Ta đã biết thế nào là đa thức đại số bậc n. Bây giờ ta có thêm khái niệm đa thức lượng giác bậc n, đó là hàm lượng giác
A0 + n ∑ k=1
Akcoskx +Bksinkx, A2n +Bn2 6= 0.
Định lý 2.7. (Weierstrass I)Nếu hàm f liên tục trên đoạn[−π,π]và f(−π) =
f(π)thì với mỗi ε≥ 0,tồn tại đa thức lượng giác T(x) sao cho
|f(x)−T(x)|< ε, ∀x∈ [−π;π].
Chứng minh. Suy ra từ định lý trên vì mỗi tổng Fourier cũng là một đa
thức lượng giác.
Định lý 2.8. (Weierstrass II) Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] thì với mỗi
ε> 0, tồn tại đa thức đại số P(x) sao cho
|f(x)− P(x)|< ε, ∀x∈ [a;b].
Chứng minh. Dùng phép đổi biến x=a+ b−πatvới t∈[0;π], ta được hàm
số f∗(t) = f a+ b−πat xác định trên đoạn [0;π]. Thác triển hàm này về phía trái trục số theo công thức f∗(−t) = f(t) ta được một hàm liên tục xác định trên đoạn[−π;π] và thỏa mãn f∗(−π) = f(π). Từ định lý trên, với mỗi ε> 0, ta tìm được đa thức lượng giác T(x)thỏa mãn điều kiện
|f∗(t)− T(t)| <ε/2, ∀t ∈[−π;π].
Vì đa thức lượng giác là hàm giải tích, khai triển được dưới dạng chuỗi lũy thừa (hội tụ đều trên trục số), cho nên tồn tại số thự nhiênnεsao cho
với mọi n≥nε đa thức Taylor bậc ncủa T(x), ký hiệu là Pn(t), thỏa mãn điều kiện |T(t)− Pn(t)| <ε/2, ∀t ∈[−π;π]. Lấy đa thức P(t) = Pnε(t) ta có |f∗(t)− P(t)| ≤ |f∗(t)−T(t)|+|T(t)− P(t)|< ε 2 + ε 2 = ε. Quay lại với biến x, tức là ta lấy t= πxb−−aa, ta có
f(x)−P πx− a b−a <ε, ∀x ∈[a;b], trong đó P πxb−−aa rõ ràng là một đa thức.
Nhận xét 2.9. Định lý trên cho thấy rằng với mọi hàm f liên tục trên đoạn [a;b], ta luôn tìm được dãy đa thức Pn(x)hội tụ đều trên đoạn này tới hàm f. Và từ đây suy ra rằng mọi hàm liên tục trên đoạn luôn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi hội tụ đều của các đa thức (trên đoạn đó).
Điều này, theo một nghĩa nào đó, cho thấy rằng các hàm liên tục (vốn được đưa ra một cách tổng quát và trừu tượng) cũng không quá khác biệt với các đa thức vốn rất quen thuộc với chúng ta. Và ngoài ra, nó cũng làm thỏa mãn những người hay hình dung một hàm lên tục như một "biểu thức" nào đó.
Định nghĩa 2.10. Một hệ các hàm số ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn, . . .xác định trên đoạn [a;b] được gọi là dầy đủ đối với họ hàm số R theo nghĩa xấp xỉ đều nếu như mọi hàm trong họ này có thể xấp xỉ được bởi các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm trong hệ nói trên với độ chính xác tùy ý.
Nghĩa là, với mỗi ε > 0, tồn tại hữu hạn các hàm ϕi và các số λi (i = 1, 2, . . . ,k)sao cho
|f(x)−[λ1ϕ1(x) +. . .+λkϕk(x)]| < ε, ∀x∈[a;b].
Mệnh đề 2.11. Hệ các hàm lượng giác 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . . ,
cosnx, sinnx, . . . là hệ đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với hàm liên tục trên
đoạn [−π;π] và nhận giá trị như nhau ở hai đầu mút của đoạn này.
Chứng minh. Suy ra từ Định lý Weierstrass I.
Chú ý: Hệ các hàm lượng giác không thể là hệ đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ đều đối với các hàm liên tục trên đoạn [−π;π] (bởi vì nếu không thì từ tính chất T(−π) = T(π) của các đa thức lượng giác sẽ kéo theo
f(−π) = f(π)với mọi hàm liên tục trên f).
Người ta coi độ lệch toàn phương trung bình giữa hai hàm f và gxác định trên đoạn [a,b] là đại lượng
v u u u t b Z a [f(x)− g(x)]2dx.
Đại lượng này còn có tên gọi là độ lệch toàn phương trung bình của f so với g(hay của gso với f). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Định nghĩa 2.12. Một hệ các hàm số ϕ1,ϕ2, . . . ,ϕn, . . .xác định trên đoạn [a;b] được gọi là đầy đủ đối với họ các hàm số R theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình nếu như với mỗi hàm f ∈ R và với mọi số ε > 0, tồn tại một tổ hợp tuyến tính hữu hạn các hàm của các hàm trong hệ nói trên có độ lệch toàn phương trung bình so mới hàm f nhỏ hơn ε.
Mệnh đề 2.13. Hệ các hàm lượng giác 1, cosx, sinx, cos 2x, sin 2x, . . .,
cosnx, sinnx, . . . là đầy đủ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình đối với
tập các hàm liên tục trên đoạn[−π;π]và nhận giá trị như nhau ở hai đầu mút
của đoạn này.
Chứng minh. Từ tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp
xỉ đều ta suy ra, với mỗi sốε> 0, tồn tại đa thức lượng giác T(x)sao cho |f(x)− T(x)| <ε/√2π, ∀x∈[−π;π].
Từ đây ta suy ra v u u t π Z −π [f(x)−T(x)]2dx < √ε 2π v u u t π Z −π dx = ε. Mệnh đề đã được chứng minh.
Nhận xét 2.14. Trong chứng minh trên, vì để sử dụng tính đầy đủ của hệ các hàm lượng giác theo nghĩa xấp xỉ đều mà ta phải giả thiết các hàm lượng giác nhận giá trị như nhau tại hai đầu mút của đoạn. Sau này ta sẽ thấy rằng, theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình, hệ các hàm lượng giác không những là đầy đủ trong lớp hàm liên tục nói chung (nhận các giá trị bất kỳ tại hai đầu mút của đoạn), mà còn là đầy đủ trong lớp hàm rộng hơn hẳn: lớp các hàm với bình phương khả tích. Và trong lớp hàm này, với cách xấp xỉ theo nghĩa toàn phương trung bình, các tổng riêng Fourier sẽ thể hiện đầy đủ các ưu thế của mình, chứ không bị "yếu thế" (so với tổng riêng Fejer) trong phép xấp xỉ đều như đã thấy trước đây. Lớp của những hàm này thường được ký hiệu là L2[−π;π].
Mệnh đề 2.15. Hệ các hàm lũy thừa 1,x,x2, . . . ,xn, . . . là đầy đủ đối với tập các hàm liên tục trên đoạn bất kỳ theo nghĩa xấp xỉ toàn phương trung bình.
Chứng minh. Tương tự mệnh đề trên.