Tổng hợp đề thi thử học sinh giỏi lớp 9 môn toán năm 2013 (Phần 1)

ĐỀ 30 Câu ( điểm ) Cho biểu thức: 2x   x P( x)  3x  x  a) Rút gọn P b) Chứng minh: Với x > P (x) P (- x) < Câu ( điểm ) Giải phương trình: a) x   x  x   x  2 b) / x - x + / + / x - x - / = Câu ( điểm ).Hãy biện luận vị trí đường thẳng d1 : m2 x + ( m - ) y - = d2 : m x + ( m - ) y - = Câu ( điểm ) Giải hệ phương trình: ( x + y ) - ( x + y ) = 45 ( x - y )2 - ( x - y ) = Câu ( điểm ) Tìm nghiệm nguyên phương trình x6 + x3 + = y Câu ( điểm) Tìm gí trị lớn biểu thức A x 1  x y2 y Câu ( điểm) Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn ( o ), M điểm cung nhỏ BC; AM cắt BC E a) Nếu M điểm cung nhỏ BC, chứng minh : BC2 = AE AM b) Trên AM lấy D cho MD = BM Chứng minh: DBM = ACB MA= MB + MC Câu ( điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M tia Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường trịn, kẻ CH vng góc với AB Chứng minh : MB qua trung điểm CH ĐỀ 21 * Câu I: a) Giải phương trình: x  12 x   x  b) Giải biện luận phương trình theo tham số a: a a  x a 1    x  a x 1 x  a x 1 1) Câu II: Cho biết: ax + by + cz = Và a + b + c = Chứng minh rằng: ax  by  cz  2006 bc( y  z )  ac( x  z )  ab( x  y) Cho số a, b, c thoã mãn điều kiện: abc = 2006 Tính giá trị biểu thức: P 1) 2006 2006a b c   ab  2006a  2006 bc  b  2006 ac  c  Câu III: ) Cho x, y hai số dương thỗ mãn: x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2) A  xy x y Rút gọn biểu thức sau: A 1  2  3   n 1  n Câu IV: (5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có B = D = 900 Trên đường chéo AC lấy điểm E cho ABE = DBC Gọi I trung điểm AC Biết: BAC = BDC; CBD = CAD a) c) Chứng minh CIB = BDC; b) ABE ~ DBC AC.BD = AB.DC + AD.BC Câu V: (2,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài cạnh đáy 12 cm, độ dài cạnh bên 18 cm a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) Tính diện tích tồn phần hình chóp Câu VI: (2,0 điểm) Cho biểu thức: M  Tìm số nguyên a để M số nguyên a 6 a 1 ĐỀ 20 Câu I: (1,5 điểm) Rút gọn biểu thức sau A= 3 2 ; 1 1 B= 2 3 2 Câu II: (3,5 điểm) giải phương trình sau x  + x -1 = ; 2) 3x2 + 2x = x  x + – x x   2x  + x   2x  = Câu III: (6 điểm) Tìm giá trị m để hệ phương trình (m +1)x - y = m+1 x - (m-1)y = Có nghiệm thoả mản điều kiện x + y đạt giá trị nhỏ Cho Parabol (P): y = x2 - 4x + điểm A(2;1) Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A a Viết phương trình đường thẳng (d) b Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M; N c Xác định giá trị k để MN có độ dài bé Câu IV (4,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) I điểm nằm đường tròn, kẻ hai dây MIN EIF Gọi M’; N’; E’; F’ thứ tự trung điểm IM; IN; IE; IF Chứng minh: IM.IN = IE.IF Chứng minh tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp đường tròn Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F' Giả sử dây MIN EIF vng góc với Xác định vị trí MIN EIF R để diện tích tứ giác M’E’N’F’ lớn tìm giá trị lớn Biết OI = Câu V Cho tam giác ABC có B = 200 C = 1100 phân giác BE Từ C, kẻ đường thẳng vng góc với BE cắt BE M cắt AB K Trên BE lấy điểm F cho EF = EA Chứng minh : 1) AF vng góc với EK; 2)CF = AK F tâm đường tròn nội tiếp  BCK 1) CK BC = AF BA Câu VI (1 điểm) Cho A, B, C góc nhọn thoả mãnCos2A + Cos2B + Cos2C  Chứng minh rằng: (tgA.tgB.tgC)2  ĐỀ 18 Rút gọn biểu thức : A =  2   12  18  128 Câu 2: (2đ) Giải phương trình : x2 +3x +1 = (x+3) x  Câu 3: (2 đ) Giải hệ phương trình 2   x  y  xy   3  x  y  x  3y Câu 4: (2đ) Cho PT bậc hai ẩn x : X2 - (m-1) x + m2 - 3m + = c/m : PT có nghiệm  m  Gọi x1 , x2 nghiệm PT c/m x1  x2  x1 x2  Câu 6: (2đ) : Cho parabol y = x đườn thẳng (d) : y = x  a/ Vẽ (P) (d)trên hệ trục toạ độ b/ Gọi A,B giao điểm (P) (d) hệ toạ trục toạ độ Oxy Tìm M AB (P) cho SMAB lớn Câu 7: (2đ) a/ c/m : Với  số dương a 1  1 1     1  a 1  a  a  12  a b/ Tính S = 1 1 1 1         2 2 2006 20072 Câu ( điểm): Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB , dựng nửa đường tròn (O,AB) ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ) Tia OM cắt (O) C Gọi D giao điểm thứ hai CA với (O’) a/ Chứng minh tam giác AMD cân b/ Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E Xác định vị trí tương đối đương thẳng EA (O) (O’) c/ Đường thẳng AM cắt OD H, đường tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng d/ Tại vị trí M cho ME // AB tính OM theo a Câu ( điểm ): Cho tam giác có số đo đường cao số ngun , bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác tam giác ĐỀ 17 Câu Rút gọn biểu thức 1 1 A     11   2006 2005 2005 2006 Câu Tính giá trị biểu thức x  3x  (x  1) x  x  3x  (x  1) x  B  2 x = 2005 Cho phương trình: (m + 2)x2 - (2m - 1)x - + m = (1) a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với m b) Tìm tất giá trị m cho phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 tìm giá trị m để nghiệm gấp hai lần nghiệm x  y  4z   Giải hệ phương trình: y  z  4x   z  x  4y  6x  Giải phương trình: =3+2 x  x x  1 x x2 Cho parabol (P): y = a) Viết phương trình đường thẳng (D) có hệ số góc m qua điểm A (1 ; 0) b) Biện luận theo m số giao điểm (P) (D) c) Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) tìm toạ độ tiếp điểm d) Tìm (P) điểm mà (D) không qua với m Cho a1, a2, , an số dương có tích 1 1 Tìm giá trị nhỏ P =       a1 a2 an Cho điểm M nằm ABC AM cắt BC A1, BM cắt AC B1, CM cắt AB C1 Đường thẳng qua M song song với BC cắt A1C1 A1B1 thứ tự E F So sánh ME MF Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC D Gọi M N trung điểm AD BC Chứng minh M, O, N thẳng hàng 10 Cho tam giác ABC nhọn Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ABC A Lấy điểm M đường thẳng d Kẻ BK vng góc với AC, kẻ BH vng góc với MC; HK cắt đường thẳng d N a) Chứng minh BN  MC; BM  NC b) Xác định vị trí điểm M đường thẳng d để độ dài MN đạt giá trị nhỏ ĐỀ SỐ Bài (2đ): Cho biểu thức:    xy  x x 1   1 : 1     xy  1  xy   A =  xy  x xy   x   xy   a Rút gọn biểu thức b Cho 1   Tìm Max A x y Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1 1   1   1    từ tính tổng: n (n  1) n n 1  1 1 1 S =          2 2005 20062 Bài (2đ): Phân tích thành nhân tử: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bài (2đ): Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm: x  6a   5a(2a  3)  x  a 1 ( x  a)( x  a  1) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình: x2+ 2kx+ = Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức:  x1   x2 2  x         x1  Bài 4: (2đ) Cho hệ phương trình: m   x 1  y       3m    y  x 1 Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ cho có nghiệm Bài (2đ) : Giải phương trình: 3x2  x   5x2  10 x  14   x  x2 Giải hệ phương trình:  y  x  27 x  27    z  y  27 y  27   x  z  27 z  27   Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình: 2kx + (k – 1)y = (k tham số) Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 3.x ? Khi tính góc tạo (d) tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y số dương thoả mãn đẳng thức: x  y  10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P  ( x  1)( y  1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho  ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M điểm đường thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF a Chứng minh AE vng góc với BC b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng c Chứng minh đường thẳng DF luôn qua điểm cố định M chuyển động đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vng M chuyển động đường thẳng AB cố định Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt điểm M thuộc miền góc Dựng đường thẳng qua M cắt hai cạnh góc thành tam giác có diện tích nhỏ …………………………………………………………… ĐỀ 28 * Bài (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức : ( x  x  1) x  x   ( x  x  1) x  x  A = Bài2 (2,0 điểm) x4  x2 1 : x2  x 1  x2  x 1 Tính tổng : 2n      2 2 (1     n )(n  2) S= (1  ).4 (1   ).5 Bài (2,0 điểm) Cho phơng trình : mx (m  m  1) x  m   (1) Tìm điều kiện m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác –1 Bài4(2,0 điểm ) Cho x,y,z số không âm thoả mãn 2x + xy + y = 10 3y + yz +2z = z +zx +3x = 2 2006 Tính gía trị biểu thức : M = x  y  z Bài 5(2,0điểm) Giải phơng trình : 3x  x  23 (3x-1) x  = Bài6(2,0điểm) Cho parabol (P) : y = x đờng thẳng (d) qua hai điểm A B thuộc (P) có hồnh độ lần lợt -1 M thuộc cung AB (P) có hồnh độ a.Kẻ MH vng góc với AB, H thuộc AB 1) Lập phơng trình đờng thẳng AB, MH 2) Xác định vị trí M để diện tích tam giác AMB lớn Bài7(2,0điểm) Cho dãy số :1,2,3,4, ,2005,2006 Hãy điền vào trớc số dấu + - có đợc dãy tính có kết số tự nhiên nhỏ Bài8(2,0điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, H trực tâm tam giác Chứng minh : 2(AB + BC +CA) > (AH + BH + CH) Bài 9(2,0điểm) Cho tam giác ABC, AD đờng cao ,D thuộc BC Dựng DE vng góc với AB , E thuộc AB ,DF vng góc với AC, F thuộc AC 1) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp Dựng bốn đờng tròn qua trung điểm hai cạnh kề tứ giác BEFC qua đỉnh tứ giác Chứng minh bốn đờng trịn đồng quy B 10 Một hình chóp cụt có đáy hình vng, cạnh đáy a b Tính chiều cao hình chóp cụt đều, biết diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy 2) ĐỀ SỐ Thời gian: 150 phút Câu I ( điểm) Giải phương trình x2  x   x2  10 x  25  y2 – 2y + = x  2x  Câu II (4 điểm) Cho biểu thức : A= x2  2x  ( x  2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức ( a+b+c)      a b c  1  Câu III (4,5 điểm) Giải tốn cách lập phương trình Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn tổng bình phương chữ số Cho phương trình: x2 –(m+1)x+2m-3 =0 (1) + Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m + Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Câu IV (4 điểm) Cho hình thang cân ABCD, (AB//CD; AB > CD) Hai đường chéo AC BD cắt I Góc ACD = 600; gọi E; F; M trung điểm đoạn thẳng IA; ID; BC Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác MEF tam giác Câu V (3,5 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC có mặt tam giác Gọi O trung điểm đường cao SH hình chóp Chứng minh rằng: góc AOB = BOC = COA = 900 ĐỀ 27 Câu I ( đ ) : Giải phương trình a) x 2007 = x 1 1 x x 1 b) x  x  + x  x  = Câu II ( đ ) : a) Tìm a , b , c biết a , b ,c số dương 32       1     = abc a  b  c  2b 2c 2a b) Tìm a , b , c biết : a= ;b= ;c= 1 b2 1 a2 1 c2 Câu III ( đ ) : b) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác a + b+ c  Tính P = (2006+ a) Tìm GTNN a b c )(2006 + ) ( 2006 + ) b c a x  x  2006 A= x2 Câu IV (3đ ) Cho hình bình hành ABCD cho AC đường chéo lớn Từ C vẽ đường CE CF vng góc cới đường thẳng AB AD Chứng minh AB AE + AD AF = AC2 CâuV (4 đ)Cho hình chóp SABC có SA  AB ; SA  AC ; AB  BC ; AB = BC AC = a ; SA = 2a Chứng minh : a) BC  mp(SAB) b) Tính diện tích tồn phần hình chóp SABC c) Thể tích hình chóp ĐỀ 26 Câu (6 điểm): Giải phương trình a x6 - 9x3 + = b x  6x    c x  2x   x  4x   Câu (1 điểm): Cho abc = Tính tổng 1    a  ab  b  bc  c  ac Câu (2 điểm): Cho số dương a, b, c, d Biết a b c d    1 1 a 1 b 1 c 1 d Chứng minh abcd  81 Câu (4 điểm): Tìm a, b, c Biết a a  b   c   a  b  c  b (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 8) - 32abc = Câu (5 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R, vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn tia OZ vng góc với AB (các tia Ax, By, OZ phía với nửa đường trịn AB) Gọi E điểm nửa đường tròn Qua E vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By, OZ theo thứ tự C, D, M Chứng minh điểm E thay đổi vị trí nửa đường trịn thì: a Tích AC BD khơng đổi b Điểm M chạy tia c Tứ giác ACDB có diện tích nhỏ hình chữ nhật Tính diện tích nhỏ Câu (2 điểm): Tính diện tích tồn phần hình chóp SABC biết tất cạnh hình chóp a   ĐỀ 25 Câu I ( điểm ) Giải phương trình: x3 + 4x2 - 29x + 24 = x 1 x   11 x  x   CâuII (3 điểm ) Tính P = 1999  1999 1999  2000 2000 Tìm x biết x=  13   13  Trong dấu chấm có nghĩa lặp lặp lại cách viết thức có chứa 13 cách vô hạn Câu III ( điểm ) Chứng minh số tự nhiên  1 A = 1.2.3 2005.2006       1   chia hết cho 2007  2005 2006  Giả sử x, y số thực dương thoả mãn : x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= 1  xy x y 3 Chứng minh bất đẳng thức: a3  b3  c3 a  b b  c c  a     2abc c  ab a  bc b  ac Câu IV ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông tai A, đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB, AC E F Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật; Chứng minh AE.AB = AF AC; 3.Đường rhẳng qua A vng góc với EF cắt cạnh BC I Chứng minh I trung điểm đoạn BC; Chứng minh diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vng cân Câu V ( điểm) Cho tam giác ABC với độ dài ba đường cao 3, 4, Hỏi tam giác ABC tam giác ? ĐỀ 24 Bài (5đ) Giải phương trình sau: a, x   x   b, x   x   x   x   Bài (5đ) Cho biểu rhức  x 2 x    x    P=     x  x     x 1 a, Rút gọn P b, Chứng minh 0< x c , Tìm giá trị lớn P Bài 3: (5đ ) Chứng minh bất đẳng thức sau a , Cho a > c , b >c , c > Chứng minh : ca  c   cb  c   ab b, Chứng minh 2005 2006  2005  2006  2006 2005 Bài 4: (5đ) Cho  AHC có góc nhọn , đường cao HE Trên đoạn HE lấy điểm B cho tia CB vng góc với AH , hai trung tuyến AM BK  ABC cắt I Hai trung trực đoạn thẳng AC BC cắt O a, Chứng minh  ABH ~  MKO b, Chứng minh IO3  IK  IM  3 IA  IH  IB ĐỀ 23 Câu1 (6 điểm): a) Chứng minh biểu thức: A= x  ( x  6) x - (x - x  3) (2 - x ) - không phụ thuộc vào x 10 x - 2x - 12 - x -x-2 b) Chứng minh a, b, c a', b', c' độ dài cạnh hai tam giác đồng dạng thì: aa' + bb' + cc' = (a + b + c) (a' + b' + c') c) Tính: B = 17   + 28  16 Câu2 (4 điểm): Giải phương trình: a) 10 x3 - 17 x2 - x + = b) x2 - x + + x2 + 12 x + = Câu3 (2 điểm): Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > Câu (2 điểm): Chứng minh m thay đổi, đường thẳng có phương trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Câu (6 điểm): Cho điểm M nằm đường trịn (O), đường kính AB Dựng đường tròn (M) tiếp xúc với AB Qua A B, kẻ tiếp tuyến AC; BD tới đường tròn (M) a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng b) Chứng minh AC + BD khơng đổi c) Tìm vị trí điểm M cho AC BD lớn ĐỀ 22 Câu 1: (4,5 điểm) : Giải phương trình sau: 1) 2) X  2X 1  X  6X     X  X  ( X  1)(2  X Câu 2: (4 điểm) 1) Chứng minh rằng: 1 1     2 2007 2006 2) Chứng minh a, b, c chiều dài cạnh tam giác thì: ab + bc  a2 + b2 + c2 < (ab + bc + ca) Câu 3: (4 điểm) 1) Tìm x, y, z biết: x y z    x yz y  z 1 x  z  x  y  2) Tìm GTLN biểu thức : x   y  biết x + y = Câu 4: (5,5 điểm): Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, xy tiếp tuyến B với đường tròn, CD đường kính Gọi giao điểm AC AD với xy theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: MCDN tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: AC.AM = AD.AN c) Gọi I đường tâm tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN Khi đường kính CD quay quanh tâm O điểm I di chuyển đường trịn ? Câu 5: (2 điểm): Cho M thuộc cạnh CD hình vng ABCD Tia phân giác góc ABM cắt AD I Chứng minh rằng: BI  2MI ... Câu 5( 3đ) Tổng số học sinh giỏi Toán , giỏi Văn hai trường THCS thi học sinh Giỏi lớn 27 ,số học sinh thi văn trường thứ 10, số học sinh thi toán trường thứ hai 12 Biết số học sinh thi trường... học sinh thi trường thứ lớn lần số học sinh thi Văn trường thứ hai số học sinh thi trường thứ hai lớn lần số học sinh thi Toán trường thứ Tính số học sinh thi trường Câu 6( 3đ) Cho tam giác ABC... SABC biết tất cạnh hình chóp a   ĐỀ 25 Câu I ( điểm ) Giải phương trình: x3 + 4x2 - 29x + 24 = x 1 x   11 x  x   CâuII (3 điểm ) Tính P =  199 9  199 9 199 9  2000 2000 Tìm x biết x=  13