Tổng hợp đề thi thử học sinh giỏi lớp 12 môn toán năm 2013 (Phần 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) TỔ TOÁN –TIN Câu 1(3 điểm): Cho trước số a dãy số thực (xn) xác định sau:  x1  a   x  ln(1  xn2 )  2004 n    n  N* Chứng minh dãy (xn) hội tụ  x  21  y   y Câu (3 điểm): Giải hệ phương trình:   y  21  x   x Câu (3 điểm): Cho a, b, c số dương Chứng minh bất đẳng thức: a  b2 b2  c c  a 3(a  b2  c )    ab bc ca a bc Câu (3 điểm): Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Gọi E giao điểm AC BD, gọi F, G trực tâm tam giác AED tam giác EBC Gọi H trung điểm FG Chứng minh EH  AB Câu (2 điểm): Cho lục giác Tại đỉnh lục giác có chim đậu Vào lúc, tất sáu chim bay lên khỏi vị trí Rồi sau đó, sáu lại đậu xuống lúc, chúng lại đậu xuống đỉnh không thiết đậu xuống vị trí cũ Chứng minh tồn chim cho tam giác tạo đỉnh mà chúng đậu trước bay tam giác mà chúng đậu sau bay Câu (3 điểm): Tìm hàm số f(x) thoả mãn: f ( x  y)  f ( x) f ( y)  2007 x y , x,y  R Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến với (O) A cắt đường thẳng BC D Gọi E tâm đường tròn qua A tiếp xúc BC B, gọi F tâm đường tròn qua A tiếp xúc BC C Chứng minh D, E, F thẳng hàng Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:………………………………………………………… Chú ý: -Giám thị không giải thích thêm -Thí sinh không sử dụng tài liệu ĐÁP ÁN KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN 12 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAO CAI Câu Nội dung Xét hàm số f ( x)  Có : f '( x)  Điểm ln(1  x2 )  2004, x  R x  1 x 0.5 , xR 0.5 Xét hàm số g(x)=x-f(x) Ta có g '( x)  x2  x  0 x2  x  R Do g(x) đồng biến R Mặt khác g(0).g(-2004)0 , x  1, a>0 , a  0.5đ (1)   log log a Đặt : t = x x a2 log a x  log x  log a a log a log x  log  log x  a log a x , b= a log a a x log a log a x 0.5đ Ta phương trình: 2b t b t   t  b  t  2b  (2) t t -Nếu t  b (2)  t  2t  4b  (3) (3) có nghiệm  '   b   Lúc (3) có hai nghiệm t1  1   4b ; t  1   4b 0.5đ Rõ ràng t10 nên a  0.5đ -Nếu t< b (2)  t  2t  Vì t  ( x  1) nên t=2 Theo điều kiện t< b, ta phải có: b>2  log a    a    a  0.5đ Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm a > Khi 1[...]... MB a  x 2 (1đ) Bài V:(2đ) F = 5cotg2A + 16cotg2B + 27 cotg2C = (3+2)cotg2A + (12+ 4) cotg2B +(9+18) cotg2C = (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + 2 cotg2A) (1đ) 12( cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12 Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3 (1đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian 180 phút Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x3 - 3 2 1 3 mx  m (m là...  2 MB a  x 2 (1đ) Bài V:(2đ) F = 5cotg2A + 16cotg2B + 27 cotg2C = (3+2)cotg2A + (12+ 4) cotg2B +(9+18) cotg2C = (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + 2 cotg2A) (1đ) 12( cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12 Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3 (1đ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Bảng B Bài I 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3 -3x +2 (C) 2.Giả sử A,B,C là... 2; -1) nhận véc tơ pháp tuyến n2 = (1; -1)  (d2) : x - y - 3 = 0 Gọi F = (d2)  (dC) Toạ độ điểm F là nghiệm của hệ : 0,5 x-y-3=0  F (0; -3) Vì F là trung điểm AA2  A2(-2; -5) x+y+3=0 Vậy phương trình BC được xác định : BC đi qua A1  BC : 4x - y + 3 = 0 0,5 đi qua A2 *Ghi chú : Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa Người lập Lê Thị đáp án Minh ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Bảng... Giải phương trình x- x 2  5 x-1- x 2  5 4 - 12 2 +8 = 0 Bài 9: (2điểm) Cho hình chóp S ABCD trong đó SA  (ABCD) và SA = 2; ABCD là hình chữ nhật, AB = 1; BC = 3 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SD Bài 10: (2 điểm) Giả sử x,y là 2 số dương thỏa mãn điều kiện 2 3  6 x y Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x+y ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Bài 1: 3 2 a) Với m = 1 thì hàm số có dạng:... qua (dB) và (dC) A(2; -1) dB dC thì A1; A2  BC E F  Phương trình đường thẳng A1A2 cũng chính là phương trình của đường thẳng B B A1 A2 C + Xác định A1 : Gọi (d1) là đường thẳng thoã mãn : (d1) đi qua A (d1)  (dB)  (d1) đi qua A ( 2; -1) nhận véc tơ pháp tuyến n1 = (2; 1)  (d1) : 2x + y - 3 = 0 Gọi E = (d1)  (dB)  Toạ độ điểm E là nghiệm của hệ : 2x + y - 3 = 0  E (1 ;1) vì E là trung điểm AA1... (0.5đ) x=1  y=3 Thõa mãn điều kiện Câu II điều kiện x # -1 Ta có bất phương trình ln x 1 > ln(x2-x +1) 2 (0.5đ) x  1 > 2(x2-x +1) (1) (0.5đ) * Nếu x+1 > 0 x>-1 thì (1) x+1 >2(x2-x +1) 2x2-3x +1 -1) (0.5đ) * Nếu x + 1 2(x2-x +1) (1) (0.5đ) * Nếu x+1 > 0 x>-1 thì (1) x+1 >2(x2-x +1) 2x2-3x +1 -1) (0.5đ) * Nếu x + 1 0 trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) y’ ... + y + = Hãy lập phương trình đường thẳng BC./ (Trích đề thi ĐH Thương mại năm 1999) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 Thời gian : 180 phút Nội dung Bài TXĐ : D= R 0,25... Tìm giá trị nhỏ tổng x+y ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Bài 1: a) Với m = hàm số có dạng: y = x  x  * TXĐ: D = R (0,25)  Chiều biến thi n y’ = 3x2 – 3x = 3x(x -1) x  y’ =  ... hàng Ghi chú: Nếu thí sinh làm theo cách khác đáp án cho điểm tối đa 0.5 SỞ GD VÀ ĐT THÁI BÌNH TRƯỜNG THPT BẮC ĐÔNG QUAN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG Môn: ***** - Toán -o0o -o0o