50 bộ đề thi thử THPT quốc gia môn toán có lời giải chi tiết của thầy đặng thành nam (phần 2)

! Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Mơn: Tốn; ĐỀ SỐ 26/50 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − m x + (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực tiểu, cực đại y1 , y2 thoả mãn y1 + y2 = Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình cos x + cos x − = sin x cos x − sin x b) Tìm số phức z thoả mãn (z − 1)(z + 2) = −1+ 3i ⎧log (x − y ) = Câu (0,5 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩log (x + y − 1) + log (x − y + 1) = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2x 8x + + x + ≥ 6x x + Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (3x + ln x)dx Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tam giác ABD cạnh a, AA' = a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng AB’ A’C’ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A(0;7), tâm đường tròn nội tiếp điểm I(0;1) Gọi E trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC Tìm toạ độ đỉnh B,C biết AH = 7HE B có hồnh độ âm Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z + = hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B vng góc với (P) Viết phương trình đường thẳng d cắt tia Ox , vng góc với đường thẳng AB, song song với mặt phẳng (P) cách (P) khoảng Câu (0,5 điểm) Có lơ sản phẩm A,B,C chuẩn bị nhập vào kho Mỗi lơ có 100 sản phẩm gồm sản phẩm loại I sản phẩm loại II Số sản phẩm loại I lô A,B,C 50,60,70 Người phụ trách nhập kho lấy ngẫu nhiên từ lô A,B,C sản phẩm để kiểm tra, có sản phẩm lấy để kiểm tra sản phẩm loại I lơ hàng A,B,C nhập kho Tính xác suất để lơ hàng A,B,C nhập kho ⎡1 ⎤ Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực thoả mãn a,b,c ∈ ⎢ ;1⎥ a + b + c = Tìm giá trị lớn ⎣2 ⎦ biểu thức P = 2(b + c ) − a 1 + ac((a + c)2 − b ) + ab((a + b)2 − c ) a+c a+b -HẾT - Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 1! ! PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − m x + (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có cực tiểu, cực đại y1 , y2 thoả mãn y1 + y2 = Học sinh tự giải ⎡x = 2 Ta có: y' = 4x − 2m x; y' = ⇔ ⎢ m ⎢x = ⎣ + Để hàm số có cực đại, cực tiểu y’=0 có nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ m2 m2 m2 ; xCD = ; ta có y1 = y(± )=− + 3; yCD = y(0) = 2 m2 = ⇔ m = 16 ⇔ m = 4(t / m); m = −4(t / m) Theo giả thiết ta có: y1 + y2 = − Vậy m = giá trị cần tìm Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình cos x + cos x − = sin x cos x − sin x b) Tìm số phức z thoả mãn (z − 1)(z + 2) = −1+ 3i a) Phương trình tương đương với: sin x − sin x + sin x cos x − cos x + = ⇔ sin x − sin x − 3sin x + + sin x cos x − cos x = Khi xCT = ± ⎡sin x = π ⇔ (sin x − 1)(sin x − + cos x) = ⇔ ⎢ ⇔ x = + k2π , k ∈! ⎣sin x + cos x = 3(VN ) 2 b) Phương trình tương đương với: z + z − = −1+ 3i ⇔ z + z = 1+ 3i ⇔ z + z − (1+ 3i) = −1− (3 + 2i) −1+ (3 + 2i) Δ z = 1+ 4(1+ 3i) = + 12i = (3 + 2i)2 ⇒ z = = −2 − i; z = = 1+ i 2 ⎧log (x − y ) = Câu (0,5 điểm) Giải hệ phương trình ⎨ ⎩log (x + y − 1) + log (x − y + 1) = Điều kiện: x + y − > 0, x − y + > 0, x − y > Hệ phương trình tương đương với: 2 ⎧ x − y2 = ⎪⎧ x − y = ⇔⎨ ⎨ ⎪⎩log [ (x + y − 1)(x − y + 1)] = ⎩log (x + y − 1) + log (x − y + 1) = ⎧⎪ x − y = ⎧⎪ x − y = ⇔⎨ ⇔ ⎨ 2 2 ⎩⎪log (x − (y − 1) ) = ⎩⎪ x − (y − 1) = ⎧⎪ x = + y ⎧x2 = ⎡ x = −3, y = 1(l) ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎢ 2 ⎪⎩8 + y − (y − 1) = ⎣ x = 3, y = 1(t / m) ⎩y = Kết luận: Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3;1) Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 2x 8x + + x + ≥ 6x x + Điều kiện: x ≥ Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 2! ! Bất phương trình tương đương với: 2x 8x + + x + − 6x x − ≥ Xét hàm số f (x) = 2x 8x + + x + − 6x x − [ 0;+∞ ) , ta có: 24x + x 24x + x f '(x) = + − x; f '(x) = ⇔ + =9 x 8x + 8x + x +8 x +8 ⇔ 2(12x + 1) x + + x 8x + = (x + 8)(8x + x) 13 ⎡ ⎤ ⇔ x + ⎢(12x + 1) − 8x + x ⎥ + 8x + x ( x − x + 8) = 3 ⎣ ⎦ ⇔ x + ⎡ 3(12x + 1) − 13 8x + x ⎤ + 8x + x (3 x − x + ) = ⎣ ⎦ ⇔ x + 8(1− x)(56x + 9) 3(12x + 1) + 13 8x + x + 8x + x (1− x)(x − 8) x + x2 + =0 ⎡x = ⇔ (1− x).A = ⇔ ⎢ ⎣A = Trong A = x + 8(56x + 9) 3(12x + 1) + 13 8x + x +) Nếu x ≥ ⇒ A > + 8x + x (x − 8) x + x2 + +) Nếu ≤ x < ⇒ 3(12x + 1) + 13 8x + x < 13(3 x + x + ) x + 8(56x + 9) + 13(x − 8) 8x + x > !! 13(3 x + x + ) Vậy!ta!chỉ!có! f '(x) = ⇔ x = ! Lập!bảng!biến!thiên!ta!được:! max f (x) = f (1) = ! Do!vậy!bất!phương!trình!tương!đương!với:! f (x) ≥ ⇔ x = !!! Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = {1} !! 16(6x + 1) Bình luận: Ta f ''(x) = + − < !.! (x + 8) x + (8x + 1) 8x + x Do đó: A > Từ!đó!suy!ra!phương!trình! f '(x) = có!nghiệm!duy!nhất! x = ! Kết luận: Vậy tập nghiệm bất phương trình S = {1} Cách 2: Ta đánh sau: Đặt t = x ≥ , bất phương trình trở thành: 2t 8t + + t + ≥ 6t + !! Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:! 2t t 17t + t 2t 8t + = 3t 8t + ≤ (9t + 8t + 1) = ! ! 3 Từ!đó!suy!ra:! 17t + t + t + ≥ 6t + ⇔ t + ≥ t − t + ! ! +)!Ta!có:! t − t + = t(t − 1)2 + 2t − 2t + > 0,∀t ≥ !! Do!đó!bình!phương!hai!vế!ta!được:! Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 3! ! ! 9(t + 8) ≥ (t − t + 9)2 ⇔ (t − 1)2 (t + 1)(t + t − 9t + 9) ≤ (*) ! Mặt!khác:! ! t + t − 9t + = t(t − 2)2 + 5t − 13t + > 0,∀t ≥ ! Do!đó! (*) ⇔ (t − 1)2 (t + 1) ≤ ⇔ t = 1(do t + > 0) ⇔ x = ! Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là! S = {1} !!! !! !Bài)tập)tương)tự)L)! Giải!phương!trình! 8x + + 1+ = x (2 x + x x ) !Đ/s:! x = ! x4 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ (3x + ln x)dx Ta có: 2 2 62 63 I = 3∫ x dx + ∫ ln x dx = x + ∫ ln x dx = + ln x dx 1 ∫1 1 2 61 63 63 = + (x ln x − ∫ dx ) = + ln − x = + ln 1 2 Câu (1,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tam giác ABD cạnh a, AA' = a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ khoảng cách hai đường thẳng AB’ A’C’ Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A(0;7), tâm đường tròn nội tiếp điểm I(0;1) Gọi E trung điểm BC, H trực tâm tam giác ABC Tìm toạ độ đỉnh B,C biết AH = 7HE B có hồnh độ âm +) Đường thẳng AE qua A,I trục Oy Theo tính chất đường phân giác ta có: 2 AI AB ⎛ AI ⎞ AB AE + BE ⎛ AE ⎞ = ⇒⎜ ⎟ = = = ⎜⎝ ⎟ + (1) ⎝ IE ⎠ IE BE BE BE BE ⎠ Tam giác AEB BEH đồng dạng (g.g) nên SAEB AE ⎛ AE ⎞ = = (2) ⎜⎝ ⎟⎠ = BE SBEH HE !!" !!" AI ⎛ AI ⎞ = ⇒ IE = AI ⇒ E(0;−1) Từ (1),(2) suy ra: ⎜ ⎟ = + = ⇒ ⎝ IE ⎠ IE !!!" !!!" +) Ta có: AH = 7HE ⇒ H (0;0) Đường thẳng BC qua E vng góc với Oy nên có phương trình y + = Gọi B(b;-1) thuộc BC, với b âm Ta có: E trung điểm BC nên C(-b;-1) Do H trực tâm tam giác ABC nên: !!!" !!!" BH AC = ⇔ −b + = ⇔ b = −2 2(do b < 0) ⇒ B(−2 2;−1),C(2 2;−1) Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 4! ! Kết luận: Vậy B(−2 2;−1),C(2 2;−1) Bài tập tương tự - Trong mặt phẳng với trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A(0;− ) Gọi M (−3 5; 7) trung điểm cạnh BC Tìm toạ độ đỉnh B,C biết B có hồnh độ âm trực tâm tam giác ABC thuộc đường tròn nội tiếp tam giác ABC !!!" !!!" ;1), I(− ; 4) Đ/s: B(−6 5;1),C(0;13) HD: Chứng minh AH = IM ⇒ H (− 5 Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z + = hai điểm A(1;-2;3), B(3;2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A,B vng góc với (P) Viết phương trình đường thẳng d cắt tia Ox , vng góc với đường thẳng AB, song song với mặt phẳng (P) cách (P) khoảng !!!" !" ! !!!" !" ! Ta có: AB = (2; 4;−4),nP = (2;1;−2) ⇒ ⎡⎣ AB,nP ⎤⎦ = (−4;−4;−6) / /(2;2;−3) Mặt phẳng (Q) vng góc với (P) qua A,B nên có vtpt (2;2;-3) Vì (Q) : 2x + 2y + 3z − = +) Vì d vng góc với đường thẳng AB, song song với mặt phẳng (P) nên !" ! !!!" !" ! !" ! ud / / ⎡⎣ AB,nP ⎤⎦ ⇒ ud = (2;2;−3) +) Giả sử d cắt tia Ox điểm M(m;0;0) với m>0, ta có: ⎡ m = 8(t / m) 2m − d(d;(P)) = d(M;(P)) = = 3⇔ ⎢ ⇒ M (8;0;0) ⎣ m = −1(l) x−8 y z Vì d : = = 2 −3 Câu (0,5 điểm) Có lô sản phẩm A,B,C chuẩn bị nhập vào kho Mỗi lơ có 100 sản phẩm gồm sản phẩm loại I sản phẩm loại II Số sản phẩm loại I lô A,B,C 50,60,70 Người phụ trách nhập kho lấy ngẫu nhiên từ lô A,B,C sản phẩm để kiểm tra, có sản phẩm lấy để kiểm tra sản phẩm loại I lơ hàng A,B,C nhập kho Tính xác suất để lơ hàng A,B,C nhập kho Gọi A biến cố sản phẩm lấy kiểm tra từ lô A loại I, ta có: P(A) = 0,5; P(A) = 0,5 Gọi B biến cố sản phẩm lấy kiểm từ lơ B loại I, ta có: P(B) = 0,6; P(B) = 0, Gọi C biến cố sản phẩm lấy kiểm tra từ lô C loại I, ta có: P(C) = 0, 7; P(C) = 0, Gọi X biến cố lấy ngẫu nhiên lô sản phẩm sản phẩm loại I Ta có: X = A.B.C + A.B.C + A.B.C + AB.C Ta có: P(X) = P(A.B.C + A.B.C + A.B.C + AB.C) = P(A.B.C) + P(A.B.C) + P(A.B.C) + P(AB.C) = P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) = 0,5.0,6.0, + 0,5.0,6.0, + 0,5.0, 4.0, + 0,5.0,6.0, = 0,65 Bài tập tương tự Có ba lơ hàng, người ta lấy ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Biết tỷ lệ sản phẩm tốt lơ hàng 0,5;0,6;0,7 Tính xác suất để sản phẩm lấy kiểm tra có sản phẩm tốt Đ/s: P(A) = 0,94 Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 5! ! ⎡1 ⎤ Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực thoả mãn a,b,c ∈ ⎢ ;1⎥ a + b + c = Tìm giá trị lớn ⎣2 ⎦ 2(b + c ) − a 1 + ac((a + c)2 − b ) + ab((a + b)2 − c ) a+c a+b 2ac 2ab ≤ ; ≤ ! Sử dụng giả thiết bất đẳng thức AM –GM ta có: 2 (a + c) (a + b) Do!đó: 2ac a+c−b ac((a + c)2 − b ) = a + c − b ≤ , a+c (a + c) biểu thức P = 2ab a+b−c ab((a + b)2 − c ) = a + b − c ≤ a+b (a + b) 2(b + c ) − a a+b−c a+c−b + + 2 b+c−a a+c−b a+b−c Để đơn giản ta đặt x = ,y = ,z = ⇒ x + y + z = (x, y, z ≥ 0) 2 Suy ra: P ≤ 2(b + c ) − a (y − z)2 (y − z)2 = x+ + y+ z Khi đó: P = x + 4 Sử dụng bất đẳng thức Cachy –Schwartz ta có: Và ta có: P≤ x+ (y − z)2 = 3(x + = 3(x + ≤ 3(x + ≤ 3(x + + y+ z ≤ (1+ 2)(x + (y − z)2 + 2( y + z)2 y+z y+z y+z + + + ) = 3(x + (y − z)2 y+z ( y + z)2 ( y − z)2 + yz + + ( y + z)2 (y − z)2 + yz ) ) ) 2(y + z)( y − z)2 + yz 2( y − z)2 + yz = 3(x + y + z) = 3 Dấu xảy x = y = z = ⇔ a = b = c = Vậy giá trị lớn P Dấu đạt a = b = c = Cách 2: Tương tự cách ta đánh giá được: 2(b + c ) − a a+b−c a+c−b + + 2 a+b−c a+c−b + ⇒ t = a + (a + b − c)(a + c − b) = a + a − (b − c)2 !Và! Đặt! t = 2 P≤ Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 6! ! 2 2(b + c ) − a (b + c) − ⎡⎣ a − (b − c) ⎤⎦ (b + c + a − (b − c)2 )(b + c − a − (b − c)2 ) = = 4 ≤ (a + b + c)(b + c − a − (b − c)2 ) b + c − a − (b − c)2 = = − a − a − (b − c)2 t2 = 1− 2 t2 t2 t t2 + t = 1− + ≤ (1+ 2)(1− + t ) = !!! 2 2 Vậy giá trị lớn P Dấu đạt a = b = c = Do đó: P ≤ 1− Hotline:)0976)266)202)) Chi)tiết:)Mathlinks.vn! Đăng)ký)nhóm)3)học)sinh)nhận)ưu)đãi)học)phí))) 7! Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 ( em khơng đăng đáp án ngồi) 2 2 x (x + 2)e + x x x x x I=∫ dx = (e + )dx = e dx + dx 2 ∫ ∫ ∫ x +2 x +2 x +2 1 1 1 = (e x + ln x + ) = e2 − e + ln 2 Câu$6$(1,0$điểm).$Cho$hình$chóp$S.ABC$có$đáy$ABC$là$tam$giác$vng$tại$B,$ AB = a, AC = 2a $ Gọi$I,H,J$lần$lượt$là$trung$điểm$của$BC,AI,SC.$Tam$giác$SAI$cân$tại$S$và$nằm$trong$mặt$ phẳng$vng$góc$với$đáy$(ABC).$Biết$góc$giữa$hai$mặt$phẳng$(SAB)$và$(ABC)$bằng$ 600 $Tính$ thể$tích$khối$chóp$S.ABC$và$khoảng$cách$từ$H$đến$mặt$phẳng$(ABJ).$ Gọi$M$là$trung$điểm$của$AB$ta$có$MH$là$đường$ trung$bình$của$tam$giác$ABI$nên:$ $ MH / /BC ⇒ MH ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SHM ) $ ! = 600 là$góc$giữa$mặt$phẳng$(SAB)$ Do$đó$góc$ SMH S J và$(ABC).$ Theo$pitago$ta$có: BC = AC − AB = a $ C F BI BC a Ta$có:$ MH = $ = = 4 A D K H I M E B $ a 3a Tam$giác$vng$SHM$có:$ SH = HM tan 600 = = $ 4 1 3a a3 Vì$vậy$VS ABC = SH S ABC = SH AB.BC = a.a = $ 6 Tính$ d H ;( ABJ ) :$ ( ) Nhận$xét.$Xét$khối$chóp$J.ABC$lúc$này$H$khơng$phải$là$chân$đường$cao$của$khối$chóp$này.$ Ta$tìm$cách$quy$về$chân$đường$vng$góc$của$khối$chóp$J.ABC.$Vậy$trước$tiên$phải$tìm$chân$ đường$vng$góc$hạ$từ$đỉnh$J$xuống$mặt$đáy$(ABC).$ Kẻ$JK$song$song$với$SH$cắt$CH$tại$K$ta$có$ JK ⊥ ( ABC ) và$K$là$trung$điểm$của$CH.$ Kéo$dài$CH$cắt$AB$tại$D:$ HD d K ;( ABJ ) $$ Ta$có$ d H ;( ABJ ) = KD DH HM HD 2 = = ⇒ = ⇒ d H ;( ABJ ) = d K ;( ABJ ) $ Theo$talets$ta$có:$ DC BC KD 5 Kẻ$ KE / /BC cắt$AB$tại$E$ta$có$ KE ⊥ AB $Kẻ$KF$vng$góc$với$JE$ta$có$ KF ⊥ ( ABJ ) $ ( ) ( ) ( ) ( ) 3a KE DK 5 5a $Tam$giác$SHC$có: JK = SH = $ = = ⇒ KE = BC = BC DC 8 Tam$giác$vng$JKE$ta$có:$ Theo$talets$ta$có:$ Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 ( em khơng đăng đáp án ngồi) 1 1 1792 15a $ = + = + = ⇒ KF = 2 2 2 112 KF JK KE 225a ⎛ 3a ⎞⎟ ⎛ 5a ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎟⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎠ ⎝ 2 15a 3a Vậy$ d H ;( ABJ ) = KF = $$$$$ = 5 112 56 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có đỉnh C(4;0) nội tiếp đường trịn tâm I Gọi E điểm cung nhỏ BC, F điểm đối xứng E qua BC, đường thẳng AE cắt BC điểm D, phương trình đường thẳng EF 2x + y + = Tìm toạ độ đỉnh A,B biết A I có hồnh độ ngun, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ADF ( ) ⎛ ⎞ ⎜⎜ x −9 + 5 ⎟⎟ + ( y − )2 = 275 −50 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎠ 2 ⎝ Khai thác giả thiết: Phương trình đường thẳng BC qua C vng góc EF x−2y−4 = Toạ độ trung điểm M BC nghiệm hệ ⎧ ⎪ x−2y−4 = ⎪ ⇒ M (0;−2) ⎨ ⎪ 2x + y + = ⎪ ⎩ Vì M trung điểm BC nên B(-4;-4) Ta chứng minh AFID nội tiếp, ! ! Vì BC trung trực EF nên DFI = DEI (1) ! ! Mặt khác tam giác IAE cân I nên DEI = DAI (2) ! ! Từ (1),(2) suy ra: DAI = DFI A,F,I,D thuộc đường tròn Toạ độ điểm I,F nghiệm hệ: ⎧⎪⎛ ⎪⎪⎜ 5 ⎞⎟⎟ 275−100 ⎡ x = −1, y = ⎪⎜⎜ x −9 + ⎟⎟ + ( y − ) = ⇔ ⎢⎢ ⎨⎜⎝ ⎟⎠ 2 ⎪⎪ ⎢⎣ x = 1− 5, y = − ⎪⎪2x + y + = ⎪⎩ Vậy I(-1;0), ta có IA = IB = , toạ độ điểm A nghiệm hệ: ⎧⎪⎛ ⎡ x = −1, y = ⎪⎪⎜ 5 ⎞⎟⎟ 275−100 ⎢ ⎪⎜⎜ x −9 + ⎟⎟ + ( y − ) = ⇔⎢ ⇒ A(−1;5) ⎟⎠ 2 ⎨⎜⎝ ⎢ x = 79 + 25 , y = 25 −150 ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪(x +1)2 + y = 25 41 41 ⎣ ⎪⎩ Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Bản quyền thuộc Mathlinks.vn – Thầy: Đặng Thành Nam – 0976 266 202 ( em khơng đăng đáp án ngồi) Vậy A(-1;5), B(-4;-4) C(4;0) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1;1;0) mặt phẳng x −1 y +1 z − (P) : 2x − 3y + z − = đường thẳng d : Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua = = −1 −1 A, vng góc với (P) cắt d điểm B thoả mãn AB = Vì B ∈d ⇒ B(1− t;−1− t;2 + 2t) Ta có AB = ⇔ t + ( t + ) + (2t + 2)2 = ⇔ 6t + 12t + = ⇔ t = −1 !!!" Suy B(2;0;0) ⇒ AB = (1;−1;0 ) !!" !" ! !!!" Mặt phẳng (Q) vng góc với (P) chứa AB nên nQ = ⎡⎣ nP , AB ⎤⎦ = (1;1;1) Vì (Q) :(x − 1) + (y − 1) + z = ⇔ (Q) : x + y + z − = Đáp án câu 9,10 em xem trực tiếp Box giải đề Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Khố giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Mơn: Tốn; ĐỀ SỐ 49/50 Ngày thi : 8/05/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = mx − x (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến tập xác định Câu (1,0 điểm) a) Tính A = 3sin a −8cos a , biết cos3a = −1 − π < a < 2 b) Tìm nhiệm phức phương trình z − 2z + = tính tổng mơđun nghiệm x+1 Câu (0,5 điểm) Giải phương trình + x − 40.3x−1 + = 2 2 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình (x − 4) ( x + 4− x ) + (x − 2x) = 2x −14x + 28 13 x 2x +1 +1 dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 2x +1 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA = 8a vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cạnh 4a Gọi M, N trung điểm SB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;1) Gọi D(-1;-1) điểm đường thẳng BC thoả mãn AD = DC , đường thẳng AC qua điểm M(-1;4) Tìm toạ độ đỉnh A,B,C biết điểm H(0;-2) trực tâm tam giác ABC Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) , mặt cầu (S) có phương trình (P) : 2x − y + z − = ; (S) : x + y + z − 2x + y − 6z + = Tìm tọa độ tâm bán kính mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu (0,5 điểm) Một đợt tuyển nhân viên công ty X, sau sơ loại hồ sơ qua vòng thi viết phịng Nhân cơng ty X tổng hợp 200 ứng viên đủ điều kiện để vào vịng vấn Biết có ứng viên lựa chọn vấn phịng Nhân chuẩn bị nhiêu câu hỏi khác câu hỏi đựng hòm đựng phiếu Phòng Nhân phân vân việc lựa chọn tất 200 ứng viên qua vòng thi viết để vào vòng vấn hay loại bớt 50 ứng viên lấy 150 ứng viên số Vậy bạn Người định phịng Nhân cơng ty X bạn lựa chọn 150 ứng viên hay 200 ứng viên, biết tất ứng viên vào vấn bốc thăm ngẫu nhiên câu hỏi từ hòm đựng phiếu để trả lời sau trả lại hịm đựng phiếu, tiêu chí cơng ty xác suất để ứng viên bốc câu hỏi đôi khác cao Câu 10 (1,0 điểm) Cho biết a,b,c số thực không âm thoả mãn điều kiện (a − b)2 + (b− c)2 + (c − a)2 ≤ ⎛ a + b2 ⎞⎟ ⎜⎜ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2⎜ − c⎟⎟⎟ + 3a + 3b + 3c − (a + b+ c)4 ⎜⎜⎝ 16 ⎟⎠ -HẾT - Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = mx − x (1) , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = Tìm giá trị m để hàm số (1) nghịch biến tập xác định Học sinh tự giải 2 Hàm số xác định với x Ta có: y ' = m−3x Hàm số nghịch biến ! ⇔ y ' ≤ 0,∀x ∈ ! ⇔ m ≤ 3x ,∀x ∈ ! ⇔ m ≤ Vậy m ≤ giá trị cần tìm Câu (1,0 điểm) a) Tính A = 3sin a −8cos a , biết cos3a = −1 − π < a < 2 b) Tìm nhiệm phức phương trình z − 2z + = tính tổng mơđun nghiệm a) Ta có: ⎡cos a = −1 ⎢ cos3a = −1 ⇔ 4cos a −3cos a +1= ⇔ (cos a +1)(2cos a −1) = ⇔ ⎢ ⎢cos a = ⎢⎣ 3 π < a < ⇒ cos a = , sin a = − 1−cos a = − 2 − −8 = −4 Vì A = 2 2 b) Ta có: (z −1) = −4 = 4i ⇔ z = 1+ 2i; z = 1− 2i Vì − Tổng môđun nghiệm 12 + 22 + 12 + (−2)2 = x+1 + x − 40.3x−1 + = 40 x 2x + = Phương trình tương đương với: 4.3 − x Đặt t = > , phương trình trở thành: ⎡3x = ⎡t = ⎢ ⎢ 40 ⎢ 4t − t + = ⇔ ⎢ ⇔ ⇔ x = ±1 ⎢t = ⎢3x = ⎢⎣ ⎢⎣ Câu (0,5 điểm) Giải phương trình 2 2 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình (x − 4) ( x + 4− x ) + (x − 2x) = 2x −14x + 28 Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Phương trình tương đương với: Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí (x − 4)2 ( x + 4− x − 2) + (x − 2x)2 = 2x − ⎛ ⎞ ⇔ (x − 4)2 ⎜⎜ + x (4− x ) − 2⎟⎟⎟ − ⎡⎢ 2(x − 2)− (x − 2x)2 ⎤⎥ = ⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ (x − 2)2 (x − 4)2 ⇔ (x − 4)2 ⎜⎜ + x (4− x ) − 2⎟⎟⎟ + =0 ⎜⎝ ⎠ 4(x − 2)2 + 2(x − 2) (x − 2x)2 + (x − 2x)4 ⎡ ⎤ ⎢ + x (4− x ) − + ⎥ ⎢ ⎥ ⇔ (x − 4)2 ⎢ ⎥ = (*) (x − 2) ⎢ ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ 3 ⎣⎢ 4(x − 2) + 2(x − 2) (x − 2x) + (x − 2x) ⎥⎦ Ta có: (x − 2)2 + x (4− x ) − + 2 2 4(x − 2) + 2(x − 2) (x − 2x) + (x − 2x) Dấu xảy x = ⎡x = ⎡x = ⎢ ⇔ Vì (*) ⇔ ⎢ ⎢(x − 4)2 = ⎢ x = ⎣ ⎣ Đối chiếu với điều kiện nhận nghiệm x = Vậy phương trình có nghiệm x = 3 ≥ 0,∀x ∈ ⎡⎣−2;2⎤⎦ Cách 2: Ta có, x + 4− x = + x (4− x ) ≥ 2; (x − 2x)2 ≥ 0,∀x ∈ ⎡⎣−2;2⎤⎦ ⇒ VT ≥ 2(x − 4) = (2x −14x + 28) + (4− 2x) ≥ 2x −14x + 28 = VP,∀x ∈ ⎡⎣−2;2⎤⎦ 2 ⎪⎧⎪ x (4− x ) = ⎪ 2 Dấu xảy ⎪ ⎨(x − 2x) = ⇔ x = ⎪⎪ ⎪⎪4− 2x = ⎩ Vậy phương trình có nghiệm x = 13 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x 2x +1 +1 dx 2x +1 t −1 3t ⇒ dx = dt Đặt t = 2x +1 ⇒ x = 2 t −1 3 t +1 3t 3 t4 dt = (t −1+ ) dt = ( −t + 2ln t ) = Vì vậy, I = ∫ ∫ t 4 t 1 Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA = 8a vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cạnh 4a Gọi M, N trung điểm SB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN) Ta có: AN = AB2 − BN = 2a S Và SΔABC = BC AN = 4a 3 Vì vậy, VS ABC = SΔABC SA = 4a 3.8a = 32a 3 M (đvtt) Ta có: VB AMN BA BM BN = = , VS ABC BA BS BC 4 nên VB AMN = VS ABC = C A 8a 3 H N B 2 Mặt khác, SB = SC = 5a ⇒ MN = SC = 5a ; AM = SB = 5a Gọi H trung điểm AN MH ⊥ AN , ⇒ MH = AM − AH = a 17 Diện tích tam giác AMN SΔAMN = 1 AN MH = 2a 3.a 17 = a 51 2 3VB AMN 8a 3 8a 8a 17 = = = SΔAMN 17 a 51 17 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;1) Gọi D(-1;-1) điểm đường thẳng BC thoả mãn AD = DC , đường thẳng AC qua điểm M(-1;4) Tìm toạ độ đỉnh A,B,C biết điểm H(0;-2) trực tâm tam giác ABC Vì vậy: d ( B, ( AMN )) = Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Ta có: DA = DC, IA = IC ⇒ DI đường trung trực AC, DI ⊥ AC Phương trình đường thẳng AC qua M(-1;4) vng góc DI x−2y +9 = Gọi E trung điểm AC, ta có IE qua I vng góc AC 2x + y + = Toạ độ điểm E nghiệm hệ ⎧ ⎪ x−2y +9 = ⎪ ⇒ E(−3;3) ⎨ ⎪ ⎪ ⎩2x + y + = !!!" !!" Suy ra, BH = 2IE = 2(−1;2) = (−2;4) ⇒ B(2;−2) Đường thẳng BC qua B,D có phương trình x + 3y + = ⎧ ⎪x − y + = Toạ độ điểm C nghiệm hệ ⎪ ⇒ C(−7;1) ⎨ ⎪ x + 3y + = ⎪ ⎩ Vì E trung điểm AC nên A(1;5) Vậy A(1;5), B(2;-2) C(-7;1) Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) , mặt cầu (S) có phương trình (P) : 2x − y + z − = ; (S) : x + y + z − 2x + y − 6z + = Tìm tọa độ tâm bán kính mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) Tâm mặt cầu (S) điểm I(1;-2;3) Bán kính mặt cầu (S) : r = Vì (Q) // (P) nên ta gọi phương trình (Q) : 2x – 2y + z + D = Vì (Q) tiếp xúc với (S) nên ta có d(I, (Q)) = r ⇔ | 2.1− 2.(−2) + 3+ D | = 3 ⎡D = ⇔| + D |= ⇔ ⎢ ⎣ D = −18 Vậy (Q): 2x – 2y + z = (Q): 2x – 2y + z -18 = Câu (0,5 điểm) Một đợt tuyển nhân viên công ty X, sau sơ loại hồ sơ qua vòng thi viết phịng Nhân cơng ty X tổng hợp 200 ứng viên đủ điều kiện để vào vịng vấn Biết có ứng viên lựa chọn vấn phịng Nhân chuẩn bị nhiêu câu hỏi khác câu hỏi đựng hòm đựng phiếu Phòng Nhân phân vân việc lựa chọn tất 200 ứng viên qua vòng thi viết để vào vòng vấn hay loại bớt 50 ứng viên lấy 150 ứng viên số Vậy bạn Người định phòng Nhân cơng ty X bạn lựa chọn 150 ứng viên hay 200 ứng viên, biết tất ứng viên vào vấn bốc thăm ngẫu nhiên câu hỏi từ hòm đựng phiếu để trả lời sau trả lại hịm đựng phiếu, tiêu chí cơng ty xác suất để ứng viên bốc câu hỏi đôi khác cao Giả sử có n ứng viên gọi vào vịng vấn, Khơng gian mẫu số cách lựa chọn câu hỏi n ứng viên, ứng viên có n cách lựa chọn câu hỏi n nên có n(Ω) = n Gọi A biến cố ứng viên bốc câu hỏi đôi khác Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Có n câu hỏi khác n ứng viên, nên số cách để n ứng viên bốc câu hỏi đôi khác n! cách, n( A) = n! Xác suất cần tính, P( A) = Vì vậy, với 150 ứng viên xác suất n! nn 150! 200! ; 200 ứng viên xác suất 150150 200200 n n ⎛ n ⎞⎟ 150! 200! (n +1)! ⎛⎜ n ⎞⎟ n! n! ⎜⎜ = < Ta cần so sánh Ta có, , ⎟ ⎟ + ⇔ (m − 1)2 − 4(m + 4) > ⇔ m − 6m − 15 > ⇔ ⎢ ⎢⎣ m < − Khi A(x1; x1 + m), B(x2 ; x2 + m) , suy ra: AB = 2(x2 − x1 )2 = ⎡⎣(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 ⎤⎦ = 2(m − 6m − 15) Theo giả thiết ta có: ⎡ m = −2 2m = 2(m − 6m − 15) ⇔ 3m − 24m − 60 = ⇔ ⎢ ⎣ m = 10 Vậy Δ : x − y − = 0; Δ : x − y + 10 = Câu (1,0 điểm) ⎞ 3⎛ π < a < 0⎟⎟⎟ Tính A = 5+ 3tan a + 6− 4cot a ⎟⎠ ⎜⎝ 2 b) Cho số phức z thoả mãn z = , z có phần thực dương Tính w = 5z −3− 2i 3+ 4i a) Cho cos a = ,⎜⎜− a) Ta có: sin a = − 1−cos a = − 1− 4 = − ⇒ tan a = − ,cot a = − 25 −4 −3 + 6− =4 1 2− i b) Ta có: z = = ⇔ z = ± = ± 3+ 4i (2 + i)2 2+ i 2− i ⇒ w = 5z −(3+ 2i) = (2− i)−(3+ 2i) = −1−3i Do z có phần thực dương nên z = Vì vậy, A = 5+ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2x − log (2.3x + 9) = Phương trình tương đương với: Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Khố giải đề thi THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam 32 x 2x − = log (2.3x + 9) ⇔ 2.3x + = 32 x−1 = Đặt t = 3x > , phương trình trở thành: ⎡t = 9(t / m) t2 2t + = ⇔ t − 6t − 27 = ⇔ ⎢ ⇔ 3x = ⇔ x = t = −3(l) ⎣ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình (5x −16) x +1 = x − x − 20(5+ 5x + 9) Điều kiện: x ≥ Nhận xét: Cả hai vế phương trình khơng âm nên ta bình phương hai vế phương trình cho gọn để xử lý liên hợp ta được: (x +1)(5x −16)2 = (x − x − 20)(5x + 34 +10 5x + 9) ⇔ 10(x − x − 20) 5x + = 10x −82x +115x + 468 = ⇔ 10(x − x − 20)(x − 5x + 9) + 2(5x −52)(x −5x −9) = ⎡ 5(x − x − 20) ⎤ ⇔ (x −5x −9) ⎢⎢ + 5x −52⎥⎥ = ⎣ x + 5x + ⎦ ⎡ ⎢ x = 5± 61 ⎢ ⇔ ⎢⎢ ⎢ 5(x − x − 20) + 5x −52 = ⎢ x + 5x + ⎣ 5(x − x − 20) Xét phương trình, + 5x −52 = x + 5x + Quy đồng rút gọn ta được: 10x −57x −100 + (5x −52) 5x + = , Phương trình có nghiệm x = thực liên hợp ghép số sau: 2(x −8)(5x + 29) + (5x −52)( 5x + −7) = ⎡ 5(5x −52) ⎤⎥ ⇔ (x −8) ⎢⎢ 2(5x + 29) + ⎥=0 5x + + ⎣ ⎦ ⇔ (x −8) ⎡⎢ 2(5x + 29) 5x + + 95x +146⎤⎥ = ⎣ ⎦ ⇔ x = 8(do 2(5x + 29) 5x + + 95x +146 > 0,∀x ≥ 5) Đối chiếu điều kiện kết hợp ta có nghiệm: x = 8; x = Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn 5+ 61 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Khố giải đề thi THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam π (x + 1)2 − x.sin x dx x π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Ta có: π π 6 ⎡ (x + 1)2 ⎤ 1 ⎡ ⎤ I = ∫⎢ − sin x ⎥ dx = ∫ ⎢ x + + + cos 2x ⎥ dx x x ⎦ π ⎣ π ⎣ ⎦ π ⎛ x 3x ⎞ 3 5π π =⎜ + + ln x + sin 2x ⎟ = ln + − + + 4 32 ⎝ ⎠π Câu  6  (1,0  điểm)  Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  thang  vng  tại  A  và  B,   AD AB = BC = = a,SA ⊥ (ABCD)  Góc  giữa  mặt  bên  (SCD)  và  mặt  đáy  (ABCD)  bằng   45  Tính   thể  tích  khối  chóp  S.ABCD  và  cơsin  góc  giữa  đường  thẳng  SD  và  mặt  phẳng  (SBC)   Ta  có   AC = AB + BC = a 2;CD = a   Suy  ra   AD = AC + CD = 4a   Vì  vậy  tam  giác  ACD  vng  tại  C,  do  đó   CD ⊥ ( SAC )   ! = 45  góc  giữa  hai  mặt  phẳng   Do  đó  góc   SCA (SCD)  và  (ABCD)   Ta  có   SA = AC = a         BC + AD a + 2a a3 = SA .AB = a .a = (đvtt)   3 2   Vì  vậy   VS.ABCD = SA.SABCD Tính  góc:   Do  AD//BC  nên   AD / /(SBC) ⇒ d ( D;(SBC)) = d ( A;(SBC))   Kẻ  AH  vng  góc  với  SB  ta  có   AH ⊥ (SBC)   Tam  giác  vuông  SAB  có   1 1 a = 2+ = + ⇒ AH = ; 2   AH SA AB 2a a   SD = SA + AD = 2a + 4a = a a d D;(SBC) AH ( ) ! = = = =   Vì  vậy   sin SD;(SBC) SD SD a ! = 1− = 2     Suy  ra   cos SD;(SBC) 32 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A(-1;5) trực tâm H(1;1) Một đường thẳng d qua H cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH,ACH M N ( M,N khác H) Viết phương trình đường thẳng d cho diện tích tam giác AMN lớn ! không đổi biết B,C di động đường thẳng x − 2y − = BAC Hotline: 0976 266 202 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí ( ) ( ) Chi tiết: Mathlinks.vn Khoá giải đề thi THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam HD: Ta chứng minh diện tích tam giác AMN lớn MN//BC Kéo dài đường thẳng BH cắt AC E, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D Dễ chứng minh D đối xứng với H qua AC, đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường tròn (AHC) qua AC nên hai đường trịn có bán kính Tương tự, đường trịn (ABC) (ABH) bán kính ! = ANM ! ⇒ MAN ! = MAB ! + BAC ! + NAC ! = MHB ! + BAC ! + NHC ! AMN Do ! ) + BAC ! = 2BAC ! = (180 − BHC Do tam giác AMN cân có góc MAN khơng đổi nên diện tích AMN lớn AM lớn nhất, tức AM đường kính (ABH) MN ⊥ AH ⇒ MN / /BC Phương trình đường thẳng d qua H song song BC d : x − 2y + = Câu  8  (1,0  điểm)  Trong  không  gian  với  trục  toạ  độ  Oxyz  cho  đường  thẳng   x + y−2 z +3 d: = =  mặt  cầu (S ) : x + y + (z + 2) =     Chứng  minh  rằng  (S)  tiếp  xúc  với  d,  tìm  toạ  độ  tiếp  điểm   Mặt  cầu  (S)  có  tâm  I(0;0;-­‐‑2),  bán  kính  bằng  3   Gọi  H  là  hình  chiếu  của  I  lên  d     ⎪⎧⎪ x = −2 + 2t ⎪ Phương  trình  của  d  dạng  tham  số  là: ⎪ ⎨ y = + 3t ⇒ H (−2 + 2t;2 + 3t;−3+ 2t )   ⎪⎪ ⎪⎪⎩ z = −3+ 2t !!" !!" !" ! Suy  ra   IH = (−2 + 2t;2 + 3t;−1+ 2t ) ,  ta  có   IH ud =   Vì  vậy   2(−2 + 2t ) + 3(2 + 3t ) + 2(−1+ 2t ) = ⇔ 17t = ⇔ t = ⇒ H (−2;2;−3)   Suy  ra   IH = 22 + 22 +12 = = R  Vì  vậy  (S)  tiếp  xúc  với  d  tại  điểm  H(-­‐‑2;2;-­‐‑3)     Câu (0,5 điểm) Có n kẹo túi Có kẹo màu cam Số kẹo lại màu vàng Hannah lấy kẹo từ túi ăn kẹo Sau đó, Hannah lấy kẹo khác từ túi Cô ăn kẹo Xác suất Hannah ăn phải kẹo màu cam 1/3 Hãy chứng minh n² − n − 90 = (Trích đề thi Hội đồng Kiểm tra Giáo dục Anh quốc Edexcel) Gọi A biến cố Hannah ăn phải kẹo màu cam, n Gọi C biến cố lần thứ hai Hannah ăn phải kẹo màu cam, cịn màu cam tổng số (n-1) lại nên P(C) = n −1 30 = Ta có, P(A) = P(B).P(C) = n n − n(n − 1) 30 = ⇔ n − n − 90 = (đpcm) Theo giả thiết có n(n − 1) Câu 10 (1,0 điểm) Cho x,y,z số thực không âm đôi phân biệt Tìm giá trị nhỏ biểu thức Gọi B biến cố lần thứ Hannah ăn phải kẹo màu cam, có P(B) = Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí Khố giải đề thi THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam x+y y+z z+x P= + + − 2 (x − y) (y − z) (z − x) x+ y+z Khơng tính tổng qt giả sử z = { x, y, z} , đặt x = a + z, y = b + z(a,b > 0) , ta có: x+y y+z z+x a + b + 2z a + 2z b + 2z + + = + + 2 (x − y) (y − z) (z − x) (a − b)2 a2 b2 ≥ a+b 1 ⎤ ⎡1 + + = (a + b) ⎢ + 2 ⎥ (a − b) a b ⎣ ab (a − b) ⎦ (a + b)2 (a − ab + b ) (1) a+b ab(a − b)2 Dấu xảy z = (a + b)2 (a − ab + b ) ≥ ⇔ (a − 4ab + b )2 ≥ (2) Ta có: ab(a − b) = Dấu xảy a − 4ab + b = ⇔ a = (2 ± 3)b Vì vậy, 9 P≥ − = − a+b x + y + z x + y − 2z x+ y+z ⎛ ⎞ ≥ − =⎜ − 1⎟ − ≥ −1 x+ y+z x+ y+z ⎝ x+ y+z ⎠ Dấu xảy =1⇔ x + y+ z = x+ y+z Tổng hợp tất giá dấu ta có, ⎧ x = a + z, y = b + z ⎡ 9+3 9−3 ⎪z = x= ,y = ,z = ⎢ ⎪ 2 ⎢ ⇔ ⎨ ⎢ 9−3 9+3 ⎪a = (2 ± 3)b ,y = ,z = ⎢⎣ x = ⎪⎩ x + y + z = 2 Vậy giá trị nhỏ P -1 Hotline: 0976 266 202 Chi tiết: Mathlinks.vn Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí ... 202 Chi tiết: Mathlinks.vn x + y +1 + x2 y2 + + x + y +1 Đăng ký nhóm học sinh nhận ưu đãi học phí KHỐ GIẢI ĐỀ THPT QUỐC GIA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam. ..! Khoá giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Mơn: Tốn; ĐỀ SỐ 26 /50 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học – Hotline: 0976 266 202 – Chi tiết: www.mathlinks.vn... nhận ưu đãi học phí Khố giải đề THPT Quốc Gia – Thầy: Đặng Thành Nam Mơn: Tốn; ĐỀ SỐ 33 /50 Ngày thi : 29/04/2015 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Liên hệ đăng ký khoá học