Tổng hợp bất đẳng thức

24H H C TOÁN - CHI N TH NG CÂU PHÂN LO I Giáo viên: oàn Trí D ng Hà H u H i BÀI 21: T ng h p B t ng th c ph n Bài 1: Cho a , b , c s th c d P 2a b 8bc ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: a b c 2b 2 a c thi th THPT Duy T 2015 PHÂN TÍCH Bài toán b t i x ng d ng phân th c, bi u th c cu i m t i l ng i x ng không ch a c n h s âm nên v i nh h ng ã c nh c n toán phân th c tr c: N u toán ch a phân th c ng nh t v s l ng h s ta nh h ng ánh giá cho m u s ng nh t Ta th y: a b 8bc 2a b 2bc 2 a b b 2c Và : 2b 2 a c Ta a c toán v bi n a b c , i m r i a b c a b c a b c b 2c b a c a c b Do i u ki n c a bi n a b c nên ta mong mu n hàm s thu c c ti u 0, BÀI GI I Áp d ng AM-GM: 2bc b 2c 8bc ng th c: a Áp d ng b t 2b 2a b a c b2 a b c 2b a b c tt a b c 2a b a b 8bc a b c a b c a c P a b c a b c 3 a b c t P f t a b c 2t a b c t a b c c có PHÂN TÍCH HÀM S S d ng công c TABLE c a máy tính X CASIO v i: F X 2X X START = 0.5 END = STEP = 0.5 D a vào b ng giá tr ta th y hàm s t c c ti u giá tr nh nh t t i X Giá tr nh nh t c a f t f nh h Xét hàm s : f t f' t 2t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 b 2c b a c a b c t ó giá tr a , b , c c n tìm mãn nên ta F(X) ng ch ng minh hàm s v it 2t t f' t t t 1.285 1.5 1.444 1.35 1.254 1.166 1.087 1.017 0.955 0.9 a c t c c ti u t i t BBT: t f (t) 3 f(t) D a vào b ng bi n thiên f t b 2c ng th c x y b a c a b c f a c K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P ,b ,b P a c ,b th a ,1 ; y , z Bài 2: Cho s th c x nh t c a bi u th c: P th a mãn xyz Tìm giá tr nh 1, 1 1 x y z thi th Nghi S n Thanh Hóa 2015 PHÂN TÍCH i x ng d ng phân th c i u ki n y , z làm ta ngh Bài toán ng th c quen thu c: 1 a b nb t v i ab 1 ab Ta s d ng b t ng th c i u ki n a toán v bi n x BÀI GI I 1 v i ab Ta có b t ng th c : a b ab Th t v y: 1 a b Áp d ng b t P Xét hàm s : f t Hàm s x f' t ab ng th c: 1 y z x x yz 1 t 1 t ,1 ng bi n yz y ng th c x y x t2 f t úng ab ab Do yz yz x Do yz t 2 x b 2t v it t a a b 1 2t t2 ab 1 ,1 x t t2 t 1 t f x ,y 22 15 ,1 t P 22 15 z xyz K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P 22 x 15 z ,y z Bài 3: Cho a , b , c s th c ôi m t phân bi t th a mãn a b c ab bc ca Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 2 P a b 2 b c c a ab bc ca thi th THPT a Phúc 2015 PHÂN TÍCH Ta th y i u ki n bi n th c ôi m t phân bi t nên i n r i s x y bi n khác T bi u th c u c a P ta th y c n có d ng i x ng theo a b b c nên ta m nh d ng ánh giá d 2 a b b c ng th c x y a b P Kh o sát hàm s f t 15 t bi n thiên ta c f t gi s a b c 3a Áp d ng b t a b P a a a c 1 a a 2a c 1 a b b c a c 2b ng th c : x b c b c a c 2b 6 a b 10 2 BÀI GI I x y 2 1 a b b c x, y 1 a b b c 1 a b b c c a ab bc ca Không m t tính t ng quát gi s : a b c a c a a2 o hàm l p b ng i m r i c a toán t y2 b v i t 3a t2 2 15 b c f oán: P a b b c a c ab bc ca NH H NG T DUY T d oán ban u v i m r i ta th y i m r i a b b c , ó ta t n ph a toán v hai bi n x a b , y b c i m r i c a toán s x Ta có: a c y r t quen thu c d dàng ánh giá a b b c a b c Và: ab bc ca Ta có: ab bc ca x Áp d ng b t tt 10 x y x y a b y x, y b c c a x2 y2 2 b c c a x2 y2 xy 15 x y 3 x xy y x y x y y2 xy x y ng th c: 15 x y t a b x y a b c Áp d ng AM-GM: x2 P t x a b, y b c P x y 3 10 x y P f t xy x y x y x y 30 12 x y 10 t 30 12 9t PHÂN TÍCH HÀM S S d ng công c TABLE c a máy tính X CASIO v i: 0.5 10 30 0.6 F X X 0.7 12 X 0.8 START = 0.5 0.9 END = 1.2 STEP = 0.1 1.1 D a vào b ng giá tr ta th y hàm 1.2 s có c c ti u t giá tr nh nh t kho ng 0.7,0.9 F(X) 29.607 26.802 25.175 24.509 24.934 27.32 37.565 ERROR Giá tr th a mãn v i i m r i ã d s ch ng minh hàm s có c c ti u Xét hàm s : f t 10 f' t t 10 t 30 12 9t 270t 12 9t 2 x y 3 27 t nên ta a c t giá tr nh nh t t i t v i0 t f' t oán t 12 9t t BBT: 0 t f (t) f(t) 10 D a vào b ng bi n thiên f t f ng th c x y 6 ,b a c x y ,c 10 6 P a b b c x y ho c a 3 6 a 6 ,b ,c ,b ,c 6 a b c K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P 10 a 6 6 ,1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: Bài 4: Cho s th c a , b , c P a b b c c a abc thi th THPT ng L c 2015 PHÂN TÍCH Do i u ki n bi n n m kho ng ch n P hoán v nên ta d 2c c 1 i m r i có bi n n m biên, cho a 1, b P 2c oán 2c c Kh o sát hàm s f c bi n thiên ta c f c ,c 2c f ,1 v i c o hàm l p b ng 2 , nên i m r i c a toán 2 hoán v vòng quanh th l i v i TH sau: a 1, b CASIO m b o ta s b b X X 1 , dùng TABLE v i F X TH1: Cho a ch n b bX 1 b b X X 2 bX ch n b , dùng TABLE v i F X TH2: Cho a d ng 2 nên d oán ban u c a ta úng c phép gi s a max a, b, c xét tr ng Ta th y c TH F X Do P hoán v nên ta h p: a b c a c b Do toán hoán v i u ki n nên không s mi n giá tr nên ta s c, v i i m r i ã d a c ,y c b i bi n v x Không m t t ng quát gi s TH: a b c P TH: a c b P P ,1 tt xy t b a 1 x y Do a , b , c d ng ánh giá a c oán ta nh n th y r ng c b 1, i x ng BÀI GI I a max a , b , c c b 1 xy xy a toán v d ng a c xy x y ac cb a b P a ,y c t x xy t x, y xy xy 1 xy f t c b t2 xy Xét hàm s f' t Hàm s 2t 2 t f t 2 t t 1 t t2 2 t t2 t ng bi n 1, x y ng th c x y xy 2 t 2t t2 t f t x y v it f 2 a c t 1, 1, 2 c b P 2 a 1, b ,c 2 hoán v vòng quanh K t lu n: V y giá tr l n nh t c a P Bài 5: Cho a , b , c s th c d nh t c a bi u th c: P 2 a 1, b ng th a mãn a a b c a b b2 c2 ,c 2 Tìm giá tr nh c thi th THPT Chuyên V nh Phúc 2015 PHÂN TÍCH D dàng oán c i m r i a b c Ta th y P s c n gi n quen thu c, s d ng Cauchy-Schwarz: 1 45 Ta a toán v c P a b c a b c a b c a b c bi n a b c , t i u ki n a b c S d ng công c TABLE c a máy tính X F(X) CASIO v i: 0.5 94 45 53 F X 8X X 1.5 42 START = 0.5 38.5 END = 2.5 38 STEP = 0.5 39 T giá tr c a b ng ta th y hàm s t c c ti u giá tr nh nh t kho ng 2,3 ch không ph i t i X Không th a mãn d oán v i m r i V y ánh giá a v hàm s theo bi n Ta th y P i x ng theo bi n nh ng l i r i r 1 P a b c 8a 8b a b c a Ta ngh n ph a b c không úng c: 5 8c b c ng pháp ti p n c n ph i ánh giá: f a (*) a f b2 Ta c n ánh giá ó P f a 8a f c2 g a2 b2 c2 Nh ng v i ph ng pháp ti p n VP (*) m t ph ng trình ng th ng ngh a 8a ma n Ta s s lí nh sau: a 8x Xét hàm s f x v i x a ó dùng ph ng pháp ti p n x ta có: 8x x x 8a2 a 23 a 23 V n BÀI GI I 8a a a 8b b b 8c c c Ta có ánh giá sau: Th t v y (1) a 3a 10 úng a c gi i quy t 23 (1) 23 (2) 23 (3) 0, ng th c x y a T ng t cho (2) (3) 23 23 23 P a b b a b2 2 2 2 ng th c x y (1),(2),(3) ng th i x y Bài 6: Cho x , y , z s th c d ng th a mãn x 69 39 a b c c2 y x z y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P x y 4 x z y z thi th THPT H ng Quang 2015 PHÂN TÍCH i x ng theo bi n x , y nh ng x i u ki n P giá b ng b t ng th c x z y z Mà x z y z c Ta s d ng phép bi n x 2 y 2z x z 2 xz yz y z xy xz yz z 2 z2 x2 y nên ta không ánh it y2 ng 2z2 xz yz xy ng: xz yz 1 x z P y z x y x2 x y Và: P x z x y Xét hàm s f t x y 2z2 x z 2 a P v hàm s theo bi n x y y2 x y ta x2 y z xy BÀI GI I xy xz yz z 1 2 Ta có: x z y z y2 tt 4t v i t t z2 xz yz y z x y 2 x y t BBT: P 2 f t 4t t f' t t 2 0 t t f' t xz yz xy f (t) f(t) 12 D a vào b ng bi n thiên ng th c x y f t x y f P a b c 2 a b 2 y z K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P 12 x Bài 7: Cho a , b , c s x y x z y z 12 th c không y, z y, y 0, ng th i b ng th a mãn c Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c: P a3 b3 c a b c ab bc ca thi th THPT Nghèn 2015 PHÂN TÍCH D a vào i u ki n toán i x ng bi n a , b , c c n tìm c giá tr l n nh t giá tr nh nh t nên có i m r i: Ta s cho c a b a2 b2 a b thay vào P 2a3 2a3 Ta không th có a b c i u ki n a b c vô lí T d oán ta ch có c m t i m r i ch a bi t ó giá tr l n h t hay nh nh t Ta s d ng CASIO mb ol id oán tìm i m r i l i nh sau: Do b t ng th c i u ki n thu n nh t nên ta chu n hóa a b c 1 a2 b2 c ab bc ca P a b3 c Bài toán t ng i gi ng kh i B 2012, i u ki n toán th c i x ng bi n nên i m r i có nh t bi n b ng nhau, gi s a b 2a c , a Thay c a 4a 2c P 2a 2a3 a a V i a b ,c 2 ,c P th a mãn d c3 c c oán ban u 11 c i m r i P t nên ta có th th y c giá tr nh nh t a b , P t giá tr l n nh t a b , c Do toán i u ki n ng c p nên ta s gi m bi n b ng cách chia qua, toán i x ng nên vai trò bi n nh ta có th gi s c a b a toán v bi n x ,y c c BÀI GI I Không m t t ng quát gi s c 2 a b ,y a b c a b2 c x y x2 y t x c c V i a b x2 y2 P xy x y Áp d ng AM-GM: x y Và P x3 y x y xy x y x y x y x y x y xy xy x y xy x y x y xy x y x y P tt x y x y x y x y x y t x y x y P f t t3 6t t 3t PHÂN TÍCH HÀM S S d ng công c TABLE c a máy tính X CASIO v i: X X 3X F X X START = 0.5 END = STEP = 0.5 D a vào b ng giá tr ta th s t giá tr nh nh t t i X giá tr l n nh t t i X 0.5 X V i X a b c thay vào i ta c a c , b ho c a 0, b mãn a b a b V i X 0.5 a b c V i X Ta s x y xy nh h Xét hàm s f' t BBT: x 1, y x 4, y oán ban t3 t2 6t t 6t t 3t f' t u a 4b c 4a b c ng ch ng minh hàm s có c c ti u c c f t 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 y hàm t u ki n c th a c th a mãn d F(X) 1.2222 1.048 1.1111 1.2057 1.1875 1.2057 1.216 1.2208 1.2222 1.2212 1.2186 t t t t v it , i 1 t f (t) 0 11 11 f(t) 1 Ta có: f 11 , f 11 , lim f t t 1, f D a vào b ng bi n thiên ta th y a b c Khi P Khi P 11 f t 1 11 P a c,b a b c 2 a2 b2 a 0, b c c2 a b c a b c 11 a b 4c a 4b c 4a b c a b c a2 b2 c2 K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P a b , c hoán v Bài 8: Cho a , b , c s th c d a P c a 2 ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: b c a b 2 c2 a b c b 2 a2 b2 c2 thi th THPT C m Bình Hà T nh 2015 PHÂN TÍCH Ta có P hoán v nên d oán i m r i x y a b c Ta th y phân th c u hoán v ng b c nên ta có th s d ng ti p n ho c Cosi ng c d u nh sau: a2 c 1 2 2 c a c c 2a c a c T ng t n ây P P 1 a b c a2 b2 c2 i x ng theo bi n a , b , c ta ánh giá a v a b c b ng ng th c: a b t b c a a b c Ho c ta có th xét hàm riêng l a Áp d ng AM-GM: T ng t : P 1 a c a b2 a b b a a c c b2 f' t BBT: f t 2t t 2t t b a b c 2 t v it a b c f' t t 2a 2c t b c 2 f (t) f(t) D a vào b ng bi n thiên 2x a a b c f t f 9 a b c ng th c x y c2 1 Áp d ng b t ng th c: a b c P a b c a b c Xét hàm s 2x2 f x c2 ; 2b b c b 2 a2 c BÀI GI I c 2 c a c c 2 b a b c a b c K t lu n: V y giá tr nh nh t c a P P 2 a b c a b c