CHƯƠNG III - BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CHƯƠNG III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Chương trình bày trình bày khái niệm đối ngẫu, quy tắc đối ngẫu giải thuật đối ngẫu Đây kiến thức có giá trị ứng dụng nhờ giải quy hoạch tuyến tính từ quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Nội dung chi tiết chương bao gồm : I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU 1- Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2- Định nghĩa đối ngẫu trường hợp tổng quát 3- Các định lý đối ngẫu a- Định lý ( đối ngẫu yếu ) b- Định lý c- Định lý d- Định lý ( đối ngẫu) e- Định lý (tính bổ sung ) II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU 70 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CHƯƠNG III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU Đối ngẫu khái niệm việc giải toán quy hoạch tuyến tính lý thuyết đối ngẫu dẫn đến kết có tầm quan trọng mặt lý thuyết mặt thực hành 1- Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng tắc Xét toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc z(x) = c T x   Ax = b   x ≥ 0 Giả sử x* phương án tối ưu cần tìm toán x phương án toán cận giá trị mục tiêu tối ưu xác định : T T c x* ≤ c x Tuy chưa tìm phương án tối ưu x* biết thêm cận giá trị mục tiêu tối ưu ta giới hạn phần giá trị mục tiêu tối ưu Người ta ước lượng cận theo cách sau : T n Với vectơ x = [x1 x2 xn] ≥ thuộc R chưa thoả ràng buộc toán, tức b – Ax ≠ người ta nới lỏng toán thành toán nới lỏng : T T L(x,y) = c x + y (b - Ax) x≥ T y = [ y1 y2 ym] tuỳ ý ∈ R m Gọi g(y) giá trị mục tiêu tối ưu toán nới lỏng, ta có : g(y) T T = { c x + y (b - Ax) } 71 (x ≥ 0) BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU T T ≤ c x + y (b - Ax) Trong trường hợp x phương án toán ban đầu, tức : b - Ax = T g(y) ≤ c x Vậy g(y) cận giá trị mục tiêu nên cận giá trị mục tiêu tối ưu Một cách tự nhiên người ta quan tâm đến toán tìm cận lớn nhất, : max g(y) y tuỳ ý ∈ R m Bài toán gọi toán đối ngẫu toán ban đầu Trong phần sau người ta chứng minh giá trị mục tiêu tối ưu toán đối ngẫu với giá trị mục tiêu tối ưu toán gốc ban đầu Người ta đưa toán đối ngẫu dạng dể sử dụng cách tính sau : g(y) T T (x ≥ 0) = { c x+y (b - Ax) } T T T (x ≥ 0) T T (x ≥ 0) T T = { c x + y b - y Ax } T = { y b + (c - y A)x } T = y b + { (c - y A)x } (x ≥ 0) Ta thấy : (c = T T − y A)x  c T − y TA ≥  không xác  đinh (x≥ 0) Vậy ta nhận : T T T g(y) = y b với c - y A ≥ Suy tóan đối ngẫu có dạng : max g(y) = y Tb  y TA ≤ c T   m   y ∈ R tùy ý Hay : c T T − y A0 lớn tuỳ ý tìm phương án khả thi y (D) cho : T b y≤ − M Nếu (P) có phương án khả thi x theo định lý ta có : T T z(x) = c x ≤ w(y) = b y < − M Điều dẫn đến mâu thuẩn e- Định lý (tính bổ sung ) Xét hai toán đối ngẫu  max z(x) = c T x  (P)  Ax = b  x≥  w(y) = b T y  T (D)  A y ≥ c  y tùy ý x , y phương án khả thi tương ứng (P) (D) Điều kiện cần đủ để x , y phương án tối ưu : T T T x (A y − c ) = Chứng minh - Do x phương án khả thi (P) nên : Ax = b ⇒ (A x) = b T ⇒ T x AT = b T T T T T T T ⇒ x A y =b y ⇒ x A y− c=b y-c x x ⇒ x (A y − c) = b y - c x - Theo kết (*) : T T T T T T T T T ( x c = c x) (*) Nếu x , y phương án tối ưu (P) (D) theo định lý T T c x =b y T T ⇒ c x− b y= ⇒ T T x (A y − c) = Nếu x T (A T y − c) = ⇒ b T y − c T x = ⇒ b T y = c T x Theo định lý x , y phương án tối ưu II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU Xét hai toán đối ngẫu : max z(x) = c T x (P)  Ax = b  x ≥ w(y) = b T y (D) A T y ≥ c   y y Chúng ta xét xem giải thuật đơn hình biết chương trước áp dụng toán đối ngẫu Giả sử B sở toán (P) thoả : T T y = Bc B N y ≥ c N −1 Nếu B sở khả thi toán gốc, tức  x = B − 1b = b ≥ 0 x= B  , (theo định lý đối ngẫu) y, x phương án tối  x N =  x  ưu toán đối ngẫu toán gốc Nếu không x =  B không phương  x N án toán gốc x B =b=B −1 b ≥ Để tiện việc trình bày ta xét (m=3 , n=5) : max z(x) = c x + c x 1 (P) + c 3x + c 4x + c 5x  a11 x + a12 x + a13 x + a14 x + a15 = b x5 a x + a x + a x + a + a x = b  21 25 22 23 24 x4 + a 35 x = b a x + a x + a x + a 32 33 34  31 x4 x1 , x , x , x , x ≥ Các liệu (P) đuợc trình bày bảng sau : x1 x2 x3 x4 x5 c1 c2 c3 c4 c5 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 a34 a15 a25 a35 b1 b2 b3 toán đối ngẫu w(y) = b1 y + b y  a11 y + a 21 y (D) + a 31 y ≥ c + a 32 y ≥ c ≥ c + a 33 y ≥ c + a 34 y ≥ c    a13 y + a 23 y   a14 y + a 24 y + b3 y   a12 y + a 22 y    a15 y + a 25 y y3 + a 35 y , y , y y Người ta đưa (D) dạng tắc cách thêm biến phụ y4 y5, y6, y7, y8 ≥ Chúng không ảnh hưởng đến hàm mục tiêu w(y) = b1 y + b y 0.y  a11 y + a 21 y y4   a12 y + a 22 y y5    a13 y + a 23 y + b3 y + a 31 y − + a 32 y − + a 33 y − + 0.y + 0.y + 0.y + 0.y + y6   a14 y + a 24 y + a 34 y − y    a15 y + a 25 y + a 35 y − y = c1 =c =c =c =c y , y , y y - y , y , y , y , y Các liệu (D) trình bày bảng sau : ≥ y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 b1 b2 b3 0 0 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 c1 c2 c3 c4 c5 Giả sử m cột A sở B (P) hai bảng trình bày rút gọn sau : x BT x NT c BT c NT B N b Bảng (P) T y y4 y8 T T -Im b B T N -In-m cB cN Bảng (D) Để đưa toán đối ngẫu dạng chuẩn người ta nhân (bên trái) bảng (D) với bảng sau : (B ) ( B N) −1 T −1 T -In-m Khi người ta bảng kết có dạng : m T y m y4y5y6 b=B m Im n-m () − N −1 (B ) b −1 T − n-m y7y8 T ( =− B (c −1 ) N T I n-m B T B ) −1 T ( − c N = − cN − cB T B −1 N ) T T Bảng cho ta quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với ma trận đơn vị (cơ sở) tương ứng với cột y1 y2 y3 y7 y8 Áp dụng giải thuật đơn hình vào kết cho ta quy tắc đổi sở sau : Tính : b = B −1 b≥ a- Nếu b ≥ giải thuật kết thúc, : T y = cB B −1 phương án tối ưu toán đối ngẫu  b B  x =   =   phương án tối ưu toán gốc  x N  0  x b- Nếu tồn r cho b r ∈ b , b r < xảy hai trường hợp sau : - Nếu dòng r N có thành phần < người ta tính : = c s c j =    Nrj  Nrs ∀ j : Nij < Như : toán đối ngẫu biến yr vào sở biến ys khỏi sở, toán gốc biến xs vào sở biến xr khỏi sở - Nếu thành phần dòng r N > phương án tối ưu toán đối ngẫu không giới nội, điều (theo định lý đối ngẫu) dẫn đến toán gốc phương án Ví dụ : Xét toán w(x) = x − x  x − 2x + x =   x + 3x + x = (D) x j ≥ (j = 1,2,3,4) Bài toán đối ngẫu (D) : max z(y) = y + 2y  y1 + y ≤  − 2y + 3y ≤    y1 ≤ −  y ≤ (P) y1, y2 tùy ý Ta chọn toán (D) (P) để giải tìm phương án tối ưu phương pháp đơn hình, từ suy phương án tối ưu toán lại theo kết Trong ví dụ ta chọn toán (D) để giải có chứa sẵn ma trận đơn vị Giải toán (D) phương pháp đơn hình cải tiến ta : cB iB x2 -2 x3 x4 b0 -1 x1 -1 w(x ) -2 0 -1 x1 x x 0 T c T c0 c iB B1 -1 c T T c1 3 3 1 0 -1 0 x b1 3 w(x ) − 3 Giải thuật dừng thoả dấu hiệu tối ưu toán Phương án tối ưu toán (D) : x =0 x2 = x3 =  3   w(x) = w(x ) = −  x =0 Suy phương án tối ưu (P) :   y T = [y y− 12 ] = c B B = [−     T  z(y) = b y = [1 T 2    = − − 0]    3 0    3  − ] =2  = −   −   CÂU HỎI CHƯƠNG 1- Bạn hiểu khái niệm đối ngẫu ? 2- Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu quy hoach tuyến tính tắc có dạng ? 3- Bạn nêu quy tắc đối ngẫu Cho ví dụ 4- Giá trị hàm mục tiêu hai quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ? Chứng minh BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU BÀI TẬP CHƯƠNG 1- Xét toán quy hoạch tuyến tính max z = 7x1 + 5x2 2x1 + 3x2 ≤ 19 (P) 2x1 + x2 ≤ 13 3x2 ≤ 15 3x1 ≤ 18 x1 , x2 ≥ a- Tìm toán đối ngẫu (D) từ toán (P) b- Tìm phương án tối ưu cho toán (P) c- Từ bảng đơn hình tối ưu (P) Hãy tìm phương án tối ưu cho toán (D) 2- Xét toán quy hoạch tuyến tính w= x1 + x2 x1 - 2x3 + x4 = (D) x2 - x3 + 2x4 = x3 - x4 + x5 = xi ≥ 0, ∀ i = 1→5 a- Tìm toán đối ngẫu toán (D) b- Tìm phương án tối ưu toán (D) c- Từ bảng đơn hình tối ưu toán (D) Hãy tìm phương án tối ưu cho toán đối ngẫu câu a 3- Xét toán quy hoạch tuyến tính w = -2x1 - x4 x1 + x2 + 5x3 = 20 (D) x2 + 2x4 ≥ x1 + x2 - x3 ≥ xi tùy ý (i=1→ 4) Tìm toán đối ngẫu (P) toán (D) Từ toán (P) (P) không tồn phương án tối ưu (D) tồn phương án tối ưu 4- Cho toán quy hoạch tuyến tính BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU max z = 2x + 4x (D) +x +x  x + 3x + x ≤   − 5x − 2x ≤    4x + 4x + x ≤  x j ≥ (j = → 4) 1- Tìm toán đối ngẫu toán cho 2- Giải toán cho suy kết toán đối ngẫu 5- Cho toán quy hoạch tuyến tính max z = 27x + 50x (D) + 18x  x + 2x + x ≤  − + x − 2x ≤ 2x    x + 2x − 4x ≤ −    x1 , x x3 tuú ý, ≤ a- Tìm toán đối ngẫu toán cho b- Giải toán đối ngẫu suy kết toán cho [...]... 4) 0 2 1- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho 2- Giải bài toán đã cho rồi suy ra kết quả của bài toán đối ngẫu 5- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính max z = 27x 1 + 50x (D) 2 + 18x 3  x 1 + 2x 2 + x 3 ≤ 2  − + x 2 − 2x 3 ≤ 4 2x  1   x 1 + 2x 2 − 4x ≤ − 2 3    x1 , x x3 2 tuú ý, ≤ 0 a- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho b- Giải bài toán đối ngẫu rồi suy ra kết quả của bài toán đã... 18 x1 , x2 ≥ 0 a- Tìm bài toán đối ngẫu (D) từ bài toán (P) b- Tìm phương án tối ưu cho bài toán (P) c- Từ bảng đơn hình tối ưu của (P) Hãy tìm phương án tối ưu cho bài toán (D) 2- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính min w= x1 + x2 x1 - 2x3 + x4 = 2 (D) x2 - x3 + 2x4 = 1 x3 - x4 + x5 = 5 xi ≥ 0, ∀ i = 1→5 a- Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán (D) b- Tìm phương án tối ưu của bài toán (D) c- Từ bảng đơn... của bài toán (D) Hãy tìm phương án tối ưu cho bài toán đối ngẫu ở câu a 3- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính min w = -2 x1 - x4 x1 + x2 + 5x3 = 20 (D) x2 + 2x4 ≥ 5 x1 + x2 - x3 ≥ 8 xi tùy ý (i=1→ 4) Tìm bài toán đối ngẫu (P) của bài toán (D) Từ bài toán (P) hãy chỉ ra rằng (P) không tồn tại phương án tối ưu do đó (D) cũng tồn tại phương án tối ưu 4- Cho bài toán quy hoạch tuyến tính BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU... =2  = −  3  −  3  CÂU HỎI CHƯƠNG 3 1- Bạn hiểu như thế nào về khái niệm đối ngẫu ? 2- Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu của một quy hoach tuyến tính chính tắc có dạng như thế nào ? 3- Bạn hãy nêu ra các quy tắc đối ngẫu Cho ví dụ 4- Giá trị hàm mục tiêu của hai quy hoạch tuyến tính đối ngẫu thì như thế nào ? Chứng minh BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1- Xét bài toán quy hoạch tuyến tính max z... đơn hình cơ bản đã biết trong chương trước được áp dụng như thế nào đối với bài toán đối ngẫu Giả sử rằng B là một cơ sở của bài toán (P) thoả : T T y = Bc B và N y ≥ c N −1 Nếu B cũng là một cơ sở khả thi của bài toán gốc, tức là  x = B − 1b = b ≥ 0 x= B  , thì (theo định lý đối ngẫu) y, x lần lượt là phương án tối  x N =  0 x  ưu của bài toán đối ngẫu và bài toán gốc Nếu không thì x = ... 0 Như vậy : đối với bài toán đối ngẫu thì biến yr đi vào cơ sở và biến ys ra khỏi cơ sở, trong khi đó đối với bài toán gốc thì biến xs đi vào cơ sở và biến xr ra khỏi cơ sở - Nếu mọi thành phần trong dòng r của N đều > 0 thì phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là không giới nội, điều này (theo định lý đối ngẫu) dẫn đến bài toán gốc không có phương án Ví dụ : Xét bài toán min w(x) = x 1 − x 3  x... : x BT x NT c BT c NT B N b Bảng (P) T y y4 y8 T 0 T -Im 0 b B T N 0 -In-m cB cN Bảng (D) Để đưa bài toán đối ngẫu về dạng chuẩn người ta nhân (bên trái) bảng (D) với bảng sau đây : (B ) ( B N) −1 T −1 T 0 -In-m Khi đó người ta được bảng kết quả có dạng : m T y m y4y5y6 0 b=B m Im n-m () − N −1 (B ) 0 b −1 T − 0 n-m y7y8 T ( =− B (c 0 −1 ) N T I n-m B T B ) −1 T ( − c N = − cN − cB T B −1 N ) T T Bảng... 1,2,3,4) 0 Bài toán đối ngẫu của (D) là : max z(y) = y 1 + 2y  y1 + y 2 ≤ 1  − 2y + 3y ≤  1 2 0   y1 ≤ − 1  y 2 ≤ 0 2 (P) y1, y2 là tùy ý Ta có thể chọn bài toán (D) hoặc (P) để giải tìm phương án tối ưu bằng phương pháp đơn hình, từ đó suy ra phương án tối ưu của bài toán còn lại theo kết quả trên Trong ví dụ này ta chọn bài toán (D) để giải vì có chứa sẵn ma trận đơn vị Giải bài toán (D) bằng... a- Nếu b ≥ 0 thì giải thuật kết thúc, khi đó : T y = cB B −1 là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu  b B  x =   =   là phương án tối ưu của bài toán gốc  x N  0  x b- Nếu tồn tại r sao cho b r ∈ b , b r < 0 thì xảy ra một trong hai trường hợp sau : - Nếu trong dòng r của N có thành phần < 0 thì người ta tính : = c s c j = min    Nrj  Nrs ∀ j : Nij < 0 Như vậy : đối với bài toán. .. toán (D) bằng phương pháp đơn hình cải tiến ta được : cB iB x2 -2 x3 1 x4 0 b0 1 -1 3 x1 1 0 4 1 3 0 1 2 1 0 -1 0 w(x ) 2 -2 0 0 -1 x1 x x 0 0 T c T c0 c iB B1 1 -1 3 0 2 c T T c1 5 3 1 3 1 8 3 2 3 0 1 1 0 0 -1 0 0 x 0 b1 7 3 2 3 1 w(x ) 7 − 3 4 2 3 1 3 0 2 3 Giải thuật dừng vì thoả dấu hiệu tối ưu của bài toán min Phương án tối ưu của bài toán (D) là : 2 7 x =0 x2 = x3 =  1 3 3   w(x) = w(x 1 )