RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯ DUY VÀ PHÂN TÍCH GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ OXY

Tài liệu bao gồm những bài toán được tuyển chọn, phân chia theo các dạng toán. Mỗi bài toán trước khi trình bày đều có phân tích và định hướng để bạn đọc tiếp cận và nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng. Hi vọng bộ tài liệu này sẽ giúp ích được nhiều cho các bạn.

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

TƯ DUY VÀ PHÂN TÍCH

GIẢI TOÁN TỌA ĐỘ OXY

Bộ tài liệu này được chia làm hai chương:

Chương 1 KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Lý thuyết cơ bản

2 Bài tập vận dụng

Chương 2 TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Là chương bao gồm những bài toán được tuyển chọn, phân chia theo các dạng toán Mỗi bài toán trướckhi trình bày đều có phân tích và định hướng để bạn đọc tiếp cận và nâng cao tư duy, rèn luyện kĩ năng

Hi vọng bộ tài liệu này sẽ giúp ích được nhiều cho các bạn

TPHCM, năm 2016

CHƯƠNG 1: KỸ THUẬT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BÀI TOÁN HÌNH OXY

A SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM

1 Lí thuyết cơ bản

 Phương trình đường thẳng

• Véctơ ~n 6= ~0 được gọi là véctơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của véctơ ~n vuông góc với ∆

• Véctơ ~u 6= ~0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của véctơ ~u song song hoặctrùng ∆

• Đường thẳng ∆ đi qua M (x0; y0) nhận véctơ ~n = (A; B) làm véctơ pháp tuyến có phương trình

∆ : Ax + By = Ax0 + By0 gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng ∆

• Đường thẳng ∆ đi qua M (x0, y0) nhận véctơ ~u = (a, b) làm véctơ chỉ phương có phương trình

(t ∈ R) gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆

• Cho hai đường thẳng ∆1 : a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2 : a2x + b2y + c2 = 0 Tọa độ giao điểm của haiđường thẳng ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình

- Nếu hệ (1) có nghiệm duy nhất (x0; y0) thì ∆1 và ∆2 cắt nhau tại A(x0; y0)

- Nếu hệ (1) có vô số nghiệm thì hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trùng nhau

- Nếu hệ (1) thì hai đường thẳng ∆1 và ∆2 trùng nhau

 Phương trình đường tròn

• Đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R>0 có phương trình (x − a)2+ (y − b)2 = R2

• Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và đường tròn (C):(x − a)2+ (y − b)2 = R2

Tọa độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

- Nếu hệ (2) có hai nghiệm phân biệt thì ∆ cắt (C) tại hai điểm khác nhau

- Nếu hệ (2) vô nghiệm thì ∆ không cắt (C)

- Nếu hệ (2) có nghiệm kép thì ∆ tiếp xúc với (C)

2 Sự tương giao của hai đường thẳng trong bài toán tìm tọa độ điểm

Bài 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M  3

2; 0



là trung điểm của đoạn

AC Phương trình các đường cao AH, BK lần lượt là 2x − y + 2 = 0 và 3x − 4y + 13 = 0 Xác địnhtọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Định hướng:

Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK ⇒ A=AC ∩ AH⇒ C

Viết được phương trình đường thẳng BC đi qua C và vuông góc với AH ⇒ B=BC ∩ BK

Lời giải

Đường thẳng AC đi qua M và vuông góc với BK nên có phương trình 4x + 3y = 6

Tọa độ điểm A là nghiệm cùa hệ phương trình

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

⇒ B(−3; 1)

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(4;-1) phương trình đườngcao và trung tuyến kẻ từ đỉnh B lần lượt là 2x − 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0 Xác định tọa độ cácđỉnh còn lại của tam giác ABC.

Định hướng:

- Tọa độ điểm B= BH ∩ BM

- Viết phương trình đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH⇒ Tọa độ M = AC ∩ BC ⇒ C

Lời giải

Gọi BH, BM lần lượt là đường cao và trung tuyến kẻ từ B

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

⇒ B(-3;2)Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BH nên có phương trình 3x + 2y − 10 = 0

Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm A = AH ∩ AM ⇒ B

-Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH

-Tìm tọa độ N = BC ∩ AN ⇒ C

-Viết được phương trình đường thẳng AC đi qua A, C.

Lời giải

Gọi AN, AH lần lượt là đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

⇒ A(1; 2)

Từ M là trung điểm của AB ⇒ B(3;-2)

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với AH nên có phương trình x + 6y + 9 = 0

Tọa độ N là nghiệm của hệ phương trình



Từ N là trung điểm BC ⇒ C(−3; −1) Khi đó ta có phương trình đường thẳng AC : 3x − 4y + 5 = 0

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trong tâm G 4

3;

13

.Phương trình đường thẳng BC là x − 2y − 4 = 0, phương trình đường thẳng BG là 7x − 4y − 8 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

⇒ B(0; −2)Đường thẳng AG đi qua G và vuông góc với BC nên có phương trình 2x + y = 3

Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ

⇒ A(0; 3)Vậy A(0;3), B(0;-2), C(4;0)

Bài 5.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Đường thẳng BC và đườngcao kẻ từ B lần lượt có phương trình x + y + 1 = 0 và x − 2y − 2 = 0, điểm M(2;1) thuộc đường cao

kẻ từ C Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Định hướng:

-Tìm tọa độ điểm B Phát hiện BM ⊥BC

-Viết phương trình MN, tìm N = BH ∩ M N

-Suy ra C, viết phương trình BC Tìm I

-Viết phương trình AI, AC, suy ra A

Lời giảiTọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ giao điểm N=BH ∩ ∆ là nghiệm của hệ



Đường thẳng đi qua N vuông góc vơi BC cắt BC tại C có phương trình x − y = 7

3Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình



Trung điểm BC là I 1

3; −

43

 Phương trình đường thẳng AI: x − y = 5

3Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC: 2x + y = −1

3Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình



Vậy A 4

9; −

119

, B(0; −1), C 2

3; −

53



Bài 6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Biết phương trình cácđường thẳng AB,BC lần lượt là x − 7y + 14 = 0 và 2x + y − 2 = 0 Viết phương trình các cạnh AC,biết đường thẳng AC đi qua M(4;0)

Định hướng

- Tìm B = AB ∩ BC Viết phương trình MN, AH

- Tìm N = M N ∩ AB ⇒ I Viết phương trình AI

- Tìm H = AI ∩ BC ⇒ C Viết được phương trình AC

Lời giải

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

⇒ N 14

5 ;

125



Đường thẳng AH đi qua I và vuông góc với BC nên có phương trình x − 2y − 1 = 0

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

⇒ H(1; 0)

Từ đó suy ra tọa độ điểm C(2;-2) và phương trình đường thẳng AC: x-y-4=0

Bài 7.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0 Đườngthẳng BC song song với d, phương trình đường cao BH : x + y + 3 = 0 Trung điểm AC là M(1;1).Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Định hướng:

- Biết đường cao BH và trung điểm M của AC ta viết ngay được đường thẳng AC Xác định được tọa độcủa A là giao của AC và d Từ đó sử dụng tính chất trung điểm ta xác định được tọa độ điểm C Vậndụng quan hệ song song của d và BC ta viết được phương trình BC Từ đó xác định được tọa độ điểm B

là giao của BH và BC Tiếp theo ta dễ dàng viết được phương trình AB khi biết tọa độ hai điểm A và B

Lời giải+ AC đi qua M và vuông góc với BH nên nhận vectơ chỉ phương −−→uBC = (1; −1) của BH làm vectơ pháptuyến nên có phương trình: x − y = 0

A là giao của AC và d nên tọa độ của A là nghiệm của hệ:



M là trung điểm của AC nên C 8

3;

83

+ BC đi qua C song song với d nên BC : x − 4y − 8 = 0

B la giao của BH và BC nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

+ AB đi qua các điểm A và B nên có phương trình AB : x + 2y + 2 = 0

Vậy AC:x-y=0, AB: x+2y+2=0, BC: x-4y+8=0

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng BC có phươngtrình x + y − 4 = 0, điểm M(-1;-1) là trung điểm của AD Xác định tọa độ các đỉnh hình chữ nhậtbiết đường thẳng AB đi qua E(-1;1)

Định hướng

- Viết phương trình AB đi qua E và vuông góc với BC ⇒ B = AB ∩ BC

- Viết phương trình AD đi qua M và vuông góc với AB ⇒ A = AB ∩ AD ⇒ B ⇒ C

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua E và vuông góc với BC nên có phương trình x − y + 2 = 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

Do M là trung điểm của AD nên tọa độ điểm D là D(0;-2)

Đường thẳng DC đi qua D và vuông góc với BC nên có phương trình x − y − 2 = 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A(-1;2) và tâm I 1

2; 0

.Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD biết đường thẳng BC đi qua M(4;-3).Định hướng:

- Tìm tọa độ điểm C đối xứng với A qua I Viết phương trình BC đi qua C và M

- Viết phương trình AB đi qua A và vuông góc BC ⇒ B = AB ∩ BC ⇒ D

Lời giải

Do I là trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C(2;-2)

Phương trình đường thẳng BC: x + 2y + 2 = 0

Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với BC nên AB : 2x − y + 4 = 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

⇒ B(−2; 0)

Từ I là trung điểm của BD ⇒ Tọa độ điểm D(3;0)

Vậy B(-2;0), C(2;-2), D(3;0)

Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD tâm O Biết phương trìnhđường thẳng AB: x − y + 5 = 0 và trung điểm M của cạnh BC thuộc đường thẳng d : x + 3y − 6 = 0,xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Định hướng:

- Viết phương trình đường thẳng MO Tìm tọa độ M = OM ∩ d

- Viết phương trình BC ⇒ B = BC ∩ AB

- Từ M là trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C, từ O là trung điểm AC ⇒ A

Lời giải

Đường thẳng MO đi qua O và song song với AB nên có phương trình x − y = 0

Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình



Đường thẳng BC đi qua M và vương góc với AB nên có phương trình x + y − 3 = 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Từ M là trung điểm BC ⇒ tọa độ điểm C(4;-1)

Từ O là trung điểm của AD và BC ⇒ A(-4;1) và D(1;-4)

Vậy A(-4;1), B(-1;4), C(4;-1), D(1;-4)

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Điểm N(3;2) là trung điểm BC,các điểm M(-2;2) và P(2;-1) lần lượt nằm trên cạnh AB và DC sao cho AM=CP Xác định tọa độcác đỉnh

Định hướng:

- Chứng minh AMCP là hình bình hành nên I = M P ∩ AC là tâm hình chữ nhật Tìm tọa độ I

- Kết hợp với I suy ra tọa độ hai đỉnh A và D.



Phương trình đường thẳng AB đi qua M và song song với NI nên có phương trình x − 2y = −6

Phương trình đường thẳng BC qua N và vuông góc với BC nên có phương trình 2x + y = 8

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

⇒ B(2; 4)Phương trình đường thẳng DC qua P và song song AP nên có phương trình x − 2y = 4

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình



−3

2; −

32

.Định hướng:

- Tìm tọa độ điểm C = AC ∩ CD Gọi N là trung điểm CD, viết phương trình đường thẳng MN

- Tìm tọa độ điểm N = CD ∩ M N ⇒ D ⇒ A

- Viết phương trình đường thẳng AB, BC Suy ra tọa độ điểm B

Lời giải

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

⇒ N 1

2; −

52



Do N là trung điểm của CD nên suy ra D(-1;-4) M là trung điểm AD suy ra A(-2;1)

Đường thẳng AB qua A song song CD nên có phương trình x − y = −3

Đường thẳng BC qua C vuông góc với CD nên có phương trình x + y = 1

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Bài 13.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD ( vuông tại A và B) GọiM(-3;3), N lần lượt là trung điểm của AD và AB Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang vuôngABCD, biết phương trình các đường thẳng BD : 7x + 3y + 2 = 0, CN : x − 3y = 0 và đường thẳng

AB đi qua điểm E(-3;1)

Định hướng:

- Viết phương trình đường thẳng MN Suy ra N = CN ∩ M N

- Viết phương trình đường thẳng AB ⇒ B = BD ∩ AB ⇒ A

- Viết phương trình đường thẳng BC Suy ra tọa độ điểm C = BC ∩ CN

Lời giảiĐường thẳng MN đi qua M song song BD nên M N : 7x + 3y + 12 = 0

Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình



Phương trình đường thẳng AB qua N và E là AB : x + y + 2 = 0

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

Từ N là trung điểm AB ⇒ A(−4; 2) Phương trình đường thẳng BC : x − y − 4 = 0

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

⇒ D(−2; 4)Vậy A(-4;2), B(1;-3), C(6;2), D(-2;4)

3 Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn trong bài toán tìm tọa độ điểm

Bài 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-5;2), chân đường cao kẻ từ A làH(-2;-1), tam đường tròn ngoại tiếp I



−1

3;

13

 Tìm tọa độ các đỉnh B và C

Định hướng:

- Viết phương trình đường thẳng BC

- Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Suy ra tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn

Lời giải

Đường thẳng BC đi qua H nhận−−→

AH = (3; −3) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình x − y + 1 = 0Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tam I bán kính R = IA =

√221

2

= 2219Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ

2

+



y − 13

2

= 2219

⇒



B(−4; −3), C(3; 4)B(3; 4), C(−4; −3)Vậy B(-4;-3), C(3;4) hay B(3;4), C(-4;-3)

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm BC là M 3

2; −2

,chân đường cao kẻ từ đỉnh C là H(-2;1), phương trình đường cao BK : 7x − 6y + 15 = 0 Xác địnhtọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết B có tung độ âm

Định hướng:

- Viết phương trình đường tròn tâm M, bán kính MH ngoại tiếp tứ giác BCKH

- Tìm tọa độ giao điểm BK và đường tròn Suy ra B và C

- Viết phương trình AB,AC suy ra A

Lời giải

Đường tròn tâm M bán kính R = M H =

√85

2 ngoại tiếp tứ giác BHKC và có phương trình



x −32



− 3

17;

3917

(loại)

Do M là trung điểm BC, suy ra tọa độ điểm C(6;-3)

Đường thẳng AB đi qua B, H nên có phương trình 2x − y + 5 = 0

Đường thẳng AC đi qua C vuông góc với BK nên có phương trình 6x + 7y − 15 = 0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), trung điểm BC là

- Tìm tọa độ điểm H là giao của HK và đường tròn

- Viết phương trình AB⇒ B là giao của AB và đường tròn Suy ra C

Lời giải

Đường tròn tâm M bán kính R = 1

2BC =

√85

2 ngoại tiếp tứ giác BCKH (Với K,H lần lượt là hìnhchiếu của B trên AC và C trên AB) có phương trình



x − 32

2

+ (y + 2)2 = 85

4Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình



− 3

17;

3917

2

+ (y + 2)2 = 85

4

⇒ B(6; −3)(loại)Vậy C(6;-3)

Bài 4 Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm I.Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K là hình chiếu của B lên AI Giả sử A(2;5), I(1;2), điểm B cóhoành độ âm và đường thẳng HK có phương trình x − 2y = 0 Tìm tọa độ các điểm B, C

Định hướng:

- Viết phương trình AI Tìm tọa độ điểm K là giao của AI và HK.

- Viết phương trình BK, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra B

- Viết phương trình đường tròn đường kính AB, suy ra H là giao của HK và đường tròn

- Viết phương trình BC Suy ra tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

⇒ K 2

5;

15

 Phương trình đường thẳng BK : x+3y = 1Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: (x − 1)2+ (y − 2)2 = 10

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

(loại)Phương trình đường tròn đường kính AB : x2+ (y − 3)2 = 8

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

Bài 5.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Phương trình các đường thẳng chứađường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là x − 2y − 13 = 0 và 13x − 6y − 9 = 0 Tìm tọa độcác đỉnh B,C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(−5; 1)

Định hướng:

- Tìm tọa độ diểm A là giao của AH, AM

- Gọi M là trung điểm của BC, viết phương trình IM, tìm tọa độ điểm M

- Viết phương trình BC, viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra tọa độ điểm B,

C là giao của BC và đường tròn.

⇒ A(−3; −8)Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng IM đi qua I và song song AH nên có phương trình x−2y = −7Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình 2x + y = 11

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính R = IA = √

85 nên có phương trình(x + 5)2+ (y − 1)2 = 85

Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình

⇒



B(2; 7), C(4; 3)B(4; 3), C(2; 7)Vậy B(2;7), C(4;3) hoặc B(4;3), C(2;7)

Bài 6.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1;4), phương trình đường thảng

BC : x − y − 4 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh tam giác biết tam giác ABC có diện tích bằng 18.Định hướng:

- Viết phương trình AH Suy ra H = AH ∩ BC

- Tính diện tích tam giác ABC ⇒ BC Viết phương trình đường tròn tâm H, bán kính R = 1

2BC.

- Tọa độ B, C là giao của BC và đường tròn

Lời giảiGọi H là trung điểm của BC Đường thẳng AH đi qua A và vuông góc BC nên có phương trình x + y = 3Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình



Lại có SABC = 1

2AH.BC ⇒ BC = 4

√2

2

+



y + 12

2

= 8