Bất đẳng thức whitney trong xấp xỉ bằng đa thức đại số

Bất đẳng thức đánh giá sự tương đương giữa sai số xấp xỉ tốt nhất bằng đa thức đại số và môđun trơn. Luận văn đã trình bày về bất đẳng thức Whitney thiết lập sự tương đương giữa môđun trơn bậc r và sai số xấp xỉ tốt nhất của hàm f bằng đa thức đại số bậc nhỏ hơn r. Khi r cố định và khoảng I là nhỏ thì bất đẳng thức Whitney cho ta thu được những xấp xỉ tốt của hàm f từ không gian các đa thức đại số bậc nhỏ hơn r. Các kết quả luận văn đã đạt được như sau: egin{enumerate} item Trình bày bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến . item Trình bày bất đẳng thức Whitney đối với hàm nhiều biến theo hướng mở rộng không đẳng hướng trong tài liệu cite{DT} end{enumerate}

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án công trình nghiên cứu công bố Người cam đoan (Ký ghi rõ họ tên) Bùi Khắc Thiện ii Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS - TSKH Đinh Dũng, người bảo tận tình cho tác giả nhận xét quí báu để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn GS - TSKH Đinh Dũng iii Mục lục Bảng ký hiệu iv Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian L p (A), (1 ∞) 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Đạo hàm suy rộng 1.1.4 Đa thức Taylor bất đẳng thức đạo hàm p 1.2 Môđun liên tục - Môđun trơn 1.2.1 Môđun liên tục 1.2.2 Môđun trơn Chương Bất đẳng thức Whitney hàm biến 13 2.1 K - phiếm hàm 13 2.2 Bất đẳng thức Whitney hàm biến 17 Chương Bất đẳng thức Whitney hàm nhiều biến 19 3.1 Một số kí hiệu 19 3.2 Một số bổ đề kỹ thuật 22 3.3 Bất đẳng thức Whitney 30 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iv Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn trừ trường hợp đặc biệt nêu rõ mục, lại sử dụng ký hiệu sau • Tập A đoạn R A = R A = R+ • C(A), C(A), Cr (A) không gian hàm liên tục; không gian hàm liên tục không gian hàm khả vi liên tục cấp r A • C0∞ (A) không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact A • Lloc (A) không gian hàm khả tích địa phương A • Pr không gian đa thức đại số có bậc nhỏ r Mở đầu Bất đẳng thức Whitney cổ điển [15] thiết lập mối quan hệ tương đương môđun trơn ωr ( f , |I|) p,I sai số xấp xỉ tốt Er ( f ) p, I hàm f : I → R đa thức đại số bậc nhỏ r, đo không gian L p (I), p ∞, I = [a, b] khoảng R |I| = b − a độ dài Bất đẳng thức Whitney phát biểu sau 2−r ωr ( f , |I|) p, I Er ( f ) p, I Cr ωr ( f , |I|) p, I (1) với số C phụ thuộc vào r Kết lần chứng minh Whitney [15] p = ∞ mở rộng Brudnyĩ [1] với p < ∞ Bất đẳng thức (1) cho ta đặc trưng hội tụ xấp xỉ địa phương đa thức đại số r cố định khoảng I nhỏ Có số hướng mở rộng bất đẳng thức (1) cho hàm nhiều biến sau : Mở rộng cho hàm nhiều biến ( đẳng hướng ) hình d - lập phương Q Rd chứng minh Brudnyĩ [2], [3] Kết tương đương thay hình d - lập phương miền Ω ⊂ Rd Trường hợp Ω tập lồi đề cập [2] Trường hợp cho miền Lipschitz đề cập [4] Mở rộng cho hàm nhiều biến ( không đẳng hướng ) đề cập [7], [6] Trong hướng mở rộng Dinh Dung and Tino Ullrich [6] nói lên mối liên quan xấp xỉ địa phương không đẳng hướng tốt đa thức đại số môđun trơn hỗn hợp Nội dung luận văn trình bày bất đẳng thức Whitney hàm biến hàm nhiều biến theo hướng [6] Bố cục luận văn sau : Chương Trình bày kiến thức cần dùng chứng minh bổ đề định lý Chương Định lý Whitney cho hàm biến bổ đề dùng để chứng minh định lý Chương Định lý Whitney cho hàm nhiều biến bổ đề dùng để chứng minh định lý Luận văn thực hướng dẫn GS TSKH Đinh Dũng Nhân dịp em xin cảm ơn thầy giúp đỡ em việc hướng dẫn đọc tài liệu, kiểm tra kiến thức, định hình luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo thầy cô trường Đại học Hồng Đức, khoa Tự nhiên, phòng Đào tạo kiến thức quý em nhận thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn thầy cô bảo tận tình Cảm ơn gia đình người thân bạn bè khuyến khích, động viên Thanh Hóa, tháng 12 năm 2013 Bùi Khắc Thiện Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm liên quan xây dựng chứng minh bất đẳng thức Whitney hàm biến Đó : không gian L p (A), hàm liên tục tuyệt đối, không gian Sobolev, đạo hàm suy rộng, đa thức Taylor bất đẳng thức đạo hàm, môđun trơn môđun liên tục Phần lớn định nghĩa, tính chất chương tham khảo từ tài liệu [5] Các mệnh đề, định lí chương nêu ra, phần chứng minh tham khảo tài liệu [5] 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian L p(A), (1 p Định nghĩa 1.1.1 Không gian L p (A), (1 ∞) p ∞) không gian định chuẩn bao gồm tất hàm f đo theo nghĩa Lebesgue A, với chuẩn sau hữu hạn f p := f p, A =    ( | f (x)| p dx) p   esssup| f (x)| p = ∞ p < ∞, A x∈A (1.1) Từ định nghĩa ta thấy không gian L p (A), p ∞ không gian Banach Chúng ta cần hai bất đẳng thức đặc trưng không gian L p (A) Đó : a) Bất đẳng thức Holder : Với | f (x)||g(x)|dx f p, q p ∞, 1 p+q = 1, ta có g q , ∀ f ∈ L p (A), g ∈ Lq (A) (1.2) A b) Bất đẳng thức Minkowski : Nếu g(.), f (., ) hàm không âm, đo B A × B tương ứng 1/p p g(y) f (x, y)dy A 1/p dx p f (x, y)dx g(y) B B dy (1.3) A 1.1.2 Không gian Sobolev Trước hết ta định nghĩa hàm liên tục tuyệt đối Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f xác định A Hàm f gọi liên tục tuyệt đối A với ε > 0, tồn δε > cho n−1 với x1 , , xn ∈ A, ∑ |xi+1 − xi | n−1 δ ∑ | f (xi+1 ) − f (xi )| i=1 ε i=1 Hàm f liên tục tuyệt đối A f tồn hầu khắp nơi Từ định nghĩa hàm liên tục tuyệt đối ta định nghĩa không gian Sobolev sau Định nghĩa 1.1.3 Không gian Sobolev Wpr (A), p ∞ không gian hàm f ∈ L p (A) cho f (r−1) liên tục tuyệt đối f (r) ∈ L p (A) Chuẩn Wpr (A), ∞, định nghĩa sau p f Wpr (A) = f p+ f (r) p 1.1.3 Đạo hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.4 Cho f , g hai hàm khả tích địa phương A, ta nói g đạo hàm suy rộng cấp r f A f φ (r) dx = (−1)r A gφ dx, ∀φ ∈ C0∞ (A), (1.4) A C0∞ (A) không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact A Định lý sau nói lên đặc trưng hàm có đạo hàm suy rộng cấp r không Định lý 1.1.5 Cho r Nếu f ∈ Lloc (A) thỏa mãn, f (x)φ (r) (x)dx = 0, ∀φ ∈ C0∞ (A), (1.5) A tồn đa thức bậc P bậc nhỏ r cho f = P hầu khắp nơi A Định lý sau nói lên mối quan hệ tồn đạo hàm suy rộng tính liên tục tuyệt đối hàm Định lý 1.1.6 Cho r Nếu f ∈ Lloc (A) có đạo hàm suy rộng cấp r g ∈ Lloc (A), f xác định lại tập có độ đo không cho f (r−1) liên tục tuyệt đối f (r) = g hầu khắp nơi A 1.1.4 Đa thức Taylor bất đẳng thức đạo hàm Định nghĩa 1.1.7 Cho f ∈ Wpr (A) Khi f có đạo hàm liên tục cấp k = 0, 1, , r − Vì với c ∈ A, đa thức r−1 Tr−1 (x) := Tr−1 ( f , c, x) := ∑ k=0 f (k) (c) (x − c)k , k! hoàn toàn xác định gọi đa thức Taylor f c (1.6) Bằng quy nạp tích phân phần ta có x f (x) − Tr−1 (x) := f c (r) (x − t)r−1 dt (t) (r − 1)! (1.7) Mệnh đề sau cho ta đánh giá sai số xấp xỉ đa thức Taylor qua độ dài khoảng A độ trơn hàm số Mệnh đề 1.1.8 Nếu f ∈ Wpr (A), A = [a, b], p, q ∞, đa thức Taylor Tr−1 ( f , c, x), c ∈ A, ta có f − Tr−1 1 |A|r− p + q f (r) (r − 1)! q, A p, A (1.8) Nếu f ∈ Wpr đạo hàm cấp trung gian f tồn có định lý sau Định lý 1.1.9 Với r ∞, A = [a, b], tồn số C phụ thuộc 2, p r p+u f (r) vào r cho uk f (k) đó, p u C( f p ), f ∈ Wpr (A), k = 0, , r (1.9) b − a Chứng minh Từ công thức Taylor (1.7), ta có ur−1 (r−1) f (x) f (x + u) = f (x) + u f (x) + + (r − 1)! u (u − t)r−1 + f (r) (x + t)dt, (r − 1)! với x ∈ A = [a, (a+b) ] với ≤ u ≤ (1.10) b−a Số dư Rr (x, u) (1.10) hàm x mà lấy chuẩn L p (A ) 28 lần ta có số hạng cuối (3.9) b2 b1 b2 f (r1 ,r2 ) (s,t) (−1)r1 s=0 t=0 b1 b2 (0,r2 ) = f x2 =t b2 (s,t) x2 =t s=0 t=0 (x2 − t)r2 −1 ϕ(s, x2 )dx2 dtds (r2 − 1)! (x2 − t)r2 −1 (r1 ,0) ϕ (s, x2 )dx2 dtds (r2 − 1)! (3.12) số hạng triệt tiêu với số hạng thứ hai (3.9) Do ta thu (Pr f )(r1 ,0) = ϕ chọn tùy ý Pr f (x1 , x2 )ϕ (0,r2 ) dx1 dx2 = suy (Pr f )(0,r2 ) = Tương tự ta có Q Pr f (x1 , x2 )ϕ (r1 ,r2 ) dx1 dx2 ta có: Trong trường hợp Q Pr f (x1 , x2 )ϕ (r1 ,r2 ) dx1 dx2 = Q f (x1 , x2 )ϕ (r1 ,r2 ) (x1 , x2 )dx1 dx2 Q b2 b1 b2 − f (0,r2 ) (x1 ,t) x2 =t t=0 x1 =0 b2 b1 b1 f (r1 ,0) (s, x2 ) − x1 =s x2 =0 s=0 b1 b2 + b1 f (r1 ,r2 ) (x2 − t)r2 −1 (r1 ,r2 ) ϕ (x1 , x2 )dx2 dx1 dt (r2 − 1)! (x1 − s)r1 −1 (r1 ,r2 ) ϕ (x1 , x2 )dx1 dsdx2 (r1 − 1)! b2 (s,t) x1 =s x2 =t s=0 t=0 (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 (r1 ,r2 ) ϕ (x1 , x2 )dx2 dx1 dtds (r1 − 1)!(r2 − 1)! (3.13) Cũng làm tương tự ta có Số hạng thứ hai b2 b1 b2 f (0,r2 ) (x1 ,t) − t=0 x1 =0 b2 b1 =− t=0 x1 =0 x2 =t (x2 − t)r2 −1 (r1 ,r2 ) ϕ (x1 , x2 )dx2 dx1 dt (r2 − 1)! b2 f (0,r2 ) (x1 ,t) x2 =t (−1)r2 ϕ (r1 ,0) (x1 ,t)dx1 dt 29 b2 b1 f (x1 ,t)ϕ (r1 ,r2 ) (x1 ,t)dx1 dt =− (3.14) t=0 x1 =0 số hạng trừ số hạng Tương tự số hạng thứ ba trừ số hạng Số hạng cuối b1 b1 b2 f (r1 ,r2 ) b2 (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 (r1 ,r2 ) ϕ (x1 , x2 )dx2 dx1 dtds (r1 − 1)!(r2 − 1)! (s,t) x1 =s x2 =t s=0 t=0 b1 b2 = b1 f s=0 t=0 b1 b2 (r1 ,r2 ) (s,t) x1 =s (x1 − s)r1 −1 (−1)r2 ϕ (r1 ,0) (x1 ,t)dx1 dtds (r1 − 1)! f (r1 ,r2 ) (s,t)(−1)r2 (−1)r1 ϕ(s,t)dtds = s=0 t=0 b1 b2 f ( s,t)ϕ (r1 ,r2 ) (s,t)dtds = (3.15) s=0 t=0 số hạng (3.13) Pr f (x1 , x2 )ϕ (r1 ,r2 ) dx1 dx2 = kéo theo (Pr f )(r1 ,r2 ) = Vậy, ta có Q Áp dụng Bổ đề 3.2.3 ta có điều phải chứng minh Chú ý 3.2.5 Đa thức Pr f (3.8) đồng với đa thức Taylor hai biến r2 −1 r1 −1 Tr f (x1 , x2 ) := f ∑ ∑ (k1 ,k2 ) k2 =0 k1 =0 x1k1 x2k2 (0, 0) k1 ! k2 ! (3.16) với f ∈ Wpr (Q) Do đó, cho hàm f ∈ Wpr (Q) có công thức Taylor sau x2 Tr f (x1 , x2 ) := f (x1 , x2 ) − f (0,r2 ) (x2 − t)r2 −1 (x1 ,t) dt (r2 − 1)! 30 x1 f (r1 ,0) (s, x2 ) − x1 x2 + f (r1 ,r2 ) 0 (x1 − s)r1 −1 )ds (r1 − 1)! (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 (s,t) dtds (r1 − 1)!(r2 − 2)! (3.17) Chú ý 3.2.6 Bổ đề 3.2.4 công thức Taylor (3.17) trường hợp d biến tương tự Tổng (3.17) gấp đôi so với so với công thức Taylor biết trường hợp biến: x Tr f (x) := f (x) − f (r) (x − s)r−1 (s) ds (r − 1)! (3.18) Trong trường hợp d biến ta gấp d lần lên 3.3 Bất đẳng thức Whitney Trước hết ta trình bày bất đẳng thức sai số xấp xỉ tốt Er ( f ) p,Q đạo hàm hàm nhiều biến f Định lý 3.3.1 Cho p ∞, r ∈ Nd , tồn số C phụ thuộc vào r, d cho với f ∈ Wpr (Q) Er ( f ) p,Q ∑ ∏ δir i f (r(e)) p,Q , e⊂[d],e=0/ i∈e δ = δ (Q) := (b1 − a1 , , bd − ad ) cỡ Q Chứng minh Để đơn giản chứng minh định lí trường hợp d = Q = [0, b1 ] × [0, b2 ] Lấy f ∈ Wpr (Q) hàm hai biến Ta có x2 f −Pr f p,Q = (x2 − t)r2 −1 (0,r2 ) f (x1 ,t) dt + (r2 − 1)! x1 f (r1 ,0) (x1 − s)r1 −1 (s, x2 ) )ds (r1 − 1)! 31 x1 x2 f (r1 ,r2 ) (s,t) − 0 x2 (x2 − t)r2 − f (0,r2 ) (x1 ,t) dt (r2 − 1)! x1 x2 + (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 dtds (r1 − 1)!(r2 − 2)! f (r1 ,r2 ) 0 p,Q x1 p,Q + f (r1 ,0) (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 (s,t) dtds (r1 − 1)!(r2 − 2)! (x1 − s)r1 −1 (s, x2 ) )ds (r1 − 1)! p,Q (3.19) p,Q Bằng bất đẳng thức Holder ta có đánh giá sau x2 (0,r2 ) f (x2 − t)r2 −1 (x1 ,t) dt (r2 − 1)! x2 b1 b2 = f x2 =0 x1 =0 br22 f (0,r2 ) x1 f (r1 ,0) b1 x2 =0 x1 =0 br11 f (r1 ,0) x1 x2 (r1 ,r2 ) 0 dx1 dx2 x1 p,Q (x1 − s)r1 −1 (r1 ,0) ds f (s, x2 ) (r1 − 1)! 1/p p dx1 dx2 p,Q (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 (s,t) dtds (r1 − 1)!(r2 − 2)! b1 1/p p p,Q = b2 (x2 − t)r2 −1 (x1 ,t) dt (r2 − 1)! (x1 − s)r1 −1 (s, x2 ) )ds (r1 − 1)! b2 f (0,r2 ) p,Q x1 x2 = x2 =0 x1 =0 0 br11 br22 f (r) p,Q p,Q (x1 − s)r1 −1 (x2 − t)r2 −1 (r1 ,r2 ) f (s,t) dtds (r1 − 1)!(r2 − 2)! 1/p p dx1 dx2 Vậy, ta có f − Pr f p,Q br22 f (0,r2 ) r1 p,Q + b1 f (r1 ,0) r1 r2 p,Q + b1 b2 f (r) p,Q (3.20) 32 Đây bất đẳng thức đạo hàm cho trường hợp d = Trường hợp d > chứng minh tương tự Sau ta trình bày bất đẳng thức kiểu Johnen cho K - phiếm hàm hỗn hợp Trước hết ta định nghĩa K - phiếm hàm hỗn hợp hàm f sau : Cho r ∈ Nd , K - phiếm hàm hỗn hợp Kr ( f ,t) p,Q f ∈ L p (Q) t ∈ R+ định nghĩa Kr ( f ,t) p,Q := f −g inf g∈Wpr (Q) p,Q + ∏ ti ∑ e⊂[d],e=0/ g(r(e)) p,Q i∈e (3.21) Bất đẳng thức kiểu Johnen cho hàm nhiều biến phát biểu định lí sau Định lý 3.3.2 (Bất đẳng thức Johnen)[6] Cho ∞ r ∈ Nd Khi với f ∈ L p (Q), bất đẳng thức p −1 ri Ωr ( f ,t) p,Q ∑ ∏2 Kr ( f ,t r ) p,Q CΩr ( f ,t) p,Q , t ∈ Rd+ , (3.22) e⊂[d] i∈e với số C phụ thuộc vào r, p, d Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.3.3 Cho p r ∈ Nd , kí hiệu d Qe := ∏ Iχi e (i), (3.23) i=1 χe hàm đặc trưng tập e ⊂ [d] Khi với f ∈ L p (Q), bất đẳng thức Kr ( f ,t r ) p,Q C ∑ Kr ( f ,t r ) p,Qe , e⊂[d] với t ∈ d Rd+ với ti di − ci , i ∈ [d] số C phụ thuộc vào r 33 Giả sử Chứng minh ci di bi với i ∈ [d].Đặt I i = [ai , bi ], I1i = [ai , di ], I0i = [c1 , di ] Ta có Q = Q1 ∪ Q0 = I11 × ∏ i∈[d]\{1} I i ∪ I01 × ∏ Ii i∈[d]\{1} Ta chứng tỏ Kr ( f ,t r ) p,Q1 + Kr ( f ,t r ) p,Q0 Kr ( f ,t r ) p,Q (3.24) Lấy hàm tăng ϕ ∈C∞ (R) cho  0 s < 0, ϕ(s) =  1 s>1 Đặt h = d1 − c1 λ (s) = ϕ s−c1 h s ∈ R , Chúng ta thu hàm λ ∈ C∞ (R) không đoạn [a1 , c1 ], đoạn [d1 , b1 ] tăng đoạn [c1 , d1 ] Chúng ta có λ (k) ∞,R h−k ϕ (k) Lấy f ∈ Wpr (Q) t ∈ Rd+ với ti ∞,R , k ∈ N di − ci , i ∈ [d] Với hàm g1 ∈ Wpr (Q1 ) tùy ý g0  ∈ Wpr (Q0 ), đặt    g1 (x) + λ (x1 )(g0 (x) − g1 (x)) x ∈ Q0 ∩ Q1 ,    g(x) = g0 x ∈ Q0 \ Q1 ,      g1 x ∈ Q1 \ Q0 Bằng cách xây dựng λ ta thấy g ∈ Wpr (Q) f −g λ (x1 ) f (x) − λ (x1 )g0 (x) + (1 − λ (x1 )) f (x) − (1 − λ (x1 ))g1 (x) p,Q f − g0 p,Q0 + f − g1 p,Q1 (3.25) Hơn nữa, với tập khác rỗng e ⊂ [d] ta có (r(e)) g(r(e)) (x) = g1 r1 (x) + ∑ k=0 r1 k (k,r(e)) λ (r1 −k) (x1 ) g1 (k,r(e)) (x) − g0 (x) , p,Q 34 Q0 ∩ Q1 , r(e) vecto r(e \ {1}) Do đó, với tập khác rỗng e ⊂ [d] ta ∏ tir g(r(e)) i p,Q0 ∩Q1 i∈e (r(e)) ∏ tir i g1 p,Q0 ∩Q1 + i∈e ∏ (k,r(e)) max h−(r1 −k) g1 k r1 r χe (1) tiri (r(e)) t11 g1 (k,r(e)) − g0 p,Q0 ∩Q1 p,Q0 ∩Q1 i∈e\{1} t1 r1 −k k (k,∼r (e)) (k,r(e)) + max ( ) t1 g1 − g0 k r1 h p,Q0 ∩Q1 (3.26) Áp dụng Bổ đề 3.2.1 Bổ đề 3.2.2 ta (k,r(e)) t1k g1 (0,r(e)) g1 (k,r(e)) − g0 p,Q0 ∩Q1 (0,r(e)) − g0 g(r(e)) i ∏ tir p,Q0 ∩Q1 i∈e + g1 (r(e)) − g0 p,Q0 ∩Q1 h trường hợp r(e) = Thay vào(3.26) đặt t1 ∏ tir (r(e)) r1 p,Q0 ∩Q1 + t1 (r(e)) i g0 p,Q0 + i∈e (r(e)) ∏ tir i g1 p,Q1 + i∈e ∏ tiri (0,r(e)) g0 i∈e\{1} (0,r(e)) tiri ∏ g1 p,Q1 , (3.27) i∈e\{1} trường hợp r(e) = 0, tức e = {1} ta có ∏ tir i ∏ tir i g(r(e)) ∏ tir p,Q0 ∩Q1 i∈e i (r(e)) g0 f − g0 p,Q0 + (r(e)) g1 p,Q1 + p,Q0 + f − g0 p,Q1 (3.28) i∈e Vì g(r(e)) p,Q0 i∈e p,Q g(r(e)) p,Q0 ∩Q1 + (r(e)) g0 p,Q0 + (r(e)) g1 p,Q1 , Sử dụng (3.25);(3.27);(3.28) vào ta có: Kr ( f ,t r ) p,Q Kr ( f ,t r ) p,Q1 + Kr ( f ,t r ) p,Q0 p,Q0 35 Vậy ta chứng minh xong (3.24) Chúng ta tiếp tục với phương pháp với Q0 Q1 thay cho Q, có Kr ( f ,t r ) p,Q01 + Kr ( f ,t r ) p,Q00 , Kr ( f ,t r ) p,Q0 Q00 = I01 × I02 × ∏ Q00 = I01 × I12 × Ii i∈[d]\{1,2} Ii ∏ i∈[d]\{1,2} Tương tự cho Q1 Lặp lại nhiều lần bước ta có điều phải chứng minh Bây ta chứng minh bất đẳng thức kiểu Johnen Chứng minh Trước hết ta chứng minh vế đầu bất đẳng thức Với f ∈ L p (Q) với tập e ⊂ [d] khác rỗng g ∈ Wpr (Q) có ωr(e) ( f ,t) p,Q ωr(e) ( f − g,t) p,Q + ωr(e) (g,t) p,Q Mặt khác, với hàm biến g ∈ Wpm (I) theo công thức Taylor ta có x (m) g(x) = Tm−1 (x) + g (x − t)m−1 (t) dt (m − 1)! suy x m ∆m h g = ∆h suy ∆m hg m (x − t)m−1 (m) k g (t) dt = ∑ Cm (−1)m−k (m − 1)! k=0 p,I 2m |h|m g(m) p,I x+kh g (m) (x+kh−t)m−1 (t) dt, (m − 1)! Áp dụng cho hàm f với xi , i ∈ e biến x1 , , xi−1 , xi+1 , , xd cố định ta có ωr(e) ( f −g,t) p,Q +ωr(e) (g,t) p,Q ∏ 2r i∈e i f −g p,Q + ∏ tir i∈e i g(r(e)) p,Q 36 Từ ta có ∑ ∑ ∏ 2r ωr(e) ( f ,t) p,Q i Kr ( f ,t r ) p,Q e⊂[d] i∈e e⊂[d],e=0/ Đây là vế thứ bất đẳng thức Johnen Bây ta chứng minh vế lại bất đẳng thức Johnen Để đơn giản chứng minh cho trường hợp d = t ∈ R2+ , t > Nếu k số tự nhiên với hàm biến ϕ xác định [a, b], định nghĩa toán tử ptk ,t ∞ k k+1 k pt (ϕ, x) := ϕ(x) + (−1) ∆th (ϕ, x)Mk (h)dh, −∞ Mk B - spline bậc k với điểm nút 0, , k giá [0, k] Hàm ptk (ϕ) xác định [a, b − h/4] với t − t := h/4k2 h:=b-a Chúng ta có ptk (ϕ) (k) (x) = t k −k ∑ (−1) j+1 j−k ∆kjt (ϕ, x) (3.29) j=1 Đặt hi := bi − ci := + hi /4, di := bi − hi /4 i ∈ [2] Ta thấy < ci < di < bi , sử dụng kí hiệu Qe (3.23) với e ⊂ [d] ta có Q[2] = [a1 , d1 ] × [a2 , d2 ] Với hàm f hình chữ hộp [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] toán tử ptr , t ∈ R2+ xác định ptr ( f ) := ∏ ptr ,i( f ), i i i=1 hàm biến ptrii,i suy từ hàm biến f cách xét f hàm biến xi với biến lại cố định Hàm ptk xác định 37 − − t , ti := hi /4ri2 Chúng ta có Q[2] với t ∞ ptk ( f , x) := f (x) + (−1)r1 +1 r ∆th ( f , x)Mr1 (h1 )dh1 −∞ ∞ + (−1)r2 +1 r ∆th ( f , x)Mr2 (h1 )dh2 −∞ ∞ ∞ + (−1)r1 +r2 +2 r ∆th ( f , x)Mr1 (h1 )Mr2 (h2 )dh1 dh2 , −∞ −∞ r1 := (r1 , 0); r2 := (0, r2 ) Chúng ta định nghĩa hàm gt = ptr ( f ) Nếu f ∈ L p (Q), bất đẳng thức Minkowski tính chất B -spline Mri ta có f − gt ωr1 ( f ,t) p,Q[2] + ωr2 ( f ,t) p,Q[2] + ωr ( f ,t) p,Q[2] p,Q[2] = Ωr ( f ,t) p,Q[2] (3.30) Hơn nữa, (3.29) thu (r1 ) gt = ptr22,2 (r1 ) ptr11,1 ( f ) = t1−r1 ptr22,2 r1 ∑ (−1) j +1 j1−r j1 =1 r1 r1 ∆ (f) j1 j1t1 ,1 Vì ptr22,2 toán tử tuyến tính bị chặn từ L p (Q[2] ) vào L p (Q[2] ) ∆rj11t1 ,1 ( f ) p,Q[2] ωr1 ( f ,t) p,Q[2] , có (r1 ) t1r1 gt p,Q[2] ωr1 ( f ,t) p,Q[2] p,Q[2] ωr2 ( f ,t) p,Q[2] (3.31) Tương tự (r2 ) t2r2 gt Áp dụng (3.29) lần có (r) gt = t1−r1 t2−r2 r1 r2 ∑ ∑ (−1) j + j +2 j1−r j1 =1 j2 =1 j2−r2 r1 j1 r2 r ∆ ( f ) j2 jt 38 Từ bất đẳng thức ∆rjt ( f ) ωr ( f ,t) p,Q[2] kéo theo p,Q (r) t1r1 t2r2 gt ωr ( f ,t) p,Q[2] p,Q[2] (3.32) Kết hợp (3.30) (3.32), ta có (r2 ) (r1 ) r1 p,Q[2] +t1 gt f −gt r2 p,Q[2] +t2 gt r1 r2 p,Q[2] +t1 t2 Kr ( f ,t r ) p,Q[2] Ωr ( f ,t) p,Q , (r) gt Ωr ( f ,t) p,Q p,Q[2] Do đó, có cách tương tự ta có Kr ( f ,t r ) p,Qe Ωr ( f ,t) p,Q với tập e ⊂ [2], Qe xác định (3.23) Từ áp dụng Bổ đề − 3.3.3 ta có vế cuối bất đẳng thức Johnen trường hợp t t − Gọi g ∈ Wpr (Q) cho −r1 −(r ) −r2 −(r ) −r1 −r2 −(r) + t g + t g + t1 t2 g p,Q p,Q p,Q p,Q − f −g − Ωr ( f , t ) p,Q (3.33) Áp dụng bất đẳng thức đạo hàm Định lý 3.3.1, ta có − − r1 −(r ) − r2 −(r ) − r1 − r2 −(r) t1 g + t g + t g t2 p,Q p,Q p,Q − g − Tr ( g) p,Q − − Vì Tr ( g) ∈ Wpr (Q) Tr ( g) (r(e)) = với tập khác rỗng e ⊂ [d], với − t > t nên ta có Kr ( f ,t r ) p,Q − f − Tr ( g) − f −g p,Q p,Q + − − g − Tr ( g) p,Q áp dụng(3.33) (3.34) vào ta có Kr ( f ,t r ) p,Q (3.34) − Ωr ( f , t ) p,Q Ωr ( f ,t) p,Q Vậy bất đẳng thức Johnen chứng minh xong Sau ta chứng minh bất đẳng thức Whitney cho hàm nhiều biến 39 Định lý 3.3.4 Với p ∞, r ∈ Nd Khi tồn số C phụ thuộc vào r, d cho với f ∈ L p (Q) ta có −1 ri ∑ ∏2 Ωr ( f , δ ) p,Q Er ( f ) p,Q CΩr ( f , δ ) p,Q , (3.35) e⊂[d] i∈e δ = δ (Q) := (b1 − a1 , , bd − ad ) cỡ Q Chứng minh Bất đẳng thức thứ (3.35) dễ dàng suy Thật vậy, f ∈ L p (Q) với tập khác rỗng e ⊂ [d] ϕ ∈ Pr , ta có ∏ 2r ωr(e) ( f , δ ) p,Q = ωr(e) ( f − ϕ, δ ) p,Q i f −ϕ p,Q i∈e Do đó, thu bất đẳng thức thứ (3.35) Vế lại, áp dụng bất đẳng thức đạo hàm Định lý 3.3.1 với g ∈ Wpr (Q), ta có Er ( f ) p,Q f −g p,Q + Er (g) p,Q f −g p,Q + f −g p,Q + g − Tr (g) ∏δr i p,Q g(r(e)) i∈e Do có Er ( f ) p,Q Kr ( f , δ r ) p,Q Áp dụng định lí Johnen ta có vế lại bất đẳng thức p,Q 40 Kết luận Luận văn trình bày bất đẳng thức Whitney thiết lập tương đương môđun trơn bậc r sai số xấp xỉ tốt hàm f đa thức đại số bậc nhỏ r Khi r cố định khoảng I nhỏ bất đẳng thức Whitney cho ta thu xấp xỉ tốt hàm f từ không gian đa thức đại số bậc nhỏ r Các kết luận văn đạt sau: Trình bày bất đẳng thức Whitney hàm biến Trình bày bất đẳng thức Whitney hàm nhiều biến theo hướng mở rộng không đẳng hướng tài liệu [6] 41 Tài liệu tham khảo [1] Yu A Brudnyĩ, On a theorem on best local approximation, Kazansk Univ Gos Uchen Zap 124 (6) (1964) 43 - 49 [2] Yu A Brudnyĩ, A multidimensional analogue of a certain theorem of Whitney, Math USSR Sb (1970) 157 - 170 [3] Yu A Brudnyĩ, Approximation of functions of n variables by quasipolynomial, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat 34 (3) (1970) 564 - 583 [4] S Dekel, On the equivalence of the modulus of smoothess and K funtional over convex domains, J Approx Theory 162 (2010) 349 - 362 [5] Ronald A Devore and George G Lrentz, Constructive Approximation, Springr - Verlag, New York, 1993 [6] Dinh Dung and Tino Ullrich, Whitney type inequalities for local anisotropic polynomial approximation, J Approx Theory 163 (2011), 1590 - 1605 [7] G Garrigos, A Tabaco, Wavelet decompositions of anisotropic Besov spaces, Math Nachr 239 - 240 (2002) 80 - 102 42 [8] L.I Hedberg, Yu Netrusov, An axiomatic approach to function spaces, spectral synthesis, and Luzin approximation, Mem Amer Math Soc 188 (882)(2007) [9] H Johnen, , Inequalities connected with moduli of Smoothness Mat Vesnik (1972), 289 - 303 [10] H Johnen, K Scherer, (1976), on the equivalence of the K - funtional and moduli of cuntinuity and some application Lecture Notes in mathematics, vol 571 Springer, Berlin New York, 119 - 1440 [11] J Peetre, A theory of interpolation of normd spaces, Notas de Matemática No 39, Instituto de Matemática pura e Alicado, conselho Nacional de pesquisas, Rio de Janeiro, pp.86 [12] È.A Storozhenko, Approximation by algebraic polynomials of functions in the class L p , < p < 1, Izv Akad Nauk SSSR Ser Math 41 (1977) 652 - 662 [13] È.A Storozhenko, P.Oswald, Jackson’s theorem in the spaces LP (Rk ), < p < 1, Sib Math J 19 (1978) 630 -640 [14] T Ullrich, Funtion spaces with dominating mixd smoothess, characterization by differences, Technical report , Jenaer Schriften zur Math und Inform Math/Inf/05/06, 2006, pp.50 [15] H.Whitney, On functions with bounded nth difference, J Math Pures Appl 36 (1957) 67 - 95 [...]... ) p p Cωr ( f ,t) p với t Cωr ( f ,t) p , t > t0 t0 2.2 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến Chúng ta xấp xỉ một hàm số f xác định trên I = [a, b] bằng một đa thức từ không gian các đa thức Pr Sai số xấp xỉ tốt nhất của f ∈ L p (I) bằng đa thức từ Pr được đánh giá bởi đại lượng Er ( f ) p,I := inf P∈Pr f −P p,I Khi đó, sai số xấp xỉ tốt nhất Er ( f ) p,I và môđun trơn ωr ( f , |I|) p,I (với... Chú ý 3.2.6 Bổ đề 3.2.4 và công thức Taylor (3.17) trong trường hợp d biến cũng tương tự Tổng trong (3.17) là gấp đôi so với so với công thức Taylor đã biết trong trường hợp một biến: x Tr f (x) := f (x) − f (r) (x − s)r−1 (s) ds (r − 1)! (3.18) 0 Trong trường hợp d biến ta gấp d lần lên 3.3 Bất đẳng thức Whitney Trước hết ta trình bày bất đẳng thức giữa sai số xấp xỉ tốt nhất Er ( f ) p,Q và đạo hàm... thể hiện trong bất đẳng thức Whitney sau đây: 18 Định lý 2.2.1 (xem [15].[1]) Với mỗi r = 1, 2, tồn tại một hằng số Cr > 0, sao cho với mỗi f ∈ L p (I), 1 p 2−r ωr ( f , |I|) p,I ∞ (L∞ (I) = C(I)), ta có Er ( f ) p,I Cr ωr ( f , |I|) p,I (2.12) Chứng minh Giả sử g là một hàm bất kỳ thuộc Wpr và P là đa thức Taylor bậc (r − 1) của g tương ứng với điểm cuối của I Bằng bất đẳng thức (1.8) trong Chương... A B nghĩa là A B A Nếu r ∈ Nd , ký hiệu Pr là không gian các đa thức bậc theo biến xi nhỏ hơn hoặc bằng ri − 1, i ∈ [d], trong đó [d] là tập tất cả các số tự nhiên từ 1 đến d Chúng ta sẽ xấp xỉ một hàm f được xác định trên một d - hình hộp Q := [a1 , b1 ] × × [ad , bd ] bằng một đa thức từ không gian các đa thức Pr Nếu D ⊂ Rd là miền trong Rd , chúng ta định nghĩa L p (D), 1 ∞ là không gian định... từ (2.1) Nếu P là đa thức bậc (r − 1) thì ωr ( f , |I|) p = ωr ( f − P, |I|) p 2r f − P p (do (1.18) với k = 0) Lấy P là xấp xỉ tốt nhất của f ∈ L p (I) từ Pr chúng ta được vế còn lại của (2.12) 19 Chương 3 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm nhiều biến Nội dung chính của chương này là trình bày về bất đẳng thức Whitney đối với hàm nhiều biến Để phát biểu và chứng minh định lý cần một số định nghĩa như... cho f = P 13 Chương 2 Bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến Trong chương này trình bày về K - phiếm hàm, định lý Johnen, bất đẳng thức Whitney đối với hàm một biến Nội dung chủ yếu của chương này được hình thành từ các tài liệu [1], [5], [9], [11], [15] 2.1 K - phiếm hàm K - phiếm hàm cũng như môđun trơn là các hàm phụ thuộc tham số t 0 Chúng biểu diễn một vài tính chất bên trong của hàm f Sau... g∈Wpr (Q) p,Q + ∏ ti ∑ e⊂[d],e=0/ g(r(e)) p,Q i∈e (3.21) Bất đẳng thức kiểu Johnen cho hàm nhiều biến được phát biểu trong định lí sau đây Định lý 3.3.2 (Bất đẳng thức Johnen)[6] Cho 1 ∞ và r ∈ Nd Khi đó với mọi f ∈ L p (Q), bất đẳng thức p −1 ri Ωr ( f ,t) p,Q ∑ ∏2 Kr ( f ,t r ) p,Q CΩr ( f ,t) p,Q , t ∈ Rd+ , (3.22) e⊂[d] i∈e đúng với hằng số C phụ thuộc vào r, p, d Để chứng minh định lý này ta cần... (2.11) và do đó ta có (2.1) Bằng tính đối xứng, ta có (2.11) cũng đúng với I2 = [a + b−a 4 , b] Do đó theo Bổ đề 2.1.5 ta có (2.11) đúng khi t t0 Bây giờ ta đặt g0 là một hàm thuộc Wpr sao cho (2.11) đúng với t = t0 dẫn đến f − g0 Cωr ( f ,t0 ) p , và đặt P là đa thức Taylor bậc r − 1 của g0 cho các p điểm trong A Bằng đánh giá (1.8) trong chương 1 cho số dư trong công thức Taylor ta có: g0 − P (r)... ∑ e⊂[d] f (r(e)) p,Q 22 3.2 Một số bổ đề kỹ thuật Mục này chúng ta sẽ trình bày một số bổ đề cần trong chứng minh bất đẳng thức Whitney đối với hàm nhiều biến Bổ đề đầu tiên là Định lí 1.1.9 đã phát biểu và chứng minh ở Chương 1 Dưới đây ta phát biểu lại để thuận tiện hơn cho các kí hiệu dùng trong chương này Bổ đề 3.2.1 Cho 1 p 1 và Q = [a, b] Khi đó tồn tại hằng số C ∞, r phụ thuộc vào r sao cho... Cũng làm tương tự ta có Số hạng thứ hai b2 b1 b2 f (0,r2 ) (x1 ,t) − t=0 x1 =0 b2 b1 =− t=0 x1 =0 x2 =t (x2 − t)r2 −1 (r1 ,r2 ) ϕ (x1 , x2 )dx2 dx1 dt (r2 − 1)! b2 f (0,r2 ) (x1 ,t) x2 =t (−1)r2 ϕ (r1 ,0) (x1 ,t)dx1 dt 29 b2 b1 f (x1 ,t)ϕ (r1 ,r2 ) (x1 ,t)dx1 dt =− (3.14) t=0 x1 =0 số hạng này bằng trừ của số hạng đầu tiên Tương tự số hạng thứ ba cũng bằng trừ số hạng đầu tiên Số hạng cuối b1 b1 b2 f ... > t0 t0 2.2 Bất đẳng thức Whitney hàm biến Chúng ta xấp xỉ hàm số f xác định I = [a, b] đa thức từ không gian đa thức Pr Sai số xấp xỉ tốt f ∈ L p (I) đa thức từ Pr đánh giá đại lượng Er (... nhỏ bất đẳng thức Whitney cho ta thu xấp xỉ tốt hàm f từ không gian đa thức đại số bậc nhỏ r Các kết luận văn đạt sau: Trình bày bất đẳng thức Whitney hàm biến Trình bày bất đẳng thức Whitney. .. lại bất đẳng thức p,Q 40 Kết luận Luận văn trình bày bất đẳng thức Whitney thiết lập tương đương môđun trơn bậc r sai số xấp xỉ tốt hàm f đa thức đại số bậc nhỏ r Khi r cố định khoảng I nhỏ bất