TOÁN bồi DƯỠNG kĩ NĂNG CHỨNG MINH về NHÂN, CHIA đa THỨC

  HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1.  Vào trang http://tilado.edu.vn 2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký 3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc 4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất 5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm để tiện truy cập Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado® Tilado® MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP BÀI TẬP 1. Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x ( ) b.  B = 4x (x − 7x + ) − (x − 7x a.  A = − 3x(x − 5) + x − 4x − 3x + 10 + 2x − ) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81162 2. Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến a.  A = x(2x + 1) − x 2(x + 2) + x − x + b.  B = 4(6 − x) + x 2(2 + 3x) − x(5x − 4) + 3x 2(1 − x) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811112 3. Chứng minh rằng biểu thức n(2n − 3) − 2n(n + 1) luôn chia hết cho 5 với  n ∈ Z .    Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811123 4. Cho a, b là các số nguyên. CMR a.  Nếu 2a + b ⋮ 13 ; 5a − 4b ⋮ 13 thì a − 6b ⋮ 13 b.  Nếu 100a + 4b ⋮ 7 thì 4a + b ⋮ 7  Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811153 5. Chứng minh: a.  (x − 1)(x + x + 1) = x − b.  (x + x 2y + xy + y 3)(x − y) = x − y Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81221 6. Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81231 7. Chứng minh rằng biểu thức (n − 1)(3 − 2n) − n(n + 5) ⋮ ∀n   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81241 8. Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x a.  A = 5x − (2x + 1)(x − 2) − x(3x + 3) + b.  B = (3x − 1)(2x + 3) − (x − 5)(6x − 1) − 38x c.  C = (5x − 2)(x + 1) − (x − 3)(5x + 1) − 17(x − 2) d.  D = − 3(x − 4)(x − 2) + x(3x − 18) − 25 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81262 9. Chứng minh đa thức sau vô nghiệm: a.  f(x) = (x − 1)(x + 2) − (x − 3) b.  g(x) = (3 − x)(4 + x) − (13 − x) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81292 10. Cho biểu thức: B = (x + 1)(y + 1) − (x + 4)(x − 4) − (y − 5)(y + 5) Chứng minh B ≥ 42 ∀x, y. Với giá trị nào của x; y thì B = 42   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/812123 11. Chứng minh rằng: a.  Nếu x; y ∈ N thì: A = (2x + x)(2y − y) − xy(4xy − 1) ⋮ b.  Nếu x; y ∈ N và x + y ⋮ 13 thì: B = x n(x + 1) + x n(y − 1) ⋮ 13 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/812143 12. Chứng minh rằng nếu x; y ∈ Z thì: M = (xy − 1)(x 2015 + y 2015) − (xy + 1)(x 2015 − y 2015) ⋮   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/812153 13. CMR các bất đẳng thức sau thỏa mãn với mọi x, y: a.  A = x + xy + y + > b.  B = x + 5y + 2x − 4xy − 10y + 14 > c.  C = 5x + 10y − 6xy − 4x − 2y + > Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/813153 14. Xét biểu thức f(x) = (2x − 5) − 4(2x − 5) + a.  Chứng minh f(x) ≥ 1 với mọi giá trị của x b.  Với giá trị nào của x thì f(x) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/813183 15. Cho x − y − z = 0 . Chứng minh rằng  (5x − 3y + 4z)(5x − 3y − 4z) = (3x − 5y)   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/813193 16. Cho a + b + c + = 2(a + b + c) . Chứng minh rằng a = b = c = 1.    Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/813203 17. Chứng minh rằng: a.  n 2(n + 1) + 2n(n + 1) ⋮ ∀n ∈ Z b.  55 n + − 55 n ⋮ 54 ∀n ∈ N Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81441 18. Chứng minh rằng: a. 7 19 + 20 + 21 ⋮ 57 b. 2 10 50 − 32   ⋮ 31 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/814123 19. Chứng minh rằng: a = b = c biết a + b + c = ab + bc + ca   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/814133 20. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì a.  (n + 3) − (n − 1) 2 chia hết cho 8 b.  (n + 6) − (n − 6) 2 chia hết cho 24 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/815102 21. Cho a + b = 1; c + d = 1; ac + bd = 0 . Chứng minh rằng ab + cd =   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/815143 22. Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên lẻ thì: A = n + 3n − n − ⋮   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/816123 23. Chứng minh rằng: a.  a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca) b.  (a + b + c) − a − b − c = 3(a + b)(b + c)(c + a) Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/816143 24. Chứng minh rằng: ( a.  − ) ⋮ ( b.  − 10 73 ) ⋮ Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81772 25. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A = (2n − 1) − (2n − 1) luôn chia hết cho 24   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/817112 26. Chứng minh rằng giá trị mỗi biểu thức sau luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến ( b.  B = (x + y )(z ) a.  A = (x − y) z − 2z + − 2(z − 1)(x − y) + (x − y) 2 2 ) ( ) − 4z + − 2(z − 2) x + y + x + y Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/817123 27. Chứng minh rằng với mọi số nguyên m thì ( a.  m − m ) ⋮ b.  m + 5m và m − 19m cũng luôn chia hết cho 6 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/817133 28. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/817153 29. Chứng minh giá trị của mỗi đa thức sau luôn không âm với mọi giá trị của các biến a.  A = (x − y) 2(z − 2z + 1) − 2(z − 1)(x − y) + (x − y) b.  B = (x + y 2)(z − 4z + 4) − 2(z − 2)(x + y 2) + x + y Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81882 30. Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên với  n ∈ Z a.  A = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) + b.  B = n − 4n − 2n + 12n + Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/818133 31. Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 4abcd với a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/819153 ( 32. Chứng tỏ rằng đa thức A = x + ) + (x + ) ( + 21 x + luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến x   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/819143 33. Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng  B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y 2z 2 là một số chính phương   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/819133 ) − x − 31 34. Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức  M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) + 1 là bình phương của một số nguyên   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/819123 35. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng B = x − 4x − 2x + 12x + 9 là bình phương của một số nguyên   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/819112 36. Cho đa thức f(x) = 3x − 7x + 4x − a. Chứng minh rằng f(x) ⋮ x − b. Tìm thương trong phép chia đa thức f(x) cho x − 2 từ đó phân tích f(x)ra thừa số   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811092 37. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa thức g(x) = x + 8x + 10   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/8110133 38. Cho x; y; z ∈ Z ∗ , biết a = x − xy; b = y − xz; c = z − xy.  Chứng minh rằng: ax + by + cz ⋮ a + b + c   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/8110153 39. Chứng minh rằng a.  51 − ⋮ b.  70 + 70 ⋮ 13 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811121 40. Chứng minh rằng: a.  17 19 + 19 17 ⋮ 18 b.  4n − ⋮ 15 , n ∈ N Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811131 41. Chứng minh rằng: a.  Tích của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 8 b.  Tích ba số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 48 Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811141 42. Chứng minh rằng với a ∈ Z ( a.  a − a ) ( b.  a − a ⋮ ) ⋮ Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811152 43. Chứng minh rằng: a.  Nếu (a 2 + b 2)(x 2 + y 2) = (ax + by) 2 với x; y ≠ 0 thì  a x = b y b.  Nếu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz)  với x; y; z ≠ 0 thì  a x = b y = Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/8114145 44. Chứng minh rằng n + n − 2n 2 chia hết cho 72   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/8114105 45. Chứng minh rằng: Nếu x + y + z + t = 4xyzt và x , y, z, t là các số dương thì x = y = z = t   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811455 c z ... b. Tìm thương trong phép chia đa thức f(x) cho x − 2 từ đó phân tích f(x)ra thừa số   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/811092 37. Chứng minh đa thức f(x) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 chia hết cho đa. .. 6. Cho a và b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 dư 1; b chia cho 3 dư 2. Chứng minh rằng ab chia cho 3 dư 2   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/81231 7. Chứng minh rằng biểu thức (n − 1)(3 − 2n) − n(n + 5)... 35. Cho x là số nguyên. Chứng minh rằng B = x − 4x − 2x + 12x + 9 là bình phương của một số nguyên   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/662/819112 36. Cho đa thức f(x) = 3x − 7x + 4x − a. Chứng minh rằng f(x)