PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! Like Fanpage Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi: http://facebook.com/dethithu.net để cập nhật nhiều đề thi thử tài liệu ôn thi PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: De Véctơ a = ( a1 ; a ; a ) véc tơ phương (VTCP) (∆) ⇔ (∆) // giá a Nhận xét: Nếu a VTCP (∆) ka (k ≠ 0) VTCP (∆) http://dethithu.net tức (∆) có vô số VTCP II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương trình tham số: Phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua M0(x 0, y 0, z0) Th  x = x + a1t  có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) :  y = y + a t ( t ∈ ℝ )   z = z + a t Phương trình tắc: Phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y z − z có VTCP a = ( a1 ; a ; a ) : = = a1 a2 a3 iT Phương trình tổng quát: Phương trình ñường thẳng (∆) tổng quát giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C tuyến hai mặt phẳng   A2 x + B y + C z + D2 = Phương trình ñường thẳng (∆) ñi qua ñiểm M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): hu x − x1 y − y1 z − z1 = = x − x1 y − y1 z − z1 http://dethithu.net Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, tắc: ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = Cho (∆):  ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B : C ) ( β ) : A2 x + B y + C z + D = Tìm ñiểm M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ N n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒VTPT hai mặt phẳng  ⇒ VTCP a =  n1 , n  n = ( A2 , B , C ) x − x0 y − y z − z = = a1 a2 a3 Đặt tỉ số t suy dạng tham số et Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Vị trí tương ñối ñường thẳng: http://dethithu.net Cho (∆ 1) ñi qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , De (∆2) ñi qua M2(x 2; y 2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Nếu [u , v ] ⋅ M M ≠ ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo Nếu [u , v ] ⋅ M M = a1 : a : a ≠ b1 : b2 : b3 (∆1), (∆2) cắt Th ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   Nếu  hệ phương trình  vô nghiệm  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ ) (∆1), (∆2) song song http://dethithu.net ( ∆ ) [u , v ] ⋅ M M =   Nếu  hệ phương trình  có nghiệm  a1 : a : a = b1 : b2 : b3 ( ∆ ) iT (∆1), (∆2) trùng Vị trí tương ñối ñường thẳng mặt phẳng: Cho (∆) ñi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): hu Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) Nếu n ⋅ u ≠ ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ (∆) cắt (α) Nếu n // u ⇔ a : b : c = A : B : C (∆) ⊥ (α) .N http://dethithu.net  n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc = Nếu  ⇔  (∆) // (α)  M ∉ ( α )  Ax + By + Cz + D ≠  n ⋅ u =  Aa + Bb + Cc = Nếu  ⇔  (∆) ⊂ (α)  M ∈ ( α )  Ax + By + Cz + D = et Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! IV GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Góc ñường thẳng: Cho De (∆1) ñi qua M1(x1; y1, z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) ñi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Góc (( ∆ ) , ( ∆ ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác ñịnh bởi: cos ϕ = u ⋅v = u ⋅v a b1 + a b + a b a 12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b 32 Góc ñường thẳng mặt phẳng: Th Cho (∆) ñi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) mp(α): Ax + By + Cz + D = với VTPT n = ( A, B, C ) http://dethithu.net Góc ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác ñịnh bởi: sin ϕ = u ⋅n = u ⋅ n aA + bB + cC a + b + c2 A2 + B + C iT Góc hai mặt phẳng: Góc mặt phẳng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = (α2): A2 x + B y + C z + D = ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: cos ϕ = n1 n2 n1 n2 = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 V KHOẢNG CÁCH với n1 , n VTPT (α1), (α2) hu A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 http://dethithu.net Khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng: Cho (∆) ñi qua M0(x0 ; y0, z0) với VTCP u = ( a, b, c ) Khoảng cách từ ñiểm M1(x1; y 1, z1) ñến ñường thẳng (∆) là: d ( M , ( ∆ ) ) = u ⋅ M M  u N Khoảng cách ñường thẳng chéo nhau: Cho (∆ 1) ñi qua M1(x 1; y , z1) với VTCP u = ( a1 , a , a ) , (∆2) ñi qua M2(x 2; y2, z2) với VTCP v = ( b1 , b2 , b3 ) Giả sử ( ∆ ) , ( ∆ ) chéo nhau, ñó d ( (∆ ),(∆ ) ) = et [ u , v ] ⋅ M 1M [u , v ] Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! Khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0, y0 , z0) ñến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = là: d ( M , α) = Ax + By + Cz + D De A2 + B + C http://dethithu.net VI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác ñịnh vị trí tương ñối ñường thẳng mặt phẳng ( ∆ )  Phương pháp: Giải hệ PT tạo  ; ( ∆ ) ( ∆ ) sử dụng dấu hiệu nhận  ( α ) biết qua hệ thức véctơ Th Bài Xét vị trí tương ñối cách khác nhau:  x = 9t  ( ∆ ) :  y = 5t   z = −3 + t 2 x − y − 3z − = ( ∆ ) :   x − y + z + = x − y + = ( ∆ ) :  http://dethithu.net  x + z − = iT  x + y =  y + 2z − = ( ∆ ) :  ;  x = + 2t  Bài Xác ñịnh giao ñiểm ñường thẳng ( ∆ ) :  y = − t ( t ∈ ℝ ) với mặt   z = + t hu phẳng ( α ) : x + y − z − =  x + y + z − = Bài Xác ñịnh giao ñiểm ñường thẳng ( ∆ ) :  với mặt  x + y − z − = phẳng ( α ) : x + y + z − = http://dethithu.net N Bài Cho ñường thẳng:  x = 3t y+2  ( ∆ ) :  y = − t , ( ∆ ) : x 1− = = z −3 , z = + t   x − y + 3z − = ( ∆ ) :   x − y + z + = a Xét vị trí tương ñối cặp ñường thẳng với et b Viết phương trình ñường thẳng (∆) song song với (∆1), cắt (∆2) (∆ 3) Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! Dạng 2: Xác ñịnh hình chiếu vuông góc ñiểm M lên mặt phẳng (α α) http://dethithu.net Phương pháp: Viết phương trình tham số ñường thẳng (∆ ) qua M (∆ ) ⊥(α) De Giao ñiểm H (∆ ) (α) hình chiếu vuông góc M lên (α) Bài Tìm hình chiếu vuông góc M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − z + = Dạng 3: Xác ñịnh ñiểm ñối xứng với ñiểm M cho trước qua mặt phẳng (α α) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (α ) Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), ñó ñiểm M’ ñối xứng M qua (α) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Th Bài Xác ñịnh ñiểm ñối xứng với ñiểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng (α): x + y – 3z + = http://dethithu.net Dạng 4: Xác ñịnh hình chiếu vuông góc ñiểm M lên ñường thẳng (∆ ∆) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua M (α ) ⊥ (∆ ) Giao ñiểm H (∆) (α ) hình chiếu vuông góc M lên (∆) iT Phương pháp 2: Viết PT tham số (∆ ) ⇒ Tọa ñộ H theo tham số t MH ⊥ u véctơ phương (∆) GPT MH ⋅ u = ⇒ tham số t ⇒ Tọa ñộ H Bài Xác ñịnh hình chiếu vuông góc M(−1; −1; 1) lên ñường thẳng (∆): { x = + t ; y = + t ; z = −3 − 3t} hu Dạng 5: Xác ñịnh ñiểm ñối xứng với ñiểm M cho trước qua ñường thẳng (∆ ∆) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H M lên (∆ ) Giả sử M(x1, y , z1), H(x0 , y0, z0), ñó ñiểm M’ ñối xứng M qua (∆) M ′ ( x − x1 , y − y1 , z − z1 ) Bài Xác ñịnh ñiểm ñối xứng với ñiểm M(0; 2; −1) lên ñường thẳng (∆): Dạng 6: N { x = + t ; y = + t ; z = − 3t} http://dethithu.net Xác ñịnh hình chiếu vuông góc ñường thẳng (∆ ∆ ) lên mặt phẳng (α α) Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) ñiểm H≡ (∆) ∩ (α ) et Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc (∆ ) lên (α ) ñường thẳng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc với (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆ ) (β ) ⊥ (α ) De Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) ñường thẳng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ) C2: http://dethithu.net Lấy ñiểm A, B phân biệt thuộc (∆ ) Xác ñịnh hình chiếu vuông góc A, B lên (α ) H1, H2 Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) ñường thẳng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: Nếu (∆ ) cắt (α ): Xác ñịnh A ≡ (∆ ) ∩ (α ) Lấy M ∉ (∆) M ≠ A Xác ñịnh hình chiếu vuông góc H M lên (α) Th Hình chiếu vuông góc (∆) lên (α) (∆ ’) ≡ AH 5 x − y − z − = Bài Xác ñịnh hình chiếu vuông góc (∆):   x + z − = lên mặt phẳng (α): 2x – y + z – = Dạng 7: Xác ñịnh hình chiếu song song ñường thẳng (∆ ∆ 1) lên (α α) theo phương (∆ ∆ 2) cắt (α α) http://dethithu.net iT Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chiếu song song (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) ñiểm H≡ (∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) (∆2 ) không song song: hu Viết phương trình mặt phẳng (β ) chứa (∆1 ) // (∆2 ) Hình chiếu song song (∆1) lên (α) theo phương (∆2) (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − = Bài Xác ñịnh hình chiếu song song ñt (∆1):  lên (α): + + + = x y z  http://dethithu.net N y +1 z + x − y + z − = theo phương (∆ 2): x − = = Dạng 8: VPT ñường thẳng (∆ ∆ ) qua M cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆2) với (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) chéo không ñi qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1) Nếu cho (∆1) dạng tổng quát nên viết phương trình (α) dạng chùm et Nếu (∆1 ) dạng tham số lấy ñiểm A, B ∈ (∆1 ) Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! ⇒ Phương trình (α ) qua ñiểm A, B, M Nếu (α ) // (∆2 ) toán vô nghiệm Nếu (α) cắt (∆2 ) tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) Nếu MN // (∆ 1) toán vô nghiệm, MN cắt (∆1 ) suy ñường thẳng http://dethithu.net De cần tìm (∆) ≡ MN Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M chứa (∆ 1), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ) Nếu (∆) cắt (∆1 ) (∆2 ) ñường thẳng (∆ ) ñường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆1 ) (∆ 2) toán vô nghiệm Th  y − = Bài VPT ĐT (∆) qua M(1; 3; 0) (∆) cắt (∆1):  ,  x − z − = (∆2): { x = + 2t , y = − t , z = + t} Dạng 9: VPT ñường thẳng (∆ ∆ ) cắt (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) song song với (∆ ∆ 3) Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆3 ), mặt phẳng (β ) chứa (∆2 ) // (∆3 ) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) iT Nếu (∆ ) cắt (∆1 ) (∆2 ) ñường thẳng (∆) ñường thẳng cần tìm Nếu (∆ ) // (∆ 1) (∆2 ) toán vô nghiệm Phương pháp 2: Viết phương trình tham số (∆1 ) theo t1, (∆ 2) theo t2 Lấy M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ Tọa ñộ M, N theo t1, t2 ⇒ MN theo t1, t2 hu Xác ñịnh t1, t2 cho MN // (∆ 3) ⇒ Đường thẳng (∆ ) cắt (∆1 ), (∆ 2) song song với (∆3 ) (∆ ) ≡ MN http://dethithu.net Phương pháp 3: Gọi M(x0, y0, z0) giao ñiểm (∆) (∆ 1) (∆) nhận VTCP (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số (∆) theo x0, y0, z0 .N ( ∆ ) có nghiệm ⇒ x 0, y0, z0 ⇒ Phương trình (∆ ) (∆ ) cắt (∆ 2) suy hệ  ( ∆ )  y − = Bài VPT ñường thẳng (∆) cắt (∆1):  , (∆2):  x − z − = { x = + 2t , y = − t , z = + t} // với trục Oz et Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! y −3 z −9 y + z −1 Bài VPT ĐT (∆) cắt (∆1): x − = , (∆2): x − = = = y+3 z−2 = // (∆3): x + = −2 http://dethithu.net De 10 Dạng 10: VPT ñường thẳng (∆ ∆ ) qua M vuông góc (∆ ∆ 1), cắt (∆ ∆ 2) ñó M ∉ (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M ⊥ (∆1 ), mặt phẳng (β ) qua M chứa (∆ 2) Nếu (α ) // (β ) toán vô nghiệm Nếu (α ) cắt (β ) xét (∆ ) = (α) ∩ (β) Nếu (∆ ) cắt (∆2 ) ñường thẳng (∆ ) ñường thẳng cần tìm Th Nếu (∆ ) // (∆ 2) toán vô nghiệm y +1 z + = Bài VPT ñường thẳng (∆) qua M(1; 2; 0) ⊥ (∆1): x − = , 2 7 x + y − z − = cắt (∆ 2):   x + y + z + = 11 Dạng 11: VPT ñường vuông góc chung ñường thẳng (∆ ∆ 1), (∆ ∆ 2) iT chéo a TH ñặc biệt: (∆ 1) ⊥ (∆2): http://dethithu.net Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) (α) ⊥ (∆2 ) hu Tìm M = ( ∆ ) ∩ ( α ) , H hình chiếu vuông góc M lên (∆1 ) ⇒ MH ñường vuông góc chung (∆1 ), (∆2) b Phương pháp 1: Viết phương trình (∆1 ), (∆ 2) dạng tham số Lấy M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ Tọa ñộ M, N theo t1 , t ⇒ MN theo t1 , t MN ñường vuông góc chung (∆1 ), (∆ 2) N ⇒ MN ⊥ ( ∆ ) , MN ⊥ ( ∆ ) ⇒ t1 , t ⇒ MN c Phương pháp 2: Gọi a1 , a VTCP (∆1 ) (∆ 2) ⇒ Đường vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2  Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa (∆1 ) // (∆), mặt phẳng (β) chứa (∆2 ) et // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β) Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! Bài Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8) Viết phương trình ñường vuông góc chung SB, OA Bài Viết phương trình ñường vuông góc chung x + y + z − = De ( ∆1 ) :  y + z − =  x − y − 2z + = ( ∆ ) :  y − z +1= Bài Viết phương trình ñường vuông góc chung  x = + 2t1 x = + t2  ( ∆ ) :  y = + t1 ( ∆ ) :  y = −3 + 2t  z = −3 + 3t  z = + 3t   Th Bài VPT ñường vuông góc chung http://dethithu.net 3 x − y − = ( ∆ ) : 5 x + z − 12 = ( ∆ ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = − t}  x = + t x + 2z − =  Bài Cho ( ∆ ) :  y = − t ( ∆ ) :  y − =  z = 2t  Viết phương trình mặt phẳng cách ñều (∆ 1) (∆2) iT 12 Dạng 12: Các toán khoảng cách 12.1 Tính khoảng cách: y +1 z −1 Bài Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) ñến ( ∆ ) : x − = = hu Bài Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1) Tính khoảng cách từ A ñến BC Bài Tính khoảng cách ñường thẳng x + y = ( ∆ ) :  x − y + z − = ( ∆ ) : { x = + 3t; y = −t; z = + t}  Bài Tính khoảng cách ñường thẳng y −2 z −3 = , x + y − z = ( ∆ ) : 2 x − y + 3z − =  N ( ∆ ) : x 1− = Bài Tính khoảng cách ñường thẳng  x + z + 23 =  x − 2z − =   ( ∆ ) :  y − z + 10 = , ( ∆ ) :  y + z + = Bài Tính khoảng cách mặt phẳng (α): 2x + y + z – = http://dethithu.net et (β):2x + y + z + 10 = Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! Bài Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4) Tính khoảng cách từ D(−1; 5; 0) ñến (ABC) 12.2 Tìm ñiểm biết khoảng cách cho trước: De Bài Cho (α): x + 2y – 2z – = http://dethithu.net Tìm M∈Oy cho khoảng cách từ M ñến (α) Bài Cho A(1;−2; 0) Tìm M∈Oz cho khoảng cách từ M ñến (α): 3x – 2y + 6z + = MA Bài Cho (α): x + y + z + = 2 x + y + z − = cho d ( M , ( α ) ) = Tìm M∈(∆):  x + y + 2z + = Th Bài Cho (α): 12x – 16y + 15z + = (β): 2x + 2y – z – = Tìm M∈Ox cách ñều (α) (β) 12.3 Các toán tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a Dạng 1: Cho ñiểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = ñể (MA + MB) iT Phương pháp: Xác ñịnh vị trí tương ñối A, B ñối với mặt phẳng (P) cách tính ñại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía ñối với (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), ñó MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B hu Nếu t A t B > ⇔ A, B phía ñối với (P) Lấy A1 ñối xứng A qua (P) Gọi M0 ≡ (A1 B)∩ (P) Khi ñó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M B b Dạng 2: Cho ñiểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) http://dethithu.net Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = ñể |MA – MB| max Phương pháp: Xác ñịnh vị trí tương ñối A, B ñối với mặt phẳng (P) N cách tính ñại lượng: t A = ax1 + by + cz1 + d ; t B = ax + by + cz + d Nếu t A t B > ⇔ A, B phía ñối với (P) Gọi M ≡ (AB)∩ (P), ñó |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B| Nếu t A t B < ⇔ A, B khác phía ñối với (P) Lấy A1 ñối xứng A qua (P) et Gọi M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ñó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! http://dethithu.net b Dạng 3: Cho ñiểm A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x , y , z ) Tìm M∈(∆) cho trước cho (MA + MB) Phương pháp: Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm A’, B’ hình chiếu tương ứng De ñiểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 ñiểm chia ñoạn A’B’ theo tỉ số k= M A' M 0B' =− AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) cho A khác phía B so với (∆ ) thỏa mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ = ⇒ A1, M ,B thẳng hàng  B1 B ′ M B ′  A1 A ' ⊥ ( ∆ ) Th ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3) http://dethithu.net Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = ñể (MA + MB) min;|MA – MB| max Bài Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5) Tìm M∈ mặt phẳng Oxy cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3) iT Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = ñể (MA + MB) min; |MA – MB| max Bài Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4) Tìm M∈ ( P ) : x − y + z − = ñể (MA + MB) min; |MA – MB| max hu Bài Cho A(1; 2;−1), B ( − 2; 2; −3) x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) :  cho (MA + MB) y + z − = Bài Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4) http://dethithu.net y −1 z + = Tìm M∈ ( ∆ ) : x + = cho (MA + MB) −1 N y−2 z −2 A(1;2; −1) Bài Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + = cho (MA + MB) = −2 B ( 7; −2;3) Bài Cho A(2; 3; 0) B ( 0; − 2; ) et x + y + z − = Tìm M∈ ( ∆ ) :  cho (MA + MB) x − y + z − = Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! 13 Dạng 13: Các toán góc Bài Xác ñịnh góc mặt phẳng ( P1 ) : x + y + 2z + = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + = Bài Cho tứ diện ABCD với A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1) De Tính góc cặp cạnh ñối ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)) Bài Cho ( P1 ) : x − y − z + = , ( P2 ) : x + y + z − = , ( P3 ) : − x + y − z + = Gọi (∆) giao tuyến (P1) (P2) Tính góc (∆) với giao tuyến (P1), (P3) với mặt phẳng (P3) x = + t 3 x − y − =  Bài Cho ( ∆ ) :  ( ∆ ) :  y = −1 Tìm m ñể: − − = z y   z = + mt  Th a Góc (∆1) (∆2) 45° b Góc (∆1) (∆2) 60° Khi ñó tính góc (P) với (∆2) biết (P) ⊥ (∆1) ( ) Bài Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − ; −1; a Tính góc ((ABC); (ABD)) http://dethithu.net b Tính góc khoảng cách ñường thẳng (AD) (BC) iT 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) ( d ) : x − = −1 y+2 z = Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng (d) cho: a) MA + MB nhỏ nhất; hu c) MA + MB nhỏ b) MA + MB nhỏ nhất; d) Diện tích tam giác AMB nhỏ VPT mặt phẳng (P) chứa (d) cho khoảng cách từ A ñến (P) lớn VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ VPT mặt phẳng (R) chứa ñường thẳng (d) tạo với trục Oy góc lớn Trong số ñường thẳng ñi qua A cắt ñường thẳng (d), viết phương trình ñường thẳng cho khoảng cách từ B ñến lớn nhất? nhỏ nhất? N Giải http://dethithu.net M (1 − t ; − + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; − t ; − 2t ) , MB = ( −2 + t ; − t ; − 2t ) a MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; − 4t ) Suy MA + MB = 24 ( t − ) + 44 Do ñó MA + MB nhỏ t = lúc ñó M ( −1; 0; ) et Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! b Ta có MA + MB = 12t − 48t + 76 = 12 ( t − ) + 28 Vậy MA + MB nhỏ t = ñó M ( −1; 0; ) c Ta xác ñịnh hình chiếu A1 , B1 hai ñiểm A, B lên ñường thẳng (d) De ) ( − 14t + 18 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ B ( − ; ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 MA = ( 3t − 10t + 20 ) ⇔ t = ⇔ M ≡ A1 − ; − ; 10 với AA1 ⊥ ( d ) 3 3 MB = ( 3t 1 AA1 = 210 ; BB1 = 30 Điểm M cần tìm ñiểm chia ñoạn A1 B1 theo tỉ 3 số k = −  −2 (1 + ) 10 − 14  = − nên tọa ñộ M  ; − 1;   3 (1 + )  BB1  (1 + ) AA1 Th d AM ( −t ; − + t ; − + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12) 2 S AMB =  AM ; AB  = ( 6t − 16 ) + ( −2t + ) + ( 4t − 12 ) = 56t − 304t + 416 2 304 19 38 12 = , ñó M − ; ; Dễ thấy S AMB nhỏ t = http://dethithu.net 112 7 7  x + y + = PT tổng quát (d)  Vì mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng  y − z + = ) ( iT (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ 2.4 − + = 10 = 5 + ( −1) • Nếu a ≠ giả sử a = Khi ñó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = • Nếu a = (P): y − z + = Khi ñó d ( A; ( P ) ) = hu Suy d ( A; ( P ) ) = 2 5b + Xét hàm số f ( b ) = ( 5b + 3) 5b + 4b + () ( ) N 5b + 4b + 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = ⇔ b = ∨b = − 5 ( 5b + 4b + ) http://dethithu.net Do f = 35 ; f − = ; lim f ( b ) = nên d ( A; ( P ) ) lớn 35 b →∞ 6 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 35 b = , lúc ñó phương trình (P) có dạng x + 13 y − z + 21 = , hay ( P ) : x + 13 y − z + 21 = 5 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = với a + b ≠ et Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay! • Nếu a = (Q): y − z + = ñó cos α = • Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi ñó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = b Từ ñó cos α = Xét hàm số g ( b ) = b2 = cos α 5b + 4b + 2 De 5b + 4b + 4b + 4b Ta có g ′ ( b ) = = ⇔ b = ∨ b = −1 http://dethithu.net ( 5b + 4b + ) Do g ( ) = 0; g ( −1) = ; lim g ( b ) = nên cos α lớn b = −1 b→∞ Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy cos α lớn hay (Q) tạo với mặt phẳng (xOy) góc nhỏ b = −1 Lúc ñó (Q) x − y + z − = Th PT (R): a ( x + y + 1) + b ( y − z + ) = Trục Oz có VTCP v ( 0; 1; ) Nếu a = (R): y − z + = β = ((Q), Oy) thỏa mãn sin β = Nếu a ≠ ta giả sử a = Khi ñó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + + 4b = Xét hàm số h ( b ) = 4b2 + 4b + = sin β 5b + 4b + 5b + 4b + 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = ⇔ b = ∨ b = − http://dethithu.net ( 5b + 4b + ) Khi ñó sin β = + 2b iT ( ) Do h ( ) = ; h − = ; lim h ( b ) = nên sin β lớn , b = b →±∞ 6 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn b = Khi ñó mặt hu phẳng (R) có phương trình x + y − z + = Giả sử d ñường thẳng ñi qua A cắt d M (1 − t ; − + t ; 2t ) Khi ñó d ( B; d ) =  AM ; AB  AM = 56t − 304t + 416 6t − 20t + 40 = 28t − 152t + 208 3t − 10t + 20 ( ) N 16 (11t − 8t − 60 ) Xét u ( t ) = 28t − 152t + 208 Ta có u ′ ( t ) = = ⇔ t = −2 ; t = 30 11 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B ñến d lớn 11 35 b→∞ 48 t = −2 nhỏ t = 30 Khi ñó d tương ứng 11 35 y − y−4 z−2 có phương trình d : x − = = z − d : x − = = −4 −3 15 18 −19 et Truy cập http://dethithu.net thường xuyên để cập nhật nhiều Đề Thi Thử THPT Quốc Gia, tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán, Lý, Hóa, Anh, Văn Sinh , Sử, Địa DeThiThu.Net cập nhật ngày phục vụ sĩ tử! Like Fanpage Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi: http://facebook.com/dethithu.net để cập nhật nhiều đề thi thử tài liệu ôn thi Tham gia Group: Ôn Thi ĐH Toán - Anh để học tập, ôn thi: http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan Like fanpage để cập nhật nhiều đề thi thử qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net [...]... khoảng cách từ A ñến (P) là lớn nhất 3 VPT mặt phẳng (Q) chứa (d) và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất 4 VPT mặt phẳng (R) chứa ñường thẳng (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất 5 Trong số các ñường thẳng ñi qua A và cắt ñường thẳng (d), viết phương trình các ñường thẳng sao cho khoảng cách từ B ñến nó là lớn nhất? nhỏ nhất? N Giải http://dethithu.net 1 M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 −... 5 6 5 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc ñó 5 6 phương trình (P) có dạng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3 Do (Q) chứa (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 et Mặt phẳng (xOy) có phương trình z = 0 Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net... 2 304 19 5 38 12 = , khi ñó M − ; ; Dễ thấy S AMB nhỏ nhất khi t = http://dethithu.net 112 7 7 7 7  x + y + 1 = 0 2 PT tổng quát của (d) là  Vì mặt phẳng (P) chứa ñường thẳng  2 y − z + 4 = 0 ) ( iT (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 với a 2 + b 2 ≠ 0 2.4 − 2 + 4 = 10 = 2 5 5 2 + ( −1) • Nếu a ≠ 0 thì có thể giả sử a = 1 Khi ñó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1... B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 2 a Tính góc giữa ((ABC); (ABD)) http://dethithu.net b Tính góc và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng (AD) và (BC) iT 14 Bài mẫu Trong hệ Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = −1 y+2 z = 1 2 1 Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng (d) sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất; hu c) MA + MB nhỏ nhất b) MA 2 + MB 2 nhỏ nhất; d) Diện tích tam giác AMB nhỏ nhất 2 VPT mặt... 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β lớn nhất bằng 5 , khi b = 2 b →±∞ 6 6 2 5 Kết luận: So sánh hai trường hợp ta thấy sin β lớn nhất khi b = 2 Khi ñó mặt hu phẳng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 5 Giả sử d 2 là ñường thẳng bất kì ñi qua A và cắt d tại M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) Khi ñó d ( B; d 2 ) =  AM ; AB  AM = 56t 2 − 304t + 416 6t 2 − 20t + 40 2 = 28t 2 − 152t + 208 3t − 10t +... M∈(∆) cho trước sao cho (MA + MB) min Phương pháp: Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm A’, B’ là hình chiếu tương ứng của De các ñiểm A, B lên (∆ ) Gọi M0 là ñiểm chia ñoạn A’B’ theo tỉ số k= M 0 A' M 0B' =− AA ' Ta chứng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B BB ' Thật vậy, gọi A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so với (∆ ) và thỏa mãn  A1 A ' = AA ' A A′ M A′ ⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B thẳng hàng  B1 B ′ M 0 B ′  A1... + 20 ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên khoảng cách từ B ñến d 2 lớn 11 35 b→∞ 3 nhất bằng 48 khi t = −2 và nhỏ nhất bằng 4 khi t = 30 Khi ñó d 2 tương ứng 11 35 y − 4 y−4 z−2 có phương trình là d 2 : x − 1 = = z − 2 và d 2 : x − 1 = = 1 −4 −3 15 18 −19 et Truy cập http://dethithu.net thường xuyên để cập nhật nhiều Đề Thi Thử THPT Quốc Gia, tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia các môn Toán,... tục.Truy cập tải ngay! 2 b Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 Vậy MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi t = 2 và khi ñó M ( −1; 0; 4 ) c Ta sẽ xác ñịnh hình chiếu A1 , B1 của hai ñiểm A, B lên ñường thẳng (d) De ) ( − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) với BB ⊥ ( d ) 3 3 3 3 MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 với AA1 ⊥ ( d ) 3 3 3 3 MB 2 = 2 ( 3t 2 1 1 AA1