Bài tập ôn kiểm tra công cụ toán

Biết rằng, xác suất để nam bị bệnh bạch tạng là 0,06 và xác suất để nữ bị bệnh bạch tạng là 0,0036.a Tìm xác suất để một người trong cộng đồng dân cư bị bệnh bạch tạng?. Hệ thống kỹ thuậ

CÁC BÀI TẬP ÔN

1 Có hai lô sản phẩm Lô I có 20 sản phẩm, trong đó có 15 sản phẩm tốt và 5 phế phẩm Lô II có 20 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên một lô và từ lô đó lấy ngãu nhiên 1 sản phẩm.

Từ bài ra có các kết quả sau đây :

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2).

Vậy có P(A) = 20

10 2

1 20

15 2

P(B2|A) = ( )

)

| ( )

A P

B A P B P

=

8

520

10 2

2 Trong một cộng đồng dân cư có số nữ gấp đôi số nam Biết rằng, xác suất để nam bị bệnh bạch tạng là 0,06 và xác suất để nữ bị bệnh bạch tạng là 0,0036.

a) Tìm xác suất để một người trong cộng đồng dân cư bị bệnh bạch tạng ?

b) Tìm xác suất để một người bị bệnh bạch tạng là nam ?

Giải

Gọi biến cố B1 = ‘Người trong cộng đồng dân cư là nam’, B2= ‘Người trong cộng đồng dân cư là nữ’ Khi đó B1, B2 lập thành hệ đầy đủ các biến cố

Từ bài ra có các kết quả sau đây :

P(B1) = 1

; P(B2) = 2

;

a) Gọi biến cố A = ‘một người trong cộng đồng dân cư bị bệnh bạch tạng’ Khi đó có: P(A|B1) = 0,06 ; P(A|B2) = 0,0036.

Theo công thức xác suất đầy đủ có:

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2).

Vậy có P(A) = 0 , 0036

3

2 06 , 0 3

A P

B A P B P

Phương sai V(X) = E(X2) – {E(X)}2 = 202 x 0,2 + 252x0,3 + 302 x0,15 + 352

x0,1 + 402 x0,25 - 29,52 = 54,7 Đây là độ lệch bình phương trung bìnhcủa số khách trên 1 ô tô buýt chung quanh giá trị trung bình

4 Theo thống kê, việc một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm một năm có xác suất là 0,992 còn xác suất để người đó chết trong vòng 1 năm tới là 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị bảo hiểm sinh mạng cho 1 năm với số tiền chi trả 1000 đô la, còn tiền

đóng là 10 đô la Hỏi lợi nhuận của công ty đó là bao nhiêu nếu có 100.000 khách hàng tham gia bảo hiểm?

Giải Rõ ràng lợi nhuận trên 1 khách hàng là biến ngẫu nhiên X nhận 2

giá trị là +10 $ (nếu người bảo hiểm không chết) và – 990 $ (nếu người

đó chết) Bảng phân phối xác suất tương ứng:

Từ đó EX= 10*0,992 + (-990)* 0,008 = 2 $ Ta thấy lợi nhuận trung bình

là một số dương và công ty bảo hiểm có thể làm ăn có lãi là: 2 x 100.000

5 Cho  = { 6, 2, 7, 4, 9} và các tập mở A, B, C trên  tương ứng với ánh xạ  A ,  B và

 C như sau: A = { ( 6, 0.2), ( 2, 0.9), ( 7, 0.5), ( 4, 0.3), (9, 0.2)};

B = { (6, 0), (2, 1), (7, 0.5), (4, 0.6), (9, 0.1)};

C = { (6, 0.3), (2, 0.1), (7,1), (4, 0), (9, 0.5)}.

a) Tính các tập A c , B c và C c với hàm thuộc về của phép bù là 1 – x.

b) Tính AB, BC, ABC, AB C và AC C với hàm giao có dạng T(x,y) = min (x,y)

c) Tính AB, BC, ABC, AB C và AC C với hàm hợp có dạng S(x,y) = max(x,y) d) Chứng minh (AB) C = A C BC với các hàm phép bù, hợp và giao như trên.

6 Cho các tập mở A, B được định nghĩa trên tập nền  = {0, 1, 2, 3, 4, 5} với các hàm





x

và x

x

B

A 

Hãy xác định các tập mờ sau ở dạng liệt kê:

a) Tính các tập A c và B c với hàm thuộc của phép bù về là 1 – x

b) Tính AB, AB C và A C

BC với hàm giao có dạng T(x,y) = min (x,y) c) Tính AB, A C

BC, A C B và AB C với hàm hợp có dạng S(x,y) = max(x,y).

Giải Từ giả thiết có :

b) Tính chân trị của mệnh đề kéo theo P  Q ?

cầu Tại mỗi thời điểm n, chọn ngẫu nhiên một số i trong tập {1, 2, d} và chuyển quả cầu thứ i từ bình đang chứa nó sang bình kia Gọi

Xn là số quả cầu chứa trong bình A tại thời điểm thứ n Hãy chỉ ra

mô hình xích Markov mô tả Xn ?

Giải.

Hiển nhiên (Xn, n = 0, 1, ) là một xích Markov.

 Không gian trạng thái E = {0,1, 2, , d}.

 Phân phối ban đầu (0) = (0, …, 0, 1(a), 0, , 0).

 Cần tìm ma trận xác suất chuyển P = (pij) : Ta tính

pij = P(Xn+1 = j | Xn = i) ?

Vì tại thời điểm thứ n, trong A có i quả cầu nên xác suất quả cầu được chọn để chuyển từ A sang B là i/d Do đó P(Xn+1 = i-1 | Xn = i)

0

1 ,

1 ,

i j

i j

d i d

i j

d i

.

9 Một trạm phát (đánh số là 0) chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suấttương ứng là 0.64 và 0.36 theo một kênh liên lạc Trên kênh đó có n trạmthu phát, đánh số từ 1 đến n Tại mỗi trạm thu phát thứ i, 1 ≤ i ≤ n-1, cáctín hiệu được thu lại và phát chuyển tiếp cho trạm thứ i + 1 Do có nhiễu

trên đường truyền nên tại mỗi trạm thu phát luôn có 0,15 tín hiệu A bịméo nên thu được như tín hiệu B và 0,12 tín hiệu B bị méo thành tín hiệu

A

a) Tính tỷ lệ của các tín hiệu A và B thu được tại trạm thu phát thứ 2 ?

b) Giả sử tại trạm thứ 2 thu được tín hiệu A Tìm xác suất để tín hiệu thuđược đúng với tín hiệu đã phát ?

c) Với n đủ lớn, tính tỷ lệ của các tín hiệu A và B thu được tại trạm thứ n?

Giải Ký hiệu tín hiệu A là 1, tín hiệu B là 2 và Xk là tín hiệu thu được tạitrạm thứ k Khi đó (Xk, k = 0, 1, …, n) là một xích Markov

Ta có mô hình xích Markov như sau :

 Không gian trạng thái E = {1, 2}

 Phân phối ban đầu (0) = (0,64; 0,36).

 Ma trận xác suất chuyển:

15 , 0 85 , 0

a) Ta có (2) = (0)P2 Tính toán cụ thể có:

2595 , 0 7405 , 0

; (0)P2 = (0,548656; 0,452344) Như vây, tại trạm thu phát thứ 2 có: tỷ lệ A là 0,548656; tỷ lệ B là 0,452344.

b) Gọi biến cố H = ‘Tại trạm thứ 2 thu được tín hiệu A ‘ và Bi = ‘Tại trạm 0 phát tín hiệu thứ i’, i = 1, 2 Khi đó B1, B2 lập thành hệ đầy

đủ các biến cố Từ bài ra có các kết quả sau đây :

P(B1) = 0,64 ; P(B2) =0,36; P(H|B1) = p11(2) = P(X2 = 1 | X0 = 1) = 0,7405 ; P(H|B2) = p21(2) = 0,2076.

Theo công thức xác suất đầy đủ có:

P(H) = P(B1)P(H|B1) + P(B2)P(H|B2) = 0,548656.

Xác suất cần tìm chính là P(B1|H) Theo công thức Bayes có:

P(B1|H) = ( )

)

| ( )

H P

B H P B P

đã sử dụng B tháng trước chuyển sang A là 0,4, tiếp tục sử dụng B là 0,4 và

chuyển sang C là 0,2 Còn xác suất để khách hàng đã sử dụng C tháng trướcchuyển sang A là 0,4, chuyển sang B là 0,1 và tiếp tục sử dụng C là 0,5.

a) Tính số khách hàng của mỗi công ty trong tháng thứ 3 ?

b) Biết rằng, mỗi khách hàng chi phí sử dụng dịch vụ viễn thông trong 1 tháng là100.000 đồng Tính số tiền thu được của mỗi công ty trong một tương lai đủ xa ?

Giải

Kí hiệu 3 công ty viễn thông A, B, C tương ứng là 1, 2, 3 Đặt X(t) là lượng khách hàng sử dụng dịch vụ tai các công ty viễn thông tương ứng trong tháng thứ t Khi đó (X(t), t  0) là một xích Markov có mô hình như sau:

 Không gian trạng thái E = {1, 2, 3}

 Phân phối xác suất ban đầu  (0) = (0,1; 0,3; 0,6)

2 , 0 4 , 0 4 , 0

1 , 0 1 , 0 8 , 0

a) Phân phối xác suất tỷ lệ khách hàng của mỗi công ty trong tháng thứ 3 là  (2) =  (0) P 2 Ta có:

22 , 0 22 , 0 56 , 0

15 , 0 13 , 0 72 , 0

, 0 1

, 0

4 , 0 4

, 0 8

, 0

3 2

1

2 3

2 1

1 3

2 1

x x

x

x x

x x

x x

x x

.

0 2

2

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

2

x x

Từ đó, số tiền thu được của công ty A là (14/21)*100 tỷ; của công ty B là (3/21)*100 tỷ và của công

ty C là (4/21)*100 tỷ.

11 Trong một công ty cung cấp dịch vụ kỹ thuật cho các khách hàng Hệ thống kỹ thuật của công ty bao gồm các thiết bị cùng một loại nào đó Biết rằng, chi phí thay mới một thiết bị là 25000 đồng và thất thu khi một thiết bị hỏng là 18500 đồng.

Phòng kỹ thuật của công ty đưa ra hai chính sách thay thế thiết bị như sau :

 Phương án 1 : Chỉ thay thế thiết bị khi thiết bị đó bị

hỏng.

Trong phương án này, các thiết bị cùng một loại được phân thành các tình trạng: vừa mới thay, còn tốt, vẫn dùng được và đã bị hỏng Theo số liệu thống kê hiện có, ma trận xác suất chuyển có dạng :

 Phương án 2 : Thay thế thiết bị định kỳ, tức là khi

kiểm tra, mặc dù thiết bị còn dùng được vẫn bị thay thế.

Trong phương án này, các thiết bị cùng một loại được phân thành các tình trạng: vừa mới thay, còn tốt, đã bị hỏng Khi đó, ma trận xác suất chuyển có dạng :

P =

0 0,8 0,2

0 0,6 0,4 1,0 0 0

Yêu cầu: Lựa chọn phương án thay thế thiết bị tiết

kiệm nhất ?

Giải Mô hình xích Markov cho phương án 1 như sau :

 Không gian trạng thái E = {1, 2, 3, 4}, trong đó 1: vừa mới thay, 2: còn tốt, 3: vẫn dùng được và 4: đã

bị hỏng.

 Ma trận xác suất chuyển

P =

0 0,8 0,2 0

0 0,6 0,4 0

0 0 0,5 0,5 1,0 0 0 0

thống phải chi trung bình trên một thiết bị số tiền là :

(1/6)x25000 + (1/6)x18500 = 7250 đồng/thiết bị/tuần.

Mô hình xích Markov cho phương án 2 như sau :

 Không gian trạng thái E = {1, 2, 3}, trong đó 1: vừa mới thay, 2: còn tốt, 3: bị thay thế.

 Ma trận xác suất chuyển

P =

0 0,8 0,2

0 0,6 0,4 1,0 0 0

thống phải chi trung bình trên một thiết bị số tiền là :

(1/4)x25000 = 6250 đồng/thiết bị/tuần.

Như vậy, phương án 2 tốt hơn phương án 1.

12 Một công ty đề ra chính sách kinh doanh như sau: đáp ứng yêu cầu của khách hàng trước, thanh toán tiền sau Phần nhiều hợp đồng sẽ được thanh toán đúng hạn, một tỷ lệ nhất định sẽ thanh toán chậm và một số ít không thanh toán được Theo kinh nghiệm, sau hai hay ba hợp đồng thanh toán chậm của một khách hàng nào đó là hợp đồng không thanh toán được sau một thời gian dài Khi đó, công ty coi đây là hợp đồng xấu và sẽ cắt bỏ chính sách tín dụng đối với khách hàng đó

Như vậy tại từng thời điểm, các hợp đồng có thể rơi vào một trong các tình trạng (trạng thái) sau đây:

 0: Hợp đồng được thanh toán

 1: Hợp đồng không được thanh toán

 2: Hợp đồng sẽ được thanh toán đúng hạn

 3: Hợp đồng sẽ được thanh toán chậm

Ma trận xác suất chuyển (sau từng tháng) như sau:

P =

0,5 0 0,3 0,2 0,4 0.3 0,2 0,1

sẽ là nợ “xấu” không đòi được ?

Giải Mô hình xích Markov của bài toán có không gian

trạng thái E = {0, 1, 2, 3} và ma trận xác suất chuyển P như trên.

Theo tiêu chuẩn phân loại các trạng thái hồi qui và không hồi qui thì:

 Trạng thái 2 là không hồi qui vì 22( )

Trong thực tế, một hợp đồng dù đang ở trạng thái nào thì sau một thời gian nhất định sẽ rơi vào một trong hai trạng thái 0 hoặc 1 Do đó hai trạng thái này thường gọi là các trạng thái “hấp thụ” (absorbing state) Còn các trạng thái 2 và 3 gọi là các trạng thái

“truyền ứng” (trạng thái di chuyển).

Một cách tổng quát, cho Xn là xích Markov với không gian trạng thái E = {0, 1, …, N} và ma trận xác suất

 Trạng thái i gọi là trạng thái truyền ứng nếu có

( ) 0

lim n

ii n

p

 

Ta chia ma trận P theo khối :

Như vây, không gian trạng thái E trong trường hợp đang xét có hai lớp hồi qui dương là {0}, {1} và các trạng thái còn lại không hồi qui Do đó ta chỉ cần xét xem trạng thái 2 và 3 sẽ bị hút vào các trạng thái 0 và

1 với tỉ lệ là bao nhiêu (sau một thời gian đủ lớn) Quá trình tính toán như sau:

Khi đó, trong các hợp đồng hiện ở trạng thái 2 (phải thanh toán đúng kỳ hạn) có 89,83 % rơi vào trạng thái

0 (được thanh toán) và 10,17 % rơi vào trạng thái 1 (không được thanh toán) Còn trong các hợp đồng ở trạng thái 3 (thanh toán chậm), sau một thời gian nhất định có 64,41 % rơi vào trạng thái 0 (được thanh toán)

và 35,59 % rơi vào trạng thái 1 (không được thanh toán).

13 Giả sử thời gian sống trung bình của bóng đèn điện trong phòng là 10 giờ và có phân phối mũ Một người vào phòng và thấy đèn đang sáng Tính xác suất để người đó có thể làm việc 5 giờ liền khi sử dụng bóng đèn trên ?

14 Giả sử số khách đến một cửa hàng tuân theo quá trình Poisson với cường độ  = 4 người trong 1 giờ Cửa hàng mở cửa lúc 9 giờ sáng Tính xác suất để tới

9 giờ 30 có đúng 1 khách hàng đến cửa hàng và cho tới 11 giờ 30 có 5 khách đến cửa hàng?

15 Giả sử số khách hàng vào mua hàng trong siêu thị là quá trìnhPoisson với cường độ  = 100 người trong 1 giờ Số tiền mỗi người muahàng là các biến ngẫu nhiên độc lập nhận các giá trị 0 ngàn, 20 ngàn,

50 ngàn, 100 ngàn, 200 ngàn và 500 ngàn theo các tỷ lệ tương ứng là 5

%, 15 %, 15 %, 40 %, 20 % và 5 %

a) Tính số tiền trung bình siêu thị thu được trong 1 ngày, biết rằng siêu thị

mở cửa vào lúc 9 giờ sáng và đóng cửa vào lúc 9 giờ tối ?

b) Biết rằng, trong 2 giờ đầu đã có 210 khách hàng đến siêu thị Tìm xácsuất để có 100 khách hàng đến siêu thị trong giờ đầu tiên

Giải.

a) Xét { X(t), t ≥ 0} là quá trình Poisson với cường độ  = 100 Còn Y1, Y2,

… là dãy các biến ngẫu nhiên chỉ số tiền khách hàng mua hàng trongsiêu thị Chúng độc lập, cùng phân phối và độc lập với { X(t), t ≥ 0} Khi

đó ta gọi Z(t) = 



) ( 1

t X

k k

Y , t ≥ 0 là quá trình Poisson phức hợp khi đó số tiềntrung bình siêu thị thu được trong t = 12 giờ là EZ(t) = tEY1

Ta có EY1 = 0 x 0,05 + 20.000 x 0,15 + 50.000 x 0,15 + 100.000 x 0,4 +200.000 x 0,2 + 500.000 x 0,05 = 3.000 + 7.500 + 40.000 + 40.000+25.000 = 115.500

p   

!

) ( ) ( với t = 1, n = 100 ta có xác suất cần tìm p =

16 Giả sử số khách đến một ngân hàng là quá trình Poisson với cường

độ  = 1 người trong 1 giờ Khách có thể là nam với xác suất p = 1/2 và

có thể là nữ với xác suất q = 1/2 Biết rằng trong 10 giờ đầu có 100 nam

đến ngân hàng Hỏi trung bình có bao nhiêu nữ đến ngân hàng trong 10giờ đầu ?

Giải

Khách đến ngân hàng theo quá trình Poisson {X(t), t  0} với cường độ  = 1 Gọi X 1 (t) và

X 2 (t) là quá trình đếm tương ứng với khách hàng là nam và nữ tương ứng Khi đó X(t) = X 1 (t) +

X 2 (t) và X 1 (t) và X 2 (t) là quá trình Poisson với cường độ tương ứng p = 1/2 và q = 1/2 và hai quá trình này là độc lập Do đó P(X 2 (10) = k| X 1 (10)=100) = P(X 2 (10) = k) = k e q

Suy ra X 2 (t) có phân phối mũ Từ đó, E(X 2 (10) = 10| X 1 (10) = 100) = 10 q = 5.

17 Giải bài toán quy hoạch động sau;

18 Có 10 thành phố được đánh số từ 1 đến 10 Từ thành phố i đến thành phố j (1  i, j  10) có thể có đường đi với chi phí A[i, j] = c ij hoặc không có đường đi với qui ước A[i,j] = - Hãy tìm hành trình từ thành phố thứ 1 đến thành phố thứ 10 sao cho tổng chi phí đường đi là nhỏ nhất với A[i,j] được cho trong bảng sau:

 Tập con 1: {1} gồm thành phố 1.

 Tập con 2: {2, 3, 4} gồm các thành phố có đường đi đến từ 1.

Đặt F n (S) là chi phí nhỏ nhất để đi từ thành phố S đến thành phố thứ 10, P n (S)

là thành phố cần đi từ S qua nó để có hành trình chi phí nhỏ nhất.

Ta có: F (S) = min {C + F (J)} = C + F (I) và P (S) = I.

4 5 2 6 5

Hãy tìm đường đi từ đỉnh tam giác và kết thúc tại một điểm nào đó ởđáy tam giác sao cho tổng các số trên đường đi là lớn nhất Biết rằng,mỗi nước đi ta được quyền đi thẳng xuống số bên dưới hoặc xuống sốbên phải của số đó ?

F 5 (5) = 24; P 5 (4) = 4.

Từ đó có đường đi cần tìm là 7  3  8  7  5.

20 Một phân xưởng tiến hành sản xuất trong 10 giờ Mỗi giờ thứ i phânxưởng sản xuất được Wi sản phẩm, trong đó có Bi (1 ≤ i ≤ 10) phế phẩmđược cho trong bảng sau:

4 45 9 9 70 15

Như vậy, mỗi giờ thứ i có tỷ lệ phế phẩm là Bi/Wi Để báo cáo tình hình sản xuất của phân xưởng lên cấp trên, phân xưởng trưởng quyết định chọn ra K giờ theo thứ tự tăng (không nhất thiết liên tiếp) từ 10 giờ trên sao cho số sản phẩm trong các giờ này sẽ lập thành một dãy tăng, còn tỷ lệ phế phẩm lập thành một dãy giảm Hãy chọn ra K giờ để lập báo cáo sao cho K lớn nhất ?

Giải.

Gọi S(i), 1  i  10, là số giờ nhiều nhất có thể báo cáo lên cấp trên mà trongdanh sách báo cáo chỉ xét các giờ từ thứ 1 đến thứ i và có chứa giờ thứ i

Đặt P(i) là giờ đứng trước i trong danh sách báo cáo có S(i) giờ ở trên

 Giá trị khởi tạo: S(i) = 1 và P(i) = 0, với 1  i  10