chương 2 bài toán tồn tại định lý ramsey

Chng BI TON TN TI Gii thiu bi toỏn Cỏc k thut chng minh c bn Nguyờn lý Dirichlet nh lý Ramsey Toỏn ri rc 1 Gii thiu bi toỏn Trong chơng trớc, ta tập trung ý vào việc đếm số cấu hình tổ hợp Trong toán tồn cấu hình hiển nhiên công việc đếm số phần tử thoả mãn tính chất đặt Tuy nhiên, nhiều toán tổ hợp, việc tồn cấu hình thoả mãn tính chất cho trớc khó khăn Chẳng hạn, kỳ thủ cần phải tính toán nớc để giải đáp xem liệu có khả thắng hay không, Một ngời giải mật mã cần tìm kiếm chìa khoá giải cho mật mã mà liệu có điện thật đợc mã hoá đối phơng hay không, mật mã giả đối phơng tung nhằm đảm bảo an toàn cho điện thật Trong tổ hợp xuất vấn đề thứ hai quan trọng là: xét tồn cấu hình tổ hợp với tính chất cho trớc - toán tồn tổ hợp Nhiều toán tồn tổ hợp thách thức trí tuệ nhân loại động lực thúc đẩy phát triển tổ hợp nói riêng toán học nói chung Toỏn ri rc Bi toỏn v 36 s quan Bài toán đợc Euler đề nghị, nội dung nh sau: Có lần ngời ta triệu tập từ trung đoàn trung đoàn sĩ quan thuộc cấp bậc khác nhau: thiếu úy, trung uý, thợng uý, đại uý, thiếu tá, trung tá tham gia duyệt binh s đoàn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vuông cho hàng ngang nh hàng dọc có đại diện trung đoàn cấp bậc sĩ quan. Toỏn ri rc Bi toỏn v 36 s quan S dng: A, B, C, D, E, F để phiên hiệu trung đoàn, a, b, c, d, e, f để cấp bậc sĩ quan Bài toán tổng quát hoá thay số n Trong trờng hợp n = 4, lời giải toán 16 sỹ quan Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bb Dc Aa Da Ac Cb Bd Một lời giải trờng hợp n = Aa Bb Cc Dd Ee Cd De Ea Ab Bc Eb Ac Bd Ce Da Be Ca Db Ec Ad Dc Ed Ae Ba Cb Toỏn ri rc Bi toỏn v 36 s quan Do lời giải toán biểu diễn hình vuông với chữ la tinh hoa thờng chồng cạnh nên toán tổng quát đặt đợc biết dới tên gọi toán hình vuông la tinh trực giao Euler nhiều công sức để tìm lời giải cho toán 36 sĩ quan nhng ông không thành công Từ ông đề giả thuyết tổng quát là: Không tồn hình vuông la tinh trực giao cấp n = 4k + Tarri, năm 1901 chứng minh giả thuyết với n = 6, cách duyệt tất khả xếp Năm 1960 ba nhà toán học Mỹ Boce, Parker, Srikanda đợc lời giải với n = 10 sau phơng pháp xây dựng hình vuông la tinh trực giao cho n = 4k+2, với k > Toỏn ri rc Bi toỏn v 36 s quan Tởng chừng toán đặt có ý nghĩa tuý toán đố hóc búa thử trí tuệ ngời Thế nhng gần ngời ta phát ứng dụng quan trọng vấn đề vào: Quy hoạch thực nghiệm (Experimental Design), Sắp xếp lịch thi đấu giải cờ quốc tế, Hình học xạ ảnh (Projective Geometry), Toỏn ri rc Bài toán màu Có toán mà nội dung giải thích cho ai, nhiên lời giải thử tìm, nhng mà khó tìm đợc Ngoài định lý Fermat toán màu toán nh Bài toán phát biểu trực quan nh sau: Chứng minh đồ mặt phẳng tô màu cho hai nớc láng giềng lại bị tô màu Chú ý rằng, ta xem nh nớc vùng liên thông hai nớc đợc gọi láng giềng chúng có chung biên giới đờng liên tục Fall 2006 Toỏn ri rc Bi toỏn mu Con số ngẫu nhiên Ngời ta chứng minh đợc đồ đợc tô với số mầu lớn 4, với số mầu không tô đợc Chẳng hạn đồ gồm nớc hình dới tô đợc với số mầu A B C D Fall 2006 Toỏn ri rc Bi toỏn mu Vn ny c cp bc th ca Augustus De Morgan gi W R Hamilton nm 1852 (De Morgan bit s kin ny t Frederick Guthrie, cũn Guthrie t ngi anh trai ca mỡnh ) Trong 110 nm rt nhiu chng minh c cụng b nhng u cú li Nm 1976, Appel v Haken ó a chng minh bng mỏy tớnh in t! K Appel and W Hankin, "Every planar map is 4colorable," Bulletin of the AMS, Volume 82 (1976), 711-712 Fall 2006 Toỏn ri rc Bi toỏn mu Trong ngụn ng toỏn hc, bi toỏn mu c phỏt biu di dng bi toỏn tụ mu th phng Vic gii quyt Bi toỏn mu úng gúp phn quan trng vo vic phỏt trin lý thuyt th Bi toỏn tụ mu th cú nhiu ng dng thc t quan trng Fall 2006 Toỏn ri rc 10 Vớ d m u Trong mặt phẳng cho điểm đợc nối với đôi cung màu xanh màu đỏ Chứng minh tìm đợc điểm cho cung nối chúng có màu (ta nói chúng tạo thành tam giác xanh đỏ) Giải: Chọn điểm P Từ có cung nối với điểm lại Theo nguyên lý Dirichlet, có số cung phải có màu, chẳng hạn màu xanh Giả sử cung PA, PB, PC Nếu nh số cung AB, AC, BC có màu xanh với hai số ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh Nếu ngợc lại tam giác ABC tam giác đỏ Fall 2006 Toỏn ri rc 92 Vớ d m u A P B C E Fall 2006 Nếu nh số cung AB, AC, BC có màu xanh thỡ với hai số ba cung PA, PB, PC tạo thành tam giác xanh D Toỏn ri rc 93 Vớ d m u A P B Nu c cung AB, AC, BC cú mu thỡ chỳng to thnh mt tam giỏc C E Fall 2006 D Toỏn ri rc 94 Phõn tớch vớ d Một cách phát biểu khác kết vừa chứng minh là: Trong số ngời bàn tiệc tìm đợc ba ngời đôi quen ba ngời đôi không quen Cú th thy rng nu thay s bi n > thỡ khng nh vớ d ỳng Nhng nu thay s bi thỡ khng nh vớ d khụng cũn ỳng na nh ch hỡnh v sau õy Fall 2006 Toỏn ri rc 95 Phõn tớch vớ d Nh vy cú th thy l giỏ tr n nh nht khng nh vớ d l ỳng Chúng ta đặt câu hỏi tơng tự nh: Hỏi phải có ngời để chắn tìm đợc ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Hỏi phải có ngời để chắn tìm đợc ngời đôi quen ngời đôi không quen nhau? Con số nhỏ nhắc đến câu hỏi đợc gọi số Ramsey, mang tên nhà toán học ngời Anh chứng minh đợc định lý tiếng lý thuyết tập hợp tổng quát hoá nguyên lý Dirichlet Fall 2006 Toỏn ri rc 96 Cỏc s Ramsey Để phát biểu kết tổng quát cần đến số khái niệm Định nghĩa Gọi Kn gồm hai tập V, E, V tập gồm n điểm E tập đoạn nối tất cặp điểm V Fall 2006 Ta ký hiệu Kn = (V, E) Các phần tử V đợc gọi đỉnh, V tập đỉnh Kn Mỗi đoạn nối hai đỉnh u, v V đợc gọi cạnh Kn ký hiệu (u, v), tập E đợc gọi tập cạnh Kn Toỏn ri rc 97 Cỏc s Ramsey Ta phát biểu lại kết ví dụ mở đầu nh sau: Giả sử cạnh K6 đợc tô hai màu xanh đỏ Khi K6 chứa K3 với tất cạnh đợc tô màu xanh (gọi tắt K3 xanh) K3 với tất cạnh đợc tô màu đỏ (gọi tắt K3 đỏ) Chúng ta nói số có tính chất (3,3)-Ramsey Định nghĩa Giả sử i j hai số nguyên cho i 2, j Số nguyên dơng m có tính chất (i,j)-Ramsey Km với cạnh đợc tô hai màu xanh, đỏ chứa Ki đỏ Kj xanh Fall 2006 Toỏn ri rc 98 Cỏc s Ramsey Từ phân tích ta thấy có tính chất (3,3)-Ramsey, số n m có tính chất này; Nếu m tính chất (i,j)-Ramsey, số n < m tính chất này; Nếu i Fall 2006 i2 R(i1,j) R(i2,j) Toỏn ri rc 101 Cỏc s Ramsey Việc xác định số Ramsey R(i,j) đòi hỏi phải tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất (i,j)-Ramsey Liệu số có tồn với i 2, j hay không? Định lý Ramsey cho ta khẳng định tồn số Định lý Ramsey Nếu i 2, j số nguyên dơng tìm đợc số nguyên dơng với tính chất (i,j)Ramsey (từ suy số R(i,j) tồn tại) Fall 2006 Toỏn ri rc 102 Cỏc s Ramsey Cỏc s R(i,j) va trỡnh by trờn ch l mt s nhiu dũng s Ramsey ó c nghiờn cu Vic xỏc nh R(i,j) vi nhng giỏ tr i, j c th luụn l cỏc bi toỏn t hp khụng tm thng Hin ngi ta mi bit giỏ tr ca R(i, j) vi rt ớt giỏ tr ca (i,j) Fall 2006 Toỏn ri rc 103 Ask questions! Fall 2006 Toỏn ri rc 104 Fall 2006 Toỏn ri rc 105 Fall 2006 Toỏn ri rc 106 [...]... Fall 20 06 Toỏn ri rc 12 Gi thuyt 3x + 1 Gi thuyt 3x+1 (conjecture) Gi s hm f(x) tr li x /2 nu x l s chn v 3x+1 nu x l s l Vi mi s nguyờn dng x, luụn tn ti n sao cho f n ( x ) = 1f ( 4f ( ( 4 2f (4x )) )) 43 n lần gọi hàm f f (13) = 3*13 + 1 = 40 f (40) = 40 / 2 = 20 f (20 ) = 20 / 2 = 10 f (10) = 10 / 2 = 5 f (5) = 3* 5 + 1 = 16 l bng 1 f (16) = 16 / 2 = 8 f (8) = 8 / 2 = 4 f (4) = 4 / 2 = 2 f (2) = 2. .. O GIC Fall 20 06 Toỏn ri rc 16 Fractals Fall 20 06 Toỏn ri rc 17 A bit of humor: Computer terminology Fall 20 06 Toỏn ri rc 18 Chng 2 BI TON TN TI 1 Gii thiu bi toỏn 2 Cỏc k thut chng minh c bn 3 Nguyờn lý Dirichlet 4 H i din phõn bit 5 nh lý Ramsey Fall 20 06 Toỏn ri rc 19 2 Cỏc k thut chng minh 2. 0 M u 2. 1 Chng minh trc tip (Direct Proof) 2. 2 Chng minh bng phn chng (Proof by Contradiction) 2. 3 Chng minh... minh 2 l s vụ t Th nhng, theo nh lý c bn ca s hc, 2 l tha s trong PTNT ca p2 Do 2 l s nguyờn t, nờn nú cng l tha s trong PTNT ca p T ú suy ra, 22 cng xut hin trong PTNT ca p2, v vỡ th trong c PTNT ca 2q2 Bng cỏch chia hai v cho 2, ta suy ra 2 l tha s trong PTNT ca q2 Tng t nh trờn (nh i vi p2) ta cú th kt lun 2 l tha s nguyờn t ca q Nh vy, ta thy p v q cú chung tha s 2 iu ú l mõu thun vi gi thit p... 20 06 Toỏn ri rc 23 Vớ d: Chng minh 2 l s vụ t Ký hiu s = 21 /2 Theo nh ngha, s tho món phng trỡnh s2 = 2 Nu s l s hu t, thỡ ta cú th vit s = p/q trong ú p v q l hai s nguyờn Bng cỏch chia cho c chung nu cn, ta cú th gi thit l p v q khụng cú c chung no ngoi 1 Thay biu din ny vo phng trỡnh u tiờn, sau khi bin i mt chỳt, ta thu c phng trỡnh p2 = 2 q2 Fall 20 06 Toỏn ri rc 24 Vớ d: Chng minh 2 l s vụ t ... Gọi x1, x2, , x10 là các số gán cho các đỉnh của 1, 2, , 10 của thập giác Giả sử ngợc lại là không tìm đợc ba đỉnh nào thoả mãn khẳng định của ví dụ Khi đó ta có x1 + x2 + x3 13, x2 + x3 + x4 13, x9 + x10 + x1 13, x10 + x1 + x2 13, Fall 20 06 Toỏn ri rc 32 2 .2 Chng minh bng phn chng Cộng vế với vế tất cả các bất đẳng thức trên ta suy ra 3(x1 + x2 + + x10) 130 Mặt khác do 3(x1 + x2 + ... cú lý do xỏc ỏng khụng lm nh vy Fall 20 06 Toỏn ri rc 27 Vớ d Vớ d 1 Mi s nguyờn l u l hiu ca hai s chớnh phng CM Gi s 2a+1 l s nguyờn l, khi ú 2a+1 = (a+1 )2 - a2 Vớ d 2 S 100 01 (vi 3n-1 s khụng, trong ú n l s nguyờn dng) l hp s CM Ta cú th vit 100 01 = 103n + 1, trong ú n l s nguyờn dng S dng hng ng thc a3 + b3 = (a+b)(a2 - a b + b2) vi a = 10n v b = 1, ta thu c (10n)3 + 1 = (10n + 1)(102n -... Mi s nguyờn n >2 u l tng ca 2 s nguyờn t ó ch ra l ỳng vi mi n n tn 4*1014 Nhiu ngi cho rng gi thuyt l ỳng Cp s nguyờn t sinh ụi (Twin prime conjecture) Cú vụ s cp s nguyờn t sinh ụi (ngha l ch chờnh lch nhau 2) Cp sinh ụi ln nht: 318,0 32, 361 *21 07,0011 S ny cú 32, 220 ch s! Cng c cho rng l ỳng Khụng tn ti s hon ho l (Odd perfect number) Nu bn gii quyt c mt trong nhng vn ny Fall 20 06 Toỏn ri rc... chung no ngoi 1 Khng nh c chng minh Fall 20 06 Toỏn ri rc 25 2. 1 Chng minh trc tip (Direct proofs) Chỳng ta bt u bng vớ d chng minh tớnh bc cu ca tớnh cht chia ht nh lý Nu a chia ht b v b chia ht c thỡ a chia ht c Proof Theo gi thit, v nh ngha tớnh chia ht, ta suy ra tn ti cỏc s nguyờn k1 v k2 sao cho b = a k1 v c = b k2 Suy ra c = b k2 = a k1 k2 t k = k1 k2 Ta cú k l s nguyờn v c = a k, do ú theo... dài, ta có: 10 < a1 a2 a7 < 100 Cần chứng minh rằng trong dãy đã xếp luôn tìm đợc 3 đoạn liên tiếp sao cho tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối Giả thiết điều này không xảy ra Fall 20 06 Toỏn ri rc 30 2. 2 Chng minh bng phn chng Từ giả thiết phản chứng suy ra đồng thời xảy ra các bất đẳng thức: a1 + a2 a3, a2 + a3 a4, a3 + a4 a5, a4 + a5 a6, a5 + a6 a7 Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn hơn... + 2 + + 9) = 135, suy ra 135 = 3(x1 + x2 + + x10) 130 Mâu thuẫn thu đợc đã chứng tỏ khẳng định trong ví dụ là đúng Fall 20 06 Toỏn ri rc 33 2. 2 Chng minh bng phn chng Vớ d 3 Chng minh rng khụng th ni 31 mỏy vi tớnh thnh mt mng sao cho mi mỏy c ni vi ỳng 5 mỏy khỏc Gii: Gi s ngc li l tỡm c cỏch ni 31 mỏy sao cho mi mỏy c ni vi ỳng 5 mỏy khỏc Khi ú s lng kờnh ni l 5ì31 /2 = 75,5 ?! iu phi lý ... 45 C s qui np: Bng 22 x 22 Fall 20 06 Toỏn ri rc 46 C s qui np: Bng 22 x 22 Fall 20 06 Toỏn ri rc 47 C s qui np: Bng 22 x 22 Fall 20 06 Toỏn ri rc 48 C s qui np: Bng 22 x 22 Fall 20 06 Toỏn ri rc 49... b3 = (a+b)(a2 - a b + b2) vi a = 10n v b = 1, ta thu c (10n)3 + = (10n + 1)(102n - 10n + 1) Do (10n + 1) > v (102n - 10n + 1) > n l nguyờn dng nờn ta cú pcm Fall 20 06 Toỏn ri rc 28 2. 2 Chng minh... (Projective Geometry), Toỏn ri rc Bài toán màu Có toán mà nội dung giải thích cho ai, nhiên lời giải thử tìm, nhng mà khó tìm đợc Ngoài định lý Fermat toán màu toán nh Bài toán phát biểu trực quan nh