Tích phân mặt

Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt II.. Bài tâp tích phân măt II.1.Bài tập trong ngân hàng đề II.2.Bài tập ngoài ngân hàng đề... Giới thiệu sơ lược các lý thuyết c

NỘI DUNG

I Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt

II Bài tâp tích phân măt

II.1.Bài tập trong ngân hàng đề

II.2.Bài tập ngoài ngân hàng đề

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

MỤC LỤC

I Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt………… 4

I.1 Tích phân mặt loại ……… …….4

I.2 Tích phân mặt loại 2……… …………9

II Bài tâp tích phân măt……….11

II.1.Bài tập trong ngân hàng đề………11

II.1.Bài tập ngoài ngân hàng đề………25

I Giới thiệu sơ lược các lý thuyết cơ bản của tích phân mặt:

I.1 Tích phân mặt loại 1:

1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên mặt S Chia S thành n mặt con  S1,  S2, , �, 

Sn không chồng lên nhau và diện tích tương ứng của các mặt con cũng ký hiệu là 

S1,  S2, , �,  Sn Trong mỗi mặt  Silấy một điểm Mi(xi, yi, zi ) bất kỳ Lập tổng tích phân:

Khi cho max {d( Si) } -> 0 (d( Si) : đường kính của mặt  Si), nếu tổng tích phân Sn tiến tới 1 giá trị hữu hạn không phụ thuộc cách chia mặt S và cách lấy các điểm Mi thì giới hạn đó gọi là tích phân mặt loại 1 (còn gọi là tích phân mặt theo diện tích của hàm f(x,y,z) trên mặt S ) và ký hiệu :

Khi đó ta nói f khả tích trên S

Mặt S được gọi là mặt trơn nếu hàm vectơ pháp tuyến liên tục và khác 0 trên S Đã chứng minh được rằng : nếu f(x,y,z) liên tục trên mặt cong trơn S thì tích phân mặt loại 1 của f(x,y,z) trên S tồn tại

Trong đó  Di là diện t ích hình chiếu của  Si xuống mặt phẳng xy Như vậy ta cótổng tích phân mặt loại 1 là :

Vế phải là tổng tích phân kép, khi qua giới hạn ta có:

Như vậy tích phân mặt loại 1 được biểu diễn ở dạng tích phân kép trên hình chiếu Khi lấy f =1 ta lại có công thức tính diện tích mặt cong ở chương 1

Thí dụ 1 : Tính S là mặt biên vật thể  : x2+y2  z  1

Vật thể  là hình nón, nên S bao gồm 2 mặt S = S1 + S2, trong đó S1 = mặt nón , S2 : mặt đáy của hình nón, tuy nhiên S1, S2 cùng có hình chiếu là mặt tròn : x2 + y2  1 Vì thế ta có :

Với mặt nón S1 : z =



 Với mặt đáy S2 : z = 1, ds = dxdy, cho nên

Vậy: I =

Thí dụ 2 : Tính S là các mặt hình lập phương:0 x  1, 0 y  1, 0 z

 1

(Hình 5.1 )

Do S là 6 mặt của hình lập phương, nhưng xyz =0 trên 3 mặt nằm trên 3 mặt phẳng tọa độ ( xy, xz, yz), nên ta chỉ cần tích phân trên các mặt a), b), c) trên(hình 5.1) :

Mặt a) : z=1, D: hình vuông : 0 x,y  1 trong mặt xy, nên :

Tương tự ta có :

Vậy I =

4 Ứng dụng của tích phân mặt loại 1

Cho mặt S có khối lượng riêng theo diện tích là  (x,y,z) tại điểm (x,y,z) Khi đ :�,

Khối lượng của mặt S là :

Moment tĩnh đối với c c mặt tọa độ của mặt S là:�,

Tâm khối lượng của mặt S là điểm c tọa độ :�,

Moment quán tính đối với trục Ox, Oy, Oz , với góc O và đường thẳng  là:

Trong đó r(x,y,z) là khoảng cách từ điểm M(x,y,z) tới đường thẳng 

Thí dụ 3 : Tìm trọng tâm của nửa mặt cầu tâm O(0.0,0) bán kính a, với khối lượng

riêng  = hằng số

Gọi M(x,y,z) là trọng tâm của nửa mặt cầu tâm O(0.0,0) bán kính a Khi đó có phương trình mặt cầu là S : x2 + y2 + z2 = a2, z  0 Do tính đối xứng nên x = 0, y

=0 ta chỉ cần tính z theo công thức

S là diện tích nửa mặt cầu bán kính a: S=2 a2 , và D là hình tròn bán kính a, hình chiếu của mặt cầu trên mặt phẳng xy

 Trọng tâm có tọa độ: (

I.2 Tích phân mặt loại 2:

II Bài tâp tích phân măt:

II.1.Bài tập trong ngân hàng đề:

Câu 52/76: Tính tích phân mặt loại một: I=∬ds trong đó s là mặt z=3, 0≤ x ≤ 1, 0

Đặt x=rcosφ 0 ≤ r ≤√6

Câu 71/79: Tính tích phân mặt loại một: I=∬xyzds , trong đó s là mặt của hình lập phương

Câu 96/81:Tính tích phân mặt loại 2 I=∬zdxdy trong đó s là mặt trên của mặt 0≤ x ≤

Câu 99/82:Tính tích phân mặt loại 2 I=∬zdxdy trong đó s là mặt trên của mặt x+y

II.2.Bài tập ngoài ngân hàng đề:

Câu 1: Tính tích phân mặt loại một: I=∬(6 x−6 y+3 z )ds , trong đó s là mặt 2y+z-2=0, x2

I=18(sin 2 π-sin 0)(13-0)=0

Câu 3: Tính tích phân mặt loại một: I=∬ds , trong đó s là mặt 3x+4y+z=0,

Câu 4: Tính tích phân mặt loại một: I=∬yz( x +2 y +z)ds

trong đó s là mặt x+2y+z=3,0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤2

Bg:

Ta có: x=3-2y-z

Câu 5: Tính tích phân mặt loại một: I=∬(2 x + y + z ) ds

2

Vì>=0 nên ta có I=√23

2 =√

3 4

Câu 6: Tính tích phân mặt loại một: I=∬ds

trong đó s là mặt y=x;0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1

Câu 11: Tính tích phân mặt loại một: I=∬ds trong đó s là mặt z=4, 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 2.

Z’y=-1 z' 2

y=1Đặt x=rcos ;1 ¿ r ¿√2 ;

Câu 17:Tính I= ∬(2x+4 y+z)ds trong đó s là mặt x+4y+z-2=0;x+y ¿ 1 ;x ¿ 0 ;y

Ta có 3 tích phân cuối cùng =0 vì là các mặt trụ có đường sinh song song trục Oz.Trên mặt S1 có z=0 nên :

Trên S2 z=−√R2−x2−y2ta có và khi đưa về tích phân kép thì lấy dấu âm

(do vecto pháp tuyến hướg xuống dưới) nên:

Vậy :

theo phía ngoài của S là biên hình chóp x≥ 0, y≥ 0 z≥ 0, x+y+z ≤1

Giải:

Ta có Chiếu V lên mặt phẳng Oxy được tam giác

x+y ≤ 1, x≥ 0, y≥0

Câu 25: Tính I=∬xyzds, S là các mặt hình lập phương 0≤ x ≤ 1, 0≤ y≤1, 0≤ z≤ 1

Do S là 6 mặt của hình lập phương xyz trên 3 mặt nằm trên

3 mặt phẳng tọa độ( xy, xz, yz) nên ta chỉ cần tích phân trên

Vậy I=3/4

Câu 26: Tính ∬( x+ y+ z ) ds, với S là mặt x + y +z=1, nằm trong góc phần tám thứ