Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh nam định năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 NAM ĐỊNH Môn: TOÁN – Lớp Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức P = 5+ + 5− + 22 + 11 − Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y + z = 2, x + y + z = 18 xyz = −1 Tính giá trị S = 1 + + × xy + z − yz + x − zx + y − Câu (5,0 điểm) Giải phương trình 2 x − + x + − x + 11 = ( )  y2 − y x −1 +1 + x −1 =  Giải hệ phương trình   x + y − x − = Câu (3,0 điểm) Tìm tất số nguyên x, y thỏa mãn x + y + xy − x − y = Chứng minh với số nguyên dương n lớn ta có ( n − 1) n < Câu (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC , nội tiếp đường tròn ( O ) ngoại tiếp đường tròn ( I ) Điểm D thuộc cạnh AC cho ·ABD = ·ACB Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DIC điểm thứ hai E cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai Q Đường thẳng qua E song song với AB cắt BD P Chứng minh tam giác QBI cân; Chứng minh BP.BI = BE.BQ ; Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, K trung điểm JE Chứng minh PK / / JB Câu (2,0 điểm) Cho lớp học có 35 học sinh, học sinh tổ chức số câu lạc môn học Mỗi học sinh tham gia câu lạc Nếu chọn 10 học sinh có học sinh tham gia câu lạc Chứng minh có câu lạc gồm học sinh Hết -Họ tên thí sinh:………………………Họ, tên chữ ký GT1:………………………………… Số báo danh:…………………………… Họ, tên chữ ký GT2:………………………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.1 (1,5) Đáp án Tính giá trị biểu thức P = 5+ + 5− Đặt M = + 22 5+ + 5− + 22 Điểm + 11 − 10 + 22 =2 Ta có M = + 22 ⇒ M = (Do M > ) ( 11 − = 1.2 (1,5) 3− ) 0,25 0,5 = 3− Suy P = Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x + y + z = 2, x + y + z = 18 xyz = −1 Tính giá trị S = 0,25 1 + + xy + z − yz + x − zx + y − Ta có xy + z − = xy − x − y + = ( x − 1) ( y − 1) 0,5 Tương tự yz + x − = ( y − 1) ( z − 1) zx + y − = ( z − 1) ( x − 1) 0,25 Suy S = = + + ( x − 1) ( y − 1) ( y − 1) ( z − 1) ( z − 1) ( x − 1) = x+ y + z −3 ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) 0,25 −1 = xyz − ( xy + yz + zx ) + ( x + y + z ) − xy + yz + zx Ta có ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) ⇒ xy + yz + zx = −7 Suy S = − 2.1 (2,0) 0,5 Giải phương trình 2 x − + x + − x + 11 = Điều kiện x ≥ 0,25 0,25 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015- 2016 Môn: TOÁN – Lớp ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1.1 (1,5) Đáp án Tính giá trị biểu thức P = 5+ +