Tài liệu Giải phương trình vô tỉ

Violet.vn/ducnghi58 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1-Phương pháp bình phương hai vế của PT: Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương hai vế của PT. Ví du 1ï:Giải PT:2+ xx =− 12 (1) Giải:ĐK:x 2 1 ≥ (2) PT(1) )3(212 −=−⇔ xx ;ĐK: 2 ≥ x (3) 056)5()2(12 22 =+−⇔−=−⇔ xxxx Giải x 1 =1 không thõa mãn (4);x 2 = 5thoã mãn cả (2)và (4).Vậy PT có nghiệm x = 5 Ví dụ 2:Giải PT: )1(121 =−−+ xx Giải:ĐK:x 2 ≥ (2) . PT(1) 1 1 2 (3)x x ⇔ + = + − .Hai vế của (3) không âm bình phương hai vế :x+1= 1+x-2+2 2 − x 31212222 =⇔=−⇔=−⇔−=⇔ xxxx ,thõa mãn ĐK (2) .Vậy PT có nghiệm x = 3. 2-Phương pháp:Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối: Ví dụ: Giải PT: 844 2 =++− xxx (1) . 2 ( 2) 8 2 8x x x x⇔ − + = ⇔ − + = ≥ + = ⇔ = < + + = = Giải(1) Nếu x 2thì x -2 x 8 x 5, Thuộc khoảng đang xét. Nếu x 2thì -x 2 x 8,PT vo ânghiệm Kết luận x 5 3-Phương pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ:Giải pT:x 2 - 42 2 =− x Giải:ĐK: 2 2 ≥ x ;PT đã cho có dạng: 0222 22 =−−−− xx Đặt : loại)t Giảit dạng có PT 1 2 (1;20202 2 2 −===−−≥=− tttx Với t = 2 Thì 6622 22 ±=⇔=⇔=− xxx Kết luận:x = 6 ± 4-Phương pháp đưa về HPT hữu tỉ: Giải PT: 312 3 =++− xx ; Giải:ĐK:x )1(1 −≥ Đặt zxyx =+=− 1,2 3 ;Khi đó x-2= y 3 ;x+1 = z 2 Ta có HPT sau:      ≥ =− =+ )4(0 )3(3 )2(3 32 z yz zy ;Giải HPT (y = 1;z =2)thõa mãn ;Giải tìm x = 3(Thoã mãn) Kết luận:x= 3 5-Phương pháp BĐT: a)Chứng tỏ tập giá trò của hai vế là rời nhau: Ví dụ:Giải PT: )1(23151 −=−−− xxx 1 Violet.vn/ducnghi58 ĐK:x 1 ≥ ;Ta có với ĐK này thì x < 5x Do đó nghiệm vô PT .vậy âm không phảivế âm sốmột (1)là trái Vế ⇒−<− 151 xx b)Sử dụng tính đối nghòch hai vế: Ví dụ: Giải PT: 222 2414105763 xxxxxx −−=+++++ Giải:Vế trái của PT: 5949)1(54)1(3 22 =+≥+++++ xx Vế phải của PT:5-(x+1) 2 5 ≤ Vậy hai vế của PT bằng 5 1 −=⇔ x KL:x= -1 c)Sử dụng tính đơn điệu: Ví dụ :Giải PT: )1(312 3 =++− xx Giải :Ta thấy x =3 là nghiệm của PT Với x >3 Thì 2.1,12 3 >+>− xx .Nên vế trái của (1) >3 Với -1 21;13 <+<<≤ xx 3 2-x Thì .Nên vế trái của (1)<3 Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT d)Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng : Ví dụ:Giải PT: )1(2 14 14 = − + − x x x x Giải ;ĐK:x > 4 1 Áp dụng BĐT 2 ≥+ a b b a Với a>0,b>0 .Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b Do đó (1) 32) 4 1 (0141414 22 ±=⇔>=+−⇔−=⇔−=⇔ xDoxxxxxxx Thõa mãn (2) 6-Phương pháp dùng các biểu thức liên hợp: Ví dụ: Giải PT: )1( 5 3 2314 + =−−+ x xx ĐK: 3 2 ≥ x Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1) )2314( 5 3 3 −++ + =+⇔ xx x x ( ) ( ) 03523140523143 >+=−++⇔=−−+++⇔ xdoxxxxx (2) Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT. III- LUYỆN TẬP Bài 1: Giải PT: )1(24 2 −=− xx ;HD:ĐK:x 2 ≥ Bình phương hai vế giải x = 2 Bài 2:Giải PT: 2 4 1 2 1 =++++ xxx (1);HD:Đặt t= 4 1 0 4 1 2 −=⇒≥+ txx (1) 2 2 1 2 =       +⇔ t Giải t = 22 2 1 2 −=⇔− x 2 Violet.vn/ducnghi58 Bài 3:GiảiPT: )1( 1 1 x xx =++ ; HD:ĐK:x >0 Biến đổi(1) ⇔ … 3 1 3 1 1 =⇔      = ≤ ⇔ x x x Bài 4:Giải PT: 341) 121) 11) =++− =+−− −=+ xxc xxb xxa ; HD:Dùng Phương pháp bình phương hai vế Kết quả:câu a x=3;b)x= 2 51 −− ;c)x =0;x=3 Bài 5:Giải PT: x x xx += − −+ 3 1 32 2 (1);HD:ĐK:    >⇔ ≥+− > 1 0)3)(1( 1 x xx x (1) xx +=+⇔⇔ 33 . Bình phương hai vế giải kết quả x=-3;x=-2(KTM)PT vô nghiệm. Bài 6:Giải các PT sau: 3 53 14 5);121) 2 = −+ − −−−=− x x xbxxa ;HD câu a)PT Vô nghiệm;câu b)PT có vô số nghiệm x 5 ≥ Bài 7:Giải PT:a) 533 −=− xx ;b) 725 =−+ xx Câu: a) Biến đổi Tương đương      =+− ≥ 022299 3 5 2 xx x Câu: b)Tương tự Bài 8 :Giải PT:3x 2 +2x = xxx −++ 12 2 (1);HD:Biến đổi (1) 01233 22 =−+−+ xxxx Dùng Phương pháp đặt ẩn phụ: 0 2 ≥=+ txx Giải PT ẩn t có hai nghiệm t=1;t= 3 1 − Thay giải tìm x Bài 9:Giải : 5168143);34412) 22 =−−++−++=+−++− xxxxbxxxxa HD:Biến đổi về PT chứa dấu giá trò tuyệt đối Câu:a) 12 ≤≤− x ; Câu b) 101 ≤≤ x Bài 10:Giải PT:x 2 +4x +5 = 2 32 + x (1);HD ĐK: x 3 2 − ≥ ;Biến đổi (1) ( ) ( ) ( ) ( )    =−+ =+ ⇔=−+++⇔ 0132 01 01321 2 2 2 2 x x xx Bài 11:Giải các PT: 122);2344) 1252)44)42) 22 22 −=+−+=+− −−=+−−=−−=− xxxexxxd xxxxcxxbxxa Câu a,b,,d,e;Dùng phép biến đổi    = ≥ ⇔= 2 0 BA B BA Câu c:Dùng phương pháp đặt ẩn phụ 3 Violet.vn/ducnghi58 Bài 12:GiảiPT: )1(11642) )1(2414105763) 2 222 +−=−+− −−=+++++ xxxxb xxxxxxa Dùng BĐT: Câu a)VT 5 ≥ ;VP 5 ≤ .Do đó PT có nghiệm khi và chỉ khi hai vế bằng nhau:x=-1 Câub)VT:Áp dụng BĐT Bu nhiacốp xki : ( ) 24)2)(11(4.12.1 22 2 ≤⇒≤+≤−+− VTxx Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi ….x=3 VP:=…=(x-3) 2 +2 2≥ ;Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x =3 Vậy PT có nghiêm là x= 3 Bài 13:Giải PT: 2)3)(1(31 =−+−−++ xxxx HD:ĐK: 31 ≤≤− x ;Đặt t = xx −++ 31 ;Với ĐK t 0 ≥ PT có dạng:t 2 -2t = 0 4 Violet.vn/ducnghi58 5 . MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1 -Phương pháp bình phương hai vế của PT: Trước hết ta cô lập căn thức chứa ẩn ở một vế ,đặt ĐK cho vế kia không âm rồi bình phương. (2) Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT. III- LUYỆN TẬP Bài 1: Giải PT: )1(24 2 −=− xx ;HD:ĐK:x 2 ≥ Bình phương hai vế giải x = 2 Bài 2:Giải