Tổng hợp đề thi thử học sinh giỏi lớp 8 môn toán năm 2012 ( phần 1 )

Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết: a A  n3  n2  n  số nguyên tố n  16 b C  có giá trị số nguyên n  4n3  8n2  16 c D = n4 + 4n số nguyên tố Bài Cho a + b +c = 0; abc  a Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b Tính giá trị biểu thức: 2 c a b P  a  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 Bài 3: a Giải phương trình:  x  a x  c   x  b x  c   b  a b  c  a  ba  c b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E; cắt BC F a Chứng minh : SAOD  SBOC b Chứng minh: OE = OF 1   c Chứng minh: AB CD EF d Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua K chia đôi diện tích tam giác DEF Câu 1: Xác định hệ số a cho: a) 27x2 + a chia hết cho 3x + b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + có số dư Câu2: Cho số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: 1999a b c   ab  1999a  1999 bc  b  1999 ac  c  Câu 3: Cho abc  a + b+ c  giải phương trình: a b  x a c  x b  c  x 4x    1 c b a a b  c Câu 4: Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ nửa mặt phẳng có bờ AB hình vuông AMCD, BMEF a Chứng minh AE vuông góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng c Những minh đoạn thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định Câu 1: Xác định hệ số a cho: a) 27x2 + a chia hết cho 3x + b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + có số dư Câu2: Cho số a, b, c thỏa mãn abc = 1999 Rút gọn biểu thức: 1999a b c   ab  1999a  1999 bc  b  1999 ac  c  Câu 3: Cho abc  a + b+ c  giải phương trình: a b  x a c  x b  c  x 4x    1 c b a a b  c Câu 4: Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ nửa mặt phẳng có bờ AB hình vuông AMCD, BMEF a Chứng minh AE vuông góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng c Những minh đoạn thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định Câu 1: ( điểm) Cho biểu thức: a b a b P   2 ab ab  b ab  a a Rút gọn P b Có giá trị a, b để P = 0? c Tính giá trị P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab a > b > Câu 2: ( 3,5 điểm) Chứng minh rằng: a (n2 + n -1)2 – chia hết cho 24 với số nguyên n b Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho Câu 3: ( điểm) Giải phương trình: x4 + x2 + 6x – = Câu 4: ( điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm) Cho tam giác ABC, O giao điểm đường trung tực tam giác, H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để OPQR hình thoi? b Chứng minh AQ = OM c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng d Vẽ tam giác ABC hình vuông ABDE, ACFL Gọi I trung điểm EL Nếu diện tích tam giác ABC không đổi BC cố định I di chuyển đường nào? 2 2 Câu 1: Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng: a b c 1,    biết abc = ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 n  n 1 2, (n  N* ) không phân số tối giản n  n 1 Câu 3: Cho biểu thức: 1 1 P     a  a a  3a  a  5a  a  7a  12 a  9a  20 a Tìm điều kiện để P xác định b Rút gọn P c Tính giá trị P biết a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đường thẳng qua C vuông góc với AB E Gọi M trung điểm AD a Chứng minh: tam giác EMC cân b Chứng minh: Góc BAD = góc AEM c Gọi P điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me đến MC không phụ thuộc vào vị trí P EC Câu 1: Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng: a b c 1,    biết abc = ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 n  n 1 2, (n  N* ) không phân số tối giản n  n 1 Câu 3: Cho biểu thức: 1 1 P     a  a a  3a  a  5a  a  7a  12 a  9a  20 a Tìm điều kiện để P xác định b Rút gọn P c Tính giá trị P biết a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức: A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đường thẳng qua C vuông góc với AB E Gọi M trung điểm AD a Chứng minh: tam giác EMC cân b Chứng minh: Góc BAD = góc AEM c Gọi P điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me đến MC không phụ thuộc vào vị trí P EC Câu 1: Cho x = b2  c  a a  (b  c)2 ;y= 2bc (b  c)  a Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phương trình: a, 1 1 = + + ab x a b x b, (b  c)(1  a)2 (c  a)(1  b)2 (a  b)(1  c)2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x ẩn số) (a,b,c số đôi khác nhau) Câu 3: Xác định số a, b biết: (3x  1) a b = + 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên Câu 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C Câu 1: Cho x = b2  c  a a  (b  c)2 ;y= 2bc (b  c)  a Tính giá trị P = x + y + xy Câu 2: Giải phương trình: a, 1 1 = + + ab x a b x b, (b  c)(1  a)2 (c  a)(1  b)2 (a  b)(1  c)2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x ẩn số) (a,b,c số đôi khác nhau) Câu 3: Xác định số a, b biết: (3x  1) a b = + 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) Câu 4: Chứng minh phương trình: 2x2 – 4y = 10 nghiệm nguyên Câu 5: Cho  ABC; AB = 3AC Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C Câu 1: Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2:   x3 x(1  x )   x3  x)(  x)  Cho A = : ( 1 x 1 x  1 x  a, Rút gọn A b, Tìm A x= - c, Tìm x để 2A = Câu 3: a, Cho x+y+z = Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn P = x ( x  10) Câu 4: a b c + + 0, CMR: 1< b, Cho x,y  CMR: x2 y2 x y +  + x y x y Câu 5: Cho ABC có độ dài cạnh a, kéo dài BC đoạn CM =a a, Tính số đo góc ACM b, CMR: AM  AB c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR MNP  ... b, (b  c ) (1  a)2 (c  a ) (1  b)2 (a  b ) (1  c)2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x ẩn s ) (a,b,c số đôi khác nhau) Câu 3: Xác định số a, b biết: (3 x  1) a b = + 3 ( x  1) ( x  1) ( x  1) Câu... a, 1 1 = + + ab x a b x b, (b  c ) (1  a)2 (c  a ) (1  b)2 (a  b ) (1  c)2 + + =0 x  a2 x  b2 x  c2 (x ẩn s ) (a,b,c số đôi khác nhau) Câu 3: Xác định số a, b biết: (3 x  1) a b = + 3 ( x... Phân tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Câu 2:   x3 x (1  x )   x3  x )(  x)  Cho A = : ( 1 x 1 x  1 x  a, Rút gọn A b, Tìm A x= - c, Tìm x để 2A