Luận văn: KHÔNG ĐIỂM CỦA DÃY CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT

Lý thuyết đa thế vị phức đã được phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trước với các công trình cơ bản của Belford Taylor, Siciak và nhiều tác giả khác. Các kết quả trong lĩnh vực này đã có nhiều ứng dụng vào một số vấn đề khác nhau của giải tích phức. Mục đích chung của luận văn này là trình bày công trình gần đây của Bloom về sự áp dụng của hàm Robin trong lý thuyết đa thế vị phức tới sự mở rộng chỉnh hình và dãy không điểm của dãy đa thức xấp xỉ tốt của hàm cần mở rộng. Luận văn có hai chương. Chương I trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm cực trị dựa trên công trình của Siciak Si. Chương II trình bày sự áp dụng và các kết quả về hàm cực trị tới việc mở rộng hàm chỉnh hình từ một tập compact. Và sau đó về tập các không điểm của dãy các đa thức xấp xỉ tốt của hàm cần mở rộng.

1 Mục lục Mở đầu Chơng Kiến thức chuẩn bị .4 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến .4 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Công thức tích phân Cauchy hệ 1.1.5 Bất đẳng thức Caychy 1.1.6 Định lý 1.1.7 Định lý (Nguyên lý modul cực đại) 1.1.8 Định lý (Weiestrass) 1.1.9 Định lý (Hartogs) .6 1.2 Hàm đa điều hoà dới .6 1.2.1 Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên) 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới) 1.2.4 Định lý 1.2.5 Định lý 1.2.6 Định lý 1.2.7 Định lý 1.2.8 Định lý (Bổ đề Hartogs) 1.2.9 Tập đa cực 1.2.10 Định lý (Josefson[Jo]) 10 1.3 Hàm đa điều hoà dới cực trị 10 1.3.1 Một số lớp hàm đa điều hoà dới 10 1.3.2 Hàm -cực trị 10 1.3.3 Tập L- đa cực 17 Chơng Không điểm đa thức xấp xỉ tốt 26 2.0 Mở đầu 26 2.0.1 Định lý (Wójcik [W]) 27 2.0.2 Định lý (Blatt Saff [BS]) .27 2.0.3 Định lý ( Plesniak [P] ) 27 2.1 Một số khái niệm kết ban đầu 28 2.1.1 Nhận xét ([Si Hệ 8.6]) 29 2.1.2 Bổ đề 31 2.2 áp dụng hàm Robin tới xấp xỉ đa thức - Chuẩn 32 2.2.1 Định lý 32 2.2.2 Bổ đề .36 2.3 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt 37 2.3.1 Bổ đề .37 2.3.2 Bổ đề 39 2.3.3 Bổ đề .39 2.3.4 Định lý 40 2.3.5 Hệ 41 2.3.6 Định lý 42 Tài liệu tham khảo 43 Mở đầu Lý thuyết đa vị phức đợc phát triển từ thập kỷ 80 kỷ trớc với công trình Belford - Taylor, Siciak nhiều tác giả khác Các kết lĩnh vực có nhiều ứng dụng vào số vấn đề khác giải tích phức Mục đích chung luận văn trình bày công trình gần Bloom áp dụng hàm Robin lý thuyết đa vị phức tới mở rộng chỉnh hình dãy không điểm dãy đa thức xấp xỉ tốt hàm cần mở rộng Luận văn có hai chơng Chơng I trình bày số kiến thức hàm cực trị dựa công trình Siciak [Si] Chơng II trình bày áp dụng kết hàm cực trị tới việc mở rộng hàm chỉnh hình từ tập compact Và sau tập không điểm dãy đa thức xấp xỉ tốt hàm cần mở rộng Luận văn đợc hoàn thành với hớng dẫn bảo nhiệt tình thầy giáo GS TSKH Nguyễn Văn Khuê Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo GS TSKH Nguyễn Văn Khuê Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo trờng Đại học s phạm - Đại học Thái Nguyên, trờng Đại học S phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam, thầy phản biện, bạn đồng nghiệp đa nhiều ý kiến quý báu giúp đỡ em trình hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới sở Giáo dục - Đào tạo Bắc Ninh, trờng THPT Thuận Thành số tỉnh Bắc Ninh bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập thực luận văn Cuối em xin gửi tới gia đình bạn bè động viên khuyến khích em suốt trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 10 năm 2006 Chơng Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa Hàm S : C N C gọi Ă - tuyến tính (t C - tuyến tính) nếu: a S ( z1 + z2 ) = S ( z1 ) + S ( z2 ) , z1 , z2 C N b S ( z ) = S ( z ) , R , z C N , (tơng ứng C ) 1.1.2 Định nghĩa Cho mở Ê N f : C Ta nói f R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) z0 tồn ánh xạ R - tuyến tính (tơng ứng C tuyến tính) S : Ê N C cho: f ( z0 + h ) f ( z ) S ( h ) = ( h ) Ê N h = max ( h1 , , hn ) Và ta nói f R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) điểm thuộc Dễ thấy ánh xạ S thoả mãn định nghĩa (nếu có) gọi R - đạo hàm (tơng ứng C - đạo hàm) f z0 ký hiệu f ( z0 ) hay df ( z0 ) 1.1.3 Định nghĩa Cho mở Ê N f = ( f1 , , f m ) : Ê m ta nói f Ă khả vi (tơng ứng Ê - khả vi) f j Ă khả vi (tơng ứng Ê - khả vi) , j m Hàm Ê - khả vi gọi hàm chỉnh hình Không gian vectơ hàm chỉnh hình ký hiệu H ( ) Nh hàm chỉnh hình biến ta có số kết sau 1.1.4 Công thức tích phân Cauchy hệ 1.1.4.1 Định lý Giả sử f ( z ) hàm liên tục đa đĩa đóng = ì ì N đây: { } j = z j C : z j a j < rj ,1 j N chỉnh hình = ì ì N Khi đó: f ( z) = ( i ) N a1 = r1 f ( 1, , n ) ( z1 ) ( n zN ) d1 d N , z = ( z1, , z N ) n an = rn Từ định lý cách đạo hàm qua dấu tích phân 1.1.4.2 Hệ Nếu f chỉnh hình mở Ê N f C - khả vi vô hạn 1.1.5 Bất đẳng thức Caychy Giả sử f chỉnh hình z0 , đó: f ( z0 ) ! M ( z0 , r ) , < r < ( z0 , ) , n 0, = ( 1, , n ) Z+N r f ( z ) , ! = ! N !, M ( z0 , r ) = sup f ( z ) f ( z ) = z1 n z N z z0 r 1.1.6 Định lý 1.1.6.1 Định lý Nếu f ( z ) chỉnh hình miền Ê N f = tập mở khác rỗng f 1.1.6.2 Định lý ( Liouville) Nếu f chỉnh hình Ê N bị chặn f = const Chứng minh Thật vậy, với z Ê N , xét g z ( ) = f ( z ) , C Khi g chỉnh hình bị chặn C Theo định lý Liouville g z = const f ( z ) = g z ( 1) = g z ( ) = f ( ) , z C f = const 1.1.7 Định lý (Nguyên lý modul cực đại) Giả sử f ( z ) liên tục với miền bị chặn Ê N chỉnh hình , tồn z0 để: f ( z0 ) = max f ( z ) z f = const 1.1.8 Định lý (Weiestrass) Giả sử { fn} dãy hàm chỉnh hình mở Ê N { fn} hội tụ tập compact tới hàm f f chỉnh hình 1.1.9 Định lý (Hartogs) Giả sử f ( z ) hàm mở Ê N , C - khả vi theo biến f C - khả vi 1.2 Hàm đa điều hoà dới 1.2.1 Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên) Giả sử cho X không gian metric Hàm : X [ , + ) đợc gọi hàm nửa liên tục x0 X > 0, U x0 lân cận x0 X cho x U x0 ta có: ( x ) < ( x0 ) + ( x ) < ( x0 ) ( x0 ) = Hàm đợc gọi nửa liên tục trên X nửa liên tục x X 1.2.2 Định nghĩa Hàm thực : [ , + ) với mở Ê gọi điều hoà dới (i) nửa liên tục (ii) thoả mãn bất đẳng thức giá trị trung bình: ( z0 ) 2 i ( z0 + re ) d z0 < r < ( z0 , ) 1.2.3 Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới) Giả sử miền C N ( N 1) Một hàm : [ , + ) đ- ợc gọi đa điều hoà dới nửa liên tục a / b Với đờng thẳng phức l , l , hạn chế thành phần liên thông l hàm điều hoà dới b) Có thể phát biểu nh sau: Với w Ê N , w 0, z0 hàm a ( z0 + w ) điều hoà dới { C, z0 + w } Ví dụ: Nếu f chỉnh hình f ( z ) log f ( z ) đa điều hoà dới Ký hiệu: PSH ( ) tập hàm đa điều hoà dới , rõ ràng PSH ( ) nón lồi nghĩa là: u , v PSH ( ) u + ( ) v PSH ( ) , u PSH ( ) u PSH ( ) , 1.2.4 Định lý Giả sử f : với tập mở C n C m đó: z a ( f ( z) ) = o f ( z) đa điều hoà dới 1.2.5 Định lý Giả sử : R C đa điều hoà dới khi: L ( z , w ) = ( z ) w j wk 0, z , w C N j ,k n z j z k L ( z ,.) gọi dạng Levi z Vì hàm điều hoà dới có tính chất modul cực đại nên ta có: 1.2.6 Định lý Nếu : [ , + ) đa diều hoà dới miền Ê N tồn z0 để: ( z0 ) = sup ( z ) z = const 1.2.7 Định lý Giả sử { k } dãy hàm đa điều hoà dới miền C N k giảm đến đa điều hoà dới Chứng minh Do k nửa liên tục với k nên nửa liên tục Cho z0 w Ê N , w Do a k ( z0 + w ) điều hoà dới { < } với > đủ bé nên: k ( z0 ) = g k ( z0 ) 2 g k ( + re ) i d = 2 i k ( z0 + re w ) d Suy ra: k ( z0 ) = 2 1 = lim k ( z0 ) lim k z0 + rei w d k k ( ) k ( z0 + rei w ) d = klim i ( z0 + re w ) d < r < đa điều hoà dới 1.2.8 Định lý (Bổ đề Hartogs) Giả sử { k } dãy hàm đa điều hoà dới miền Ê N bị chặn trên compact : sup k ( z ) < K é zK , k k ( z ) A z Khi với K é > k0 cho Giả sử klim k ( z ) < A + k > k0 z K 1.2.9 Tập đa cực Tập S mở Ê N gọi tập đa cực z S , r > { } N hàm đa điều hoà dới w Ê : w z < r cho: / ( w ) = , w S , w z < r 10 1.2.10 Định lý (Josefson[Jo]) S Ê N tập đa cực hàm đa điều hoà dới Ê N , / S 1.3 Hàm đa điều hoà dới cực trị 1.3.1 Một số lớp hàm đa điều hoà dới Ê N Ký hiệu: L = { u PSH ( Ê N ) L + = { u PSH ( Ê N ) L cho u ( z ) + log ( + z ) , z Ê N } , cho + log ( + z ) u ( z ) + log ( + z ) , z Ê N } L + gọi lớp LeLong hàm đa điều hoà dới Ê N Ví dụ: Nếu f ( z ) đa thức bậc n log f ( z ) L n Thật vậy: { } Giả sử M = sup f ( z ) : z theo bất đẳng thức Cauchy ta có: ( f ( z ) M + z + + z suy n ) M1 ( + z ) , z Ê N n 1 log f ( z ) log M + log ( + z ) n n 1.3.2 Hàm L -cực trị 1.3.2.1 Giả sử E Ê N b : C n [ , + ) , hàm b nhận giá trị nhng b / đặt L ( E, b ) = { u L : u b E} L + ( E , b ) = { u L + : u b E} 30 { } N tới ER = z Ê : VE ( z ) < log R F dãy đa thức xấp xỉ tốt { fn } chuẩn E chuẩn ,q { pn } bị chặn compact ER với < r < R ta có lim F pn n lim F fn n r R (1.7) r R (1.8) n Er n Er Với rn Pn kí hiệu rn thành phần bậc n rn nh rn ( z ) = n a z rn ( z ) = =n a z lu ý deg r < n r = n n đa thức bậc n hn ( z ) = =n TchE hn Tchà ,q hn theo chuẩn a z xác định đa thức Tchebyshev E ,q ( TchE hn ) ( z ) = TchE hn ( z ) = hn ( z ) rn1 ( z ) (1.9) ( Tchà ,qhn ) ( z ) = Tchà ,qhn ( z ) = hn ( z ) sn1 ( z ) rn1 sn1 Pn1 đa thức xấp xỉ tốt tới hn (1.10) E ,q tức hn rn1 hn sn1 { E { ,q E = inf hn pn ,q = inf hn pn1 : pn1 Pn } : pn1 Pn1 } Các đa thức TchE hn , Tchà , q hn nói chung không trừ trờng hợp q = Vì sn1 hình chiếu trực giao hn đến Pn1 31 2.1.2 Bổ đề Giả sử ( E, ) thoả mãn (BM) giả sử { hn } dãy đa thức bậc n Giả sử q < lim TchE hn En n = lim TchE hn àn ,q n = lim Tchà , q hn n E n = lim Tchà , q hn n à, q n Chứng minh Do (BM) ta có > 0, q A = A ( , q ) để A ( + ) Tchà , q hn n Tchà , q hn E (1.11) à,q Do Tchà ,q hn tham gia việc xác định TchE hn nên TchE hn E Tchà ,q hn (1.12) E Tơng tự Tchà , q hn à,q TchE hn (1.13) à,q ( E ) < ta có TchE hn Suy lim TchE hn n E n ( E ) q TchE hn à,q Tchà , q hn E n (1.14) E lim Tchà , q hn n K n à,q (1.13), (1.14) lim Tchà , q hn n n à,q TchE hn n à,q lim TchE hn n E n kết hợp đánh giá ta có bổ đề Cho u L ta xác định hàm Robin kết hợp với u { u ( z ) = lim u ( z ) log + z Ê } với z Ê N \ { 0} hiển nhiên u ( z ) = u ( z ) Ê, (1.15) 32 { u ( z ) = lim u ( z ) log + z {( ) } } = lim u ' z log + ' z = u ( z ) ' Nh u xem nh hàm Ê P N , không gian xạ ảnh đờng thẳng phức qua gốc toạ độ hay Ê P N = Ê N \ { 0} / : z : w z Ê, w = z Dễ thấy pn Pn un ( z ) = log pn ( z ) n un ( [ z ] ) = log pn ( z ) log z , z n { un ( [ z ] ) = lim u ( z ) log + z (1.16) } = lim log p ( z ) log + z n = lim log p( z ) log + z n = log p( z ) log + z n Hàm Robin kết hợp hàm VE kí hiệu E := VE 2.2 áp dụng hàm Robin tới xấp xỉ đa thức Lp - Chuẩn 2.2.1 Định lý Giả sử E Ê N compact quy giả sử độ đo Borel E cho ( E, ) thoả mãn (BM) cố định q < f Lqp ( E, ) khẳng định sau tơng đơng f mở rộng chỉnh hình tới ER (2.1) 33 lim f fn n 1/ n ,q lim Tchà ,q fn 1/ n n E lim Tchà ,q fn 1/ n n R ,q (2.2) R (2.3) R (2.4) log fn ( z ) log z E ( [ z ] ) log R n n z lim (2.5) Lu ý { fn } dãy đa thức xấp xỉ tốt Lq chuẩn (2.1), (2.2), (2.3), (2.5) với chuẩn đợc chứng minh định lí 3.1 ( [ Bl2 Th 3.1] ) Chứng minh định lý đợc chứng minh theo sơ đồ sau (2.1) (2.2) (2.4) (2.5) (2.1) (2.3) (2.4) (2.3) (2.5) (2.3) Giả sử f mở rộng chỉnh hình tới ER (ta kí hiệu mở rộng f ) Bởi [Si] ta có lim f pn n n R (2.6) { pn } dãy đa thức xấp xỉ tốt f E chuẩn q f f n , q f pn , q f pn d ữ E ta có lim f fn n (2.2) n ,q q lim ( E ) n ( E) n q f pn f pn E n E (2.7) 34 (2.2) (2.3) Bởi định nghĩa Tchà ,q fn (1.11) ( Tch ) = dist q ( f , P ) ta có n n L ,q f n Tchà ,q fn ,q fn fn1 ,q fn f ,q + f fn1 ,q f fn1 ,q nh (2.2) ta có lim Tchà ,q fn n ,q n lim f fn n n ,q R Do ( E, ) thoả mãn (BM) bổ đề (2.1.2) ta có (2.3) (2.4) (2.4) (2.2) giả sử có (2.4) cho < r chọn > để (1+ ) r < < R Do (2.2) n0 = n0 ( ) cho f fn n ,q n n0 fn (2.8) Do (BM) ta có fn+1 fn Er r n+1 fn+1 fn (2.9) E Tiếp theo (BM) A > cho fn+1 fn E A ( + ) n +1 fn+1 fn ,q n (2.10) Từ bất đẳng thức: fn+1 fn ,q fn+1 f ,q + fn f ,q f fn ,q (2.11) suy n n0 , fn+1 fn n +1 Er r A ( + ) ữ Nh với M n n0 ta có M k =n 1+ n fk +1 fk với C = A ( ( + ) r ) Er r C( + ) ữ (2.12) 36 (1+ ) r < Do nên chuỗi f0 + ( fk +1 fk ) hội tụ Er Với k =0 < r < R ER = U E r nên chuỗi hội tụ compact mở 1 , log hn ( z ) log z E ( [ z ] ) log R z Ê N \ { 0} n n lim lim Tchà ,q hn n n ,q R (2.16) 37 Chứng minh Do ( [BL2 định lý 3.1]) (2.16) ta có lim TchE hn n E n R 2.3 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt Giả sử E Ê N compact, quy, f W ( E ) { pn } dãy đa thức xấp xỉ tốt f chuẩn E, mục ta nghiên cứu liên hệ vị trí không điểm dãy pn với tính chất mở rộng chỉnh hình f tới ER , R > Muốn xét hàm đa điều dới Ê N cho * * 1 v( z ) = lim log pn ( z ) ữ = lim log pn ữ ( z ) n n n n (3.1) Do { pn } bị chặn E mà E không đa cực nên theo bổ đề (1.3.3.4) v L Đặt { } Z = z Ê N : v( z) (3.2) kí hiệu IntZ phần Z giả sử R > ta có bổ đề sau 2.3.1 Bổ đề Hàm f mở rộng chỉnh hình tới ER ER IntZ Chứng minh Giả sử ER IntZ ta chứng minh f mở rộng chỉnh hình tới ER Muốn cần chứng minh f mở rộng chỉnh hình tới Er , < r < R VE liên tục nên Er é ER giả thiết Er é IntZ Theo bổ đề Hartogs > n0 ( ) cho log pn ( z ) n n0 ( ) z Er n áp dụng bất đẳng thức Bernsein - Walsh tới (3.3) ta có (3.3) 38 log pn ( z ) + VE ( z ) z Ê N n n0 r n (3.4) log p n ( z ) log z + E ( [ z ] ) n n0 r n (3.5) lấy hàm Robin vế ta có Do E quy tức VE liên tục ta có [Si] VE = max { VE log r ,0} (3.6) ( [ z ] ) = E ( [ z ] ) log r z (3.7) r E r áp dụng (3.5) (3.7) ta có log p n ( z ) log z + E ( [ z ] ) log r n n0 n (3.9) Vậy > ta có log p n ( z ) log z + E ( [ z ] ) log r n n lim (3.10) ([ Bl2 định lý 3.1]) f mở rộng chỉnh hình tới Er Ngợc lại giả sử f cần mở rộng chỉnh hình tới ER (1.8) nhận xét 2.1.1 dãy { pn } bị chặn Er , < r < R suy v E r với < r < R mặt khác U Er = ER nên v ER ER IntZ 1< r < R Giả sử E Ê N compact, quy độ đo Borel hữu hạn E thoả mãn (BM) Giả sử q < { fn} xấp xỉ tốt f Lqp ( E , ) Lq chuẩn Đặt * ( z ) = lim log f n ( z ) ữ , z Ê N n n (3.11) 39 Do { fn} bị chặn Lq ( E , ) thoả mãn (BM) nên { fn} bị chặn E Suy lim log f n ( z ) E , E không đa cực nên n n L Đặt { } Z = z Ê N : ( z ) Tơng tự trờng hợp chuẩn ta có 2.3.2 Bổ đề Giả sử f Lqp ( E , ) , R > 1, f mở rộng chỉnh hình tới ER ER IntZ 2.3.3 Bổ đề (i) E Z E Z (ii) Nếu f W ( E ) không chỉnh hình E tức không mở rộng chỉnh hình tới lân cận E Z E Tơng tự f Lqp ( E , ) không chỉnh hình E Z E (iii) f mở rộng chỉnh hình ER nhng không mở rộng chỉnh hình tới Es s > R ER ( IntZ ) ER ( IntZ ) Chứng minh (i) Để Chứng minh E Z ta cần chứng minh v E Do { pn } bị chặn E nên lim log pn ( z ) E Theo ([ KL, hệ 4.6.2]) n n 40 tập đa cực N để v E \ N v ( z ) = lim log pn ( z ) z E \ N n n suy v VE*\ N = VE* = VE E Vậy E Z Hoàn toàn tơng tự thay cho pn xét f n z zà ta có E Z (ii) Suy từ (i) bổ đề 2.3.1 Thật vậy, (i) ta có E Z E Z = E IntZ Do VE liên tục VE E nên R > để E ER IntZ theo bổ đề 2.3.1 f mở rộng chỉnh hình tới ER trái giả thiết, tơng tự ta có Z E (iii) Suy từ bổ đề 2.3.1 2.3.2 2.3.4 Định lý o R hợp tất thành phần Giả sử f chỉnh hình ER giả sử E liên thông ER , f Giả sử { pn } dãy đa thức xấp xỉ tốt f o R ( IntZ ) { zn } cho zn z0 E z0 E pn ( zn ) = n Chứng minh Ta chứng minh phản chứng giả sử z0 không điểm tụ nh hình cầu B tâm z0 n1 cho pn ( z0 ) z B n n1 Chọn nhánh pn n B, chọn M > để v ( z ) M B Đặt M = Sup v < theo bổ đề Hartogs n = n ( M ) để 2 B 1 pn n ( z ) = exp log pn ( z ) e M1 n n2 ( M ) z B suy dãy n { } pn n dãy hàm chỉnh hình bị chặn B Do B IntZ nên z1 B để 41 lim log pn ( z1 ) > n n log pn ( z ) = v ( z ) tập đa cực suy dãy J Ơ để nlim n 1 lim log pn ( z1 ) = lim log pn ( z1 ) > (3.13) n J n n n Theo định lý Montel dãy J1 J để { } pn n nJ1 hội tụ tập compact B tới hàm chỉnh hình g ( z ) = lim pn n ( z ) , z B nJ1 (3.14) g ( z1 ) > g ( z ) z IntZ B g const B theo nguyên lý modul cực đại ta có g ( z ) < IntZ B Hay lim pn ( z ) n n J1 pn ( z ) = z B IntZ nhng < z IntZ B lim n J1 B ER B IntZ dãy { pn ( z ) } hội tụ tới f compact, trái giả thiết f E f B E R R Nh ta có hệ sau 2.3.5 Hệ hợp tất thành phần Giả sử f chỉnh hình ER giả sử E R liên thông ER f Giả sử chuẩn ,q { fn} dãy xấp xỉ tốt f E E ( IntZ ) , zn z0 Giả sử z0 E R R f n ( zn ) = n Trớc đa phát biểu chứng minh định lý 2.3.6 ta đa điều kiện sau E : 42 z E hình cầu B tâm z tập B E có thành phần liên thông E ' không đa cực (3.15) 2.3.6 Định lý Giả sử f W ( E ) f không chỉnh hình E Giả sử E thoả mãn điều kiện (3.15) giả sử z0 Z E cho zn z0 với pn ( zn ) = n Chứng minh Do giả thiết bổ đề 2.3.3(ii) ta có z E giả sử z0 không điểm tụ nh định lý 2.3.6 tồn hình cầu B tâm z0 n1 để f ( z0 ) (3.16) f ( z ) f ( z0 ) < z E B f ( z0 ) (3.17) pn ( z ) f ( z0 ) < z E B n n1 Có thể xem pn ( z ) không điểm B nh chứng minh định lý 2.3.4 dãy J1 Ơ để 1 g1 ( z ) = lim pn n ( z ) = lim exp log pn ( z ) ữz B n J1 n J1 n (3.18) hàm chỉnh hình const Gọi log1 nhánh chỉnh hình hàm logarit tập mở f ( z0 ) Ê G = Ê : f ( z0 ) < : log Do (3.17) log1 ( pn ( z ) ) xác định với z E B với n n1 log1 ( pn ( z ) ) log pn ( z )  i ( n n1 ) Vậy thành phần liên thông không đa cực E ' ta có với z E B 43 log g1 ( pn ( z ) ) log pn ( z ) = tn  i xét hàm ( log pn ( z ) + itn ) n Do 1 log pn ( z ) + itn ) = log1 ( pn ( z ) ) E ' bị chặn (3.18) ( n n J J1 cho g ( z ) = lim exp nJ ( log pn ( z ) + itn ) n (3.19) chỉnh hình B Lu ý: Re ( log pn ( z ) + itn ) bị chặn G Do (3.19) ta có g ( z ) = E ' E ' không đa cực nên g1 ( z ) = g ( z ) = B trái với (3.18) Tài liệu tham khảo [1] P B Borwein (1984), The relationship between the zeros of best approximations and differentiability, Proc Amer Math Soc 92, 528-532 [2] H P Blatt and E B Saff (1986), Behaviour of zeros of polynomials of near best approximation, J Approx Theory 46, 323 - 344 [3] e Bedford & B A Taylor (1982), A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta math 149, - 40 [4] M Klimek (1991), "Pluripotential Theory," Clarendon Press, 44 [5] W Plesniak (1981), On the distribution of zeros of the polynomials of best L2 -approximation to holomorphic functions, Zeszyty Nauk Uniw Jagiellon 22, 29 - 35 [6] J Siciak (1981), Extremal plurisubharmonic functions in Ê N , Ann Polon Math 39, 175-211 [7] J Siciak (1997), Aremark on Tchebysheff polynomials in Ê N , Univ, Jagiellonian Acta Math 25 [8] J Szczepanski (1997), Zeros of polynomials approximating analytic functions, IM UJ Preprint 23 [9] J L Walsh (1959), The analogue for maximally convergent polynomials of Jentzchs theorem, Duke Math J 26, 605-616 [10] A Wojcik (1988), On zeros of polynomials of best approximation to holomorphic and C functions, Monatsh Math 105, 75-81 [...]... VE*,b VE* F ,b Chơng 2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt 2.0 Mở đầu Giả sử E Ê N là tập compact và chính quy theo nghĩa VE là liên tục ( ) N Giả sử W ( E ) là bao đóng theo chuẩn đều trên E của P Ê , không gian các đa thức trên Ê N : { ( ) W ( E ) = f C ( E ) : fk P Ê N , fk f E } 0 ( ) N giả sử pn là xấp xỉ tốt của f tới Pn không gian con của P Ê bao gồm các đa thức bậc n : f pn E = inf... Tchà ,q hn theo các chuẩn a z xác định các đa thức Tchebyshev E và à ,q bởi ( TchE hn ) ( z ) = TchE hn ( z ) = hn ( z ) rn1 ( z ) (1.9) ( Tchà ,qhn ) ( z ) = Tchà ,qhn ( z ) = hn ( z ) sn1 ( z ) ở đây rn1 và sn1 Pn1 là các đa thức xấp xỉ tốt tới hn đối với (1.10) E và à ,q tức là hn rn1 hn sn1 { E { à ,q E = inf hn pn 1 à ,q = inf hn pn1 : pn1 Pn 1 } : pn1 Pn1 } Các đa thức TchE hn , Tchà... sẽ nghiên cứu mở rộng chỉnh hình của f tới các tập mở ER Nghĩa là tồn tại hay không hàm chỉnh hình F trên ER để F = f trong trờng hợp một biến ta có kết quả sau 2.0.1 Định lý (Wójcik [W]) f có mở rộng chỉnh hình tới ER nếu tập các không điểm của dãy { pn } không có điểm tụ trong ER 2.0.2 Định lý (Blatt Saff [BS]) Giả sử f không mở rộng chỉnh hình tới mọi lân cận của E và z0 E với zn = z0 và Pn (... Borel dơng trên E, giả sử f n là xấp xỉ tốt từ Pn tới f trong L2 ( d à ) = L2 ( E , d à ) nghĩa là f fn L2 ( E , à ) = inf { f p L2 ( E ,à ) : p Pn } Trong chơng này ta sẽ nghiên cứu mối liên hệ giữa tính chất mở rộng chỉnh hình của f và các không điểm của dãy { pn ( z ) } hay { f n ( z ) } Giả sử VE ( z ) là hàm cực trị toàn cục của E hay còn gọi là hàm Green đa phức của E Với R > 1 đặt: 27 { } ER... là dãy các đa thức xấp xỉ tốt đối với Lq chuẩn (2.1), (2.2), (2.3), (2.5) đúng với chuẩn đều đã đợc chứng minh định lí 3.1 ( [ Bl2 Th 3.1] ) Chứng minh định lý đợc chứng minh theo sơ đồ sau (2.1) (2.2) (2.4) (2.5) (2.1) (2.3) (2.4) (2.3) (2.5) (2.3) Giả sử f mở rộng chỉnh hình tới ER (ta cũng kí hiệu mở rộng đó là f ) Bởi [Si] ta có lim f pn n 1 n 1 R (2.6) ở đây { pn } là dãy các đa thức xấp. .. hình tới ER nếu các không điểm của { f n } không có điểm tụ trong ER 28 2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu Giả sử E Ê N là compact Nhắc lại rằng VE kí hiệu hàm cực trị đa phức (toàn cục) của E Tức là { } VE ( z ) = sup u ( z )u L, uE 0 ở đây L (1.1) kí hiệu là lớp Lelong các hàm đa điều hoà dới u trên Ê N thoả mãn { } Sup u ( z ) log + z < z ÊN (1.2) với z ký hiệu chuẩn Euclid của Ê N Giả... ) < log R là F thì dãy các đa thức xấp xỉ tốt { fn } đối với chuẩn E và chuẩn à ,q { pn } và là bị chặn đều trên mọi compact của ER và với 0 < r < R ta có lim F pn n lim F fn n r R (1.7) r R (1.8) 1 n Er 1 n Er Với mỗi rn Pn kí hiệu rn là thành phần thuần nhất bậc n của rn nh vậy nếu rn ( z ) = n a z thì rn ( z ) = =n a z lu ý nếu deg r < n thì r = 0 đối với n n đa thức thuần nhất bậc... q + =1 p r Do bất đẳng thức Holder ta có: E q f dà f E r q q ( ) 1 = à ( E) p f q Lr ( E , à ) q 1 r q dà ữ dà ữ ữ E 29 Suy ra (BM) thực hiện đối với r > q Nếu r < q , ta có q E f dà = f q r r f dà f E qr E r f dà Suy ra (BM) thực hiện đối với 0 < r < q Giả sử LqP ( E, à ) , 1 q < kí hiệu không gian các hàm trên E mà nó là giới hạn đối với à ,q của các đa thức: ( ) LqP ( E, à ) =... E suy ra W ( E ) LqP ( à ) Giả sử f là hàm liên tục trên E, kí hiệu pn Pn và fn Pn là các đa thức bậc n sao cho f pn f fn E à,q = inf { f qn E { f qn à, q = inf } , qn Pn = dist } , qn Pn = dist E ( f , Pn ) à,q ( f , Pn ) (1.5) (1.6) Do Pn hữu hạn chiều pn và fn luôn tồn tại và gọi là xấp xỉ tốt của f đối với E và à,q 2.1.1 Nhận xét ([Si Hệ quả 8.6]) Giả sử E Ê N là compact chính... là giới hạn đều của các hàm liên tục V khi ] 0 V liên tục Bởi vì trong Chứng minh trên chỉ sử dụng bất đẳng thức V * b trên E nên ta có hệ quả sau: 1.3.2.13 Hệ quả Nếu E compact và b là hàm thực liên tục sao cho: VE*,b b trên E thì VE ,b liên tục 1.3.2.14 Hệ quả 1 Nếu f là đa thức khác không bậc k và b = log f thì với mọi k E C N ta có VE ,b = b trên E đặc biệt với E là biên của D ( E = D ) và ... TchE hn n E n R 2.3 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt Giả sử E Ê N compact, quy, f W ( E ) { pn } dãy đa thức xấp xỉ tốt f chuẩn E, mục ta nghiên cứu liên hệ vị trí không điểm dãy pn với tính chất... phức Mục đích chung luận văn trình bày công trình gần Bloom áp dụng hàm Robin lý thuyết đa vị phức tới mở rộng chỉnh hình dãy không điểm dãy đa thức xấp xỉ tốt hàm cần mở rộng Luận văn có hai chơng... 31 2.2 áp dụng hàm Robin tới xấp xỉ đa thức - Chuẩn 32 2.2.1 Định lý 32 2.2.2 Bổ đề .36 2.3 Không điểm đa thức xấp xỉ tốt 37 2.3.1 Bổ đề .37