CHHƯƠNG 3 CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

Ta coi môi trường chất lỏng chuyển động là môi trường liên tục bao gồm vô số phần tử chất lỏng vô cùng nhỏ chuyển động, mỗi pầhn tử nhỏ được đặc trưng bởi những đại lượng cơ bản của sự c

CHƯƠNG 3

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG

§3.1 – Những khái niệm chung

Động lực học chất lỏng nghiên cứu những quy luật chung về chuyển động của

chất lỏng; không xét đến những lực tác dụng Vì vậy phương trình động học chung cho cả chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực

Ta coi môi trường chất lỏng chuyển động là môi trường liên tục bao gồm vô số phần tử chất lỏng vô cùng nhỏ chuyển động, mỗi pầhn tử nhỏ được đặc trưng bởi những đại lượng cơ bản của sự chuyển động gọi là những yếu tố của chuyển động;

đó là:

− Áp suất thủy động học P: Trong chuyển động của chất lỏng lý tưởng, áp

suất thuỷ động hướng vào mặt chịu tác dụng và hướng theo pháp tuyến của mặt

đó, vì thành phần tiếp tuyến không có Do đó áp suất thủy động của chất lỏng lý tưởng có những tính chất như áp súât thủy tĩnh trong chuyển động của chất lỏng thực, áp suất thuỷ động hướng vào mặt chịu tác dụng, nhưng không hướng theo pháp tuyến, vì nó là tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến Pn và thành phần ứng suất tiếp tuyến τ do tính nhớt gây ra

− Vận tốc u của phần tử chất lỏng, ta gọi là lưu tốc điểm

− Gia tốc a của phần tử chất lỏng

Những yếu tố của chuyển động có thể biến đổi liên tục theo vị trí của phần tử

và theo thời gian, vì vậy chúng là hàm số liên tục của tọa độ không gian x, y, z và thời gian t:

P = P(x, y, z, t); u = u(x, y, z, t); a = a(x, y, z, t)

§3.2 – Các định nghĩa liên quan đến dòng chảy và các yếu tố thuỷ

lực cơ bản của dòng chảy

1 Chuyển động không ổn định và chuyển động ổ định:

Chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động phụ

thuộc thời gian; tức là:

Thí dụ khi mực nước ở trong bể chứa thay đổi thì các yếu tố chuyển động ở một điểm bất kỳ trong môi trường chảy đều thay đổi theo thời gian

Chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động không biến

đổi theo thời gian; tức là:

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

2 Quỹ đạo – Đường dòng:

Quỹ đạo là đường đi của một phần tử chất lỏng trong không gian

Đường dòng là đường cong tại một thời điểm cho trước, đi qua các phần tử chất lỏng có véc tơ lưu tốc là những tiếp tuyến của đường cong ấy

véctơ u→1có tốc độ biểu thị bằng véctơ u→2;

cứ tiếp tục như trên ta được những điểm M3, M4…với những véctơ lưu tốc ,

…Đường cong C đi qua tất cả các điểm M

Do định nghĩa về đường dòng ta thấy hai đường dòng không thể giao nhau hoặc tiếp xúc nhau

Trong chuyển động ổn định, vì các yếu tố chuyển động không thay đổi theo thời gian nên đường dòng đồng thời lại là quỹ đạo của những phần tử chất lỏng trên đường dòng ấy

3 Dòng nguyên tố - dòng chảy:

Trong không gian chứa đầy chất lỏng

ω

ω ω

Hình 3 – 2

chuyển động, ta lấy một đường cong kín

giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ dω, tất

cả các đường dòng đi qua các điểm trên

đường cong đó tạo thành một mặt có dạng

mặt ống (h.3 – 2a) gọi là ống dòng Khối

lượng chất lỏng chuyển động ở trong không

gian giới hạn bởi ống dòng gọi là dòng

nguyên tố

Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đường cong kín giới hạn bởi một diện tích hữu hạn ω, bao gồm vô số diện tích dω vô cùng nhỏ, và bằng cách nói trên tạo nên vô số dòng nguyên tố, tập hợp những dòng nguyên tố

đó gọi là dòng chảy (hình 3 – 2b) Môi trường chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trường liên tục bao gồm vô số dòng nguyên tố, tức là môi trường đó có thể coi

là một dòng chảy

4 Những yếu tố thủy lực cơ bản của dòng chảy:

a) Mặt cắt ướt hoặc mặt ướt là mặt cắt

thẳng góc với tất cả các đường dòng Mặt

Hình 3 – 3

cắt ướt có thể là mặt phẳng khi các đường

dòng là những đường thẳng song song

(m – m; n – n); và có thể là cong khi các

đường dòng không song song (c – c; d – d)

Diện tích mặt cắt ướt của dòng chảy

thường ký hiệu là ω, khi diện tích mặt cắt

ướt vô cùng nhỏ dω thì ta có dòng nguyên tố

b) Chu vi ướt là bề dài của phần tiếp xúc

giữa chất lỏng và thành rắn trên mặt cắt ướt,

chu vi ướt ký hiệu là χ

Theo hình 3 – 4a: χ = AB + BC + CD

Theo hình 3 – 4b: χ = πd

c) Bán kính thủy lực là tỷ số giữa diện

tích mặt cắt ướt ω và chu vi ướt χ, ký hiệu bằng:

d) Lưu lượng là thể tích chất lỏng đi qua mặt cắt ướt nào đó trong một đơn vị

thời gian, ký hiệu Q; đơn vị m3/s, l/s

là mặt cắt ướt của một dòng

nguyên tố, thì rõ ràng lưu tốc

điểm trên mặt cắt ướt phải thẳng

góc với mặt đó (theo định nghĩa

mặt cắt ướt) Vậy lưu lượng

nguyên tố dQ của dòng nguyên

tố bằng:

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

e) Lưu tốc trung bình của dòng chảy tại một điểm là tỷ số lưu lượng Q đối với

diện tích ω của mặt cắt đó, ký hiệu bằng v; đơn vị thường đo bằng m/s, cm/s

§3.3 – Phương trình liên tục của chất lỏng chuyển động ổn định

Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong môi trường chất lỏng chuyển động không hình thành những vùng không gian trống không, không chứa chất lỏng Tính chất liên tục đó có thể biểu thị bởi biểu thức toán học gọi là phương trình liên tục

Sau thời gian dt, thể tích chất lỏng ở

trong dòng nguyên tố giới hạn bởi hai

mặt cắt A và B có vị trí mới là thể tích

Ngoài ra trong chuyển động ổn định,

hình dạng của dòng nguyên tố không thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà đi ra hay đi vào dòng nguyên tố

Trong dòng nguyên tố không có chổ trống, đối với chất lỏng không nén được thì thể tích chất lỏng trong đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt ướt A và

B phải là một trị hằng số không đổi, tức là: Thể tích khối [A, B] = thể tích khối [A', B']; Thể tích [A, A'] = dω1u1dt; thể tích [B, B'] = dω2u2dt

Vậy: u1dω1dt = u2dω2dt

là phương trình liên tục của dòng nguyên tố Theo (3

Từ phương trình liên tục (3 – 6) của dòng nguyên tố ổn định, ta suy ra phương

trình liên tục cho dòng chảy ổn định Ta tích phân phương trình (3 – 6) cho toàn

2 2 1 1

ω ω

Q1 = Q2 hoặc Q = const (3 – 9')Như vậy, trong dòng chảy ổn định, lưu lượng qua các mặt cắt đều bằng nhau

Từ (3 – 9) có thể viết:

1

2 2

Q Q

4

2 , 0 14 , 3

03 , 0 4

2 2

Lưu tốc trong ống thứ hai:

s m d

Q Q

4

1 , 0 14 , 3

03 , 0 4

2 2

§3.4 – Phương trình Bécnuly của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng

chảy ổn định

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

"

Định luật Động năng: Sự biến thiên động năng của một khối lượng nhất định

khi nó di động trên một quãng đường, bằng công của các lực tác dụng lên khối lượng đó, cũng trên quãng đường đó "

Trong dòng chảy ổn định của chất lỏng lý tưởng, ta xét một đoạn dòng nguyên

tố giới hạn bởi mặt cắt 1 – 1 và 2 – 2 (hình 3 – 7), có diện tích tương ứng dω1 và

dω Ta lấy một mặt phẳng nằm ngang ox làm mặt chuẩn; mặt cắt 1 – 2 1 có trọng tâm ở độ cao z1 đối với mặt chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p1, lưu tốc

là u1; mặt cắt 2 – 2 có trọng tâm ở độ cao z2 đối với mặt chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p2, lưu tốc là u2

Sau một thời gian vô cùng nhỏ Δt, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 1 – 1

đã di động được một quãng đến vị trí 1’ – 1’, độ dài Δs1 của quãng đường đó bằng:

Δs1 = u1Δt

Hình 3 – 7

Cũng trong thời gian vô cùng nhỏ Δt, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ướt 2 – 2 đã di động được một quãng đến vị trí 2' – 2', độ dài Δs2 của quãng đường đó bằng:

Δs2 = u2Δt

Lưu lượng đi qua mặt cắt ướt 1 – 1 và 2 – 2 bằng:

dQ = u1dω1 = u2dω2 Không gian giữa 1 – 1 và 2' – 2' có thể chia làm 3 khu vực: a, b, c (hình 3 – 7) Trong thời gian Δt, sự biến thiên động năng Δ(đ.n) của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng hiệu số động năng của khu c và a, vì động năng của khu b không đổi:

Δ(đ.n) = ρdQΔt

2

2 2

2

2 1

2 1

2

u t dQ g

γ

Ta tính đến công của lực ngoài tác dụng lên khối lượng của đoạn dòng nguyên

tố đang xét Các lực ngoài gồm trọng lực và áp lực thủy động

Công sinh ra bởi trọng lực CTR-L của đoạn dòng nguyên tố đang xét bằng công của trọng lực khối chất lỏng khu a di chuyển một độ cao bằng z1 – z2 để đi tới khu

c, tức là:

CTR-L = γdω1Δs1(z1 – z2) = γdQΔt(z1 – z2)

Áp lực thủy động tác dụng lên đoạn dòng nguyên tố đang xét gồm lực:

P1 = p1dω1, hướng thẳng góc vào mặt cắt ướt 1 – 1

P2 = p2dω2, hướng thẳng góc vào mặt cắt ướt 2 – 2

Còn các lực bên hướng thẳng góc với phương chuyển động nên không sinh ra công Công sinh ra bởi áp lực P1 và P2 bằng:

Cáp = P1Δs1–P2Δs2 = p1dω1Δs1–p2dω2Δs2 = p1dω1u1Δt – p2dω2u2Δt = dQ( p1 – p2)Δt

Theo định luật động năng ta viết được: Δ(đ.n) = CTR-L + Cáp

Tức là:

(z z ) dQ(p p ) t t

dQ u

u t dQ

γ

γ1 2

2 1

2 1

2 2

2 2

p p z z g

u g

u

− +

u p z

2 2

2 2 2 2

2 1 1

u p

nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định

§3.5 – Phương trình Bécnuly của dòng nguyên tố chất lỏng thực

chảy ổn định

Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong, làm cản trở chuyển động Muốn khắc phục sức cản đó, chất lỏng phải tiêu hao một phần cơ năng biến thành nhiệt năng, mất đi không lấy lại được

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

g

u p

u p z

2 2

2 2 2 2

2 1 1

γγ

– 1 đến 2 – 2 thì:

Ký hiệu h'w là phần năng lượng bị tiêu hao khi một đơn vị trọng lượng chất lỏng chuyển động từ mặt cắt 1 – 1 đến 2 – 2 thì phương trình Bécnuly của dòng nguyên tố chất lỏng thực viết cho mặt cắt 1 – 1 và 2 – 2 sẽ là:

'

2 2 2 2

2 1 1 1

2

u p z g

u p

2

2 1 1

mặt cắt (1 – 1), ta đều có:

const h

g

u p

§3.6 – Ý nghĩa năng lượng và thủy lực của phương trình Bécnuly

viết cho dòng nguyên tố chảy ổn định

1 Ý nghĩa năng lượng của ba số hạng trong phương trình Becnuiy

Trong phương trình Bécnuly các số hạng đều viết đối với một đơn vị trọng lượng chất lỏng:

2

2

+ +

cơ năng của một đơn vị trọng lượng, tức là tổng số của thế năng đơn vị và động

năng đơn vị

Vậy cơ năng của dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng là hằng số Cơ năng dòng nguyên tố chất lỏng thực (thay đổi) giảm dọc theo dòng chảy

2 Ý nghĩa thủy lực của ba số hạng trong phương trình Bécnuly

z : độ cao hình học hay cột nước vị trí

gọi là cột nước lưu tốc

Giả thử có một dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng (hình 3 – 8) trên đó lấy hai mặt cắt ướt (1 – 1) và (2 – 2), trọng tâm của hai mặt cắt là A và B ở độ cao z1 và z2đối với mặt chuẩn O – O

g

u p z

nào trên cùng một dòng nguyên

tố đều là hằng số, nên biểu

diễn cách trục chuẩn một đoạn

thẳng không đổi H Đường thẳng

đó gọi là đường tổng cột nước,

đường này biểu diễn sự biến

thiên của năng lượng đơn vị dọc

dòng chảy nên còn gọi là đường

năng Độ cao H kể từ mặt chuẩn

gọi là cột nước động lực của dòng

chảy hoặc là tổng cột nước

Đường đi qua các đỉnh đoạn

⎠

⎝ γ của các mặt cắt trên một dòng nguyên tố

gọi là đường cột nước đo áp hoặc là đường thế năng Hình dạng của đường cột

nước đo áp quyết định bởi hình dạng của dòng nguyên tố

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ + p

z

, tại những nơi dòng chảy

mở rộng, lưu tốc giảm nên đường cột nước đo áp hướng lên trên, tại nơi dòng thu hẹp lại, lưu tốc tăng lên thì đường cột nước đo áp lại thấp xuống, do đó đường cột nước đo áp có thể là nằm ngang, lên cao hoặc xuống thấp, đường cong tùy theo hình dạng của dòng nguyên tố

Ở những bài toán về dòng chảy, trong đó cột nước vị trí z không đổi dọc theo

g

u p g

u p

2 2

2 2 2

2 1

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

§3.7 – Độ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của dòng nguyên tố

Trong trường hợp tổng quát, khi đường cột nước là đường cong thì các độ dốc

ở các mặt cắt ướt không bằng nhau Nên:

dl

dh g

u p z dl

d dl

Khi đường tổng cột nước là một đường thẳng thì độ dốc thủy lực là:

2 Định nghĩa độ dốc đường đo áp

Ta gọi độ dốc đường đo áp tức độ dốc đường thế năng là tỷ số độ hạ thấp xuống hoặc lên cao của đường đo áp đối với độ dài của dòng nguyên tố trên đó thực hiện sự hạ thấp hoặc dâng cao đó

Độ dốc đường đo áp của dòng nguyên tố biểu thị bằng Jp là:

p z d

§3.8 – Phương trình Bécnuly của toàn dòng (có kích thước hữu

hạn) chất lỏng thực, chảy ổn định

1 Dòng chảy đổi dần, dòng chảy đều

Trên cùng một mặt cắt ω của dòng chảy, lưu tốc và áp suất thủy động p thường phân bố khác nhau ở các dòng nguyên tố khác nhau, quy luật phân bố thường cũng không biết; vì vậy, sự suy rộng tìm ra phương trình Bécnuly cho toàn dòng chảy cũng chỉ tiến hành được trong những điều kiện nhất định của dòng chảy Điều kiện

đó là dòng chảy phải đổi dần chứ không đổi đột ngột

Dòng chảy đổi dần là dòng chảy ổn định, có các đường dòng gần là đường

thẳng song song, nghĩa là: Góc β giữa các đường dòng rất nhỏ và bán kính cong r của đường dòng khá lớn (hình 3 – 11)

Hình 3 – 11

Dòng chảy như vậy có đầy đủ điều kiện cho phép ta: Không tính đến lực quán tính (sinh ra bởi độ cong của đường dòng) tương đối nhỏ Mặt cắt dòng chảy đổi dần được coi là phẳng, những đường dòng được coi như vuông góc với mặt cắt phẳng; Những thành phần lưu tốc và gia tốc nằm ngang trên mặt cắt ướt được coi như có thể bỏ đi (ux ≈ u, uy = 0) Tại những mặt cắt ướt ở đó dòng chảy là đổi dần, tức là ở đó, lực quán tính không đáng kể mà chỉ có tác dụng của trọng lực là lực khối lượng độc nhất, thì áp lực thủy động không có thành phần tiếp tuyến trên những mặt cắt ướt đó Sự phân bố áp lực thủy động hoàn toàn giống như sự phân

bố áp lực thủy tĩnh Như vậy trên những mặt cắt ướt đó, theo công thức cơ bản của thủy tĩnh, ta có: z+ p =const

γ ; trong đó z, p tương ứng với từng vị trí trên mặt cắt ướt (hình 3 – 10)

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

Đối với những điểm trên cùng mặt cắt ướt cột ước đo áp tức thế năng đều bằng nhau:

Mặt cắt 1 – 1:

γγ

γ

p z

p z

p z

p

c

b b

a

Mặt cắt 2 – 2:

γγ

γ

' '

' '

'

z

p z

p z

p

c

b b

p z

p

2 Phương trình Bécnuly của toàn dòng chảy ổn định

Dựa vào khái niệm về dòng chảy đổi dần và khái niệm về lưu tốc trung bình mặt cắt ướt v, ta có thể đi từ phương trình Becnuiy của dòng nguyên tố suy diễn phương trình toàn dòng

Giả thiết toàn dòng chảy thực là dòng

chảy ổn định, gồm vô số dòng nguyên tố

Hình 3 – 14

(hình 3 – 14) Trên toàn dòng chảy tại hai

mặt cắt 1 – 1 và 2 – 2 có diện tích ω1 và ω2,

ta lấy một dòng nguyên tố tùy ý, theo

(3 – 13), có thể viết phương trình Bécnuly

của dòng nguyên tố chất lỏng thực

Ta gọi lưu lượng dòng nguyên tố

là dQ, trọng lượng tương ứng là γdQ

Viết biểu thức năng lượng của toàn

dòng, muốn vậy phải nhân các số

hạng của phương trình Becnuly (3 – 13)

cho γdQ, sau đó tích phân đối với toàn

mặt cắt ω1 và ω2:

dQ h dQ g

u dQ

p z dQ g

u dQ

p

2

2

.

2 2

2

'

2 2 2

2

2 1 1

γ γ

= +

Tích phân thứ hai: Ở đây ta xét khái niệm lưu tốc trung bình v để tính tích phân

này Lưu tốc điểm u của mỗi phần tử chất lỏng trên mặt cắt ướt, so với lưu tốc trung bình khác nhau một trị số ±Δu

Vậy: u = v ± Δu; do dQ = udω nên:

γ ω γ

g d

u v g

d g

u dQ

g

3 2

2 2

.

2

ωω

ud Q

Rõ ràng ta thấy: ∫ (± Δ ) = 0

ω

ω

d u

ω ω

ω

γ ω

γ ω

γ

g d

v g d

u v v g

dQ g

2 2

3 2

ω ω

γ ω ω

2 3

2 3

3 1 2

3

d u v

g d

u v v

v

d u

g

dQ g

u

2

2

2

2 3

số α bao giờ cũng lớn hơn 1 Hệ số α thường gọi là hệ số sửa chữa động năng

CƠ SỞ ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG ThS LÊ MINH LƯU

hoặc là hệ số cột nước lưu tốc, còn gọi là hệ số Cô-ri-ô-lit Khi nước chảy trong

kênh, ống, máng v v thường α có thể lấy khoảng 1,05 đến 1,10

Tích phân thứ ba: Gọi hw là tổn thất năng lượng trung bình của một đơn vị trọng lượng hoặc nói gọn là tổn thất cột nước trong đoạn dòng đó, ta có:

v Q

p z Q g

v Q

p z

2

2

2 2 2 2

2

2 1 1 1

γγ

αγγ

= +

v p

z g

v p

2 2

2 2 2 2 2

2 1 1 1 1

αγ

α

Đó là phương trình Becnuly của toàn dòng chảy ổn định của chất lỏng thực,

một trong những phương trình cơ bản và quan trọng nhất của thủy lực học Muốn vận dụng đúng phương trình, cần nắm vững những điểm sau:

1 Phương trình Becnuly của toàn dòng chảy ổn định phải thỏa mãn 5 điều kiện sau: dòng chảy phải ổn định; lực khối chỉ là trọng lực; chất lỏng không nén được; lưu lượng là một hằng số; tại mặt cắt ta chọn phải đổi dần, còn dòng chảy giữa hai mặt cắt đó không nhất thiết phải là chảy đổi dần

g

v p z

2

2

α

khi phương trình Becnuly có thể tùy ý chọn điểm nào trên mặt cắt ướt cũng được Như vậy không yêu cầu 2 điểm dùng để viết phương trình Becnuly ở hai mặt cắt phải cùng ở trên một dòng nguyên tố Khi ta chọn điểm tất nhiên nên chọn sao cho

để phương trình được đơn giản

3 Ta có thể thay áp suất dư thay cho áp suất tuyệt đối

4 Trong tính toán thường ta lấy α1 = α2, nhưng thực tế hai trị số này khác nhau

Độ dốc thủy lực và độ dốc đo áp của toàn dòng chảy có ý nghĩa hoàn toàn giống như ý nghĩa của dòng nguyên tố chất lỏng thực

Độ dốc thủy lực:

dl

dH g

v p z dl