Bài tập ôn kiểm tra công cụ toán

CÁC BÀI TẬP ÔN Có hai lô sản phẩm Lô I có 20 sản phẩm, có 15 sản phẩm tốt phế phẩm Lô II có 20 sản phẩm, có 10 sản phẩm tốt 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên lô từ lô lấy ngãu nhiên sản phẩm a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt ? b) Biết sản phẩm lấy sản phẩm tốt Tìm xác suất để sản phẩm lấy thuộc lô II ? Giải Gọi biến cố A = ‘Sản phẩm lấy sản phẩm tốt ‘ Bi = ‘Sản phẩm lấy thuộc lô thứ i’, i = 1, Khi B 1, B2 lập thành hệ đầy đủ biến cố Từ có kết sau : P(B1) = P(B2) = 15 10 ; P(A|B1) = ; P(A|B2) = 20 20 a) Theo công thức xác suất đầy đủ có: P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) 15 10 25 x + x Vậy có P(A) = = = 20 20 40 b) Xác suất cần tìm P(B2|A) Theo công thức Bayes có: P(B2|A) = P ( B2 ) P ( A | B2 ) P ( A) = 10 x 20 = 2 Trong cộng đồng dân cư có số nữ gấp đôi số nam Biết rằng, xác suất để nam bị bệnh bạch tạng 0,06 xác suất để nữ bị bệnh bạch tạng 0,0036 a) Tìm xác suất để người cộng đồng dân cư bị bệnh bạch tạng ? b) Tìm xác suất để người bị bệnh bạch tạng nam ? Giải Gọi biến cố B1 = ‘Người cộng đồng dân cư nam’, B2= ‘Người cộng đồng dân cư nữ’ Khi B 1, B2 lập thành hệ đầy đủ biến cố Từ có kết sau : P(B1) = ; P(B2) = ; a) Gọi biến cố A = ‘một người cộng đồng dân cư bị bệnh bạch tạng’ Khi có: P(A|B1) = 0,06 ; P(A|B2) = 0,0036 Theo công thức xác suất đầy đủ có: P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) Vậy có P(A) = x 0,06 + x 0,0036 3 = 0,02 + 0,0024 = 0,0224 b) Xác suất cần tìm P(B1|A) Theo công thức Bayes có: P(B1|A) = P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( A) = x 0,06 0,0224 = 25 28 3.Thống kê số khách ô tô buýt tuyến giao thông thu số liệu sau: Số khách chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25 Tìm kỳ vọng phương sai số khách chuyến giải thích ý nghĩa kết thu ? Giải Gọi X biến ngẫu nhiên mô tả số khách ô tô buýt Khi có: Kỳ vọng EX = 20 x 0,2 + 25x0,3 + 30x0,15 + 35x0,1 + 40x0,25 = 29,5 Đây số khách trung bình ô tô buýt Phương sai V(X) = E(X2) – {E(X)}2 = 202 x 0,2 + 252x0,3 + 302 x0,15 + 352 x0,1 + 402 x0,25 - 29,52 = 54,7 Đây độ lệch bình phương trung bình số khách ô tô buýt chung quanh giá trị trung bình Theo thống kê, việc người Mỹ 25 tuổi sống thêm năm có xác suất 0,992 xác suất để người chết vòng năm tới 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị bảo hiểm sinh mạng cho năm với số tiền chi trả 1000 đô la, tiền đóng 10 đô la Hỏi lợi nhuận công ty có 100.000 khách hàng tham gia bảo hiểm? Giải Rõ ràng lợi nhuận khách hàng biến ngẫu nhiên X nhận giá trị +10 $ (nếu người bảo hiểm không chết) – 990 $ (nếu người chết) Bảng phân phối xác suất tương ứng: X P(X) +10 0,992 -990 0,008 Từ EX= 10*0,992 + (-990)* 0,008 = $ Ta thấy lợi nhuận trung bình số dương công ty bảo hiểm làm ăn có lãi là: x 100.000 = 200.000$ Một máy dệt có 1000 ống sợi Xác suất để máy hoạt động có ống sợi bị đứt 0,002 Tìm xác suất để máy hoạt động có không ống sợi bị đứt? Giải Việc quan sát ống sợi bị đứt hay không máy hoạt động phép thử Máy dệt có 1000 ống sợi nên số phép thử n = 1000 Gọi A biến cố ống sợi b Cho Ω = { 6, 2, 7, 4, 9} tập mở A, B, C Ω tương ứng với ánh xạ µA, µB µC sau: A = { ( 6, 0.2), ( 2, 0.9), ( 7, 0.5), ( 4, 0.3), (9, 0.2)}; B = { (6, 0), (2, 1), (7, 0.5), (4, 0.6), (9, 0.1)}; C = { (6, 0.3), (2, 0.1), (7,1), (4, 0), (9, 0.5)} a) Tính tập Ac, Bc Cc với hàm thuộc phép bù – x b) Tính A∩B, B∩C, A∩B∩C, A∩BC A∩CC với hàm giao có dạng T(x,y) = (x,y) c) Tính A∪B, B∪C, A∪B∪C, A∪BC A∪CC với hàm hợp có dạng S(x,y) = max(x,y) d) Chứng minh (A∪B)C = AC∩BC với hàm phép bù, hợp giao Giải Ta có: a) AC = { ( 6, 0.8), ( 2, 0.1), ( 7, 0.5), ( 4, 0.7), (9, 0.8)}; BC = { (6, 1), (2, 0), (7, 0.5), (4, 0.4), (9, 0.9)}; CC = { (6, 0.7), (2, 0.9), (7,0), (4, 1), (9, 0.5)} b) A∩B = {( 6, 0), ( 2, 0.9), ( 7, 0.5), ( 4, 0.3), (9, 0.1)}; A∩BC = {( 6, 0.2), ( 2, 0), ( 7, 0.5), ( 4, 0.3), (9, 0.2)}; A∩CC = {( 6, 0.2), ( 2, 0.9), ( 7, 0), ( 4, 0.3), (9, 0.2)}; B∩C = {( 6, 0), ( 2, 0.1), ( 7, 0.5), ( 4, 0), (9, 0.1)}; A∩B∩C = {( 6, 0), ( 2, 0.1), ( 7, 0.5), ( 4, 0), (9, 0.1)}; c) A∪B = {( 6, 0.2), ( 2, 1), ( 7, 0.5), ( 4, 0.6), (9, 0.2)}; A∪BC = {( 6, 1), ( 2, 0.9), ( 7, 0.5), ( 4, 0.4), (9, 0.9)}; A∪CC = {( 6, 0.7), ( 2, 0.9), ( 7, 0.5), ( 4, 1), (9, 0.5)}; B∪C= {( 6, 0.3), ( 2, 1), ( 7, 1), ( 4, 0.6), (9, 0.5)}; A∪B∪C = {( 6, 0.3), ( 2, 1), ( 7, 1), ( 4, 0.6), (9, 0.5)}; d) Ta có: A∪B = {( 6, 0.2), ( 2, 1), ( 7, 0.5), ( 4, 0.6), (9, 0.2)}; ⇒ (A∪B)C = {( 6, 0.8), ( 2, 0), ( 7, 0.5), ( 4, 0.4), (9, 0.8)}; Mặt khác, AC = { ( 6, 0.8), ( 2, 0.1), ( 7, 0.5), ( 4, 0.7), (9, 0.8)}; BC = { (6, 1), (2, 0), (7, 0.5), (4, 0.4), (9, 0.9)}; ⇒ AC∩BC = {( 6, 0.8), ( 2, 0), ( 7, 0.5), ( 4, 0.4), (9, 0.8)}; Từ có (A∪B)C = AC∩BC 10 Giải Áp dụng công thức {ck ( xk ) + Fk −1 (a − xk )} với F0 = 0; a biến Fk(a) = omax ≤ xk ≤ a đổi từ 0, 15, 30, 45, 60; k biến đổi từ 1, 2, 3, • Với k = 1: F1(0) = C1(0) = 0; F1(15) = C1(15) = 16; F1(30) = C1(30) = 46; F1(45) = C1(45) = 62; F1(60) = C1(60) = 80; 48 • Với k = 2: F2(0) = 0; F2(15) = max{C2(0) + F1(15), C2(15) + F1(0)} = max{0 + 15, 30 + 0} = 30; F2(30) = max{C2(0) + F1(30), C2(15) + F1(15), C2(30) + F1(0) } = max{0 + 46, 30 + 16, 36 + 0} = 46; 49 F2(45) = max{C2(0) + F1(45), C2(15) + F1(30), C2(30) + F1(15), C2(45) + F1(0) } = max{0 + 62, 30 + 46, 36 + 16, 54 + 0} = 76; F2(60) = max{C2(0) + F1(60), C2(15) + F1(45), C2(30) + F1(30), C2(45) + F1(15), C2(60) + F1(0) } = max{0 + 80, 30 + 62, 36 + 46, 54 + 16, 74 + 0} = 92; 50 • Với k = 3: F3(0) = 0; F3(15) = 30; F3(30) = 54; F3(45) = 76; F3(60) = 100; • Với k = 4: F4(60) = 106 Suy ra, Max F(x) = F4(60) = 106 với x1 = 0, x2 = 15, x3 = 15, x4 = 30 51 18 Có 10 thành phố đánh số từ đến 10 Từ thành phố i đến thành phố j (1 ≤ i, j ≤ 10) có đường với chi phí A[i, j] = c ij đường với qui ước A[i,j] = - Hãy tìm hành trình từ thành phố thứ đến thành phố thứ 10 cho tổng chi phí đường nhỏ với A[i,j] cho bảng sau: 10 11 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12 - - - - - - - - - - - - - - - - - 10 - - - - - - - - - Giải Chia tập tất thành phố thành tập con: 52 • Tập 1: {1} gồm thành phố • Tập 2: {2, 3, 4} gồm thành phố có đường đến từ • Tập 3: {5, 6, 7} gồm thành phố có đường đến từ thành phố thuộc tập • Tập 4: {8, 9} gồm thành phố có đường đến từ thành phố thuộc tập • Tập 5: {10} gồm thành phố có đường đến từ thành phố thuộc tập Như vậy, hành trình từ thành phố đến thành phố 10 chứa đoạn đường nối tập Do trình tìm hành trình tối ưu chia làm giai đoạn 53 Đặt Fn(S) chi phí nhỏ để từ thành phố S đến thành phố thứ 10, P n(S) thành phố cần từ S qua để có hành trình chi phí nhỏ Ta có: Fn(S) = C SJ ≥ {CSJ + Fn-1(J)} = CSI + Fn-1(I) Pn(S) = I Từ đó, F0(10) = Có bảng sau đây: n= 1: S/J n = 2: S/J 10 5+0 3+0 9+5 7+5 F1(S) 8+3 5+3 12 + P1(S) 10 10 F2(S) 11 12 P2(S) 9 54 n = 3: S/J + 11 + 11 + 11 4+8 6+8 6+8 + 12 11 + 12 + 12 F3(S) 12 12 14 P3(S) 6 + 14 F4(S) 16 P4(S) n = 4: S/J Như vậy, kết F4(1) = 16 hành trình tương ứng cần tìm : → → → → 10 19 Cho tam giác số gốm số nguyên không âm sau: 55 8 4 Hãy tìm đường từ đỉnh tam giác kết thúc môôt điểm đáy tam giác cho tổng số đường lớn Biết rằng, nước ta quyền thẳng xuống số bên xuống số bên phải số ? Giải Đặt Fi(j) tổng lớn số đường từ đỉnh tam giác xuống số nằm hàng i cột j; Pi(j) số đứng trước số (i, j) đường Ta có: Fi(j) = Max{Cij + Fi-1(J), Cij + Fi-1(J-1)} = Cij + Fi-1(t) Pi(j) = t 56 Từ đó, F1(1) = C11 = Với i = 2: F2(1) = 10; P2(1) = F2(2) = 15; P2(2) = Với i = 3: F3(1) = 18; P3(1) = F3(2) = 16; P3(2) = F3(3) = 15; P2(1) = Với i = 4: F4(1) = 20; P4(1) = F4(2) = 25; P4(2) = F4(3) = 20; P4(3) = F4(4) = 19; P4(4) = 57 Với i = 5: F5(1) = 24; P5(1) = F5(2) = 30; P5(2) = F5(3) = 27; P5(3) = F5(4) = 26; P5(4) = F5(5) = 24; P5(4) = Từ có đường cần tìm → → → → 58 20 Môôt phân xưởng tiến hành sản xuất 10 Mỗi thứ i phân xưởng sản xuất Wi sản phẩm, có Bi (1 ≤ i ≤ 10) phế phẩm cho bảng sau: i Wi 10 20 15 45 65 Bi 5 i 10 Wi 70 68 64 70 70 Bi 14 17 16 15 15 Như vâôy, thứ i có tỷ lêô phế phẩm Bi/Wi Để báo cáo tình hình sản xuất phân xưởng lên cấp trên, phân xưởng trưởng định chọn K theo thứ tự tăng (không thiết liên tiếp) từ 10 cho số sản phẩm lâ ôp thành môôt dãy tăng, tỷ lêô phế phẩm lâôp thành môôt dãy giảm Hãy chọn K để lâôp báo cáo cho K lớn ? Giải 59 Gọi S(i), ≤ i ≤ 10, số nhiều báo cáo lên cấp mà danh sách báo cáo xét từ thứ đến thứ i có chứa thứ i Đặt P(i) đứng trước i danh sách báo cáo có S(i) • Giá trị khởi tạo: S(i) = P(i) = 0, với ≤ i ≤ 10 • Công thức QHĐ: Với i = 2, …, 10 S(i) = max{S(i), 1≤max j ≤i −1{S(j) + 1| Wj < Wi Bj/Wj > Bi/Wi}} P(i) = j0, 1≤max j ≤i −1{S(j) + 1| Wj < Wi Bj/Wj > Bi/Wi} = S(j0) + > S(i) max • Kết S(i0) = 1≤ j ≤10 {S(i)} Quá trình tính toán sau: Trước hết ta có bảng sau: 60 i Wi Bi 10 20 15 45 65 70 14 68 17 64 16 70 15 10 70 15 Bi / W i 0,3 0,25 0,33 0,2 0,077 0,2 0,25 0,25 0,214 0,214 STT 3 4 i = 1: S(i) = 1, P(i) = i = 2: S(i) = 2, P(i) = i = 3: S(i) = 1, P(i) = 61 i = 4: S(i) = 3, P(i) = i = 5: S(i) = 4, P(i) = i = 6: S(i) = 3, P(i) = i = 7: S(i) = 2, P(i) = i = 8: S(i) = 2, P(i) = i = 9: S(i) = 3, P(i) = i = 10: S(i) = 3, P(i) = Từ đó, Max S(i) = chọn là: 5, 4, 2, 62 [...]... số tiền thu được của công ty A là (14/21)*100 tỷ; của công ty B là (3/21)*100 tỷ và của công ty C là (4/21)*100 tỷ 21 11 Trong một công ty cung cấp dịch vụ kỹ thuật cho các khách hàng Hệ thống kỹ thuật của công ty bao gồm các thiết bị cùng một loại nào đó Biết rằng, chi phí thay mới một thiết bị là 25000 đồng và thất thu khi một thiết bị hỏng là 18500 đồng Phòng kỹ thuật của công ty đưa ra hai chính... án 1 29 12 Một công ty đề ra chính sách kinh doanh như sau: đáp ứng yêu cầu của khách hàng trước, thanh toán tiền sau Phần nhiều hợp đồng sẽ được thanh toán đúng hạn, một tỷ lệ nhất định sẽ thanh toán chậm và một số ít không thanh toán được Theo kinh nghiệm, sau hai hay ba hợp đồng thanh toán chậm của một khách hàng nào đó là hợp đồng không thanh toán được sau một thời gian dài Khi đó, công ty coi đây... C là 0,5 a) Tính số khách hàng của mỗi công ty trong tháng thứ 3 ? b) Biết rằng, mỗi khách hàng chi phí sử dụng dịch vụ viễn thông trong 1 tháng là 100.000 đồng Tính số tiền thu được của mỗi công ty trong một tương lai đủ xa ? 18 Giải 19 Kí hiệu 3 công ty viễn thông A, B, C tương ứng là 1, 2, 3 Đặt X(t) là lượng khách hàng sử dụng dịch vụ tai các công ty viễn thông tương ứng trong tháng thứ t Khi đó... 9 17 a 5 tỷ lệ B là = a+b 9 10 Có 3 công ty viễn thông A, B, C phục vụ 1.000.000 khách hàng Giả sử trong từng tháng mỗi khách hàng chỉ sử dụng dịch vụ của một công ty nào đó Biết rằng, trong tháng đầu tiên số khách hàng sử dụng dịch vụ của mỗi công ty tương ứng là 100.000, 300.000 và 600.000 Trong các tháng kế tiếp, xác suất để khách hàng đã sử dụng dịch vụ của công ty A tháng trước tiếp tục sử dụng... đây: • 0: Hợp đồng được thanh toán • 1: Hợp đồng không được thanh toán • 2: Hợp đồng sẽ được thanh toán đúng hạn • 3: Hợp đồng sẽ được thanh toán chậm 31 Ma trận xác suất chuyển (sau từng tháng) như sau: 1 0 0 0  0 1 0 0 ÷ ÷ P=   0,5 0 0,3 0,2 ÷  0, 4 0.3 0, 2 0,1 ÷   Hiện tại công ty có các hợp đồng phải thanh toán đúng hạn với số tiền 500 triệu và các hợp đồng thanh toán chậm với tổng số 100... 0,15    2 P =  0,56 0,22 0,22   0,56 0,13 0,31    ⇒ Π(0)P 2= (0,576; 0,157; 0,267) Như vậy, trong tháng thứ 3, số khách hàng của công ty A là 576.000, của công ty B là 157.000 và của công ty C là 267.000 20 b) Trước hết ta tìm tỷ lệ khách hàng của mỗi công ty trong một tương lai đủ xa là x 1, x2, x3 thỏa mãn hệ: 0,8 x1 + 0,4 x2 + 0,4 x3 =  0,1x1 + 0,4 x2 + 0,1x3 = x + x + x = 1  1 2 3... thành hệ đầy đủ các biến cố Từ bài ra có các kết quả sau đây : P(B1) = 0,64 ; P(B2) =0,36; P(H|B1) = p11(2) = P(X2 = 1 | X0 = 1) = 0,7405 ; P(H|B2) = p21(2) = 0,2076 Theo công thức xác suất đầy đủ có: P(H) = P(B1)P(H|B1) + P(B2)P(H|B2) = 0,548656 Xác suất cần tìm chính là P(B1|H) Theo công thức Bayes có: P ( B1 ) P ( H | B1 ) P(B1|H) = = 0,8637835 P( H ) c) Áp dụng vào bài toán với a = 0,15; b = 0,12... thanh toán, còn bao nhiêu sẽ là nợ “xấu” không đòi được ? 32 Giải Mô hình xích Markov của bài toán có không gian trạng thái E = {0, 1, 2, 3} và ma trận xác suất chuyển P như trên Theo tiêu chuẩn phân loại các trạng thái hồi qui và không hồi qui thì: ∞ • Trạng thái 0 là hồi qui vì ∑P n =1 00 ∞ • Trạng thái 1 là hồi qui vì (n) ∑1 = ∞ n =1 ∑P n =1 = µ (n) 11 = µ ∑1 = ∞ n =1 33 ∞ • Trạng thái 2 là không...6 Cho các tập mở A, B được định nghĩa trên tập nền Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5} với các hàm thuộc về như sau : µ A = x 1 và µ B = x+2 x +1 Hãy xác định các tập mờ sau ở dạng liệt kê: a) Tính các tập Ac và Bc với hàm thuộc của phép bù về là 1 – x b) Tính A∩B, A∩BC và AC∩BC với hàm giao có dạng T(x,y) = min... hiệu thu được tại trạm thứ k Khi đó (Xk, k = 0, 1, …, n) là một xích Markov Ta có mô hình xích Markov như sau : 15 • Không gian trạng thái E = {1, 2} • Phân phối ban đầu Π(0) = (0,64; 0,36) • Ma trận xác suất chuyển:  0,85 0,15   P=  0,12 0,88  a) Ta có Π(2) = Π(0)P2 Tính toán cụ thể có:  0,7405 0,2595   ; Π(0)P2 = (0,548656; 0,452344) P =  0,2076 0,7924  2 Như vây, tại trạm thu phát thứ