TOÁN GIẢI THUẬT - CHƯƠNG III: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Tham khảo tài liệu ''toán giải thuật - chương iii: bài toán đối ngẫu'', khoa học xã hội, kinh tế chính trị phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CHƯƠNG III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Chương trình bày trình bày khái niệm đối ngẫu, quy tắc đối ngẫu giải thuật đối ngẫu Đây kiến thức có giá trị ứng dụng nhờ giải quy hoạch tuyến tính từ quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Nội dung chi tiết chương bao gồm : I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU 1- Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng tắc 2- Định nghĩa đối ngẫu trường hợp tổng quát 3- Các định lý đối ngẫu a- Định lý ( đối ngẫu yếu ) b- Định lý c- Định lý d- Định lý ( đối ngẫu) e- Định lý (tính bổ sung ) II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU 70 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CHƯƠNG III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU Đối ngẫu khái niệm việc giải tốn quy hoạch tuyến tính lý thuyết đối ngẫu dẫn đến kết có tầm quan trọng mặt lý thuyết mặt thực hành 1- Đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng tắc Xét tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc z(x) = c T x ⎧⎪Ax = b ⎨ ⎪⎩x ≥ Giả sử x* phương án tối ưu cần tìm tốn x0 phương án tốn cận giá trị mục tiêu tối ưu xác định : cTx* ≤ cTx0 Tuy chưa tìm phương án tối ưu x* biết thêm cận giá trị mục tiêu tối ưu ta giới hạn phần giá trị mục tiêu tối ưu Người ta ước lượng cận theo cách sau : Với vectơ xT = [x1 x2 xn] ≥ thuộc Rn chưa thoả ràng buộc toán, tức b – Ax ≠ người ta nới lỏng toán thành toán nới lỏng : L(x,y) = cTx + yT(b - Ax) x≥0 yT = [ y1 y2 ym] tuỳ ý ∈ Rm Gọi g(y) giá trị mục tiêu tối ưu toán nới lỏng, ta có : g(y) = { cTx + yT(b - Ax) } 71 (x ≥ 0) BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ≤ cTx + yT(b - Ax) Trong trường hợp x phương án toán ban đầu, tức : b - Ax = g(y) ≤ cTx Vậy g(y) cận giá trị mục tiêu nên cận giá trị mục tiêu tối ưu Một cách tự nhiên người ta quan tâm đến toán tìm cận lớn nhất, : max g(y) y tuỳ ý ∈ Rm Bài toán gọi toán đối ngẫu toán ban đầu Trong phần sau người ta chứng minh giá trị mục tiêu tối ưu toán đối ngẫu với giá trị mục tiêu tối ưu toán gốc ban đầu Người ta đưa toán đối ngẫu dạng dể sử dụng cách tính sau : g(y) = { cTx+yT(b - Ax) } (x ≥ 0) = { cTx + yTb - yTAx } (x ≥ 0) = { yTb + (cT - yTA)x } (x ≥ 0) = yTb + { (cT - yTA)x } (x ≥ 0) Ta thấy : ⎡0 c T − y T A ≥ (c − y A) x = ⎢ ( x ≥0) ⎢⎣không xác đinh c T − y T A < T T Vậy ta nhận : g(y) = yTb với cT - yTA ≥ Suy tóan đối ngẫu có dạng : max g(y) = y Tb ⎧⎪y T A ≤ c T ⎨ ⎪⎩y ∈ R m tùy ý Hay : 72 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU max g(y) = b T y ⎧⎪A T y ≤ c ⎨ ⎪⎩y ∈ R m tùy ý 2- Định nghĩa đối ngẫu trường hợp quy hoạch tổng quát Trong trường hợp quy hoạch tuyến tính tổng quát, quy tắc sau áp dụng để xây dựng toán đối ngẫu : - Hàm mục tiêu đối ngẫu : max ↔ - Biến đối ngẫu : Mỗi ràng buộc ↔ biến đối ngẫu - Chi phí đối ngẫu giới hạn ràng buộc : Chi phí đối ngẫu ↔ giới hạn ràng buộc - Ma trận ràng buộc đối ngẫu : Ma trận chuyển vị - Chiều ràng buộc dấu biến : Ràng buộc tốn max có dấu ≤ biến đối ngẫu tốn có dấu ≥ ( trái chiều ) Ràng buộc tốn max có dấu = biến đối ngẫu tốn có dấu tùy ý Ràng buộc tốn max có dấu ≥ biến đối ngẫu tốn có dấu ≤ ( trái chiều ) Biến tốn max có dấu ≥ ràng buộc đối ngẫu tốn có dấu ≥ ( chiều ) Biến tốn max có dấu tùy ý ràng buộc đối ngẫu tốn có dấu = Biến tốn max có dấu ≤ ràng buộc tốn đối ngẫu có dấu ≤ ( chiều ) Xét ràng buộc dạng ma trận toán quy hoạch tuyến tính tổng quát sau : 73 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ⎡ a11 ⎢ ⎢ T a i → ⎢ ai1 ⎢ ⎢ ⎢a m1 ⎣ a12 a1j ai2 a m2 aij amj a1n ⎤ ⎥⎥ ain ⎥ ⎥ ⎥ a mn ⎥⎦ ⎡x1 ⎤ ⎢ x ⎥ ⎡ b1 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ≤ ⎢ bi ⎥ ⎢ x j ⎥ ≥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣b m ⎥⎦ ⎢⎣ x n ⎥⎦ ↑ Aj Ký hiệu : aiT dòng thứ i (i=1,2, ,m) Aj cột thứ j (j=1,2, ,n) Khi đó, mối liên hệ hai tốn đối ngẫu trình bày sau : z(x) = cTx → aiT x = b i w(y) = yTb → max yi tự Ràng buộc / Dấu aiT x ≤ b i yi ≤ Cùng chiều T i a x ≥ bi xj ≥ xj ≤ xj tự yi ≥ y Aj ≤ cj yTAj ≥ cj yTAj = cj T Trái chiều Ví dụ a- Hai tốn sau đối ngẫu : max z(x) = 30x + 10 x ⎧2x + x ≤ ⎨ ⎩2x + 2x ≤ x1 , x ≥ (P) w(y) = 4y + y ⎧2y + y ≥ 30 ⎨ ⎩y + 2y ≥ 10 y1 , y ≥ b- Hai toán sau đối ngẫu : 74 (D) BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU w(x) = x − x + x + x ⎧x + x − x + 5x ≤ ⎪ ⎪2x − 3x + 3x − x ≥ ⎨ ⎪3x − x + x = ⎪7x + x − x ≥ ⎩ x , x ≥ 0, x y , x ≤ (D) max z(y) = 6y + y + y + 5y ⎧ y + y + 3y + y ≤ ⎪ ⎪2y − 3y − y ≤ −1 (P) ⎨ ⎪- y + 3y + 5y + y = ⎪5y − y − 2y ≥ 2 ⎩ y ≤ 0, y ≥ 0, y y, y ≥ Ðối với cặp toán đối ngẫu (P) (D) xảy ba trường hợp sau : - Cả hai tốn khơng có phương án tối ưu - Cả hai tốn có phương án, lúc chúng có phương án tối ưu giá trị hàm mục tiêu hai phương án tối ưu - Một hai tốn khơng có phương án, cịn tốn có phương án, tốn có phương án khơng có phương án tối ưu 3- Các định lý đối ngẫu a- Định lý ( đối ngẫu yếu ) Xét hai toán đối ngẫu : ⎧min w(y) = b T y ⎪ ⎪ (D) ⎨A T y ≥ c ⎪ ⎪⎩y tùy ý ⎧max z(x) = c T x ⎪ ⎪ (P) ⎨Ax = b ⎪ ⎪⎩x ≥ Nếu x phương án toán (P) y phương án tốn (D) z( x ) ≤ w ( y ) nghĩa giá trị hàm mục tiêu tốn max khơng vượt giá trị hàm mục tiêu toán đối ngẫu phương án tốn Chứng minh 75 BÀI TỐN ĐỐI NGẪU x phương án (P) nên : A x = b ⇒ T T y A x = y b = b T y = w( y ) y phương án (D) nên : A T y ≥ c T ⇒ y A ≥ cT ⇒ y A x ≥ c T x = z( x ) T Vậy z( x ) ≤ w ( y ) Định lý phát biểu chứng minh cho hai toán đối ngẫu trường hợp tổng quát b- Định lý Xét hai toán đối ngẫu : ⎧min w(y) = b T y ⎪ ⎪ (D) ⎨A T y ≥ c ⎪ ⎪⎩y tùy ý ⎧max z(x) = c T x ⎪ ⎪ (P) ⎨Ax = b ⎪ ⎪⎩x ≥ x phương án khả thi toán (P) y phương án khả thi toán (D) Nếu z( x ) = w ( y ) x , y phương án tối ưu tương ứng (P (D) Chúng minh - Nếu x không phương án tối ưu tốn (P) tồn phương án x cho : z( x ) < z( x ) ⇒ w ( y ) < z( x ) : điều mâu thuẩn với định lý - Nếu y không phương án tối ưu tốn (D) tồn phương án y cho : w(y) < w(y) ⇒ w ( y ) < z( x ) : điều mâu thuẩn với định lý Vậy x y phương án tối ưu (P) (D) 76 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU c- Định lý Xét hai toán đối ngẫu : ⎧min w(y) = b T y ⎪ ⎪ (D) ⎨A T y ≥ c ⎪ ⎪⎩y tùy ý ⎧max z(x) = c T x ⎪ ⎪ (P) ⎨ Ax = b ⎪ ⎪⎩ x ≥ Nếu x* phương án tối ưu toán (P) sở B phương án tối ưu y* tốn (D) tính cơng thức : (y *)T = c BT B −1 Chứng minh Do x* phương án tối ưu (P) với sở B nên thoả dấu hiệu tối ưu c T − c BT B −1 A ≤ ⇒ c BT B −1 A ≥ c T ⇒ (y *)T A ≥ c T ⇒ y* phương án (D) Mặt khác x* tính cơng thức : ⎡ x B* = B −1b⎤ ⎥ x =⎢ ⎢x * = ⎥ ⎦ ⎣ N * giá trị mục tiêu tối ưu (P) : z(x*) = cTx* = c BT x B* Ta có : w( y * ) = b T y* = b T (c BT B −1 ) T = (c BT B −1 )b = c BT (B -1b) = c BT x B* = c BT x B* = z( x * ) Theo định lý y* phương án tối ưu (D) Định lý cho phép tìm phương án tối ưu tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu từ tốn gốc Trong : - c BT xác định bảng đơn hình tối ưu (P) - B-1 gồm m cột tương ứng với m cột ma trận sở ban đầu lấy từ bảng đơn hình tối ưu tốn gốc 77 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU d- Định lý ( đối ngẫu) Xét hai toán đối ngẫu ⎧min w(y) = b T y ⎪ ⎪ (D) ⎨A T y ≥ c ⎪ ⎪⎩y tùy ý ⎧max z(x) = c T x ⎪ ⎪ (P) ⎨ Ax = b ⎪ ⎪⎩ x ≥ - Nếu (P) (D) có phương án khả thi chúng có phương án tối ưu giá trị hàm mục tiêu tương ứng - Nếu hai tốn có phương án tối ưu khơng giới nội tốn cịn lại khơng có phương án khả thi Chứng minh - Đây kết định lý - Giả sử phương án tối ưu (D) không giới nội, tức tồn phương án khả thi y (D) cho w(y)= bTy nhỏ tuỳ ý Điều có nghĩa : với M>0 lớn tuỳ ý tìm phương án khả thi y (D) cho : bT y ≤ − M Nếu (P) có phương án khả thi x theo định lý ta có : z(x) = c T x ≤ w(y) = b T y < − M Điều dẫn đến mâu thuẩn e- Định lý (tính bổ sung ) Xét hai toán đối ngẫu ⎧max z(x) = c T x ⎪ ⎪ (P) ⎨ Ax = b ⎪ ⎪⎩ x ≥ ⎧min w(y) = b T y ⎪ ⎪ (D) ⎨A T y ≥ c ⎪ ⎪⎩y tùy ý x , y phương án khả thi tương ứng (P) (D) Điều kiện cần đủ để x , y phương án tối ưu : T x (A T y − c T ) = Chứng minh - Do x phương án khả thi (P) nên : 78 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Ax = b ⇒ (A x ) T = b T ⇒ x A T = bT ⇒ x A T y = bT y ⇒ x A T y − x c = bT y - cT x ⇒ x ( A T y − c) = b T y - c T x T T T T T ( x T c = c T x) (*) - Theo kết (*) : Nếu x , y phương án tối ưu (P) (D) theo định lý cT x = bT y ⇒ cT x − bT y = T ⇒ x ( A T y − c) = T Nếu x ( A T y − c) = ⇒ b T y − c T x = ⇒ b T y = c T x Theo định lý x , y phương án tối ưu II- GIẢI THUẬT ĐỐI NGẪU Xét hai toán đối ngẫu : w(y) = b T y max z(x) = c T x (P) ⎧Ax = b ⎨ ⎩x ≥ (D) ⎧A T y ≥ c ⎨ ⎩y y Chúng ta xét xem giải thuật đơn hình biết chương trước áp dụng toán đối ngẫu Giả sử B sở toán (P) thoả : y = c BT B −1 N T y ≥ c N Nếu B sở khả thi toán gốc, tức ⎡ x = B −1b = b ≥ 0⎤ x=⎢ B ⎥ , (theo định lý đối ngẫu) y, x phương án tối ⎢⎣ x N = ⎥⎦ ⎡x ⎤ ưu toán đối ngẫu tốn gốc Nếu khơng x = ⎢ B ⎥ không phương ⎣x N ⎦ án tốn gốc x B = b = B −1b ≥ Để tiện việc trình bày ta xét (m=3 , n=5) : 79 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU max z(x) = c x + c x + c x + c x + c x (P) ⎧a11 x + a12 x + a13 x + a14 x + a15 x = b1 ⎪ ⎨a 21 x + a 22 x + a 23 x + a 24 x + a 25 x = b ⎪a x + a x + a x + a x + a x = b 32 33 34 35 ⎩ 31 x1 , x , x , x , x ≥ Các liệu (P) đuợc trình bày bảng sau : x1 x2 x3 x4 x5 c1 c2 c3 c4 c5 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 a24 a34 a15 a25 a35 b1 b2 b3 toán đối ngẫu w(y) = b1 y + b y + b y (D) ⎧a11 y ⎪ ⎪a12 y ⎪ ⎪ ⎨a13 y ⎪ ⎪a14 y ⎪ ⎪⎩a15 y + a 21 y + a 31 y ≥ c + a 22 y + a 32 y ≥ c + a 23 y + a 33 y ≥ c + a 24 y + a 34 y ≥ c + a 25 y + a 35 y ≥ c y , y , y y Người ta đưa (D) dạng tắc cách thêm biến phụ y4 y5, y6, y7, y8 ≥ Chúng không ảnh hưởng đến hàm mục tiêu w(y) = b1 y + b y + b y + 0.y + 0.y + 0.y + 0.y + 0.y ⎧a11 y ⎪ ⎪a12 y ⎪ ⎪ ⎨a13 y ⎪ ⎪a14 y ⎪ ⎪⎩a15 y + a 21 y + a 31 y − y = c + a 22 y + a 32 y − y = c + a 23 y + a 33 y − y = c + a 24 y + a 34 y − y = c + a 25 y + a 35 y − y = c y , y , y y - y , y , y , y , y ≥ Các liệu (D) trình bày bảng sau : 80 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 b1 b2 b3 0 0 a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0 0 -1 c1 c2 c3 c4 c5 Giả sử m cột A sở B (P) hai bảng trình bày rút gọn sau : x BT x NT c BT c NT B N b Bảng (P) yT y4 y8 bT BT NT -Im 0 -In-m cB cN Bảng (D) Để đưa toán đối ngẫu dạng chuẩn người ta nhân (bên trái) bảng (D) với bảng sau : (B ) ( B N) −1 T −1 T -In-m Khi người ta bảng kết có dạng : 81 BÀI TỐN ĐỐI NGẪU m yT m y4y5y6 n-m y7y8 b = B −1 b m Im − B −1 n-m () − N T ( ( ) T ) = − B −1N T In-m (c B ) = −(c − c −1 T T B − cN T N T B B −1N ) T Bảng cho ta quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với ma trận đơn vị (cơ sở) tương ứng với cột y1 y2 y3 y7 y8 Áp dụng giải thuật đơn hình vào kết cho ta quy tắc đổi sở sau : Tính : b = B −1b ≥ a- Nếu b ≥ giải thuật kết thúc, : y = c BT B −1 phương án tối ưu toán đối ngẫu ⎡ x B ⎤ ⎡b ⎤ x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ phương án tối ưu toán gốc ⎣ x N ⎦ ⎣0⎦ b- Nếu tồn r cho b r ∈ b , b r < xảy hai trường hợp sau : - Nếu dịng r N có thành phần < người ta tính : cs Nrs ⎧ cj ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩Nrj ⎭ ∀j : Nij < Như : toán đối ngẫu biến yr vào sở biến ys khỏi sở, tốn gốc biến xs vào sở biến xr khỏi sở - Nếu thành phần dòng r N > phương án tối ưu tốn đối ngẫu không giới nội, điều (theo định lý đối ngẫu) dẫn đến tốn gốc khơng có phương án Ví dụ : Xét tốn 82 BÀI TỐN ĐỐI NGẪU w(x) = x − x ⎧x − x + x = ⎨ ⎩x + 3x + x = x j ≥ (j = 1,2,3,4) (D) Bài toán đối ngẫu (D) : max z(y) = y + y ⎧y + y ≤ ⎪ ⎪− y + y ≤ ⎨ ⎪y ≤ −1 ⎪y ≤ ⎩ (P) y1, y2 tùy ý Ta chọn tốn (D) (P) để giải tìm phương án tối ưu phương pháp đơn hình, từ suy phương án tối ưu tốn cịn lại theo kết Trong ví dụ ta chọn tốn (D) để giải có chứa sẵn ma trận đơn vị Giải tốn (D) phương pháp đơn hình cải tiến ta : x1 x2 -2 x3 x4 b0 cT -1 w(x0) T -2 0 -1 x1 x2 x3 x4 1 0 -1 0 b1 3 w(x1) − c B0 iB -1 c0 c B1 i B1 -1 cT T c1 3 3 3 Giải thuật dừng thoả dấu hiệu tối ưu toán Phương án tối ưu toán (D) : ⎧ x3 = ⎪⎪x = x = 3 ⎨ ⎪w ( x ) = w ( x ) = − ⎪⎩ 83 x4 = BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU Suy phương án tối ưu (P) : ⎧ 2⎤ ⎡ ⎪ T ⎢ T −1 ⎥ = ⎡− − ⎤ ⎪y = [y y ] = c B B = [− ] ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎥ ⎢ ⎪ 3⎦ ⎣ ⎨ ⎪ ⎡−1⎤ ⎪ T ⎢ 2⎥ = − [ ] z ( y ) = b y = ⎪ − ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎩ 84 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CÂU HỎI CHƯƠNG 1- Bạn hiểu khái niệm đối ngẫu ? 2- Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu quy hoach tuyến tính tắc có dạng ? 3- Bạn nêu quy tắc đối ngẫu Cho ví dụ 4- Giá trị hàm mục tiêu hai quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ? Chứng minh 85 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU BÀI TẬP CHƯƠNG 1- Xét toán quy hoạch tuyến tính max z = 7x1 + 5x2 2x1 + 3x2 ≤ 19 (P) 2x1 + x2 ≤ 13 3x2 ≤ 15 3x1 ≤ 18 x1 , x2 ≥ a- Tìm tốn đối ngẫu (D) từ tốn (P) b- Tìm phương án tối ưu cho tốn (P) c- Từ bảng đơn hình tối ưu (P) Hãy tìm phương án tối ưu cho tốn (D) 2- Xét tốn quy hoạch tuyến tính w= x1 + x2 x1 - 2x3 + x4 = (D) x2 - x3 + 2x4 = x3 - x4 + x5 = xi ≥ 0, ∀i = 1→5 a- Tìm tốn đối ngẫu tốn (D) b- Tìm phương án tối ưu tốn (D) c- Từ bảng đơn hình tối ưu tốn (D) Hãy tìm phương án tối ưu cho toán đối ngẫu câu a 3- Xét tốn quy hoạch tuyến tính w = -2x1 - x4 x1 + x2 + 5x3 = 20 (D) x2 + 2x4 ≥ x1 + x2 - x3 ≥ xi tùy ý (i=1→ 4) Tìm tốn đối ngẫu (P) toán (D) Từ toán (P) (P) không tồn phương án tối ưu (D) tồn phương án tối ưu 4- Cho toán quy hoạch tuyến tính 86 BÀI TỐN ĐỐI NGẪU max z = 2x + x + x + x (D) ⎧x + 3x + x ≤ ⎪ ⎪− x − x ≤ ⎪ ⎨ ⎪4 x + x + x ≤ ⎪ ⎪⎩x j ≥ (j = → 4) 1- Tìm toán đối ngẫu toán cho 2- Giải toán cho suy kết toán đối ngẫu 5- Cho toán quy hoạch tuyến tính max z = 27x + 50 x + 18 x (D) ⎧x + x + x ≤ ⎪ ⎪− x + x − x ≤ ⎪ ⎨ ⎪x + x − x ≤ −2 ⎪ ⎪⎩x , x tuú ý, x ≤ a- Tìm toán đối ngẫu toán cho b- Giải toán đối ngẫu suy kết toán cho 87 ...BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CHƯƠNG III BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU I- KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI NGẪU Đối ngẫu khái niệm việc giải toán quy hoạch tuyến tính lý thuyết đối ngẫu dẫn đến kết có tầm quan... xây dựng toán đối ngẫu : - Hàm mục tiêu đối ngẫu : max ↔ - Biến đối ngẫu : Mỗi ràng buộc ↔ biến đối ngẫu - Chi phí đối ngẫu giới hạn ràng buộc : Chi phí đối ngẫu ↔ giới hạn ràng buộc - Ma trận... ⎥⎦ ⎪⎩ 84 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CÂU HỎI CHƯƠNG 1- Bạn hiểu khái niệm đối ngẫu ? 2- Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu quy hoach tuyến tính tắc có dạng ? 3- Bạn nêu quy tắc đối ngẫu Cho ví dụ 4- Giá trị