PHƯƠNG TRÌNH hệ PHƯƠNG TRÌNH ẩn PHỤ

Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy PHẦN I Giải hệ phương trình phương pháp đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình đại số Bài Giải hệ phương trình  2 x x  x   y       2 x    y      y      x , y   Lời giải: Điều kiện: x   ; y  1  x   x  x2   t  t t Và u  y  , hệ phương trình cho tương đương với:     x  x   y  t  u2  t  u2     4            1 1 ut   t   u     2 x    y     t  u  tu      t u  y     t  u2  2tu  4 t  u  8tu     4 t  u  8tu        tu     1  2 t  utu  1  tu t  u  t  u1    tu  1  tu    4 a2  8b  a  t  u  Đặt  , hệ phương trình trở thành:  b b  tu a  b  1   b  2 1    4  8b   b2  8bb  1  5b  1  b   a    2  b  1   t  1 t  u    t   2   Từ suy   ( loại u  y  )     u   tu  u         x  ; y  1 2 x   t   x  t   Với  t   16   , ta      u   x   ; y  1  y   y   Đặt t  x  x  suy   Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ; 1 , ; 1      Bài Giải hệ phương trình  y x  y  x     x  y  x  y    x  y  12  Lời giải: Điều kiện: x  y  0; x  y x , y   a  x  y a2  b2 a  b2  Cách Đặt  , hệ a , b  0  x  ; 2y   b  x  y 2  phương trình cho trở thành:  a  b2   ab  a2  b2  a  ab  2ab  b  2       a  b   b2  2   a  b   b  1    ab  b2  a  b    b   a  b   b2  1  2b    b2  1    b b  Giải  , có:   b  1 b  2b2  4b  9    b    x  y  x   Với b  suy a      x  y   y    13  x  y  x      Với b  suy a    x  y     y    13   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   5; 2 , ;       Cách Phương trình hệ tương đương với: Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy y x  y  x   x  y  2.2 y x  y  y  x  x   x2  y  x  y  2   x  y  y   x  2    x2  y  x  y   Vn  Ta có x  y  x  y   x  y  x  y  ta đặt ẩn x  2y   phụ a  x  y  nên x  2y  a  , phương trình hai hệ a 18 a  1 2  a  1 trở thành: a    a2  1  a a  2   a  1  aa  1  18   a  1  a  2a  a  9     x  y  x      Với a  x  y  suy   x  y   y    13  x  y  x      Với a  x  y  suy   x  y     y     13  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   5; 2 , ;       Bài Giải hệ phương trình   x  y  2 y  x   x y    y   x   9  18        x   y Lời giải: Điều kiện: xy  0; x   x , y   2y x  0; y   x y  x  y  Ta thấy:   1  9  18   x  y 2 y  x   36 x y    x   y Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy x2 y   xy  2y x y2 y x x2 9x  x y   xy     2 y    2 y  2y x x y  y  x   x y   y  x x    2 y     9 x  2 y      x  y  x  y    x  y  18 x y  xy  Đặt a  x  x   y  2y x ; b  y  ; a , b  , hệ phương trình cho tương x y a  2b  a   2b a     đương với:  ab  b  2b  b   Với a  2; b  , từ suy   x  y   x 2 y  x  x     x  y  x x         2     x  x  x  x  x x  2 y  x  y   y    y   y   1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ;     Bài Giải hệ phương trình x  y  x  y     46  16 y  x  y  y  4 x  y   y  x , y   Lời giải: Điều kiện: x  y  0; 23  y  x  y  y Phương trình hệ tương đương với 4 x  y   x  y Thế xuống phương trình hai hệ, ta được: x  3 46  16 y  x  y  y  x    46  16 y  x  y  y  x  24 x  36  x  3 x  3      4 x  16 xy  16 y  24 x  y  10  2  x  y2  34 x  y    x  y  x  y   Khi đó, hệ phương trình cho trở thành   2  x  y2  34 x  y   Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy a  x  y Đặt  , hệ phương trình  tương đương với: b  x  y   a   2b a  2b  a   2b       2 2 a  3b  2 1  2b  3b2  11b2  8b        a  1 x  y  1 x  y  1 x      b   x  y  4 x  y     y     5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ;     7  Bài Giải hệ phương trình  x  y  1 y   y x  y     y  y  xy   xy  x  y  y  Lời giải: Điều kiện: x  y   x , y   a  y  x  a2  b2   a , b  0   Đặt  , phương trình hệ  b  x  y  y  a2    2 trở thành: b  1 a  a  1 b   a  bab  1  Và phương trình thứ hai hệ tương đương với: y  y  x  1   x  y y  1  a2  1b2  1   4ab  a b2  a  b2    4ab   a  b   ab  1  2 Do đó, ta có hệ phương trình: a  bab  1      a  b   a  b    y    x    a  b2  ab  12  ab   x  y   y    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  3; 2  Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy Phần II Giải phương trình, bất phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Câu Giải bất phương trình 4 x  x  1 x  x   4 x  3x  5 x    x   Lời giải Điều kiện: x  x  1 a  x  x  3a  b2  x  x    a , b  0    b  x  a  3b  x  x    Đặt , ta có  Khi bất phương trình cho   a  3b  a   a  b  b   a3  3a2 b  3ab2  b3   a  b   a  b   x  x   x2    x2  x   x    1  x    x2  x   x2  x2   x   x2     1  x    Vậy tập nghiệm bất phương trình cho 2 1            S ;   ;          Câu Giải bất phương trình x3  x2  x3  x2    40  5x  x x        x   Lời giải Điều kiện: x  x    x  x  x   t  x Đặt t  x  x     5 x  x  40  5t  3x  Khi bất phương trình cho tương đương với: t  x 5t  x   t x  x  5t  x t  t  x5t  4tx  x   t x Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy   x x   tx  x  x 8 x    x2 2   2 x  x   x x     Vậy bất phương trình cho có nghiệm S   2;   Bài tập tương tự  x 2 11x  56 x  11   x   x Giải phương trình x x3  x2  x   Lời giải Điều kiện: x  x   11x  56 x  11  11t  12 x Đặt t  x  x   , ta có  9 x  56 x   9t  20 x  11t  12 x  9t  20 x  Khi phương trình cho tương đương với: t x  22t x  24 x  9t  20 x t  t  x9t  4tx  12 x   x   t  x  x  x   x    x1 x  x   x  Thử lại thấy x  thỏa mãn điều kiện toán Vậy phương trình cho có nghiệm x    2 Giải phương trình x  x    x  x   x  x   x   x   Lời giải Điều kiện: x  x    x  3 x  x   3t  x Đặt t  x  x   , ta có  x  x   t  x  t  x t 2 Khi phương trình cho trở thành 3t  x  x  x  x t  3t x  2t    x  t x  xt  2t   x   t  x  x  x   x    x x  x   x  Vậy phương cho có nghiệm x   Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy Câu Giải phương trình 2x    x  2x    x    64 Lời giải Điều kiện:  x   a  x  a  x    a  2b  a , b  0 , suy  Đặt    2b   x b   x   2  a  2b2  3   81ab  a  64 a2  2b2  Khi đó, ta có a b  a  64    a  b     x  2 x    x  x  20  x  2 b  2a  Vậy phương trình cho có nghiệm x  2  Câu Giải phương trình 5  x   x  x   x  2 x   x   Phân tích ý tưởng: Quan sát biểu thức  8x đồng thời theo hai thức  4x x , ta nhóm  x    4x  x    4x  x Dùng máy tính, chức SHIFT SOLVE ta tìm nghiệm ban đầu phương trình x  Với nghiệm x  , ta thấy:  Giá trị biểu thức  x  x   4.1   1  Giá trị biểu thức  x  x   4.1    Giá trị biểu thức x     Dựa vào kết trên, ta hai đại lượng cân  x  x  x  Mặt khác, thức x  lại nằm 2  biểu thức 2  x x   10  x   x  , để xuất   nhân tử   nhân tử ( hay đại lượng cân ) ta biến đổi biểu thức lại 2  phương trình dạng 10   x  x   x  x Điều    hiển nhiên vì:  Lời giải: Điều kiện: x0  4x  x    10      4x  x Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy Ta có:  x  5  x  x    4x  x    4x  x Khi phương trình cho tương đương với:   4x  x Xét đẳng thức:   x  x   x  2 x   4x  x    4x  i    x x  x 5  x x  10  5  x  5  x x  x  54  10       x  x Do đó, phương trình i trở thành:  10    2  4x  x     x  x  10      2 x8  x8   a   x  x Đặt  , phương trình trở thành: b  x   10  a  a  10  b b  a 2  b3  10 a  b a  b  a  ba2  ab  b   10 a  b   2  a  ab  b  10 TH1 Với a  b , ta có:  4x  x  x    4x    x x  x  x   x  0  x      x  1;     x x  x     x    65  2 16 5 x  x   x  x   65 TH2 Với a  ab  b2  10 , ta xét: a2  b2    4x  x   x8   x  13  5  x x  13; x  Suy phương trình a  ab  b2  10 vô nghiệm   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  1;    65  Câu Giải phương trình Lời giải Điều kiện: 1 1 x  1   3x  x4 x    x  1 Phương trình cho tương đương với: Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy  x   3x    x   3x  1  x1  3x  x4 Đặt t   x   3x  t   x  1  x1  3x t  2x  Thế vào phương trình trên, ta được: t2 t2    t  2x  x  t  x  2t x  1t   t  2 x  4  t  x  2t   2t  x  xt    1  x1  3x  t   t  2t  2  x t  2   2t   xt  2     x  2t   x  TH1 Với t  suy 1  x1  3x  x     x  1  TH2 Với x  2t   t  x4   x  mà với điều kiện  x  1 nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm x  0; x  1  10 ... y  3; 2  Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy Phần II Giải phương trình, bất phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Câu Giải bất phương trình 4 x  x  1 x  x...   13   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   5; 2 , ;       Cách Phương trình hệ tương đương với: Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn...   Khi đó, hệ phương trình cho trở thành   2  x  y2  34 x  y   Tư lời giải phương trình, hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Thế Duy a  x  y Đặt  , hệ phương trình  tương