min{10, 3, 6, 12, +∞, +∞, +∞, +∞, +∞} = 3- ứng với đỉnh x7 Gán xp ≡ x7 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 2: Bước 2: Г(xp) = Г(x7) = {x2, x4, x6, x9}, đỉnh x2, x4, x6, x9 thay nhãn tạm thời sau: L(x2) = Min{L(x2); L(xp)+cp2} = Min{10; + 2} = L(x4) = Min{L(x4); L(xp)+cp4} = Min{+∞; + 4} = L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{+∞; + 14} = 17 L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{12; + 24} = 12 Bước 3: Gán nhãn có định L*(xi) = Min{L(x2), L(x8), L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5), = Min{5, 6, 12, 7, 17 +∞, +∞, +∞, +∞, +∞} = 5- ứng với đỉnh x2 Gán xp ≡ x2 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 3: Bước 2: Г(xp) = Г(x2) = {x3, x9}, đỉnh x3, x9 thay nhãn tạm thời sau: L(x3) = Min{L(x3); L(xp)+cp3} = Min{+∞; + 18} = 23 L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{12; + 13} = 12 Bước 3: Gán nhãn có định L*(xi) = Min{L(x8), L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5), = Min{ 6, 12, 7, 17, 23 +∞} = 6- ứng với đỉnh x8 Gán xp ≡ x8 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 4: Bước 2: Г(xp) = Г(x8) = {x5, x6, x9}, đỉnh x5, x6, x9 thay nhãn tạm thời sau: L(x5) = Min{L(x5); L(xp)+cp5} = Min{+∞; + 23} = 29 L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; + 15} = 17 L(x9) = Min{L(x9); L(xp)+cp9} = Min{12; + 5} = 11 Bước 3: Gán nhãn có định L*(xi) = Min{L(x9), L(x4), L(x6), L(x3), L(x5), = Min{ 11, 7, 17, 23, 29} = 7- ứng với đỉnh x4 Gán xp ≡ x4 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 5: Bước 2: Г(xp) = Г(x4) = {x3,x5, x6}, đỉnh x3,x5, x6 thay nhãn tạm thời sau: L(x3) = Min{L(x3); L(xp)+cp3} = Min{23; + 25} = 23 L(x5) = Min{L(x5); L(xp)+cp5} = Min{29; + 5} = 12 L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; + 16} = 17 Bước 3: Gán nhãn có định L*(xi) = Min{L(x9), L(x6), L(x3), L(x5), = Min{ 11, 17, 23, 12} = 11- ứng với đỉnh x9 Gán xp ≡ x9 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 6: Bước 2: Г(xp) = Г(x9) = {x6}, đỉnh x6 thay nhãn tạm thời sau: L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; 11 + 9} = 17 Bước 3: Gán nhãn có định 126 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng PT IT L*(xi) = Min{L(x6), L(x3), L(x5)} = Min{ 17, 23, 12} = 12- ứng với đỉnh x5 Gán xp ≡ x5 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 7: Bước 2: Г(xp) = Г(x5) = {x6}, đỉnh x6 thay nhãn tạm thời sau: L(x6) = Min{L(x6); L(xp)+cp6} = Min{17; 12 + 10} = 17 Bước 3: Gán nhãn có định L*(xi) = Min{L(x6), L(x3)} = Min{ 17, 23} = 17- ứng với đỉnh x6 Gán xp ≡ x6 → B4 Bước 4: Đồ thị có nhãn tạm thời → B2 Vòng lặp 8: Bước 2: Г(xp) = Г(x6) = {x3}, đỉnh x3 thay nhãn tạm thời sau: L(x3) = Min{L(x3); L(xp)+cp3} = Min{23; 17 + 20} = 23 Bước 3: Gán nhãn có định L*(xi) = Min{L(x3)} = Min{ 23} = 23- ứng với đỉnh x3 Gán xp ≡ x6 → B4 Bước 4: Đồ thị không nhãn tạm thời Stop Chú ý: - Để tìm lộ trình đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh lại ta đỉnh gốc lần ngược lại liên quan hệ sau: L*(xj) - cij = L*(xi) (4.3) xj đỉnh nằm liền kề trước đỉnh xi đường ngắn từ đỉnh xs đến đỉnh xj - Nếu đường ngắn từ đỉnh xs đến đỉnh xt cạnh cung (i, j) đường ngắn tạo nên có gốc xs xt.Nếu đường không có nhiều tương ứng - Thuật toán Dijkstra áp dụng cij ≥ Trong trường hợp tổng quát, cij âm, có thuật toán giải riêng 4.3 Mạng liên thông 4.3.1 Nội dung ý nghĩa toán a Nội dung toán: Cho đồ thị vô hướng đối xứng G  X.A , với tập X = {x1, x2, , xn}; tập A = {a1, a2, , am}, cạnh đồ thị gán số không âm, gọi độ dài cạnh Hãy tìm bao trùm có tổng độ dài cạnh nhỏ nhất? Theo định nghĩa đồ thị liên thông không chứa chu trình Cây đồ thị liên thông n đỉnh gồm n-1 cạnh không chứa chu trình b Ý nghĩa toán: Nếu coi đỉnh đồ thị điểm cần đặt máy điện thoại cố định thuê bao nên thiết kế mạng đường dây theo cạnh để tổng chiều dài đặt dây nhỏ tính từ tổng đài nội hạt đến thuê bao Hoặc phải thiết kế hệ thống cáp truyền thông để cung cấp thông tin đến địa phương vùng từ trung tâm viễn thông cho tiết kiệm cáp Nếu xem đỉnh đồ thị thành phố trung tâm huyện lỵ, muốn xây dựng mạng lưới giao thông nối liền tất điểm lại cho tổng kinh phí xây dựng nhỏ 4.3.2 Thuật toán Prim Ta tìm bao trùm đồ thị cho tổng độ dài cạnh thuộc nhỏ theo thuật toán đơn giản sau Prim đề xuất Đầu tiên ta chọn cạnh ngắn đồ thị làm 127 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng gốc Sau đó, cắt tất cạnh có đầu mút thuộc phần chọn đầu mút ta chọn cạnh có độ dài nhỏ nối vào Quá trình tiếp tục có đủ n - cạnh ta nhận bao trùm có tổng độ dài nhỏ Có thể có nhiều vậy, tổng độ dài Có thể làm ngược lại, đồ thị chọn cạnh có độ dài lớn "xóa" khỏi đồ thị, kiểm tra xem đồ thị liên thông hay không, có tìm cạnh có độ dài lớn "xóa" khỏi đồ thị lại kiểm tra tính liên thông đồ thị Quá trình tiếp tục đồ thị n - không chứa chu trình ta nhận bao trùm có tổng độ dài nhỏ Thí dụ 4.6 Cho đồ thị vô hướng G  X.A , cạnh gán giá trị cij > gọi độ dài cạnh, hình 4.5 x2 12 x3 x1 11 x5 10 x8 x6 12 x9 12 10 PT IT 12 x11 x4 x7 10 x10 Hình 4.5 Giải thuật toán Prim: Đầu tiên ta chọn cạnh ngắn (3,4) làm gốc cây, tiếp chọn cạnh (3,6) nối vào cây, chọn cạnh (3,2), (6,7), (5,6), (5,8), (8,11), (8,9), (9,10) cuối chọn cạnh (1,2) (1,4) Đến ta có đủ n - = 10 cạnh ta bao trùm có tổng độ dài cạnh ngắn nhất, hình 4.6 x2 x5 x8 x1 x3 x6 x4 x7 x9 x11 x10 Hình 4.6 4.4 Bài toán luồng lớn 4.4.1 Nội dung toán: Cho đồ thị có hướng G = {X.A}có tải cung uij, (i, j)  A, +∞ Giả sử s t hai nút đặc biệt, gọi tương ứng nguồn đích Bài toán đặt tìm dòng lớn chuyển qua mạng từ s đến t? Phát bểu toán học toán là: Maxbs, 128 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ sk-1 ≤ q < sk giá ck sn-1 ≤ q giá cn s1 < s2 < < sn-1 Ta gọi si (i = 1, 2, ., n) mốc thay đổi giá b) Thiết lập mô hình Để đơn giản cho việc tìm lời giải ta giả thiết thời gian bổ sung hàng không đáng kể (bổ sung tức thời) Đặt: AQ q Fi (q)   IC  C i Q q Đây hàm tổng chi phí mua hàng với giá Ci Ta có: PT IT q  (0, s1 ) F1 (q) F (q) q  s1 , s   Fi (q)   F (q) q  s n -2 , s n -1   n -1 Fn (q) q  s n -1 ,    c) Lời giải Theo giả thiết ta có: F1(q) > F2(q) > > Fn(q) với giá trị q > Gọi q *i điểm cực tiểu hàm Fi(q), ta có: q *i  2AQ IC i Ci giảm nên ta có q *i > q *i-1 Mặt khác Fi( q *i ) = CiQ + 2AQ/ q *i < Fi-1( q *i-1 ) = Ci-1Q + 2AQ/ q *i-1 Có thể mô tả đồ thị sau (trường hợp mức giá): F ` F1(q) F2(q) F3(q) ` q 1* S1 q *2 q *3 S Hình 6.6 q 191 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ Với đặc điểm ta mô tả thuật toán tìm giá trị tối ưu q* sau: +/ Trường hợp hai mức giá: Tính q *2  2AQ IC - Nếu q *2 ≥ s1 lượng hàng đặt tối ưu q* = q *2 Có thể mô tả trường hợp đồ thị sau: F F1 ` F2 q ≥ s1 Tính: PT IT q s q2 Hình 6.7 AQ IC s1 - Nếu q *2 < s1 tính F2 (s1 )    C Q Đây giá trị nhỏ hàm tổng chi phí với s1 q1*  2AQ ; IC1 F1 (q *1 )  2AQIC1  C1Q Có trường hợp xảy sau: F2(s1) < F1( q *i ): q* = s1 F2(s1) > F1( q *i ): q* = q *i F2(s1) = F1( q *i ): q* = q *i q* = s1.(hai điểm cực tiểu) Có thể mô tả trường hợp đồ thị sau: Trường hợp 1: F2(s1) < F1( q *i ); q* = s1 F F1 F2 F1( q 1* ) F2(s1) Hình 6.8 q 1* q *2 s1 q 192 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ Trường hợp 2: F2(s1) > F1( q *i ); q* = q *i F F1 F2 F2(S1) F1( q 1* ) * q 1* q s1 q Hình 6.9 * Trường hợp 3: q = s1 = q * PT IT F F1 F2 F1( q 1* ) * q 1* q s1 q Hình 6.10 +/ Trường hợp tổng quát (n mức giá) Thuật toán: Thực tế sử dụng số thuật toán khác để giải toán trường hợp có nhiều mức giá Dưới đay thuật toán sử dụng tiện lợi cho việc tính toán thủ công, theo bước tính Xét từ hàm Fn(q) để tìm giá trị nhỏ hàm F(q) khoảng [sn1, +∞), giá trị đạt điểm cực trị ta nhận giá trị q* = q *n giá trị F(q) nhỏ toàn (với q < +∞); ngựơc lại lấy giá trị Fn(sn-1) làm giá trị nhỏ địa phương Xét khoảng [sn-2, sn-1) để tìm giá trị nhỏ F(q) biểu giá trị nhỏ hàm Fn1(q) khoảng này; so sánh với giá trị nhỏ khoảng trước, Như tìm q* nhận giá trị đầu tiên: q* [si-1, si) Cụ thể là: - Tính q *n : Nếu q *n ≥ sn-1 q* = q *n giá trị nhỏ F(q) F( q *n ) Nếu q *n < sn-1 tính Fn(sn-1) 193 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ - Tính q *n -1 Nếu q *n -1 ≥ sn-2 tính Fn-1( q *n -1 ) so sánh giá trị với Fn(sn-1), giá trị nhỏ tương ứng cho biết lượng q* tối ưu Nếu q *n -1 < sn-2, tính Fn-1(sn-2) - Tính q *n -2 Nếu q *n -2 ≥ sn-3 tính Fn-2( q *n -2 ) so sánh giá trị với Fn-1(sn-2) Fn(sn-1), giá trị nhỏ tương ứng cho biết lượng q* tối ưu Nếu q *n -2 < sn-3, tính Fn-2(sn-3) Tiếp tục thuật toán nhận q*  [si-1, si) tìm lượng đặt hàng tối ưu q* Cũng thực thuật toán cách máy móc đơn giản số mức giá nhiều sau: Tính giá trị q *k với k = n, n - 1, n - 2, nhận q *i thỏa mãn điều kiện q* [si1, si) Tính {Fk(sk-1) với s > i} Fi( q *i ) PT IT Tìm Min{Fk(sk-1) với s > i; Fi( q *i )} Điểm đạt giá trị nhỏ điểm cực tiểu hàm F(q) Dễ dàng tập hợp thông tin cần thiết cho việc tìm lời giải bảng có dạng: K sk-1 Min(q) q *k N n-1 n-2 d) Thí dụ: Thí dụ 6.7 Một công ty kinh doanh máy điện thoại di động, tổng lượng hàng có khả tiêu thụ 10000máy/năm Chi phí cho lần đặt mua 20$, hệ số chi phí bảo quản 10%, cường độ bán đặn Thời gian nhập kho không đáng kể Nếu lần đặt mua từ 2000 máy trở lên giá máy 120$, ngược lại giá máy 120,5$ Xác định số lượng máy mua lần cho tổng chi phí nhỏ nhất; tính thời gian chu kỳ dự trữ tiêu thụ, tính điểm đặt hàng tương ứng thời gian đặt hàng 90 ngày Giải: Đây toán mô hình hóa dạng toán dự trữ mức giá, với dự liệu sau đây: sk-1 Giá Ck Tổng nhu cầu Q = 10000 2000 120 Chi phí đặt hàng A = 20 120,5 Hệ số chi phí dự trữ I = 0,1 Thời gian đặt hàng T0 = 0,2465 Thực thuật toán: 194 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ Tính q *2 = 182,5742 Vì q *2 nhỏ mức s1, ta tính F*(s1) = 1212100 Tính q 1* = 182,195 F*( q 1* ) = 1207195 Ta thấy F*(s1) > F*( q 1* ) Vậy đặt hàng lần q* = q 1* = 182,195 PT IT Tổng chi phí nhỏ nhất: F*(q) = 1207195 Thời gian chu kỳ: t* = 0,01822 Sô lần đặt hàng năm: n* = 54,88625 Điểm đặt hàng: B* = 97,21833 Thí dụ 6.8 Một cửa hàng kinh doanh mặt hàng A, tổng nhu cầu khu vực 4000 đơn vị/năm Cường độ tiêu thụ thời gian nhập hàng vào kho không đáng kể Chi phí lần làm hợp đồng 200$, hệ số chi phí dự trữ 0,05, thời gian đặt hàng 120 ngày Nếu lô hàng mua từ 1000 đơn vị trở lên giá đơn vị hàng 56$, ngược lại giá 57$ Xác định cỡ lô hàng đặt lần tối ưu, thời gian chu kỳ điểm đặt hàng? Giải: Đây toán mô hình hóa dạng toán dự trữ hai mức giá, với liệu sau: sk-1 Giá Ck Tổng nhu cầu Q = 4000 1000 56 Chi phí đặt hàng A = 200 57 Hệ số chi phí dự trữ I = 0,05 Thời gian đặt hàng T0 = 0,328767 Thực thuật toán: Tính q *2 = 755,9289 Vì q *2 nhỏ mức s1, ta tính F*(s1) = 2262200 Tính q 1* = 749,2686 F*( q 1* ) = 230135,4 Ta thấy F*(s1) < F*( q 1* ) Vậy đặt hàng lần q* = s1 = 1000 Tổng chi phí nhỏ nhất: F*(q) = 226200 Thời gian chu kỳ: t* = 0,25 Sô lần đặt hàng năm: n* = Điểm đặt hàng: B* = 315,0685 6.5 Bài toán dự trữ nhiều loại hàng toán với điều kiện ràng buộc a) Bài toán dự trữ loại hàng có ràng buộc Đơn giản cho trình mô tả ta xét mô hình Wilson với ràng buộc quy mô kho 195 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ Chúng ta biết với mô hình Wilson, quy mô kho coi tùy chọn Thực tế điều không đúng, giả sử quy mô kho doanh nghiệp dự trữ mức q0 Bài toán lập từ mô hình Wilson phát biểu sau: AQ ICq  Tìm q làm cực tiểu hàm: D(q)  q với điều kiện: ≤ q ≤ q0 +/ Nếu q0 ≥ q* = 2AQ lời giải toán không bị ảnh hưởng ràng buộc quy mô kho IC 2AQ IC Có hai tình xảy ra: - Chấp nhận thỏa mãn nhu cầu, lời giải là: q* = q0 Tổng chi phí là: +/ Nếu q0 < q* =   F0 q  AQ  IC (q ) q0  CQ 2q * q* PT IT 2AQ IC - Đảm bảo thỏa mãn nhu cầu Q với thông tin bổ sung cần thiết Một tình thông thường trình bày toán thuê kho mô hình Wilson Như ta phải có hệ số chi phí dự trữ thuê phụ thêm (k) trình bày b) Bài toán dự trữ nhiều loại hàng có ràng buộc Trong điều kiện ràng buộc trình dự trữ, tiêu thụ toán dự trữ nhiều loại hàng phân chia thành toán độc lập Vì lý xét toán dự trữ nhiều loại hàng, có ràng buộc +/ Mô tả toán: Giả sử cần dự trữ m loại hàng với nhu cầu thường xuyên đơn vị thời gian Qi đơn vị (i = 1, 2, , m) Chi phí cho lần đặt hàng loại i Ai, giá đơn vị hàng loại i Ci, hệ số chi phí dự trữ hàng loại i Ii, hệ số dung tích kho đơn vị hàng i fi Các giả thiết tiêu thụ cung cấp mô hình Wilson Hãy xác định chiến lược trữ, tiêu thụ tốt nhất, trường hợp: - Cơ sở dự trữ có dung tích kho f0 cho m loại hàng - Khả vốn cho chu kỳ dự trữ, tiêu thụ hạn chế C0 - Thời gian dự trữ tối đa loại hàng i ti +/ Thiết lập mô hình lời giải Các tình nêu dẫn đến ràng buộc toán Ta xét vài tình với mục đích tìm kiếm cách thiết lập mô hình lời giải Về mặt lý thuyết toán dẫn đến toán tối ưu phi tuyến, ta nhận lời giải nhờ thuật toán quy hoạch phi tuyến Trong giới hạn định mặt công cụ, ta đưa lời giải với điều kiện Mặc dù lời giải nêu không tổng quát có ý nghĩa thực tiễn định Bài toán với ràng buộc dung tích kho: 196 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ Hoàn toàn tương tự mô hình Wilson ta thiết lập toán sau: Tìm q = (q1, q2, ,qm), n = (n1, n2, , nm) không âm, cực tiểu hàm: m q   F(q, n)    n i A i  I i C i i  2 i 1  (6.20) m f q i i  f ; n i q i  Q i i  1, m i 1 Bài toán (6.20) toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc tuyến tính Bài toán có lời giải F(q) hàm lồi miền q > 0, với miền ràng buộc lồi đóng bị chặn Lời giải toán là: m Bước 1: Giải toán (6.20) bỏ qua ràng buộc f q i i  f , ta nhận lời giải sau: i 1 q *i  2A i Q i I Ci (i = 1, 2, , m) (6.21) m Nếu f q i * i  f , ta nhận lời giải toán (6.20) Đây lời giải toán dự trữ i 1 m Nếu f q i i 1 PT IT nhiều loại hàng ràng buộc * i  f , ta chọn hai cách giải bước Bước 2: - Trường hợp thỏa mãn nhu cầu với chi phụ thêm cho việc thuê kho Bài toán quy toán sau: Tìm q = (q1, q2, ,qm) không âm, cực tiểu hàm: m Q q  F(q)    i A i  I i C i i  2 i 1  q i m f q i i (6.22)  f0 i 1 Đây toán cực trị vướng, hàm Lagrange tương ứng là: m Q q   m  L(q, λ)    i A i  I i C i i   λ  f i q i  f    i 1 i 1  q i  Lời giải toán nói chung không biểu diễn giải tích Từ điều kiện cần cực trị hàm Lagrange dẫn đến phương trình phi tuyến λ L Tuy nhiên ý đến ý nghĩa nhân tử λ , dễ nhận thấy:  - λ Như λ chi F0 phí biên theo quy mô kho, cách lựa chọn hợp lý đơn giản xác định thiệt hại phải thuê thêm đơn vị dung tích kho λ = λ* Lợi dụng hàm Lagrange ta xác định lời giải toán nhờ công thức sau: 197 Bài giảng Toán kinh tế q *i  Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ 2A i Q i I i C i  2λ * f i (i = 1, 2, , m) (6.23) - Trường hợp chấp nhận không thỏa mãn nhu cầu, toán có lời giải có ý nghĩa bổ sung thông tin thiệt hại không thỏa mãn nhu cầu loại hàng Bài toán trở nên phức tạp nhiều, nhận lời giải nhờ thuật toán quy hoạch phi tuyến Chú ý: Về mặt lý thuyết ràng buộc dung tích kho chặt trừ thời điểm bắt đầu dự trữ, tiêu thụ (khi tất m loại hàng nhập kho), thời điểm khác tổng lượng hàng lưu kho tối đa m f q i * i Hơn với loại hàng tiêu thụ thông thường đặn thực tế i 1 PT IT điểm bắt đầu Tuy thời gian tăng vô hạn (đủ lớn) lượng hàng tối đa kho xấp xỉ mức nói Điều cho phép sử dụng ràng buộc dung tích kho để tính toán trình bày 6.6 Một số mô hình dự trữ với yếu tố ngẫu nhiên Các toán điều khiển dự trữ dẫn đến mô hình có yếu tố ngẫu nhiên phổ biến Việc nghiên cứu chúng đề cập góc độ khác nhau, tùy thuộc mục đích nghiên cứu công cụ sử dụng Dưới ta nghiên cứu số toán điều khiển dự trữ đề cập đén tính ngẫu nhiên yéu tố, yéu tố ngẫu nhiên xem biết quy luật phân phối xác suất Như vậy, nghiên cứu dù cụ thể chủ yếu mang tính phương pháp, nhờ ta nghiên cứu toán tương tự 6.6.1 Mô hình dự trữ giai đoạn a) Mô hình dự trữ giai đoạn Nhu cầu loại hàng thời kỳ T biến ngẫu nhiên Q tuân theo quy luật phân phối xác suất F(q), với trung bình phương sai hữu hạn Người kinh doanh mua với giá C0 bán với giá C1 (C1 > C0), việc không thỏa mãn nhu cầu dẫn đến tổn thất CZ đơn vị hàng thiếu, số hàng thừa phải bán với giá Cs (Cs < C0) Hãy xác định lượng mua S với lợi nhuận kỳ vọng lớn thời gian T? b) Thiết lập mô hình +/ Trường hợp Q biến ngẫu nhiên rời rạc: Nếu gọi S lượng hàng cần mua lượng hàng tiêu thụ thời gian T min(S, Q), lợi nhuận trung bình (với Q rời rạc) tính sau: Với lượng mua S, nhu cầu Q ≤ S xuất lượng hàng thừa, Q ngẫu nhiên nên lượng hàng thừa (S - Q) biến ngẫu nhiên Xác suất có lượng hàng thừa (S - Q) rõ ràng xác suất để nhu cầu Q: P(Q) Từ ta tính lợi nhuận trung bình với điều kiện nhu cầu Q ≤ S là: D1(S) = ∑(C1Q - C0S + Cs(S - Q))P(Q) (6.24) Ngược lại Q > S, xuất tình trạng thiếu hàng gây nên tổn thất thiếu hàng Xác suất có lượng hàng thiếu (Q - S) tính tương tự trên: P(Q) Vậy lợi nhuận trung bình với điều kiện nhu cầu Q > S là: D2(S) = ∑(C1Q - C0S + CZ(Q - S))P(Q) (6.25) 198 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ Ta có hàm tổng lợi nhuận trung bình D(S) = D1(S) + D2(S) Vấn đề lại phải xác định lượng mua S cho tổng lợi nhuận trung bình lớn Ký hiệu P(Q = S) xác suất (Q = S) bà P(Q < S) xác suất (Q < S), ta tính biểu thức sau: D(S + 1) - D(S) = C1 - C0 + CZ - (C1 + CZ - Cs)P(Q < S + 1) (6.26) D(S) - D(S - 1) = C1 - C0 + CZ - (C1 + CZ - Cs)P(Q < S) (6.27) * Điểm S tối ưu phải thỏa mãn điều kiện: D(S* + 1) - D(S*) ≤ D(S*) - D(S* - 1) ≥ (6.28) C - C  CZ tức là: P(Q  S* )  ≤ P(Q < S* + 1) (6.29) C1  C Z  C s Đặt   C1 - C  C Z , ta thấy C0 > Cs C1 > C0 < α < C1  C Z - C s Như S* phân vị mức α phân phối F(q) Có thể minh họa kết sau: PT IT F(q) α S* S*+1 Q Hình 6.11 Trong trường hợp α = P(Q < S + 1) ta có hai lời giải S* S* + Tuy nhiên, thực tế ta không quan tâm nhiều đến khả hai lý do: thứ hai giá trị gần S* luôn nghiệm; thứ hai hàm lợi nhuận tính giá trị trung bình phân phối xác suất Thí dụ 6.9: Số thẻ điện thoại di động bán cửa hàng đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật Poisson với trung bình 200 thẻ/ngày Xác định số lượng thẻ cần nhập vào cửa hàng ngày để đảm bảo lợi nhuận trung bình ngày lớn Biết giá mua buôn thẻ 150000VNĐ, giá bán lẻ 180000VNĐ Cửa hàng ước tính thiệt hại không thỏa mãn nhu cầu (vì khách) 15000VNĐ/thẻ, ngược lại thẻ không bán phải bảo quản phải bán với giá 130000VNĐ Giải: Bài toán mô tả dạng toán dự trữ giai đoạn với tham số sau: C1 = 180000; C0 = 150000; CS = 130000; CZ = 15000; Ta có α = 0,6923 Tra bảng phân phối Poisson với trung bình 20 ta có: Q* = 22 * 199 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ +/ Trường hợp Q liên tục: Trong trường hợp phân phối Q liên tục ta làm tương tự điểm S* xác định cho: F(S*) = α, F(q) hàm phân phối xác suất nh cầu Q Nếu biết hàm mật độ xác suất Q f(q) xác định S* nhờ công thức: S* (6.30)  f(q)dq  α o Như S* phân vị mức α Q S* Thật vậy, ta có: D1 (S)   C1q - C 0S  C S (S - q) f(q)dq (6.31) o  D (S)   C1S - C S  C S (q - S) f(q)dq (6.32) S Từ đó: S D(S) = (C1 - C0 + CZ)S - SF(S)(C1 - CS + CZ) + (C1 - CS + CZ)  qf(q)dq + CZF(Q) (6.33) o PT IT Lấy đạo hàm hàm D(S) cho D'(S) = ta có kết Thí dụ 6.10 : Nhu cầu cáp quang năm khu vực công ty A cung cấp đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình ước lượng E(Q) = 12000tấn, độ lệch tiêu chuẩn ước lượng 40 Giá mua vào 120$/tấn, giá bán lẻ thông thường 140$ Việc cung cấp thiếu so với nhu cầu làm tổn thất 30$, lượng tồn kho cuối kỳ chuyển sang kỳ sau với giá bán 115$/tấn a Xác định lượng hàng mua cho lợi nhuận trung bình cao nhất? b Giải toán trường hợp tình hình hàng năm mô tả trên, theo số lượng tính toán câu a, biết chi phí dự trữ tính theo giá mua với hệ số 0,05, chi phí đặt hàng lần 120$ Giải: a Theo dự liệu ta có: C1 = 140, C0 = 120, CS = 115; CZ = 30 Ta có α = 0,9 Cần tìm S* cho Ф[(S* - 12000)/40] = 0,9 Tra bảng phân phối chuẩn ta có U0,9 = 1,28 Vậy: S* = 1,28 × 40 + 12000 = 12051,2 (tấn) b Với Q* = S* = 12051 ta giải toán Wilson nhận kết sau: Lượng hàng đặt tối ưu lần: q* = 694,29 Tổng chi phí dự trữ: F(q*) = 120× 0,05×694,29 = 4165,74 Như thực tế giá tính đủ cho là: C02 = 120 + 4165,74/Q* = 120,346 Trở lại tính α = 0,9008 ta thấy giá trị không sai khác đáng kể so với giá trị ban đầu, chọn tổng lượng Q* = 12048 q* = 694,29 Chú ý: - Trường hợp đơn giản CS = tức lượng hàng thừa phải hủy (chẳng hạn loại vacxin, thực phẩm tươi sống, rau quả, ) 200 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ PT IT Ta có α = - C0/(C1 + CZ) tỷ lệ C0/(C1 + CZ) xác suất biến cố (Q > S*), tỷ lệ cho biết khả thiếu hàng phương án tối ưu, tỷ lệ tăng giá mua vào so với giá bán chênh lệch nhỏ, đồng thời thiệt hại không thỏa mãn nhu cầu không lớn - Như trình bày, Q xem biến ngẫu nhiên, sau xác định Q* = S* ta cần giải toán tìm chiến lược đặt hàng cho thời kỳ Trong trường hợp giá hàng ứng với mô hình Wilson phải bao gồm giá mua, chi phí dự trữ, chi phí tổn thất tính cho đơn vị hàng bị thiếu hụt chiến lược dự trữ tối ưu Việc phân toán thành hai bước giải chắn không cho ta phương án tối ưu toàn bộ, sử dụng thuật toán lặp nhiều vòng để nhận lời giải gần 6.6.2 Mô hình dự trữ có bảo hiểm Khi xét toán dự trữ đơn giản, ta giả thiết thời gian đặt hàng cố định T0 từ xác định điểm đặt hàng B* Như vậy, hàng kho vừa hết có hàng bổ sung Tuy nhiên, thực tế, thời gian đặt hàng biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối xác suất Trong trường hợp việc tiêu thụ đặn lượng hàng tiêu thụ khoảng thời gian đặt hàng trở thành biến ngẫu nhiên Điều dẫn đến tình trạng thiếu hàng thời gian đặt hàng gây thiệt hại định cho hoạt động kinh doanh Trong nhiều trường hợp hậu việc thiếu hàng lớn, chẳng ạn: xét việc dự trữ thuốc phòng dịch, dự trữ cho trình sản xuất liên tục, Trong tình cần xác định lượng dự trữ, nhằm đảm bảo trình hoạt động kinh tế xã hội có liên quan không bị gián đoạn với xác suất cho phép (mức tin cậy, độ an toàn) Lượng dự trữ gọi lượng dự trữ bảo hiểm a) Mô tả toán Giả sử thời kỳ T = 1, tổng nhu cầu mặt hàng Q đơn vị Chi phí lần đặt hàng A, giá hàng C, hệ số chi phí bảo quản theo giá I, thời gian đặt hàng biến ngẫu nhiên τ đồng chu kỳ dự trữ - tiêu thụ, có phân phối xác suất G(τ) với trung bình phương sai hữu hạn (trong hầu hết trường hợp xem τ có phân phối chuẩn) Việc bổ sung hàng tức thời tiêu thụ diễn đặn theo thời gian Hãy xác định lượng hàng cần mua lần lượng dự trữ bảo hiểm R cho khả thiếu hàng không lớn α đủ nhỏ tổng chi phí bé Như với việc bổ sung lượng dự trữ bảo hiểm R đảm bảo thỏa mãn nhu cầu tiêu thụ thời điểm với mức tin cậy (1 - α) cho trước b) Thiết lập mô hình Gọi lượng hàng tiêu thụ thời gian τ Qτ Qτ biến ngẫu nhiên Để giải toán trường hợp thay xét tính ngẫu nhiên thời gian đặt hàng τ, ta xem lượng hàng tiêu thụ thời gian biến ngẫu nhiên Qτ, tuân theo quy luật phân phối xác suất đó, với trung bình phương sai hữu hạn Giả sử ta biết quy luật phân phối τ, việc tiêu thụ đặn nên suy quy luật phân phối lượng hàng tiêu thụ Qτ thời gian đặt hàng (thực tế): Tτ = (τ - t*.int(τ/t*)) F(Qτ), t* chu kỳ dự trữ - tiêu thụ tối ưu Biến ngẫu nhiên Qτ xác định theo công thức: Qτ = Q Tτ Nếu τ phân phối chuẩn Qτ phân phối chuẩn với trung 201 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ bình Q × E(Tτ) phương sai Q2 × Var(Tτ), E(Tτ), Var(Tτ) trung bình phương sai Tτ Bài toán xem toán dự trữ theo mô hình Wilson cộng với việc xác định lượng dự trữ bảo hiểm R cho khoảng thời gian τ lượng hàng tiêu thụ Qτ vượt (B* + R) với xác suất tối đa α, đồng thời tổng chi phí nhỏ Việc giải toán chia thành hai bước sau: Bước 1: Giải toán Wilson với T0 trung bình τ Ta nhận lượng hàng đặt lần q*, thời gian chu kỳ t* điểm đặt hàng B* (B* điểm đặt hàng trung bình) Với lượng dự trữ bảo hiểm R mô tả sơ đồ kho sau: q* + R B* R t PT IT T0 Tτ Hình 6.12 Bước 2: Xác định R cho: P(Qτ > B* + R) < α Theo hệ định lý cộng với hai biến cố đối lập ta có: P(Qτ > B* + R) > 1- α (6.34) Gọi phân vị mức - α phân phối F(Qτ) F1-α (tức P(Q < F1 - α) = - α) ta cần chọn R cho: B* + R > F1 - α hay R > F1 - α - B* (6.35) Vì ta muốn tổng chi phí nhỏ (kể chi phí phát sinh cho dự trữ bảo hiểm), cần chọn lượng bảo hiểm tối thiểu R* là: R* = F1 - α - B* (6.36) * * Trong trường hợp dự trữ trung bình kho là: 0,5q + R , phát sinh hai khoản chi phí chi phí mua lượng dự trữ bảo hiểm R* CR* chi phí dự trữ lượng bảo hiểm đó:ICR* Khi hàm tổng chi phí đạt giá trị nhỏ là: F(q*, R*) = IC(q* + R*) + C(Q + R*) (6.37) Thí dụ 6.11: Một sở sản xuất ống cáp cần sử dụng năm 11,88 hạt nhựa, quy luật tiêu thụ theo thời gian, thời gian nhập kho không đáng kể Chi phí cho lần đặt hàng 60$, giá nhựa 850$, chi phí dự trữ 10% giá mua Thời gian đặt hàng τ có phân phối chuẩn với trung bình 60 ngày độ lệch chuẩn ngày, với thời gian trung bình ngày cở tiêu thụ 33kg (33 = 11880/360) hay 1980kg 60 ngày độ lệch chuẩn 33kg (33 = × 33) Với mức bảo hiểm có độ tin cậy 0,99, xác định lượng dự trữ bảo hiểm cho tổn thất nhất, tính tổng chi phí đảm bảo dự trữ cho sản xuất Giải: Trước hết ta cần tính lượng hàng mua lần tối ưu: 202 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ 2AQ IC * q = 4095(kg), từ ta có thời gian chu kỳ dự trữ - tiêu thụ t* = q*/Q = 0,341 (năm) Ta có điểm đặt hàng B* = 2000(kg) Với mức tin cậy 0,99 ta cần xác định lượng dự trữ R* = F0,99 - B* hay B* + R* > F0,99; B* + R phân phối chuẩn với trrug bình E(B* + R) = 33kg/ngày × 60 ngày = 1980kg, độ lệch chuẩn σR = 33 Ta có F0,99 = 1980 + U0,99× 33 = 1980 + 2,32 × 33 = 2056,56 Vậy R* = 2056,56 - 2000 = 56,56(kg) Lượng dự trữ trung bình kho là: 4095/2 + 56,56 = 2104,06 Từ ta tính hàm tổng chi phí sau: F(q*, R*) = 0,1×0,85(4095 + 56,56) + 0,85(11880 + 56,56) = 10151,3$ Trên ta nghiên cứu số mô hình quản lý dự trữ đơn giản, có nhiều vấn đề tổ chức sản xuất kinh doanh mô hình hóa theo cách thức Việc mô hình hóa tìm chiến lược làm tương tự tìm mô tài liệu tham khảo PT IT q*  Câu hỏi tập ôn chương I Lý thuyết Nội dung toán quản lý dự trữ khái niệm? Các khái niệm mô hình quản lý dự trữ? Mô hình dự trữ bổ sung tức thời? Mô hình dự trữ tiêu thụ đều? Mô hình dự trữ trường hợp giá hàng thay đổi theo số lượng đặt mua lần ? Mô hình dự trữ giai đoạn ? Mô hình dự trữ có bảo hiểm? II Bài tập Một công ty có nhu cầu hàng năm 900 đơn vị hàng Chi phí cho lần đặt hàng 15$ Giá đơn vị hàng 60$ Hệ số chi phí dự trữ 5% Thời gian đặt hàng 45 ngày Việc tiêu thụ đặn năm, thời gian nhập hàng không đáng kể Công ty nhập hàng từ nguồn không hạn chế số lượng Hãy xác định tiêu dự trữ tiêu thụ công ty ? Một công ty kinh doanh công tắc điện có nhu cầu hàng năm 4000 chiếc, Giá công tắc 80$, Chi phí cho lần đặt hàng 20$, Chi phí dự trữ 16$ Thời gian đặt hàng 60 ngày Việc tiêu thụ đặn năm, thời gian nhập hàng không đáng kể Hãy xác định tiêu dự trữ tiêu thụ công ty ? Một bệnh viện dung 250 galon gel/năm Chi phí lần đặt hàng 8$, Giá gallon gel 2,5$, hệ số chi phí dự trữ 20% Thời gian đặt hàng 15 ngày Việc tiêu thụ đặn năm, thời gian nhập hàng không đáng kể Hãy xác định tiêu dự trữ tiêu thụ công ty ? 203 Bài giảng Toán kinh tế Chương 6: Mô hình quản lý dự trữ PT IT Một công ty điện tử có nhu cầu hàng năm (52 tuần/năm) 156000 chíp, sản phẩm tự chế Chi phí sản xuất chíp 1.600$ mức sản xuất hàng tuần 5000 chíp Chi phí dự trữ 30$ năm Thời gian chuẩn bị đợt sản xuất 45 ngày Hãy phân chia nhu cầu thành đợt sản xuất cho tổng chi phí nhỏ nhất? Một công ty sản xuất que kem cho máy bán hàng có nhu cầu hàng năm 72000 que Công ty có khả sản xuất 400 que ngày Chi phí cho lần chuẩn bị sản xuất 7,5$, chi phí sản xuấtà 140$ Chi phí dự trữ 1,5$ cho que/năm Thời gian chuẩn bị đợt sản xuất ngày Hãy xác định tiêu dự trữ tiêu thụ công ty ? 204 TÀI LIỆU THAM KHẢO PT IT Nguyễn Thượng Thái-Nguyễn Văn Quảng Toán chuyên ngành NXB Bưu điện 2004 TS Nguyễn Quang Dong- Ngô Văn Thứ-TS Hoàng Đình Tuấn Giáo trình “Mô hình toán kinh tế” Nhà xuất Giáo dục 2002 Trần Vũ Thiệu Giáo trình “Tối ưu tuyến tính” Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội 2004 Hoàng Tụy “Lý thuyết quy hoạch” Tập Nhà xuất khoa học Hà Nội 1968 TS Nguyễn Quang Đong – Ngô Văn Thứ - TS Hoàng Đình Tuấn Giáo trình mô hình toán kinh tế NXB Giáo dục 2002 Trần Vũ Thiệu, Bùi Thế Tâm “ Các phương pháp tối ưu hóa” Nhà xuất Giao thông vận tải Hà Nội 1998 Trần Túc “Bài tập quy hoạch tuyến tính” Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội 2001 Phan Quốc Khánh – Trần Huệ Nương “Quy hoạch tuyến tính” Nhà xuất Giáo dục 2000 Vũ Ngọc Phàn Tối ưu hoá – Cơ sở lý thuyết ứng dụng công nghệ Bưu Viễn thông NXB Bưu điện.2005 10.Trường đại học kinh tế quốc dân Chủ biên Hoàng đình Thuý Toán cao cấp cho nhà kinh tế.NXB Thống kê 2004 11 Giáo trình phương pháp toán kinh tế Đại học Kinh tế quốc dân 1987 12 Nguyễn Cao Văn – Trần Thái Ninh Giáo trình lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Khoa học kỹ thuật 1996 13 PGS.TS Nguyễn Thị Kim Thuý Nguyên lý thống kê ứng dụng quản lý kinh tế & kinh doanh sản xuất dịch vụ NXB Văn hoá Sài gòn 2006 14 T Λ Caatu Lý thuyết phục vụ công cộng ứng dụng (Bản tiếng Nga) 1987 15 Lê Đình Thuý Toán cao cấp cho nhà kinh tế NXB Thống kê 2004 210 [...]... A 2 Hình 4 .24 3 B 149 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng Bảng 4.6 Công việc tn Pn tc Pc S 8 1800 7 22 00 400 A 16 1500 11 22 00 140 B 14 1800 9 24 00 120 C 12 2400 9 3000 20 0 D 15 120 0 14 20 00 800 E 10 20 00 8 4000 1000 F Yêu cầu: Tìm phương án thi công công trình với thời hạn cho phép là 36 ngày Giải: B1- Dựa vào sơ đồ mạng xác định đường găng ứng với tn (Hình 4 .24 a) 12. .. 8 2 0 8 16 3 24 24 0 Hình 4 .24 b B3- Kiểm tra, đường găng vẫn không thay đổi, quay lại B2 B2- Rút ngắn tối đa thời gian công việc B (có độ dốc 140) từ 16 ngày xuống 11 ngày Thời gian hoàn thành toàn bộ công trình bây giờ là T = 38 ngày (Hình 4 .24 c) 150 Bài giảngToán kinh tế 12 Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng 4 12 23 11 5 28 28 0 15 10 6 38 38 0 1 0 0 0 9 8 8 2 0 8 3 19 19 0 11 Hình 4 .24 c... ngày (Hình 4 .24 e) thỏa mãn điều kiện của chủ công trình 12 ` 4 12 23 11 5 27 27 0 15 9 6 36 36 0 1 0 0 0 9 7 7 2 0 7 11 Hình 4 .24 e 3 18 18 0 151 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng Kết quả rút gọn được tóm tắt trong bảng 4.5 Bảng 4.7 Công việc tn tc A 8 7 B 16 11 C 14 9 F 10 9 Tổng cộng S 20 0 140 120 1000 ΔT 1 5 5 1 12 ΔP 400 700 600 1000 27 00 Câu hỏi và bài tập ôn chương... T9m = min{ T10m - t9,10} = 24 - 9 = 15h T8m = min{ T11m - t8,11} = 32 - 5 = 27 h T7m = min{ T11m - t7,11} = 32 - 9 = 23 h T6m = min{ T10m - t6,10; T9m - t6.9} = min {24 - 5; 15 - 0} = 15h 1 42 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng T5m = min{ T9m - t5,9; T8m - t5,8} = min{15 - 0; 27 - 7} = 15h T4m = min{ T8m - t4,8; T7m _ t4,7} = min {27 - 5; 23 - 0} = 22 h T3m = min{ T6m - t3,6;... a 3 12, 67 11,67 5 4,33 19,5 1 12, 33 2 3,67 4 7 7,00 8 5,17 3,00 9,00 6 Đường găng: 1 -2- 3-5-7-8 Lg = 48 Để tính thời gian trung bình thực hiện các công việc và phương sai tương ứng ta sử dụng công thức ( 12) và (13) Kết quả như sau: Bảng 4.5 te 2 12, 33 1,00 11,67 32, 11 3,67 0,44 3,00 0,11 12, 67 4,00 147 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng 19,50 5,17 4,33 9,00 7,00 6 ,25 0,69... động a m b 4 2 10 4 1 6 2 0 6 2 2 6 8 12 5 2 8 3 0 6 6 2 PT IT Mô tả công việc 10 24 16 10 3 30 4 0 6 12 3 a Vẽ sơ đồ mạng thích hợp? b Tìm độ dài đường găng? c tính các chỉ tiêu thời gian cho các công việc? 8 Cho dữ liệu về mạng PERT trong bảng sau: Bảng 4.9 Thời gian hoạt động Sự kiên Sự kiện A m b trước sau 1 1 2 2 3 3 4 5 6 2 3 4 5 5 6 7 7 7 5 2 1.5 1 4 1 2 4 3 6 7 2 3 5 1 3 5 5 13 12 2.5 5 6 1 10... (i,t) 129 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình bài toán tối ưu trên mạng Dễ thấy dòng chấp nhận được của bài toán luồng lớn nhất (mà có giá trị w) luôn là dòng chấp nhận được của bài toán dòng chấp nhận được ban đầu (vì ở các điểm nguồn và điểm đích luật bảo toàn dòng được thỏa mãn, còn ở các đỉnh khác thì sự bảo toàn dòng ở hai bài toán là như nhau) Ngược lại, mỗi dòng chấp nhận được của bài toán. .. Gán cho đỉnh 6 nhãn: e6 = min(e3,u36) = min(3, 2) = 2; p6 = 3 Gán cho đỉnh 7 nhãn: e7 = min(e4, u47) = min (2, 3) = 2; p7 = 4 Đỉnh 7 là điểm hút được gán nhãn Ta vận chuyển e7 = 2 đơn vị hàng theo đường 1 -2- 47 (x 12 = x24 = x47 = 2, các đỉnh khác xij = 0), giá trị luồng tương ứng là 2 Ở vòng lặp tiếp theo, ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u 12 - x 12 = 6 -2 = 4, p2 = 1 Gán cho đỉnh 3 nhãn e3 = u13 = 3, p3 =... 2 = 5 Để kiểm tra luồng hiện có đã lớn nhất hay chưa, ta tiếp tục quá trình gán nhãn: ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u 12 - x 12 = 4, p2 = 1 Gán cho đỉnh 3 nhãn: e3 = min(e2, u23) = min(4, 3) = 3, p3 = 2 Đến đây đỉnh 7 chưa được gán nhãn nhưng ta không thể gán nhãn cho đỉnh nào nữa (tình huống 3a) Vậy luồng hiện có là lớn nhất Đó là: x 12 = 2, x13 = 3, x24 = 2 x35 = 1; x36 = 2, x47 = 2, x57 = 1, x67 = 2. .. ta gán cho đỉnh 2 nhãn: e2 = u 12 - x 12 = 6 -2 = 4, p2 = 1 Gán cho đỉnh 3 nhãn: e3 = u13 - x13 = 3 - 1 = 2, p3 = 1 Tiếp theo gán cho đỉnh 6 nhãn: e6 = min(e3, u36) = min (2, 2) = 2, p6 = 3 Lúc này đỉnh 4, 5 không được gán nhãn từ đỉnh 6 ta gán cho đỉnh 7 nhãn: e7 = min(e6,u67) = min (2, 3) = 2, p7 = 6 Kết quả ta vận chuyển thêm được e7 = 2 đơn vị hàng theo đường 1-3-6-7(x13 = x36 = x67 = 2, các xij khác ... 4.3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 10 12 x1 10 18 13 x2 18 25 20 x3 25 16 x4 10 x5 20 10 14 15 x6 14 24 x7 23 x8 12 13 24 x9 Giải toán thuật toán Dijkstra: 18 x2 x3 25 10 x1 13 20 x4 14 x7 24 12 x9... tính toán sau : Bảng 5 .2 xi ni P(xi) n i' (n i - n i' )2 n i' 21 0,3 328 7 6,79 027 29 ,7357 23 0.36616 8, 421 680 25 ,23 58 10 0 ,20 139 2, 0139 31,6687 0.07384 0, 020 31 0 ,29 549 9,8 323 3 0,00447 0,000 82 0,00013... (nếu toán chấp nhận được), thường hàng ứng với đỉnh đồ thị 123 Bài giảngToán kinh tế Chương 4: Mô hình toán tối ưu mạng 4 .2 Bài toán đường ngắn 4 .2. 1 Ý nghĩa nội dung toán Bài toán đường ngắn toán