Tài liệu Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Bất đẳng thức (Hướng dẫn và đáp số) pptx

Chương I NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N ƯƠNG I Tính ch t b n: ax > bx x > ax < bx x < a a > b ⇔  a > x ⇒ a + b > x + y Chú ý b > y b  a > x  b > y  a − b > x − y   ab > xy a x  >  b y ⇒ a > x ≥ ⇒ ab > xy b > y ≥ c  d a > b ≥ ⇒ a > b H qu : a > b ⇔ a > b 1 < a b 1 a • x < A ⇔ −A < x < A e a > b > ⇒ x < − A x > A • x > A⇔  II Vài b t ng th c thông d ng: V i a, b, c,… tùy ý ( a, b, c ∈ R ) a a + b ≥ 2ab ( D u “ = ” x y ⇔ a = b ) b a + b + c ≥ ab + bc + ca ( D u “ = ” x y ⇔ a = b = c ) 1 1 1 c V i a, b > ta có: (a + b)  +  ≥ ⇔ + ≥ a b a+b a b III Các ví d :  π π   tan x − tan y 0, y > xy ≤ Ch ng minh: ≥ 1 + (1) 1+ x 1+ y + xy b Cho < a ≤ b ≤ c ≤ d bd ≤ Ch ng minh: 1 1 ≥ + + + + abcd + a + b + c + d Gi i: a Vì x > 0, y > nên b t ng th c (1) tương ương v i: 2(1 + x)(1 + y ) ≥ (1 + xy )(1 + y ) + (1 + xy )(1 + x) ⇔ + x + y + xy ≥ + xy + y + y xy + + xy + x + x xy ⇔ ( x + y ) + xy ≥ xy ( x + y ) + xy ⇔ ( x + y ) − xy ( x + y ) + 2( xy − xy ) ≥ ⇔ ( x + y )(1 − xy ) + xy ( xy −1) ≥ ⇔ (1 − xy )( x + y − xy ) ≥ ⇔ (1 − xy )( x − y )2 ≥ (2) ( x − y ) ≥  nên (2) úng ( pcm) Vì:   xy ≤ ⇒ − xy ≥   a , b, c , d >  a , b, c , d > a ≤ b   ⇒ ac ≤ db ≤ b a ≤ b ≤ c ≤ d nên  c≤d bd ≤   bd ≤  Theo k t qu câu a, ta có:  1 + a + + c ≤ + ac (a, c > 0; ac ≤ 1)    + ≤ (b, d > 0; bd ≤ 1)  1 + c + d + bd ⇒ 1 1   + + + ≤  +  1+ a 1+ b 1+ c 1+ d  + ac + bd  ≤ + ac bd = ( pcm) + abcd Ví d 4: Cho a, b, c ∈ [ − 1; 2] th a mãn i u ki n a + b + c = Ch ng minh: a + b2 + c ≤ Gi i: • a ∈ [ − 1; 2] ⇔ −1 ≤ a ≤ ⇔ ( a + 1)(a − 2) ≤ ⇔ a − a − ≤ ⇔ a ≤ a + (1) • b ≤ b + c (2)  Tương t ta có  c ≤ c + (3)  C ng (1), (2), (3) ta có: a + b + c ≤ ( a + b + c) + = ( pcm) Ví d 5: Cho x, y, z ∈ [0;2] x + y + z = Ch ng minh r ng: x2 + y + z ≤ Gi i: Ta có: x, y, z ≤ ⇒ (x − 2)( y − 2)( z − 2) ≤ ⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) + 4( x + y + z ) − ≤ ⇔ xyz − 2( xy + yz + zx) − 4.(3) − ≤ ⇔ xyz ≤ 2( xy + yz + zx) − ( x + y + z = ) ⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x + y + z ) − ⇔ xyz ≤ ( x + y + z )2 − ( x + y + z ) − = 32 − ( x + y + z ) − ⇔ x + y + z ≤ − xyz ( Vì x + y + z = ) ⇒ x + y + z ≤ ( Vì xyz ≥ ) ( pcm) Ví d 6: Cho x > 0, y > 0, z > xyz = Ch ng minh b t ng th c sau: 1 + 3 + ≤ (1) x + y + y + z + z + x3 + 1 1 b + + ≤ (2) x + y +1 y + z +1 z + x +1 a Gi i: a t T = v trái c a b t ng th c (1) ( ta c n ch ng minh T ≤ ) Ta có: x3 + y = ( x + y )( x + y − xy )  x + y ≥ xy ⇔ x + y − xy > xy  x + y > ( Vì x > 0, y > 0) Mà  Nên ( x + y )( x + y − xy ) ≥ ( x + y ) xy hay x3 + y ≥ xy ( x + y ) ⇒ x3 + y +1 ≥ xy ( x + y ) + xyz ( Vì xyz = ) ⇔ x + y +1 ≥ xy ( x + y + z ) > 1 ⇔ ≤ (a) x + y + xy ( x + y + z ) Tương t ta có: 1   y + z + ≤ xy ( x + y + z ) (b)  ⇔ 1  ≤ (c) 3  z + x + xy ( x + y + z )  C ng v theo v (a), (b), (c), ta có:   x+ y+ z  1 1  + + =   = ( Vì xyz = ) ( pcm) ( x + y + z )  xy yz zx  x + y + z  xyz  b t S b ng v trái c a b t ng th c (2) ( ta c n ch ng minh S ≤ )  x = a3  x , y , z > ⇒ a , b, c >  t  y = b3 mà  3  xyz = ⇒ a b c ⇔ abc =  z = c3  T≤ a, b, c > abc = nên theo k t qu câu a, ta có: 1 + 3 + ≤1 3 a + b + b + c + c + a3 + 1 1 ⇔ + + ≤ ( pcm) x + y +1 y + z +1 z + x +1 Ví d 7: Cho a, b > b, c > Ch ng minh: (a − c)c + (b − c)c ≤ ab (1) Gi i: Bt ng th c (1) tương ương v i: c(a − c) + (b − c)c + c (a − c)(b − c) ≤ ab ⇔ c + c − ac + ab − bc − 2c (a − c)(b − c) ≥ ⇔ c + a(b − c) − c(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥ ⇔ c + (a − c)(b − c) − 2c (a − c)(b − c) ≥   ⇔  c − (a − c)(b − c)  ≥ ây b t Ví d 8: Ch ng minh r ng ng th c úng ( pcm) i v i m i a, b, c ∈ R , ta có: a + b + c ≥ ab − ac + 2bc (1) Gi i: B t ng th c (1) tương ương v i: a + 4b + 4c − 4ac − 8bc + 4ac ≥ ⇔ ( a − 2b + 2c) ≥ ây b t phương trình úng ( pcm) Ví d 9: Cho a > 36 abc = Ch ng minh: a2 + b + c > ab + bc + ca (1) Gi i: Bt ng th c (1) tương ương v i: a + (b + c)2 − 2bc > a (b + c) + bc a2 ⇔ (b + c) − a (b + c) + − 3bc >  a2  ⇔ (b + c) − a (b + c) +  −  > ( Vì bc = ) a  a x = b + c  ⇔ (a)  a2  f ( x) = x − ax +  −  >   a  Xét tam th c b c hai f ( x) = x − ax + ( a2 − ) có: a  a  36 − a ∆ = a2 −  −  = < ( Vì a > 36 ) a 3a  ⇒ f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ (a ) úng ( pcm) Ví d 10: Cho −1 < x < n ∈ N , n > Ch ng minh: (1 − x)2 + (1 + n)n < 2n Gi i: Vì −1 < x < nên x = cos α (0 < α < π) lúc ó: (1 + n) n + (1 − n) n = (1 + cos α )n + (1 − cos α ) n n n α  α  =  cos  +  2sin  2  2  n n  α  α  α α  = n  cos  +  sin   < 2n  cos + sin  = n ( pcm) 2  2  2     * Chú ý: Khi ch ng minh b t ng th c b ng phương pháp bi n i tương ương c n: Chú ý xem kĩ gi thuy t cho, m t s trư ng h p có th bi n i gi thuy t cho thành b t ng th c c n ch ng minh ( ví d 4, 5…) Trong m t s trư ng h p có th bi n i b t ng th c c n ch ng minh thành m t b t ng th c ln úng ( c nêu ví d 1, 3, 7, 8…) Nên thu c lòng b t ng th c thông d ng c gi i thi u ph n II IV Bài t p tương t : Ch ng minh r ng: n u < x ≤ y ≤ z thì: 1 1 1 1 y  +  + ( x + z) ≤  + ( x + z) x z y x z * Hư ng d n: Tìm b t ng th c tương ương b ng cách quy ông m u s , c lư c s h ng ( x + z ) , chuy n v , bi n i v trái thành d ng tích s ,… a, b, c, d năm s th c tùy ý, ch ng minh b t ng th c: a + b + c + d + e ≥ ab + ac + ad + ac Khi ng th c x y ra? * Hư ng d n: Tìm b t ng th c tương ương b ng cách bi n 2 ib t ng th c ã cho v d ng: a  a  a  a   − b +  − c +  − d  +  − e ≥ 2  2  2  2  … a, b, c, dài ba c nh c a tam giác ABC, ch ng minh: a + b + c < 2(ab + bc + ca ) 2 * Hư ng d n: a < b + c ⇒ a < ab + ac, b < a + c ⇒ Ch ng minh: a + b ≥ 2ab, ∀a, b ∈ R Áp d ng a, b, c ba s th c tùy ý, ch ng minh: a + b + c ≥ abc(a + b + c) * Hư ng d n: Dùng công th c (a − b)2 ≥ ⇔ a + b ≥ Áp d ng k t qu Ch ng minh ∀t ∈ [ − 1;1] ta có: 1+ t + 1− t ≥ 1+ 1+ t2 ≥ − t2 * Hư ng d n • V i ∀t ∈ [ − 1;1] , ta ln có: (1 − t ) + (1 − t )(1 + t ) + (1 + t ) ≥ + − t + (1 − t ) Bi n i tương ương suy + t + − t ≥ + + t • T : ≤ 1− t2 ≤ ⇒ 1+ 1+ t2 ≥ − t2 B T Chương II NG TH C CƠSI (CAUCHY) I Phương pháp gi i tốn 1) Cho s a,b > 0, ta có: a+b ≥ ab D u “ = ” x y ch a = b 2) Cho n s a1, a2 , a3, , an ≥ ta có: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1a2 a3 an n D u “ = ” x y ch a1 = a2 = a3 = = an 3) B t ng th c côsi suy r ng Phát bi u: V i s th c dương a1 , a2 , a3 , , an x1 , x2 , x3 , , xn s th c không âm có t ng b ng 1, ta có: a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + + an xn ≥ a1x1 a2 x2 a3 x3 an xn T ng quát: Cho n s dương tùy ý ai, i = 1, n n s h u t dương qi, n th a ∑q i i =1 = ó ta ln có: n ∏a qi i i =1 i = 1, n n ≤ ∑ qi i =1 D u “=” x y II Các ví d Ví d 1: Cho n s dương ai, i = 1, n Ch ng minh r ng: 1 1 1 (a1 + a2 + a3 + + an )  + + + +  ≥ n an   a1 a2 a3 Gi i: Áp d ng b t ng th c côsi cho s a1 , a2 , a3 , , an , 1 1 , , , , a1 a2 a3 an Ta có: a1 + a2 + a3 + + an ≥ n n a1a2 a3 an 1 1 n + + + + ≥ a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an Nhân v tương ng ta c b t ng th c c n ch ng minh d u “=” x y a1 = a2 = a3 = = an Ví d 2:Ch ng minh v i m i a,b,c dương ta ln có: 1 27 + + ≥ a (a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c) Gi i: Áp d ng b t ng th c côsi cho v trái: 1 + + ≥ a (a + b) b(b + c) c(c + a ) abc(a + b)(a + c)(b + c) Mà 33 abc ≤ (a + b + c)3 33 (a + b)(b + c)(c + a ) ≤ 8( a + b + c)3 ( a + b + c)6 ⇔ abc(a + b)(b + c)(c + a ) ≤ ( a + b + c) ⇒ abc (a + b)(b + c)(c + a) ≤ (1) ⇔ 27 ≥ abc(a + b)(b + c)(c + a ) 2( a + b + c) (2) T (1)(2) pcm D u “=” x y a = b = c Ví d 3: Ch ng minh v i m i s dương a, b, c ta ln có 1 1 + 3 + ≤ a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Gi i Ta có: a3 + b3 ≥ ab(a + b) Nên abc abc c ≤ = a + b + abc ab( a + b) + abc a + b + c Tương t ta có abc abc a ≤ = b3 + c3 + abc bc(b + c) + abc a + b + c abc abc b ≤ = a + c + abc ac(a + c) + abc a + b + c C ng v theo v ta c 1   abc  3 + 3 + 3  ≤1 a + b + abc b + c + abc c + a + abc   Hay 1 1 + 3 + ≤ 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc ( pcm) III Bài t p tương t Các s dương x, y, z có tích b ng Ch ng minh b t xy yz xz + ≤1 5 5 x + xy + y y + yz + z x + xz + z *Hư ng d n: Ta có: x + y ≥ xy ⇒ x5 + y ≥ x5 y = 2x y xy ≥ (x+y)x y ng th c : Do ó : xy xy z ≤ = = 2 x + xy + y xy + (x+y)x y + xy ( x + y ) x + y + z Tương t : yz x ≤ y + yz + z x+ y+z xz y ≤ 5 x + xz + z x+ y+z C ng v theo v ta có pcm D u “=” x y x = y = z V i m i x, y, z dương Ch ng minh : x3 y z + + ≥ x+ y+z yz xz xy *Hư ng d n: Áp d ng b t d ng th c cơsi, ta có: x3 + y + z ≥ 3x yz y3 + x + z ≥ 3y xz z3 + x + y ≥ 3z xy C ng v theo v ta c: x3 y z + + + 2( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z ) yz xz xy ⇒ pcm D u “=” x y x = y = z Cho a, b, c s nguyên dương Ch ng minh: 2  (b + c) + (a + c) + (a + b) ≤  (a + b + c)  3  a *Hư ng d n: Áp d ng b t b a +b + c c ng th c cơsi, ta có: (b + c) + + (b + c) + (a + c) + + (a + c) + (a + b) + + (a + b) nl n nl n nl n ≥ (a + b + c).a +b + c (b + c) a (a + c)b (a + b)c Hay :  2(a + b + c)   a+b+c    a +b + c ≥ (b + c) a (a + c)b (a + b)c (1) 10 1 1 + + + ak  a1 a2 ( a1 + a2 + + ak )   ≥k  * n = k + : Ta xét: 1 1  + + +  ak +1   a1 a2 ( a1 + a2 + + ak +1 )  1 1 1  1  = ( a1 + a2 + + ak )  + + +  + ( a1 + a2 + + ak ) + ak +1  + + +  +1 ak  ak +1 ak   a1 a2  a1 a2  a  a a   a a  a  ≥ k +  + k +1  +  + k +1  + +  k + k +1   ak +1 a1   ak +1 a2   ak +1 ak  ≥ k + 2k + = ( k + 1) ⇒ B t ng th c úng v i n = k + ⇒ pcm Ví d 3: Ch ng minh r ng: n n > ( n + 1) n −1 , ∀n ∈ Z , n ≥ Gi i: n n = n −1  * n =2⇒ ⇒ n n > ( n + 1) n −1 ( n + 1) =  * n = k ≥ : Gi s b t * n = k + : Ta xét: k k ( k + 1) k +1 ≥ ( k + 1) ng th c úng là: k k ≥ ( k + 1) k −1 ( k + 1) 2k −2 = ( k + 1) ( k + 1) k −1 k +1 = ( k + 1)    > ( k + 2k ) k −1 k −1 ( k + 1) (k 2 + 2k ) vì: ( k + 1) = k + 2k + > k + 2k ≥ k k ( k + ) ⇒ ( k + 1) k k +1 > ( k + 2) ⇒ B t k ng th c úng v i n = k + ⇒ pcm Ví d 4: Cho n ∈ Z , n ≥ 1, a, b ≥ Hãy ch ng minh: an + bn  a + b  ≥    Gi i: * n = 1: B t n ng th c úng * n = k ∈ N : Gi s b t ak + bk  a + b  ng th c úng, t c là: ≥    a k +1 + b k +1  a + b  * n = k + : Ta c n ch ng minh ≥    35 k +1 k  a+b k +1 Th t v y: Ta có:     Ta c n ch ng minh: k = a+b  a+b a + b a k + bk  ≤    2 a k + b k a k +1 + b k +1 ≤ 2 k k ⇔ ( a + b ) ( a + b ) ≤ ( a k +1 + b k +1 ) ⇔ ab k + a k b ≤ a k +1 + b k +1 ⇔ a ( a k − bk ) − b ( ak − bk ) ≥ ⇔ ( a − b ) ( a k − b k ) ≥ ( úng) * Ph n ch ng: Ví d 1: Cho s a, b, c, d th a i u ki n: ac ≥ ( b + d ) (1) Ch ng minh r ng có nh t m t hai b t ng th c sau sai: a < 4b; c < 4d Gi i: Gi s hai b t ng th c a < 4b c < 4d u úng, c ng v v i v hai b t 2 ta c: a + c < 2ac ⇔ ( a − c ) < vơ lý V y có nh t m t hai b t ng th c ng th c a < 4b c < 4d sai Ví d 2: Cho s a, b, c th a i u ki n: (1) a + b + c >  ab + bc + ca > (2) abc > (3)  Ch ng minh r ng a > 0, b > 0, c > Gi i: Gi s a ≤ , t (3) ta ph i có a ≠ ó a < , t (3) a < suy bc < T (2) suy a ( b + c ) = −bc > ⇒ b + c < ( a < ) Suy a + b + c < vô lý v i (1) V y a < , tương t ta có b > 0, c > Ví d 3: Cho < a, b, c < Ch ng minh có nh t m t b t sai: a ( − b ) > 1; b ( − c ) > 1; c ( − a ) > ng th c sau ây Gi i: Gi s b t ng th c u úng, ó nhân v v i v b t ta c: a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) > Ta l i có: a ( − b ) = 2a − a = − ( a − 2a + 1) = − ( a − 1) ≤ 36 ng th c l i v i Tương t : b ( − c ) ≤ c ( − a ) ≤ Do < a, b, c < nên: a ( − b ) > 0; b ( − c ) > 0; c ( − a ) > Và lúc ó ta có: a ( − b ) b ( − c ) c ( − a ) ≤ , mâu thu n v i (1) V y có nh t m t b t ng th c ã cho sai a + b + c >  Ví d 4: Cho ab + bc + ca > Hãy ch ng minh: a, b, c > abc >  Gi i: Gi s ngư c l i, s a, b, c có ( nh t) m t s ≤ Vì b, c vài trị nhau, ta có th xem a ≤ * abc > ⇒ a < 0, bc < * a ( b + c ) = ab + ca > −bc > ⇒ b + c < V y: a + b + c < ⇒ vô lý V y: a, b, c > III Bài t p tương t : * Quy n p: Cho x1 = 2, x2 = + , , xn = + + + ( g m n căn) Ch ng minh r ng: ≤ xn < * Hư ng d n: Áp d ng phương pháp quy n p ch ng minh ≤ xk +1 < t ó suy pcm Ch ng minh r ng: sin nx ≤ n sin x , ∀n ∈ N * , ∀x ∈ R * Hư ng d n: Áp d ng phương pháp quy n p tính ch t:  a + b ≤ a + b , ∀a, b ∈ R    sin x , cos x ≤ 1, ∀α ∈ R  ch ng minh sin(k + 1) x ≤ ( k + 1) sin x t Cho n ∈ N , Ch ng minh r ng: e x ≥ + ó suy pcm x x2 xn + + + , ∀x ≥ 1! 2! n! * Hư ng d n: ch ng minh e x ≥ + x x2 x k +1 + + + ta xét hàm s : 1! 2! ( k + 1)!  x x2 x k +1  f ( x) = e x −  + + + +  xét f '( x) t  1! 2!  ( k + 1)!   x x2 x k +1 x e ≥ + + + + 1! 2! ( k + 1)! 37 ó suy f ( x) ≥ f (0) hay a, b, c s o ba c nh c a m t tam giác vuông v i c c nh huy n Ch ng minh r ng: a + b ≤ c , n ∈ Ζ+ * Hư ng d n: Áp d ng quy n p: v i n = k+1: 2n 2n 2n a 2( k +1) + b 2( k +1) = ( a k + b k )( a + b ) − a 2b k − b a k ≤ c k c = c 2( k +1) Ch ng minh r ng: 1 13 + + + > (n > 1) (1) n +1 n + 2n 24 2n − 1 ≤ (n ≥ 1) (2) b 2n 3n + a * Hư ng d n: a S d ng quy n p ch ng minh: V i n = (1) úng, gi s (1) úng v i n = k, ch ng minh (1) úng v i n = k + V i n = k + , bi n i v trái ta c: 1  1  + + +  + + −  2k  k + 2k + k −  k +1 k + 13 13 > + > ⇒ pcm 24 ( 2k + 1)( 2k + ) 24 b S d ng quy n p: v i n = (2) úng, gi s (2) úng v i n = k, ch ng minh (2) úng v i n = k + V i n = k + , bi n i v trái ta c: 2n + 1 2n + ≤ 2n + 3n + 2n + 2n + 1 Ta c n ch ng minh < 3n + 2n + 3n + 3n +  2n +  ⇔  <  2n +  3n + ⇔ ( 2n + 1) ( 3n + ) < ( 2n + ) ( 3n + 1) 2 ⇔ < n ( úng) T ây suy pcm * Ph n ch ng: Cho ba s dương x, y, z th a i u ki n xyz = 1 x y Ch ng minh r ng n u: x + y + z > + + có m t ch m t ba s l n z * Hư ng d n: Xét tích ( x − 1)( y − 1)( z − 1) t ó suy ch có m t ch m t ba s x − ; y − ; z − dương N u c ba s u dương x, y, z > , ó xyz > Trái gi thi t Cịn n u hai ba s dương tích: ( x − 1)( y − 1)( z − 1) < ; vơ lý V y ch có m t ch m t ba s x, y, z l n Ch ng minh r ng không t n t i s a, b, c ng th i th a mãn (1), (2), (3): 38 a < b−c (1) b < c−a (2) c < a −b (3) * Hư ng d n: Bình phương hai v c a (1), (2), (3) sau ó chuy n v áp d ng h ng ng th c 2 A − B = ( A − B )( A + B ) cu i nhân chúng l i v i ta c: − ( − a + b + c )( a − b + c )( a + b − c )  > ⇒ vô lý, v y toán u c ch ng minh   Cho a, b, c > abc = Hãy ch ng minh: a + b + c ≥ * Hư ng d n: Gi s ngư c l i: a + b + c < (1), nhân thêm ab vào hai v c a (1) r i bi n tương ương ta c: ab + ( a − 3a ) b + < t f ( x) = ab + ( a − 3a ) b + xét ∆ c a f ( x) ta có ∆ ≤ abc > ⇒ < a < ⇒ f (b) ≥ ⇒ vô lý ⇒ pcm a + b + c < tan x Có t n t i x ∈ R cho: ≤ ≤ 3? tan x Vì  * Hư ng d n: tan x ≤ ≤ Lúc ó: tan x π π kπ  x ≠ k π + k π, + (k ∈ Z )     ≤ tan x ≤  tan x   1 − tan x ≥ 1 − tan x >   ⇔ ⇒ ⇒ vô lý 2   tan x ≤ 1 − tan x < 1 − tan x  V y không t n t i x ∈ R th a mãn i u ki n cho Gi s t n t i x ∈ R : 39 i BÀI T P TR C NGHI M T NG H P Cho ∆ABC , tìm GTlN c a f = −2 cos C cos( A − B) − cos 2C (A, B, C góc c a tam giác) A B C D 8 Tìm GTNN c a A = sin x + cos x A B 16 C Tìm GTLN & GTNN c a ; A y = sin x(1 − 2cos x) l n lư t là: B 1; 2 ∀∆ABC , GTLN c a f = sin A 27 B 12 GTNN c a C = C x + v i 1− x x C ; -3 D áp án khác A 2B C sin sin 2 2 12 D áp án khác < x 2( ab + bc + ca ) 2 B a + b + c < 2( ab + bc + ca ) 2 C a + b + c ≤ 2( ab + bc + ca ) 2 D a + b + c ≥ 2( ab + bc + ca ) 2 , hb ng cao ∆ABC , phát bi u úng: hb B S ABC ≤ hb C S ABC < hb D S ABC > hb A S ABC ≥ 10 , hb , hc ng cao ∆ABC , phát bi u úng: A S ABC > ( hb hc ) 2 B S ABC < ( hb hc ) 2 ≥ C S ABC ≤ ( hb hc ) D S ABC ( hb hc ) 11 B t ng th c sau ây sai? A a + b2 + ≥ ab + a + b C B a + b + ≥ ab + 2a + 2b a2 ab ac + b2 + c2 ≥ + + bc 2 12: Cho a, b ∈ R , b t D a + b ≥ a2 b2 + b a ng th c sai: 2  a+b a +b ≤    B a + b2 ≥ 2ab A  41 C a + b ≥ ab + a 2b D a + b2 + < ab + a + b 13: Giá tr l n nh t c a A = x ( x − ) bi t ≤ x ≤ : A C B D 14: Giá tr nh nh t c a y = x + 3x − 14 là: 289 20 15 C − 17 13 D − A − B − 15: Giá tr max c a y = là: 4x + 4x + 3 C D B A 16: Giá tr nh nh t c a y = x2 − x + là: x − x + 12 2 C − 3 D − A − B − 17: V i x > y > 0, xy = Giá tr nh nh t c a A = x2 + y2 là: x− y B −2 A 2 C 2 D − 18: N u có a > b > c > Xét b t a−c b−c a > b−a b−a Phát bi u úng: A Ch a ng th c sau: b ab > ac B Ch b a a b > b a Phát bi u úng: A Ch b úng c C a & b 19: Cho a < b , a, b ≠ , xét b t b b b > a c D b & c ng th c sau: 1 > 2 a b B Ch a & b 2 c ( a + b )( a − b ) < C Ch b & c 42 D Ch a & b 20: Giá tr nh nh t c a A = x − xy + y − x − y + là: A -3 B -2 C -1 21: Giá tr l n nh t c a: A = x − x2 ( < x < ) là: − x2 A M t s nguyên dương C M t s h u t 22: Tìm m nh D B M t s nguyên âm D M t s vô t úng: 1 > a b A a < b ⇒ ac < bc B a < b ⇒ C a < b vaø < d ⇒ ac < bd c D C A, B, C 23: Tìm m nh sai: A a + b ≤ a + b , ∀a, b B a − b ≥ a − b , ∀a, b C a > 0, ∀a D − a ≤ a ≤ a , ∀a 24: Cho a, b, c > Xét b t a a b + ≥2 b a b B t ng th c úng: A a B b u sai ng th c: a b c + + ≥3 b c a c C c a b c + + ≥ b c a a+b+c D C a, b, c 1+ a 1+ b , y= M nh 1+ a + a + b + b2 B x > y C x = y 25: Cho a > b > x = úng: A x < y D Không xác nh c 26: Cho x, y > Tìm b t A ( x + y ) ≥ xy C ≥ xy ( x + y )2 ng th c úng: B 1 + ≥ x y x+ y D C 43 u úng Hư ng d n áp s : Ch n D f = − cos C cos( A − B ) − cos C + 1   = −  cos c + cos C cos( A − B ) + cos ( A − B )  − 1 − cos ( A − B )  +     2 1   = −  cos C + cos ( A − B )  − sin ( A − B ) 2   ≤ 2 Ch n A A = ( cos x + sin x ) − cos x sin x 2 1   =  − sin 2 x  − sin x   = − sin 2 x + sin x = cos 2 x + (1 − cos 2 x ) 1 = cos 2 x + cos x + 8 ≥ ∀x 3.Ch n C Do sin x &(1 − 2cos2x) không i d u nên y = sin x − cos x sin x = 2sin x − s in3x ⇒ y ≤ sin x + s in3x a + b ≤ a + b ⇒ y ≤ (do sin x ≤ 1) ⇒ −3 ≤ y ≤ 44 Ch n D A− B C  C 1  f =   cos − sin   sin 2  2  C  1 > sin >   cos A − B ≤   1 C  C  C ⇒ f ≤ 1 − sin  − sin   − sin  8   2 1 2 ≤   = (b t   27 ng th c côsi cho s dương) Ch n B C= x 5(1 − x) + +5≥ +5 1− x x Ch n C Ta có: a+b a + b − c ≤ mc <  2  c+b b + c − a ≤ ma <   a+c a + c − b ≤ mb <  2  a+b+c ⇒ ≤ ma + mb + mc < a + b + c Ch n A  AC < AB + BC   AC < CD + DA AB + BC + CD + DA ⇒ AC < Ch n B a < b + c ⇒ a < a (b + c ) = ab + ac b < a + c ⇒ b < b(a + c ) = ab + bc c < a + a ⇒ c < c (a + b) = bc + ac 45 Ch n A   S ABC =   a ≥ hb  ⇒ S ABC ≥ hb 10 Ch n D 1  a ≥ hb ⇒ S A B C = a h a ≥ hb h a  2  1   b ≥ h c ⇒ S A B C = b hb ≥ h b h c 2  1   c ≥ h a ⇒ S A B C = ch c ≥ h c h a  ⇒ S A B C ≥ ( h a hb h c ) ⇒ S A B C ≥ ( h a hb h c ) 2 11 Ch n D S d ng b t ng th c x + y + z ≥ xy + yz + zx ⇒ A, B, C úng 12 Ch n D Áp d ng b t ng th c x + y + z ≥ xy + yz + zx ta c: a + b2 + ≥ ab + a + b 13 Ch n C: A = x ( x − ) = x ( x − ) + x l i có: ≤ x ≤ ⇒ x ( x − ) < 0, x ≤ nên A ≤ 14 Ch n A: y = x + x − 14 = x + x + 289 − 20 20  289 289  =  5x +  − 20 ≥ − 20 5  15: Ch n B: y= 3 = ≤ x − x + ( x − 1) + 4 16: Ch n D: y= x2 − 6x + −5 −5 = +1 = +1 ≥ − +1 = − 2 x − x + 12 x − x + + 3 ( x − 3) + 46 17: Ch n A: x + y ( x − y ) + xy xy = = x− y+ ≥ 2 xy ≥ 2 x− y x− y x− y 18: Ch n B: a−c b−c > ⇔ a − c < b − c ⇔ a < b ( ta có gt) b−a b−a b Do a < nên ab > ac ⇔ b > c ( úng gt) b b c Do b < nên > ⇔ a < c ( trái gt) a c a Do a > b > ⇒ b − a < ⇒ 19: Ch n C: a a2 b2 > a a úng v i a > 1 < ( úng) a b c ( a + b )( a − b ) = a − b < ⇔ a < b ( úng) b a > b2 ⇔ 20: Ch n A: A = x − xy + y − x − y + = ( x − y ) + ( x − ) + ( y − 1) − ≥ −3 ⇒ giá tr nh nh t -3 2 21: Ch n C: A= x − 2x2 − x2 x ( − 2x = (0 < x < 1) 2− x 2 ) x2 + − 2x2 ≤ = 2− x 22: Ch n D: A úng v i c > B úng v i a, b > C úng v i a, b, c, d > 23: Ch n C: a ≥ 0, ∀a 24: Ch n D: S d ng b t a ng th c côsi: a b a b + ≥ = b a b a b 47 a b c a b c + + ≥ 33 = b c a b c a c Dùng b t 1 1 1 25: Ch n A x − y > 26: Ch n D: 2 A ( x + y ) ≥ xy ⇔ ( x − y ) ≥ ( úng) B Áp d ng b t C ng th c B.C.S:  + +  ( a + b + c ) ≥ (1 + + 1) ⇔ + + ≥ a b c a+b+c a b c 1 1 1 ng th c B.C.S:  +  ( x + y ) ≥ (1 + 1) ⇔ + ≥ x y x+ y x y ≥ ⇔ ( x + y ) ≥ xy ( gi ng câu A) xy ( x + y ) 48 M cl c Trang Chương I: NG TH C B NG PHƯƠNG PHÁP BI N I TƯƠNG ƯƠNG Chương II: B T NG TH C CÔSI (CAUCHY) Chương III: B T NG TH C B NG B T NG TH C BUNHIACOPXKI ( B.C.S) Chương IV: B T NG TH C TRÊ – BƯ – SEP (TCHEBYCHEV) Chương V: B T NG TH C BERNOULLI Chương VI: ÁP D NG TÍNH ƠN I U C A HÀM S Chương VII: ÁP D NG PHƯƠNG PHÁP T A Chương VIII: CH NG MINH B T NG TH C B NG QUY N P HO C PH N CH NG BÀI T P TR C NGHI M T NG H P HƯ NG D N VÀ ÁP S 49 01 07 12 19 23 25 31 33 40 43 ... + ≥ = Thay vào (1) ta có: c − 2a1 c − 2a2 c − 2an (n − 2)c n − D u “=” x y  a1 a2 an = = =  c − an ⇔  c − 2a1 c − 2a2  c − 2a = c − 2a = = c − 2a n  ⇔ a1 = a2 = = an III Bài t p tương... ( nh t) m t s ≤ Vì b, c vài trị nhau, ta có th xem a ≤ * abc > ⇒ a < 0, bc < * a ( b + c ) = ab + ca > −bc > ⇒ b + c < V y: a + b + c < ⇒ vô lý V y: a, b, c > III Bài t p tương t : * Quy n... PHƯƠNG PHÁP T A Chương VIII: CH NG MINH B T NG TH C B NG QUY N P HO C PH N CH NG BÀI T P TR C NGHI M T NG H P HƯ NG D N VÀ ÁP S 49 01 07 12 19 23 25 31 33 40 43