GIẢI PHƯƠNG TRÌNH vô tỉ

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: Nhằm trang bị cho học sinh một số kiến thức về giải phương trình vô tỉ từ đó phát triển năng lực tư duy, nâng cao chất lượng môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và là công cụ giải quyết những bài tập có liên quan đến phương trình vô tỉ. Tạo ra được hứng thú học tập cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo giúp học sinh giải được một số bài tập. Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình vô tỉ trong quá trình dạy và học. Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và áp dụng thành thạo các phương pháp đó vào giải bài tập. Thông qua việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về phương trình vô tỉ. Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục. III PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phát triển năng lực tư duy toán học của học sinh thông qua các bài toán giải phương trình vô tỉ đối với học sinh THCS. Đề tài này áp dụng đối với học sinh THCS chủ yếu là Đội tuyển HSG khối 9 luyện thi HSG cấp tỉnh và thi vào THPT chuyên.

PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Một vấn đề đại số khối THCS việc nắm phương trình sơ cấp đơn giản cách giải phương trình với đối tượng học sinh đại trà, mở rộng phương trình dạng khó hơn, phức tạp đối tượng học sinh - giỏi Thực trạng số lượng phương trình vô tỷ SGK đơn giản thường đưa phương trình trị tuyệt đối bình phương đưa phương trình bậc ẩn, song thực tế theo dõi kì thi học sinh giỏi lớp 9, đề thi vào lớp 10 THPT chuyên năm nhận thấy chủ đề phương trình vô tỉ thường xuyên xuất với số lượng tương đối nhiều thường khó, không đơn giản giải phương pháp thông thường Với phương trình vô tỉ, tùy đặc điểm cụ thể có nhiều cách giải khác Có số phương trình vô tỉ giải phương pháp nâng lên lũy thừa để làm thức thường dẫn đến phường trình bậc cao, mà phương trình bậc cao việc tìm nghiệm nhiều không đơn giản chút Với mong muốn tháo gỡ số khó khăn trình dạy hoc phương trình vô tỉ, từ nâng cao chất lượng, hiệu giáo dục Sau xin mạnh dạn trình bày suy nghĩ mà tìm hiểu, tham khảo, áp dụng phương trình vô tỉ qua đề tài ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' kính mong quý thầy cô bạn đóng góp ý kiến cho để đề tài áp dụng rộng rãi II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: - Nhằm trang bị cho học sinh số kiến thức giải phương trình vô tỉ từ phát triển lực tư duy, nâng cao chất lượng môn toán, giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến phương trình vô tỉ - Tạo hứng thú học tập cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo giúp học sinh giải số tập - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm thường gặp giải phương trình vô tỉ trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp áp dụng thành thạo phương pháp vào giải tập - Thông qua việc giải phương trình vô tỉ giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập phương trình vô tỉ Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng hiệu giáo dục Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU - ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phát triển lực tư toán học học sinh thông qua toán giải phương trình vô tỉ học sinh THCS Đề tài áp dụng học sinh THCS chủ yếu Đội tuyển HSG khối luyện thi HSG cấp tỉnh thi vào THPT chuyên IV- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ TIẾN HÀNH : Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo thu thập tài liệu + Phân tích, tổng kết kinh nghiệm + Kiểm tra kết chất lượng học sinh + Đưa bàn luận theo tổ, nhóm chuyên môn, thực + Phương pháp điều tra, trắc nghiệm + Ngoài sử dụng số phương pháp khác Phương pháp tiến hành: Thông qua dạng phương trình vô tỉ đưa phương pháp giải, hướng khắc phục sai lầm thường gặp đưa dạng tập tự giải PHẦN II- NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I- CƠ SỞ LÝ LUẬN: Như biết Toán học môn khoa học công cụ, giữ vai trò chủ đạo nhà trường ngành khoa học khác Toán học kho tàng tài nguyên vô phong phú quí giá sâu tìm hiểu, khai thác thấy mê say, ham muốn khám phá thấy Toán học thú vị, lãng mạn môn khoa học khác Các bậc phụ huynh, thầy cô giáo, hệ học sinh mơ ước học giỏi môn Toán, nhiên để đạt điều thật chẳng dễ dàng Hiện nay, nhà trường đặc biệt nhà trường THCS, việc dạy kiến thức cho HS việc dạy cách học, cách nghiên cứu phát triển kiến thức cho em trọng Với mong muốn giúp em học sinh hiểu ngày say mê môn Toán, thân người giáo viên phải tự tìm phương pháp giải cho phù hợp với đối tượng học sinh kích thích lòng ham muốn học Toán em, từ tìm học sinh có khiếu môn này, để bồi dưỡng em trở thành học sinh giỏi, có ích cho xã hội Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Phương trình mảng kiến thức quan trọng chương trình Toán phổ thông Giải phương trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh giỏi nhiều lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vôi tỉ Phương trình vô tỉ dạng phương trình không mẫu mực, để giải phương trình vô tỉ đòi hỏi người học phải có tảng kiến thức vững vàng, tư sáng tạo, biết phân tích, tổng hợp nhiều loại kiến thức học từ tìm hướng giải cho dạng cụ thể, đặc biệt cần nắm dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải dạng Phương trình vô tỉ dạng phương trình hay khó, việc giải phương trình vô tỉ đánh giá lực giải toán lực tư toán học người học nên phương trình vô tỉ xuất đề thi học sinh giỏi tạp chí toán học Vì vậy, việc trang bị cho học sinh kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ kèm với phương pháp giải chúng quan trọng nên xin trình bày đề tài: ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' Trong đề tài, đưa số dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải, phù hợp với trình độ học sinh THCS Trang bị cho học sinh số dạng toán phương pháp giải phương trình vô tỉ áp dụng để làm tập Rút số ý làm phương pháp Chọn lọc số tập hay, phù hợp cho phương pháp giải, cách biến đổi Vận dụng giải toán có liên quan đến phương trình vô tỉ Tôi hy vọng đề tài giúp ích cho học sinh trường THCS việc học giải phương trình vô tỉ Qua em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải toán sai lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kì thi học sinh giỏi thi vào THPT chuyên II- CƠ SỞ THỰC TIỄN: Trong chương trình Toán THCS, toán phương trình vô tỉ đề cập đến không nhiều, lại có nhiều dạng có vai trò quan trọng tất kì thi Các toán dạng đòi hỏi học sinh phải nắm vận dụng thật nhuần nhuyễn, có hệ thống số kiến thức khác như: phương trình bậc ẩn, phương trình tích, ĐK số loại biểu thức Nó nâng cao khả vận dụng, phát triển khả tư cho HS, kiến thức sử dụng thi học kì, thi HSG, thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH dạng tập khó Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Trên thực tế, với kinh nghiệm thân nhiều năm giảng dạy Toán ôn thi vào lớp 10 THPT thấy HS thường không giải mắc số khuyết điểm sau giải phương trình vô tỉ như: - Thiếu sai ĐK phương trình (chủ yếu ĐK thức) - Chỉ giải dạng phương trình đơn giản SGK - Khi bình phương hai vế phương trình để làm CBH thường em không tìm ĐK để hai vế dương - Ở dạng phức tạp em chưa có điều kiện nghiên cứu nên kĩ giải hạn chế, em thường sở kiến thức để phát triển phương pháp giải - Có tài liệu đề cập sâu dạng phương trình - Không đồng nhận thức lớp nên việc phát triển kiến thức phương trình vô tỉ tiết dạy khó Qua kết khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 35 học sinh thấy kết tiếp thu giải phương trình vô tỉ sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 18 51.4 12 34.3 11.4 2.9 Một nguyên nhân dẫn tới khó khăn HS em chưa phân biệt dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải nó, việc tìm tòi, khám phá phương trình vô tỉ gặp nhiều khó khăn tài liệu phương trình vô tỉ chưa nhiều Để giúp em HS nắm đúng, nắm dạng phương pháp giải dạng từ phát triển lực tư nhằm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh, mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm ''Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' áp dụng cho khối THCS với hy vọng phần tháo gỡ khó khăn cho em HS gặp dạng phương trình tài liệu nhỏ để tham khảo bạn đồng nghiệp Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS III- NỘI DUNG: PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CƠ BẢN: Phương pháp nâng lên luỹ thừa: f ( x) = c (c số) a) Dạng 1: (1) Đây dạng đơn giản PT vô tỉ Sơ đồ cách giải: - Nếu c < phương trình (1) vô nghiệm - Nếu c = (1) ⇔ f(x) = Giải phương trình ta tìm nghiệm (1) - Nếu c > (1) ⇔ f(x) = c2 Giải PT ta tìm nghiệm (1) Ví dụ 1: Giải phương trình: x2 + 5x + =  x = −3  x = −2 2 Gợi ý: Ta có: x + x + = ⇔ x + x + = ⇔  Vậy tập nghiệm phương trình S = { −3; −2} Ví dụ 2: Giải phương trình: Gợi ý: Ta có: x − 3x + =  3+ x = x − x + = ⇔ x − 3x + = 25 ⇔ x − x − 24 = ⇔   3− x =  105 105  + 105 − 105  ;  2    Vậy tập nghiệm phương trình là: S =  f ( x) = g ( x) b) Dạng 2: Sơ đồ cách giải: Ví dụ 1: Giải phương trình : Gợi ý:  g (x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔  f(x) = [ g (x) ] x + = x − (1) ĐK: x - ≥ ⇔ x ≥ x = Ta có: (1) ⇔ x+3 = (x-3)2 ⇔ x2 -7x + 6= ⇔ (x-1)(x-6) = ⇔  x =  Vậy phương trình có nghiệm x =6 Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − = 13 (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ x − = 13 − x (2) x − ≥ x ≥ ⇔  ⇔ ≤ x ≤ 13 13 − x ≥  x ≤ 13 Bình phương hai vế (2) ta : (2) ⇔ x − = (13 − x) ⇔ x − 27 x + 170 = ĐK :  Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS  x − 10 =  x = 10 ⇔ ( x − 10 )( x − 17 ) = ⇔  ⇔  x − 17 =  x = 17 Chỉ có x = 10 thỏa mãn đk Vậy nghiệm phương trình x = 10 c) Dạng 3: f ( x) = g( x ) Sơ đồ cách giải:  f ( x) ≥  f ( x) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥  f ( x) = g ( x)  Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = x −  x ≥ − 2 x + ≥    x + = x − ⇔ 4 x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x=5 2 x + = x −   x =   Gợi ý: Ta có: Vậy nghiệm phương trình là: x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 + 5x + = − x (1) Gợi ý: Ta có:   x ≤ −3   x ≤ −3    x + 5x + ≥   x ≥ −2   x ≥ −2  x = −1    x + x + = − x ⇔ 1 − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ ⇔   x = −5  x2 + 5x + = − x  x2 + x + =  x = −1        x = −5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { −1; −5} Ví dụ 3: Giải phương trình: Gợi ý: Ta có: x2 + x + = x − 5x +  x2 + x + ≥  x = x + x + = x − x + ⇔ 2 x − x + ≥ ⇔ x2 − 6x + = ⇔  x =  x2 + x + = x − 5x +  Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { 2; 4} d) Dạng : f ( x) + g( x ) = c (c số) (1) - Nếu c < phương trình (1) vô nghiệm  f (x) = g(x) = - Nếu c = Ta có: (1) ⇔ f ( x) + g( x) = ⇔  - Nếu c>0 Ta có: (1) ⇔  f (x) ≥  f ( x) + g( x) = c ⇔ g(x) ≥   f (x) + g(x) + f (x).g(x) = c Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS  f (x) ≥  f (x) ≥ g(x) ≥   ⇔ g(x) ≥ ⇔ c − f (x) − g(x) ≥   2 f (x).g(x) = c − f (x) − g(x)  4 f (x).g(x) =  c − f (x) − g(x)     f ( x) − g( x) = c ta giải sau:  f (x) ≥  f (x) ≥ g(x) ≥ g(x) ≥   f (x) − g (x) = c ⇔ f (x) = g (x) + c ⇔  g (x) + c ≥ ⇔   g (x) + c ≥ 2  f (x) = g (x) + c   f (x) = g (x) + c g (x) + c  Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x − = (1)  2 x + = x = − (vô nghiệm) Gợi ý: Ta có: x + + x − = ⇔  x − = ⇔    x = * Chú ý: Nếu ta có: ( ) Vậy phương trình cho vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: x − + x − = (1) x ≥ x −1 ≥  Gợi ý: ĐK 2 x − ≥ ⇔  x ≥ ⇔ x ≥   2 x − + x − = ⇔ x − + x − = 25 Ta có: 27 − x ≥ ⇔ ( x − 1) ( x − 1) = 27 − 3x ⇔  2 4 ( x − 3x + 1) = ( 27 − 3x ) 1 ≤ x ≤ 1 ≤ x ≤  ⇔ ⇔  x = ⇔ x =  x − 150 x + 725 =   x = 145  ( ) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: x + − x − x − = (1) Gợi ý: Ta có: x + − x − x − = ⇔ x + = x − x − + x − x − ≥  ⇔ x +9 = x2 − x − +   ( )  − 13 x ≤    − 13 + 13 x ≤ x ≥      ⇔ x ≥ − + 13   ⇔x ≥  2   16 ( x − x − 3) = x +16 x + 64   4 x − x − = x +      − 13   −8 ≤ x ≤  − 13    −8 ≤ x ≤  x = + 13    x ≥ ⇔  ⇔  ⇔ + 13  x = −28 x ≥    15    x =  15 x − 32 x − 112 =  −28  x = 15  Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS  −28  Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 4; 15    e) Dạng 5: f ( x) + g( x ) = h( x) (1)  f (x) ≥  - Đặt điều kiện: g(x) ≥  h(x) ≥  - Bình phương hai vế (1), ta có: f (x) + g(x) + f(x).g(x) = [ h(x) ] ⇔ f (x) g(x) = [ h(x)] − f (x) − g(x) Trở lại dạng f ( x) − g( x) = h( x) với điều kiện * Chú ý: Giải tương tự với dạng: Ví dụ 1: Giải phương trình: x + + x + + x +1− x + = f ( x ) ≥ h( x ) (1)   x + ≥  x ≥ −7  x ≥ −7   x ≥ −7   ⇔ x +1 ≥ ⇔ x +1 ≥ ⇔ x ≥ Gợi ý: ĐK:  x + + x + ≥ ⇔  x + ≥ x +     x2 + x − ≥  x ≤ −3  x +1− x + ≥    x ≥ Ta có: (1) ⇔ ( ) x + +1 + x +1− x + = ⇔ x + +1+ x +1− x + = ⇔ x +1− x + = − x + 3 − x + ≥  x + ≤ ⇔ ⇔  x + − x + = + x + − x + 5 x + = 15 ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = 2(t/ m) Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x2 − x + + x + = x + (1)  x2 − x + ≥  x ≥ −1  ⇔ ⇔ x ≥ −1 Gợi ý: ĐK:  x + ≥  x ≥ −2 x + ≥  Ta có: (1) ⇔ x − x + + x + + ( x − x + 1)( x + 1) = x + x + ⇔ x3 + = x + ⇔ x3 + = x + ⇔ x3 + = x + x + x =  ⇔ x − x − x = ⇔ x ( x − x − ) = ⇔  x = + 2 (t/ m) x = − 2  2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { 0; + 2; − 2} Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS g) Dạng 6: f ( x ) + g ( x ) = h( x )  f ( x) ≥  f ( x) ≥  g ( x) ≥  g ( x) ≥   ⇔ Sơ đồ cách giải: ⇔ h(x) ≥ h(x) ≥    f ( x ) + g ( x ) + f ( x).g ( x) = h( x) 2 f ( x).g ( x) = h( x) − f (x) − g(x)   Đến toán trở lại dạng Chú ý: Giải tương tự với dạng: Ta có: f ( x ) − g ( x ) = h( x ) f ( x) − g ( x ) = h( x) ⇔ h(x) + g(x ) = f(x) ⇒ Bài toán trở lại dạng Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x + + x − = x (1) −4  x≥  x + ≥    Điều kiện:  x − ≥ ⇔  x ≥ ⇔ x ≥ x ≥ x ≥    Ta có: (1) ⇔ 3x + + x − + ( 3x + ) ( x − ) = 4x −4  x=  ⇔ x + ( 3x + ) ( x − ) = x ⇔ ( x + ) ( x − ) = ⇔ ⇔ x=4  x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: Gợi ý: ⇔ x + - x − = 12 − x x + = 12 − x + x − (1) x + ≥  x ≥ −1   ĐK: 12 − x ≥ ⇔  x ≤ 12 ⇔ ≤ x ≤ 12 (2) x − ≥ x ≥   Bình phương hai vế ta được: x + = 12 − x + x − + ( 12 − x )( x − ) ⇔ x − = ( 12 − x )( x − ) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thỏa mãn (2) bình phương vế phương trình (3) ta được: (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5x2 - 84x + 352 = Phương trình có nghiệm x1 = 44 x2 = thoả mãn (2) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS Vậy x1 = 44 x2 = nghiệm phương trình f ( x) + g( x ) = h(x) + k (x) h) Dạng 7: Sơ đồ cách giải:  f (x) ≥ g(x) ≥  Điều kiện:  h(x) ≥ k(x) ≥ Bình phương hai vế phương trình, ta có: f (x) + g(x) + f (x) g(x) = h(x) + k(x) + h(x) k(x) ⇔2 ( ) f (x) g(x) − h(x) k(x) = h(x) + k(x) − f(x) − g(x) ⇒ Bài toán trở lại dạng Ví dụ 1: Giải phương trình : Gợi ý: ĐK : x + ≥  x + 10 ≥   x + ≥  x + ≥ x + + x + 10 = ⇔ x + + x + (1)  x ≥ −1  x ≥ −10    x ≥ −2  x ≥ −5 ⇔ x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế (1) ta được: x+1 + x+ 10 + ( x + 1)( x + 10) = x+2 + x+ + ( x + 2)( x + 5) ⇔ 2+ ( x + 1)( x + 10) = ( x + 2)( x + 5) (3) Với x ≥ -1 hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta được: + ( x + )( x + 10 ) + ( x + )( x + 10 ) = ( x + )( x + ) ⇔ ( x + )( x + 10 ) = − x − Điều kiện x ≤ -1 (4)  x ≥ −1 ⇔ x = -1 nghiệm nhầt phương trình (1)  x ≤ −1 Kết hợp (2) (4):  Ví dụ 2: Giải phương trình: x + + x + 16 = x + + x + (1) −1  x≥  2 x + ≥   x + 16 ≥ x ≥ − −1   ⇔ ⇔ x≥ Gợi ý: ĐK:  2 x + ≥  x ≥ −2  x + ≥  −9 x ≥  Ta có: (1) ⇔ x + + x + 16 + ( x + 1) ( x + 16 ) = x + + x + + ( x + ) ( x + ) ⇔ x + 34 x + 16 + = x + 26 x + 36 (2) Hai vế (2) không âm Bình phương hai vế (2), ta có: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 10 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Ví dụ 5: Giải phương trình: 25 − x - 15 − x = Gợi ý: ĐK: ≤ x2 ≤ 15 25 − x = a (a ≥ 0) (* ); Đặt: 15 − x = b ( b ≥ 0) ( ** ) Từ phương trình cho chuyển hệ phương trình:  a = a − b = ⇔  ⇔  a + b = b =  a − b =  (1) ⇒ (a − b)(a + b) = 2(a + b) a + b ≠  + Với a = 49 51 ⇒ 25 - x2 = ⇔ x2 = ⇒ x = ± 51 (thỏa mãn) 4 Vậy phương trình cho có nghiệm x = ± Ví dụ 6: Giải phương trình: Gợi ý: 51 (5 − x) − x + ( x − 3) x − 5− x + x−3 =2 (1) ĐK: ≤ x ≤  − x = u (u ≥ 0)  x − = t (t ≥ 0) Đặt  Phương trình (1) trở thành hệ phương trình: 2  u = u + t = ⇔ ⇔ ⇔ Ta có: (1)  ut = t =   u − ut + t = + Với u = ⇒ − x = ⇒ x = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm x =3; x= Ví dụ 7: Giải phương trình: − x + x − = Gợi ý: ĐK: x ≥ Đặt 3 − x = u   x − = t (t ≥ 0) Khi đó: u3 = - x ; t2 = x- nên u3 + t2 = u + t = 1( ) Phương trình cho đưa hệ:  u + t = 1( ) Từ phương trình (1) ⇒ u = - t Thay vào phương trình (2) ta có: t = t =0   ⇔  t = (2) ⇔ (1 - t)3 + t2 = ⇔ t( t2 - 4t + 3) = ⇔  t − 4t + =  t = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 25 + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ x − = ⇒ x = 10 (thỏa mãn) Vậy: x= 1; x =2 ; x = 10 nghiệm phương trình cho Ví dụ 8: Giải phương trình: Đặt: x +1 = a ; a2 = ( x + 1) ; 3 ( x + 1) + ( x − 1) + x2 −1 = x − = b nên ta có: b2 = ( x − 1) ; ab = x − Ta phương trình: a2 + b + ab = (1) a = x + Ta có: b3 = x − Ta phương trình: a3 - b3 = (2) a + b + ab = a + b + ab = ⇔ Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: a − b3 = ( a − b )( a + b + ab ) =  Từ hệ phương trình, ta suy ra: a - b = ⇒ b = a - Thay vào phương trình (1) ta được: 3.(a -1)2 = ⇒ a =1 Với a = 1, ta có: x + = ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình là: x = Ví dụ 9: Giải phương trình: − + x = x x ≥  ⇒ ≤ x ≤ 12 Gợi ý: ĐK: 4 + x ≥  4 − + x ≥  x = − y  x = − y ⇔  Đặt y = + x ta có hệ phương trình:   y = + x  y = + x  x − y = − ( x − y ) ( x + y ) ( x − y + 1) = ⇔ ⇔  x = − y  x = − y  −1 + 13 x = x − y +1 = 2  Vì x + y ≠ nên ta có hệ:  x = − y ⇒ x = − x − ⇔ x + x − = ⇒  −1 − 13  (loai) x =  Vậy phương trình có nghiệm là: x = −1 + 13 Ví dụ 10: Giải phương trình: ( 3x + 1) + ( 3x − 1) + x − = (1) Gợi ý: Đặt u = 3x + 1; v = 3x − u + v + uv =  ⇒u −v = 2⇒ u = v+2 Phương trình (1) trở thành hệ: u − v3 = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 26 2 Do đó: ( v + ) + v + v ( v + ) = ⇔ 3v + 6v + = ⇔ ( v + 1) = ⇔ v = −1 ⇒ u = 2  3x + = ⇒x=0 Ta có:   3x − = −1 Vậy phương trình có nghiệm là: x = Chú ý: Đối với phương trình có dạng: n a − f (x) + n b + f (x) = c Ta thường đặt u = n a − f (x); v = n b + f (x) u + v = c Khi đó, ta hệ phương trình: u n +v n = a + b Giải hệ ta tìm u v Từ ta tìm giá trị x Ví dụ 11: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK: x ≤ 1 +x+ − x =1 2 (1) Đặt : u = + x ; v = − x ≥ v = u + v =  Ta hệ: u + v = ⇒ ( − v ) = − v ⇔ v ( v − 1) ( v − 3) = ⇔ v = v = −1 −17   Giải tiếp ta tìm tập nghiệm phương trình là: S =  ; ;    Ví dụ 12: Giải phương trình: x − x = 2 x − (1) 2 Ta có : (1) ⇔ ( x − 1) − = 2 x − Gợi ý: Điều kiện: x ≥  x − x = 2( y − 1) Đặt y − = x − ta đưa hệ sau:   y − y = 2( x − 1) Trừ hai vế phương trình ta được: ( x − y )( x + y ) = Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x = + Ví dụ 13: Giải phương trình: x − x − = x + (1) Gợi ý: ĐK x ≥ − Ta có: ( 1) ⇔ x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = Đặt y − = x + ta hệ :  (2 y − 3) = x +  Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇔ y = − x ⇔ −2 x − = x + (vô nghiệm) Kết luận: Nghiệm phương trình x = + Ví dụ 14: Giải phương trình: x − x + = (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ −5 Ta có: (1) ⇔ x − = x + ; x ≥ (*) Đặt x + = t ≥ ⇒ t − = x Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 27  x − = t Kết hợp với (*) ta hệ:  t − = x Từ ta tìm nghiệm Ví dụ 15: Giải phương trình: 7x2 + 7x = 4x + ( x > 0) 28 4x + 4x + = t + 2at + a =t+a ⇒ 28 28 4x + 1 = t + t + ⇒ 7t + 7t = x + Chọn a = ta được: 28  7 x + x = t + Kết hợp với đầu ta hệ phương trình:  7t + 7t = x +  Gợi ý: Đặt Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm Nhận xét: Qua ví dụ cho ta thấy phương pháp đưa hệ phương trình có điểm sáng tạo đặc thù riêng, đòi hỏi học sinh phải tư Do phương pháp thường áp dụng cho học sinh khá, giỏi Ta cần ý số điểm sau: + Tìm điều kiện tồn phương trình + Biến đổi phương trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình việc giải hệ phương trình quen thuộc Ngoài người học biết kết hợp phương pháp với phương pháp khác phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng đẳng thức Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1 + x − x2 =2 2 x − = x3+ x − + x − 21 = x − 3 − x + + x =1 − + x = x Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức: Các bước: * Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) f(x) ≥ a; g(x) ≤ a (a số) Nghiệm phương trình giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a g(x) = a * Biến đổi phương trình dạng h(x) = m (m số) mà ta có h(x) ≥ m; h(x) ≤ m nghiệm phương trình giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 28 * Áp dụng bất đẳng thức: Cauchy; Bunhia côpxki, a) Dạng 1: Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời nhau, phương trình vô nghiệm Ví dụ 1: Giải phương trình: x −1 - 3x − (1)  x ≥   ⇔ x≥1 x ≥    x ≥ x − ≥  5 x − ≥ ⇔ 3 x − ≥  Gợi ý: ĐK: 5x − = Với x ≥ x < 5x x − < x − Suy ra: Vế trái (1) số âm, vế phải số không âm Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ Mà ( x − 3) + + ( x − 3) + + ⇒ VP = VT = + ( x − 3) + + ( x − 3) + + 4 ( x − 2) + = + ( x − 2) + ≥ + 4+1=3+ x − = x = ⇔ (vô nghiệm)  x − = x = Vậy phương trình cho vô nghiệm Bài tập áp dụng: x − - x + = 2 x + = x - x − − x + x + = x2 - 6x +13 b) Dạng 2: Sử dụng tính đối nghịch hai vế: Ví dụ 1: Giải phương trình x − + y + 2014 + z − 2015 = ( x + y + z) (1) (Đề thi HSG huyện Yên Lạc – Năm học 2014 - 2015) ĐK x ≥ 2; y ≥ −2014; z ≥ 2015 ( Ta có : (1) ⇔ Do ( ) ) ( x − −1 + x − − ≥ 0; ( ) ( y + 2014 − + ) y + 2014 − ≥ 0; ( ) z − 2015 − = ) z − 2015 − ≥ Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 29  x − −1 = x =   ⇒  y + 2014 − = ⇔  y = −2013   z = 2016   z − 2015 − = Vậy nghiệm phương trình (x;y;z)=(3;-2013;2016) Ví dụ 2: Giải phương trình: x − 3x = x − − (1) (Đề thi HSG huyện Tam Dương- Năm học 2014 -20 15) Gợi ý: ĐKXĐ: x ≥ Ta có: (1) ⇔ x − 3x = x − − ⇔ ( x − x + 4) + ( x − − x − + 1) =  x − = ⇔ x = 2(T / m) ⇔ ( x − 2) + ( x − − 1) = ⇔   x − − = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 3: Giải phương trình: x + x + = 2 x + (1) (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An- Năm học 2010 -2011) Gợi ý: x ≥ −3 2 Ta có: (1) ⇔ ( x + x + 1) + ( x + 3) − 2 x + + = ⇔ ( x + 1) + (  x + = 2x + −1 = ⇔  ⇒ x = −1 (t/m)  x + − = ) Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Ví dụ 4: Giải phương trình: x + x + x − x = x + (1) (Đề thi hsg thành phố HCM - Năm học 2009 -2010)  x + x ≥ Gợi ý: ĐK   x − x ≥ Áp dụng BĐT Cauchy cho hai cặp số không ân, ta có x + x2 + x − x2 + x + x + x − x = ( x + x ) + ( x − x ) ≤ + = x +1 2 2 2  x + x = ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Dấu đẳng thức xảy khi:   x − x = Vậy phương trình cho vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình: Gợi ý: x−4 + − x = x2 -10x + 27 (1) ĐK: ≤ x ≤ Theo BĐT Cauchy, ta có: x−4 ≤ 1+ x − ; 6− x ≤ 1+6 − x Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 30 ⇒ VT = x − + − x ≤ 1+ x − 1+6 − x + =2 2 Mà: VP= x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + ≥ ( ∀ x) ⇒ VT = VP khi: x- = - x ⇔ x = 10 ⇒ x = (thỏa mãn) Vậy x = nghiệm phương trình (1) Ví dụ 6: Giải phương trình: Gợi ý: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x Ta có: (1) ⇔ ( x + 1) + + ( x + 1) + = − ( x + 1) 2 (1) Mà: VT = ( x + 1) + + ( x + 1) + ≥ + = 2 VP = − ( x + 1) ≤ ⇒ VT = VP ⇔ ( x + 1) = ⇔ x + = ⇔ x = −1 Vậy phương trình có nghiệm là: x = -1 x − x + 15 = x − x + 18 x − x + 11 Ví dụ 7: Giải phương trình: Gợi ý: (1) Ta có: (1) ⇔ + x − + = ( x − 3) + ( ) 4 Mà: VT = + x − + ≤ + = ( ) VP = ( x − 3) + ≥ ⇒ VT = VP ⇔ ( x − 3) = ⇔ x − = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 8: Giải phương trình: x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + (1) Gợi ý: Ta có: (1) ⇔ ( x − 3) + + ( x − 3) + + ( x − ) + = + (*) 2 Mà: VT = ( x − 3) + + ( x − 3) + + ( x − ) + ≥ + + = + 2 2 VP = + ( x − 3) = x = ⇔ Nên (*) xảy ⇔  (vô lí) x = ( x − ) = Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 9: Giải phương trình: 19 x −1 +5 x2 −1 + 95 x2 − x + =3 (1) x −1 ≥  Gợi ý: Điều kiện:  x − ≥  x − 3x + ≥  Ta có: VT = 19 Mà: VP = x −1 +5 x −1 + 95 x2 −3 x + ≥ 190 + 50 + 950 = Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 31 x −1 =  ⇒ VT = VP ⇔  x − = ⇔ x =1  x − 3x + =  Vậy phương trình có nghiệm x = x Ví dụ 10: Giải phương trình: Gợi ý: ĐK: x> a b + ≥ với a, b > xảy dấu “=” a = b b a Áp dụng bất đẳng thức: Do đó, ta có: 4x − 4x − =2 (1) x + x 4x − + 4x − ≥2 x Dấu “=” (1) xảy khi: x= x − ⇔ x2 - 4x +1 = (do x> ) Giải phương trình ta tìm x= ± (thoả mãn) Vậy x= ± nghiệm phương trình (x Ví dụ 11: Giải phương trình: x − 3x + 3,5 = − x + 2) ( x2 − x + 5) (1) Ta có: x − x + = ( x − 1) + > x − x + = ( x − ) + > 2 ( x − x + 2) + ( x − x + 5) x − x + 3,5 = ≥ ( x − x + 2)( x − x + 5) (theo Côsi) 2 Dấu “=” xảy x − x + = x − x + ⇔ x = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 3 Ví dụ 12: Giải phương trình: 13 x − x + x + x = 16 Gợi ý: Đk: −1 ≤ x ≤ ( Biến đổi pt ta có: x 13 − x + + x ) = 256 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( 13 13 − x + 3 + x ) ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 − 13 x + + x ) = 40 ( 16 − 10 x ) áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x ( 16 − 10 x 2 )  16  ≤  ÷ = 64  2   x = + x   − x2 =  ⇔ Dấu ⇔   10 x = 16 − 10 x x = −   Bài tập áp dụng: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 32 3x − 12 x + 16 + y − y + 13 = 3x + x + 12 + x − 10 x + = - 4x -2x2 6: Phương pháp chứng minh nghiệm nhất: Các bước: Khi giải phương trình vô tỉ mà ta chưa biết cách giải, thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm, thử trực tiếp để tìm nghiệm chúng Rồi tìm cách chứng minh nghiệm không nghiệm khác 10 + = (1) 2− x 3− x Ví dụ 1: Giải phương trình : (Đề thi HSG tỉnh Vĩnh Phúc – Năm học 2007 - 2008) Gợi ý: ĐK: x < 2    < > 0 <  1    − x 2− x ⇔ ⇔ - Nếu x < ⇔ − x > − ⇔  3 − x > > 0 <  10 > <  3− x   − x 10 + < Vậy phương trình nghiệm x < Suy ra: 2− x 3− x    > >4 0 x > ⇔ − x < − ⇔  0 < − x <   10 > >   − x  − x 10 + > Vậy phương trình nghiệm x > Suy ra: 2− x 3− x Với x = ta thấy thỏa mãn điều kiện phương trình cho Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 2: Giải phương trình: Gợi ý: x + 28 + x + 23 + x −1 + x = + (1) x − ≥ ⇔ x ≥1 x ≥ ĐK:  Ta thấy x =2 nghiệm (1) + Với x > 2, ta có: VT > 32 + 23 27 + + = + + Với x< 2, ta có: VT < 32 + 23 27 + + = + Vậy x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình : x +3 + 3x = (1) Gợi ý: Ta thấy: x = nghiệm (1) 2 + Với x ≠ ta có: VT = x +3 + 3x > 20+3 + 30 = + = 2 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 33 Do x ≠ nghiệm (1) Vậy x = nghiệm phương trình Bài tập áp dụng : x + 26 + x + x + = 2 x − + x − 3x − = x + x + + x − x + Phương pháp Sử biểu thức liên hợp – Trục thức Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x − x + − x + + x + = (1) (Đề HSG huyện Vĩnh Tường – Năm học 2013 - 2014) Gợi ý: ĐK: x ≥ Ta có: (1) ⇔ x + − x + = x + − x (1) = ⇔ x + + x + = 5( x + + x) (2) x+9 + x+4 x +1 + x Từ (1),(2) suy ra: x + = x + + x ≥ x + = x + ≥ x + ,dấu “=” xảy x=0 ⇔ Thử lại x=0 nghiệm phương trình Vậy pt cho có nghiệm x=0 Ví dụ 2: Giải phương trình: + = x+3 x+4 (1) (Đề HSG huyện Hoằng Hóa – Năm học 2013 - 2014) Gợi ý: ĐK: x > -  Ta có: (1) ⇔  −     + − ÷  ÷  ÷= x+3 ÷ x +    4− x + 11 x + 11 x+3 + x+4 =0⇔ + =0 ⇔     2+ 2+ ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x+3 x+4 x + x+4     4− + >0     ( x + 3)  + ÷ ( x + 4)  + ÷ x + x+4     11 Do 4x + 11 = ⇔ x = − thỏa mãn điều kiện  11  Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −   4 Ví dụ 3: Giải phương trình: x − + x + + x3 − x − x − 14 = Vì x > - nên (1) (Tạp chí Toán tuổi thơ - Số 152) Gợi ý: ĐK: x ≥ −7 Phương trình tương đương với: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 34 ⇔ ( ) ( x − −1 + x−9 ⇔ ( x − 8) ) x + − + x3 − 8x − 8x − = + x − +1 + x−9 + ( x − ) ( x + x + 1) = x+7 +4   1  ⇔ ( x − 9) + + x + x + 1÷ =  x − + x − +1 ÷ x + + )  (  ⇔ x−9 = ⇒ x = 1 + + x + x + >0 Vì x ≥ −7 nên 3 x + + ( x − 8) + x − + Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 4: Giải phương trình: x ( x + ) + x ( x − 1) = x (1) Gợi ý: ĐK x ≤ −2; x ≥ ( 1) ⇔ x2 − x − x2 − 2x x ( x − 1) − x ( x + ) =2 x ⇔ −3 x x ( x − 1) − x ( x + ) =2 x ( 2) −3  −3  x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = x + Nếu x ≥ ta có   x ( x − 1) + x ( x + ) = x  ( 3) Giải (3) ta tìm x   x ( x − 1) − x ( x + ) = ⇒ x ( x − 1) = −2 x + Nếu x ≤ -2 ta có   x ( x − 1) + x ( x + ) = −2 x  ( 4) Giải (4) ta tìm x Ví dụ 5: Giải phương trình sau: x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − x + Gợi ý: 2 2 Ta nhận thấy: ( 3x − x + 1) − ( 3x − x − 3) = −2 ( x − ) ( x − ) − ( x − 3x + ) = ( x − ) Ta trục thức vế: −2 x + x − x + + ( x − x + 1) = 3x − x − + x − 3x + Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x + 12 + = 3x + x + Gợi ý: Để phương trình có nghiệm thì: x + 12 − x + = x − ≥ ⇔ x ≥ Ta nhận thấy: x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng ( x − ) A ( x ) = , để thực điều ta phải nhóm, tách sau: Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 35 x2 − x + 12 − = x − + x + − ⇔ 2 x + 12 + = 3( x − 2) + x2 − x2 + +   x+2 x +1 ⇔ ( x − 2)  − − 3÷= ⇔ x = 2 x2 + +   x + 12 + x+2 x+2 − − < 0, ∀x > Dễ dàng chứng minh được: x + 12 + x2 + + Ví dụ 7: Giải phương trình: x − + x = x3 − (1) Gợi ý: ĐK x ≥ Nhận thấy x = nghiệm phương trình, nên ta biến đổi phương trình:   x − − + x − = x − − ⇔ ( x − 3) 1 +  Ta chứng minh: 1+ (   ( x − 3) ( x + x + ) = x3 − + x2 − ( ) + x − +  x+3 x+3 = 1+ < < x + 3x + 2 x2 − + x2 − + x −1 +1 + x3 − + x+3 ) ( ) Vậy pt có nghiệm x = x2 + Ví dụ 8: Giải phương trình sau: x + x2 + x2 − + x − x2 − =x Gợi ý: ĐK: x ≥ Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình cho ta được: (x ⇒ ) )( ) )( ( − x + x − − x + x − x − = 3.x (x − x >  ⇒  x − ( ) + ) +( x (x 2 + + ) ) = 3.x (x +2 − 3) = 27 x   x >  x > ; x ( − 2x ) ≥ ⇒ ⇒ 4 4  ( x − 3) = x ( − x ) 4( x − 3) = x ( − x ) Giải hệ ta tìm x = 2 x2 = x+9 Ví dụ 9: Giải phương trình: (1) − + 2x ( ) Gợi ý:  x ≥ − ĐK:   x ≠ (1) ⇔ ( 2x2 + + x (3− + 2x ) (3+ ) + 2x ⇔ + 2x = ⇔ x = − ) = x+9 ⇔ ( x 18 + x + + x 4x ) = x+9 (thỏa mãn) Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 36 Bài tập vận dụng: 1) x ( x − 3) + x ( x − ) = x 2) ( x + 3) ( x + ) + ( x + 3) ( x − 1) = ( x + 3) 3) 3x x + 10 = 3x + − IV- ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY Nhận xét: Trên giới thiệu với bạn số dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải mà áp dụng thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng HSG ôn luyện thi vào lớp 10 THPT Kết thu tỉ lệ HS thi đỗ lớp 10 THPT năm sau cao năm trước, chất lượng đội tuyển HSG ngày nâng cao Khi áp dụng chuyên đề nhận thấy em trang bị lượng kiến thức đa dạng, phong phú, huy động tổng hợp nhiều loại kiến thức trước đó, từ phát triển nâng cao khả tư logic, phát huy tính độc lập sáng tạo học sinh Trong chương trình toán phổ thông nhiều phương pháp (phương pháp miền giá trị, phương pháp hàm số ), đề tài trình bày số phương pháp thông dụng chương trình trung học sở Tuy nhiên với dạng toán đối tượng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng ghép vào tiết dạy nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho đối tượng học sinh Đây vấn đề hoàn toàn mẻ khó khăn cho học sinh, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng toán có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết t sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” vấn đề Kết sau áp dụng đề tài: Sau áp dụng đề tài, thấy chất lượng qua kiểm tra nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng HS trung bình chất lượng nâng lên rõ rệt Cụ thể, qua khảo sát 35 em học sinh đạt kết sau: Điểm Điểm - Điểm - Điểm - 10 SL % SL % SL % SL % 17.1 17 48.6 22.9 11.4 Điều minh chứng tính đắn đề tài, giúp học sinh có tảng kiến thức để vượt qua khó khăn ban đầu Từ giúp HS tiếp cận phương trình vô Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 37 tỉ cách bản, hệ thống sáng tạo phương pháp giải đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh PHẦN III- KẾT LUẬN: Trên số dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải mà áp dụng giảng dạy thực tiễn nhiều năm trường THCS cho học sinh đại trà trình ôn luyện thi vào lớp 10 THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi thu kết sau: + Hầu hết em làm bài, hiệu suất làm tăng lên rõ rệt, em cảm thấy tự tin chủ động để chiếm lĩnh kiến thức khoa học môn + Học sinh tránh sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Người thầy cần phát huy, trọng tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao quát, toàn diện định hướng giải toán đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Trong đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót hạn chế định Vậy kính mong giúp đỡ, đóng góp ý thầy giáo, cô giáo bạn đọc để đề tài ngày hoàn thiện có tính ứng dụng cao trình dạy học Để hoàn thành đề tài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy nhận giúp đỡ tận tình đồng nghiệp, thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn! , ngày 28 tháng 10 năm 2015 NGƯỜI THỰC HIỆN TÀI LIỆU THAM KHẢO  1- SGK Toán 7-Nhà xuất GD 2003 2- SGK Đại số 9-Nhà xuất GD 3- Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất GD 2001 4- Toán bồi dưỡng Đại số - Nhà xuất GD 2002 Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 38 5- Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất GD 1995 6- Để học tốt Đại số - Nhà xuất GD 1999 7- Phương trình hệ PT không mẫu mực - NXB GD 2002 8- 23 chuyên đề toán sơ cấp – NXB trẻ 2000 9- PT, bất phương trình đại số cách giải đặc biệt NXB trẻ 2000 10- Tham khảo số đề thi tài liệu khác có liên quan ************************************* Chuyên đề: Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS 39 [...]... = 2 Giải ta tìm được x = -1; x = 1 7 * Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau + Tìm tập xác định của phương trình + Dùng các phép biến đổi đại số, đưa phương trình về dạng f(x) g(x) ….= 0 (gọi là phương trình tích) Từ đó ta suy ra f(x) = 0; g( x) = 0;… là những phương trình quen thuộc + Nghiệm của PT là hợp nghiệm của các phương. .. 1 ⇔  là nghiệm của phương trình đã cho  x = −6 2 b) Dạng 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến: Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x − 1 + x −1 = 3 x + 1 (1) 4x (Đề thi HSG tỉnh Phú Thọ – Năm học 2013 -20 14) 1 3 Gợi ý: ĐK: x ≥ − , x ≠ 0 Phương trình tương đương với: 12 x 2 − ( 3x + 1) = 4 x 3x + 1 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS... 2t = 0 ⇔ t(t-2)= 0 ⇔  2 t = 2 x + 1 = 0 x +1 + 3 − x = 0⇒  (vô nghiệm) ⇒ phương trình vô nghiệm 3 − x = 0 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 18 + Với t = 2: (2) ⇒ ( x + 1)(3 − x) = 0 ⇒ x1 = -1; x2 = 3 (thoả mãn) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x1 = -1; x2 = 3 Ví dụ 7: Giải phương trình: x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 (1) Gợi ý: ĐK: x ≥ 1 Nhận xét... ⇔ x − 1 =2 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 12 ⇔ x = 5 không thuộc khoảng đang xét - Nếu 5 ≤ x < 10 thì (2) ⇔ x −1 - 2 + 3 - x −1 = 1 ⇔ 0x = 0 Phương trình có vô số nghiệm - Nếu x ≥ 10 thì (2) ⇔ x − 1 - 2 + x − 1 - 3 = 1 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) Vậy phương trình có vô số nghiệm: 5 ≤ x ≤ 10 Nhận xét : Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu... - 5x = 0 ⇔ x(x - 5) = 0 ⇔   x = 0 (lo¹i) Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 24 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 5 Ví dụ 5: Giải phương trình: 25 − x 2 - 15 − x 2 = 2 Gợi ý: ĐK: 0 ≤ x2 ≤ 15 25 − x 2 = a (a ≥ 0) (* ); Đặt: 15 − x 2 = b ( b ≥ 0) ( ** ) Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình:  a = a − b = 2 ⇔  ⇔  a + b = 5 b =  a... x − x ) 1 ≤ + = x +1 2 2 2 2 2 2  x + x 2 = 1 ⇒ Hệ phương trình vô nghiệm Dấu đẳng thức xảy ra khi:  2  x − x = 1 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình: Gợi ý: x−4 + 6 − x = x2 -10x + 27 (1) ĐK: 4 ≤ x ≤ 6 Theo BĐT Cauchy, ta có: x−4 ≤ 1+ x − 4 ; 2 6− x ≤ 1+6 − x 2 Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 30 ⇒ VT = x − 4 + 6 − x ≤ 1+ x −... phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình sau: x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 Gợi ý: Để phương trình có nghiệm thì: x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 3 Ta nhận thấy: x = 2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng ( x − 2 ) A ( x ) = 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách như sau: Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS... phương trình - Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung - Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 x + 10 + 3 17 − x = 3 (1) (Đề thi HSG tỉnh Kiên Giang – Năm học 2012- 2013) Gợi ý: Đặt a= 3 x + 10 ; b= 3 17 − x ⇒ a3 + b3 = 27  a = 3  a + b = 3 a + b = 3 b = 0 ⇔ 2 ⇔ Ta có hệ phương trình:  3 3 2  a = 0... Chuyên đề: Phương pháp giải một số dạng phương trình vô tỉ cơ bản ở cấp THCS 15 ⇔ x2-5x-3 = 0 ⇔ x = 5 ± 37 (thỏa mãn đk x ≥ -1.) 2 5 ± 37 Vậy phương trình có nghiệm: x = 2 Ví dụ 9: Giải phương trình: ( x + 5 - x + 2)(1 + x 2 + 7x + 10) = 3 (Đề thi HSG tỉnh Ninh Bình – Năm học 2013 -20 14) Gợi ý: ĐK x ≥ - 2 Đặt x + 5 = u ≥ 0, x + 2 = v ≥ 0 ta có: uv = x 2 + 7 x + 10, u 2 − v 2 = 3 Thay vào phương trình. .. điều kiện tồn tại của phương trình + Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc Ngoài ra người học còn biết kết hợp phương pháp này với các phương pháp khác như phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng hằng đẳng thức Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1 1 + x 1 2 − x2 =2 2 2 3 2 x − 1 = x3+ ... tìm hướng giải cho dạng cụ thể, đặc biệt cần nắm dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải dạng Phương trình vô tỉ dạng phương trình hay khó, việc giải phương trình vô tỉ đánh giá lực giải toán... sinh giỏi nhiều lúng túng trước việc giải phương trình, đặc biệt phương trình vôi tỉ Phương trình vô tỉ dạng phương trình không mẫu mực, để giải phương trình vô tỉ đòi hỏi người học phải có tảng... ' 'Phương pháp giải số dạng phương trình vô tỉ cấp THCS '' Trong đề tài, đưa số dạng phương trình vô tỉ phương pháp giải, phù hợp với trình độ học sinh THCS Trang bị cho học sinh số dạng toán phương