tích phân fourier và một số tính chất

Lí do chọn đề tài Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biếnđổi Fourier ra đời trước tiên, mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra kháiniệm khai triển một hàm số t

ĐỖ THẾ HẢI

TÍCH PHÂN FOURIER

VÀ MỘT SỐ TÍCH CHẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Sơn La, năm 2014

Giáo viên hướng dẫn: Th.S VŨ VIỆT HÙNG

Sơn La, năm 2014

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy Vũ Việt Hùng, người

đã định hướng nghiên cứu và hướng dẫn tận tình, giúp đỡ em về tài liệunghiên cứu cũng như động viên em có thêm nghị lực hoàn thành khóaluận này

Trong quá trình làm khóa luận, em cũng đã nhận được sự giúp đỡ củacác thầy cô giáo trong Khoa Toán - Lý -Tin, đặc biệt là thầy giáo: Thạc sĩ

Vũ Việt Hùng và các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH

& QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc, các bạn sinh viên lớp K51ĐHSP Toán - Lí Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ động viên của quýthầy cô, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luậnnày

Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo cùng với sự nỗ lực của bản thân,mặc dù đã rất cố gắng, song do trình độ nghiên cứu khoa học còn hạnchế, thiếu kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót và kếtquả còn chưa được như mong muốn Em rất mong nhận được sự chỉbảo, đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên KhoaToán - Lý - Tin để khóa luận này được hoàn thiện hơn Nhân dịp này,cho phép em xin được bày tỏ lòng biết ơn về những sự giúp đỡ quý báunói trên

Em xin trân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014

Người thực hiện

ĐỖ THẾ HẢI

Mục lục

1.1 Không gian Lp 3

1.1.1 Các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân 3

1.1.2 Không gian Lp, 1≤ p≤∞ 4

1.1.3 Tích chập 5

1.2 Một vài định lí về không gian Banach và không gian Hilbert 6 1.3 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert 8

1.4 Tích phân Dirichlet 10

2 Chuỗi Fourier 13 2.1 Một số khái niệm 13

2.1.1 Hàm tuần hoàn 13

2.1.2 Hàm điều hòa 13

2.1.3 Các hệ số Fouirer 14

2.1.4 Hệ trực giao của các hàm 17

2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier 17

2.2.1 Sự hội tụ 18

2.2.2 Sự hội tụ đều 19

2.3 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier 24

2.4 Tính đầy đủ của các hệ đa thức 28

2.5 Tính chất của các hệ số Fourier 31

2.6 Đạo hàm, tích phân, và tính hội tụ của chuỗi Fourier 34

2.7 Dạng phức của chuỗi Fourier 38

3 Biến đổi Fourier 40 3.1 Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier 40

3.2 Dạng khác của công thức Fourier 44

3.3 Biến đổi Fourier 46

3.4 Các tính chất của biến đổi Fourier 49

3.5 Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier 54

3.6 Tích chập và biến đổi Fourier 56

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Có thể nói trong số những biến đổi tích phân phổ biến nhất thì biếnđổi Fourier ra đời trước tiên, mặc dù trước Fourier, Euler đã đưa ra kháiniệm khai triển một hàm số theo chuỗi lượng giác, song lý thuyết nàychưa được hoàn chỉnh Fourier viết xong công trình về biến đổi Fouriervào năm 1807, nhưng do sự hoài nghi của các nhà toán học thời bấy giờnhư Lagrange, Laplace, Poisson v.v nên phải chờ đến năm 1815 côngtrình của Fourier mới được công bố Lí thuyết của ông được hình thành

và phát triển trong quá trình tìm hiểu về truyền nhiệt

Từ khi ra đời cho đến nay, lý thuyết chuỗi đóng vai trò quan trọngtrong giải tích toán học Có nhiều bài toán trong toán học và trong thựctiễn dẫn đến việc nghiên cứu phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier

có nhiều ứng dụng trong khoa học hiện nay Đặc biệt được sử dụngnhiều trong toán học và trong vật lý kỹ thuật, áp dụng phương phápnày vào các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, biến các phươngtrình này thành các phương trình đại số, hoặc phương trình đạo hàmriêng có số biến ít hơn Vì vậy, việc tiếp cận và tìm hiểu về phép biến đổiFourier, tích phân Fourier và tính chất của nó là điều bổ ích và cần thiết

Do đó em chọn đề tài: “Tích phân Fourier và một số tính chất” làm khóa

luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là trình bày về phép biến đổi Fourier,tích phân Fourier và một số tính chất Từ đó cung cấp tài liệu tham khảocho các bạn sinh viên ngành toán trường Đại học Tây Bắc

Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về tích phân Fourier và một số tích chất

Trình bày một số phép biến đổi Fourier, các tính chất

2.3 Phạm vi nghiên cứu

Khóa luận sẽ trình bày về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier vàcác tính chất cơ bản

3 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, đọc tài liệu, phân tích tổng hợp các ý kiến

Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng nhưseminar với tổ bộ môn, giáo viên hướng dẫn từ đó tổng hợp kiến thức vàtrình bày theo đề cương ngiên cứu, qua đó thực hiện kế hoạch và hoànthành đề tài

4 Những đóng góp của khóa luận

Đề tài trình bày đầy đủ, có hệ thống kèm theo chứng minh chi tiết cácđịnh lý, các tính chất Sẽ là tài liệu tham khảo có giá trị cho các bạn sinhviên quan tâm phép biến đổi Fourier và tích phân Fourier

5 Cấu trúc khóa luận

Với mục đích như trên đề tài được chia thành 3 chương với những nộidung chính sau đây:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, và cáckiến thức có liên quan khác

Chương 2: Trình bày các kiến thức về chuỗi Fourier, các tính chất củachuỗi Fourier

Chương 3:Trình bày kiến thức về phép biến đổi Fourier, tích phân Fourier

và các tính chất

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này chủ yếu nhắc lại các kết quả của giải tích và giải tích hàm

để làm kiến thức chuẩn bị cho các chương sau Các kết quả này phần lớn

là không chứng minh và có thể tham khảo trong [1], [3]

1.1 Không gian Lp

1.1.1 Các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân

Dưới đây là các định lí quan trọng của lí thuyết tích phân

Định lý 1.1. (Định lí hội tụ đơn điệu của Beppo Levi) Cho {fn} là dãy tăng các hàm khả tích (Lesbesgue) trên tập Ω⊂ R Nsao cho sup

Định lý 1.2. (Định lí hội tụ bị chặn Lesbesgue) Cho {fn} là một dãy các

hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω Giả sử

Hệ quả 1.3 Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω Nếu | (x)| ≤

g(x)hầu hết trên Ω thì f khả tích trên Ω.

Suy ra, nếu | | khả tích thì f khả tích (điều ngược lại cũng đúng).

Bổ đề 1.4. (Bổ đề Fatou) Giả sử {fn} là một dãy các hàm khả tích sao cho

Định nghĩa 1.7. Cho p∈ R với 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa Lp(Ω) = {f :

Ω→ R (hoặc C); do f đo được và | |p khả tích }, L∞(Ω) = {f :Ω → R

(hoặc C); f đo được và ∃C,|f(x)| ≤ C}, và ký hiệu

Nhận xét 1.8. Nếu f ∈ L∞(Ω) thì

|f(x)| ≤ kfk∞,∀x∈Ω

Thật vậy, có dãy {Cn}hội tụ về kfk∞ sao cho∀n,|f(x)| ≤Cn hầu hết trên

Ω Vì vậy với mỗi n,|f(x)| ≤ Cn,∀x ∈ Ω\En, trong đó En là tập khôngđáng kể (có độ đo 0) Đặt E = ∪nEn thì E là tập không đáng kể và vớimỗi n,|f(x)| ≤ Cn,∀x∈Ω\E, suy ra |f(x)| ≤ kfk∞,∀x ∈Ω\E

Ta kí hiệu q là số liên hợp của p, 1≤ p≤ ∞ nghĩa là 1

Định lý 1.11 Giả sử ϕ∈ L1(R N)và ψ ∈Lp(R N)với 1≤ ∞ Khi đó, với mỗi

x∈R N, hàm số y7→ ϕ(t)ψ(x−t)khả tích trênR Nvà ϕ∗ψ∈Lp(R N) Hơn

nữa,

kϕ∗ψkp ≤ kϕk1kψkp.

1.2 Một vài định lí về không gian Banach và không gian Hilbert

Định nghĩa 1.12. Cho E và F là hai không gian định chuẩn và f là ánh

xạ tuyến tính từ E vào F Ta định nghĩa

k f k=sup{k f k: x ∈E,kx k≤1}.Ánh xạ f được gọi là bị chặn nếu k f k< +∞

Định lý 1.13 Giả sử f : E→ F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian định

chuẩn E và F Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

a, f liên tục đều trên E;

b, f liên tục trên E;

c, f liên tục tại 0∈ E;

d, f bị chặn trên hình cầu đóng đơn vị, tức là

sup{k f(x) k:k xk≤1} < +∞;

e, Tồn tại hằng số C≥ 0 để k f(x) k≤C k xk với mọi x ∈E.

Định nghĩa 1.14. Giả sử f : X→ Y là ánh xạ giữa các không gian metric

X và Y Ta nói f là ánh xạ mở nếu ảnh f(G) của mọi tập mở trong X làtập mở trong Y

Nhận xét 1.15 f : X →Y là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu f(B(x,r))là lân cậncủa f(x)với mọi x ∈ Xvà với mọi r >0

Nhận xét 1.16. Nếu f : E → F là ánh xạ tuyến tính giữa các không gianđịnh chuẩn E và F thì f là mở nếu và chỉ nếu f(B(0,r))là lân cận của 0∈Fvới mọi r > 0

Định lý 1.17. (Định lí ánh xạ mở) Mọi toàn ánh tuyến tính liên tục f : E→

F từ không gian Banch E lên không gian Banach F đều là ánh xạ mở.

Định nghĩa 1.18. Dạng hermite trên không gian vector phức E là ánh xạ

ϕ:E ×E→ C

(x, y) 7−→ ϕ(x, y)thỏa mãn các tính chất sau:

a, ϕ(x1 + x2, y) = ϕ(x1, y) + ϕ(x2, y) với mọi x1, x2, y∈ E

b, ϕ(λx, y) =λϕ(x, y) với mọi x, y∈E, với mọi λ∈C.

c, ϕ(x, y) = ϕ(y, x) với mọi x, y ∈ E, dấu gạch kí hiệu cho liên hợpphức

d, ϕ(x, x) ≥0,∀x∈E

e, ϕ(x, x) = 0 nếu và chỉ nếu x= 0

Mệnh đề 1.19. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz.) Giả sử ϕ là dạng

her-mite dương trên không gian vector E Khi đó

|ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, y).ϕ(y, y)với mọi x, y ∈E

Chứng minh. Đặt a = φ(x, x), b = φ(x, y), c = φ(y, y) Chú ý rằng a, c làcác số thực không âm và bất đẳng thức cần chứng minh là: |b|2 ≤ac Với

mọi λ∈C ta có.

0≤ φ(x+λy, x+λy) = φ(x, x) +λφ(x, y) +λφ(y, x) +λλφ(y, y).Hay

a+λb+ λb+λλc≥ 0 với mọi λ∈C. (1.1)Nếu một trong các số a hoặc c dương, chẳng hạn c > 0 ta thay λ= −bcvào bất đẳng thức (1.1) ta được

Nếu a =c =0 ta thay λ = −b, a = c= 0 vào bất đẳng thức (1.1) ta được

−2|b|2 ≥ 0 do đó b = 0 và ta vẫn thu được |b|2 ≤ ac Tóm lại trong mọitrường hợp ta đều có |b|2 ≤ ac

Mệnh đề 1.20. (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu ϕ là dạng hermite dương

trên không gian vector E thì

Định nghĩa 1.21. Ta gọi dạng hermite ϕ xác định dương trên không gian

vector E là tích vô hướng trên E

Nếu E là tích vô hướng trên E thì chúng ta ký hiệu ϕ(x, y) bởi hx, yi

và gọi hx, yilà tích vô hướng của hai vector x và y

Định nghĩa 1.22. Không gian vector E cùng với tích vô hướng hx, yi đãcho trên E được gọi là không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.23. Không gian tiền Hilbert E được gọi là không gianHilbert nếu E cùng với chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên E là một khônggian Banach

1.3 Hệ trực giao, trực chuẩn trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.24. Giả sử E là không gian Hilbert Hệ các vector {xα}α∈Igọi là hệ vector trực giao nếu xα ⊥ xβ với mọi α 6= βvà xα 6=0 với mọi α.Ngoài ra, nếu kxαk =1,∀α∈ I thì {xα}α∈I gọi là hệ vector trực chuẩn.Như vậy {xα}α∈I là hệ trực chuẩn nếu và chỉ nếu

Định lý 1.25 Nếu {xn}∞n=1 là hệ trực giao trong không gian Hilbert E thì

Định nghĩa 1.26. Giả sử {ei}i∈I là hệ các vector trong E Ta nói {ei}i∈I là

hệ đầy đủ nếu từ điều kiện x⊥ei với mọi i∈ I suy ra x =0

Định nghĩa 1.27. Hệ {ei}i∈I gọi là cơ sở trực giao nếu nó là hệ trực giao

và đầy đủ Ngoài ra nếu keik =1 với mọi i∈ I thì cơ sở trực giao này gọi

là cơ sở trực chuẩn

Định lý 1.28. (Bất đẳng thức Bessel) Giả sử{en}n≥1 là hệ trực chuẩn trong

E Khi đó, với mọi vector x ∈E ta có:

Định lý 1.29 Cho {en}n≥1 là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E Khi

đó các khẳng định sau là tương đương:

a,{en}n≥1 là cơ sở trực chuẩn của E.

1.4 Tích phân Dirichlet

Trong mục này sẽ phát biểu một bổ để về tích phân Dirichlet, công cụ

để khảo sát tính chất hội tụ của chuỗi Fourier và tích phân Fourier trongcác chương sau Trước hết ta có định nghĩa sau đây về các hàm có biếnphân bị chặn

Định nghĩa 1.30. Cho f là hàm số (thức hoặc phức) xác định trên [a, b].Giả sử P = {x0, x1, , xn} là một phân hoạch của [a, b], nghĩa là a = x0 <

Ví dụ 1.31. a, Nếu f là hàm số thực đơn điệu trên[a, b]thì f có biến phân

bị chặn trên [a, b] và V(f) = |f(b) − f(a)|

b, Nếu f là hàm số thực với f0 tồn tại và bị chặn trên [a, b], nghĩa là

| 0| ≤ M trên [a, b], thì f có biến phân bị chặn trên [a, b] Thật vậy, dođịnh lí Lagrange về giá trị trung bình của phép tính vi phân, ta có

Tính chất 1.32. Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định trên [a, b].Khi đó

a, f có biến phân bị chặn nếu và chỉ nếu Re(f)và Im(f), kí hiệu phầnthực và phần ảo của f , có biến phân bị chặn

b, Nếu f có biến phân bị chặn thì f bị chặn, cụ thể

| (x)| ≤ |f(a)| +V(f ; a, b),∀x∈ [a, b]

c, Nếu f là hàm thực có biến phân bị chặn thì tồn tại hai hàm thực p

và q đơn điệu tăng trên [a, b] sao cho

f(x) = p(x) −q(x),∀x∈ [a, b].Hơn nữa, nếu f liên tục thì p, q cũng liên tục

Nhận xét 1.33. Từ ví dụ a và tính chất c, ta thấy rằng có mối liên hệ chặtchẽ giữa hàm đơn điệu và hàm có biến phân bị chặn Tính chất c cũngcho ta thấy f khả tích trên [a, b] nếu f có biến phân bị chặn trên [a, b]

Bổ đề 1.34. (Tích phân Dirichlet) Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xác định

trên (a, b) thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet sau đây

i, Tồn tại f(a+), f(b−) và f có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b], (ta xem như f xác định trên [a, b] với giá trị tại biên là f(a+) và f(b−)).

ii, Có hữu hạn điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đi các điểm lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của đoạn [a, b]; hơn nữa f ∈ L1(a, b).

Trong đó A0, A1, , α1, α2 là các hằng số có giá trị đặc biệt với mỗi hàm

như trên, ω = 2πT gọi là thành phần điều hòa của hàm ϕ(t)

Quá trình khai triển các hàm tuần hoàn thành các thành phần điều hòagọi là giải tích điều hòa

Nếu ta chọn làm biến độc lập x = ωt = 2πtT thì ta thu được hàm đối với

Khai triển các số hạng của chuỗi (2.2) theo công thức sin của tổng và đặt

a0 = A0, an = Ansin αn, bn = Ancos αn, (n= 1, 2, ), khi đó ta được

f(x) = a0 + (a1cos x+b1sin x) + (a2cos 2x+b2sin 2x) +

(2.3) được gọi là hàm điều hòa

−π

− 12

Euler-Nếu hàm f(x)được khai triển dạng

thì ta gọi hệ đó là hệ trực giao của các hàm

Khi đó ta luôn giả thiết rằng

b

R

a

ϕ2n(x)dx = λn >0

Nếu λn = 1, n=1, 2, , thì hệ được gọi là trực chuẩn

Nếu λn 6=1, n=1, 2, , thì nếu cần chuyển qua hệ

n

ϕ√ n ( x )

λn

o, hệ này là hệtrực chuẩn

2.2 Sự hội tụ của chuỗi Fourier

Trong mục này, ta xét sự hội tụ của chuỗi Fourier với công cụ là bổ đề

về tích phân Dirichlet đã phát biểu trong chương 1

2.2.1 Sự hội tụ

Định lý 2.2 Cho f ∈ L1[−π ; π] Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong

(−π ; π), thì chuỗi Fourier của hàm f sẽ hội tụ về f(x) tại những điểm x ∈(−π ; π) mà tại đó hàm f liên tục, hội tụ về 12[f(x+) + f(x−)], nếu x là

điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về 12[(−π+) + f(π−)] tại x = ±π nếu

n → ∞Sn(x) = 1

2 f(π−) + f(π+) Với x = −π, chứng minh tương tự

Chú thích: Có những hàm f liên tục trên[−π ; π] mà tại một điểm nào

đó thuộc đoạn [−π ; π], chuỗi Fourier của f không hội tụ

2.2.2 Sự hội tụ đều

Định lý 2.3 Cho f ∈ L1[−π ; π] Giả sử rằng f bị chặn, thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên [−π ; π] Giả sử f liên tục trên khoảng (u; v) ⊂ (−π ; π) Khi

đó, chuỗi Fourier của f hội tụ đều về f trên một đoạn bất kỳ [a, b] ⊂ (u; v)

Chứng minh. Trước hết ta thác triển f thành hàm xác định trên R, tuần

hoàn với chu kỳ 2π bằng công thức

f(x+2π) = f(x).Khi đó, trong bất kỳ đoạn nào, ví dụ đoạn [−2π; 2π], f được biểu diễndưới dạng

f = F− G,với F và G là các hàm bị chặn, không âm và đơn điệu tăng Ngoài ra, F

và G liên tục tại các điểm mà f liên tục

Để chứng minh sự hội tụ đều, cho trước số ε>0 bất kỳ, ta sẽ tìm được số

n0 ∈N sao cho với mỗi n > n0, bất đẳng thức "|Sn(x) − f(x)| < ε" đúngcho ∀x∈ [a; b] Thật vậy, với mỗi x∈ [a; b], ta có

=

... (0;π

2) Do đó, theo định lý thứ hai giá trị trung bình

của tích phân, tồn ξ ∈ [0; µ] cho

=

π[F(x+2µ) − F(x)... class="text_page_counter">Trang 27

Sau đây, ta xét số hạng bên vế phải (2.8) Ta có

=

≤

(2.10)

Ta