CHƯƠNG 3 THỦY ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC, BÀI GIẢNG MÔN HỌC THỦY LỰC CƠ SỞ

Ta vẫn coi chất lỏng là môi trường liên tục do vô số phân tử chất lỏng chuyển động tạo nên, mỗi phần tử được đặc trđưng bằng các đại lượng cơ bản của sự chuyển động, gọi là yếu tố chuyển

CHƯƠNG 3 THỦY ĐỘNG HỌC VÀ ĐỘNG LỰC HỌC

Thủy động học nghiên cứu đơn thuần sự chuyển động của chất lỏng và các thông số đặc trưng của nó mà không quan tâm đến các nguyên nhân gây ra chuyển động (các lực tác động)

Thủy động lực học nghiên cứu các quy luật chuyển động của chất lỏng, cĩ xét đến các lưc gây nên chuyển động đĩ

Để đi từ đơn giản đến phức tạp, ta bắt đầu nghiên cứu chuyển động của chất lỏng lý tưởng (không nhớt), sau đó chuyển qua chất lỏng thực (có nhớt) Lúc chuyển phải đưa vào những sữa chửa cần thiết để điều chỉnh sự sai lệch do bỏ qua tác dụng của lực nhớt

Ta vẫn coi chất lỏng là môi trường liên tục do vô số phân tử chất lỏng chuyển động tạo nên, mỗi phần tử được đặc trđưng bằng các đại lượng cơ bản của sự chuyển động, gọi là yếu tố chuyển động, như vận tốc u, áp suất thủy động p, khối lượng riêng

ρ, … Vì ta coi chất lỏng là môi trường liên tục nên các yếu tố chuyển động đều là hàm số liên tục của tọa độ không gian và thời gian

u = u (x, y, z, t)

p = p (x, y, z, t)

ρ = ρ (x, y, z, t) Trong thủy lực, các yếu tố thường hay được xét đến nhất là vận tốc u và áp suất p, còn khối lượng riêng ρ coi như không đổi, vì ta xem chất lỏng như không nén được Cần chú ý rằng áp suất thủy động có hướng khác nhau tùy theo chất lỏng ta nghiên cứu là chất lỏng lý tưởng hay chất lỏng thực Trong chất lỏng lý tưởng, áp suất thủy động hướng theo pháp tuyến của mặt chịu tác dụng, còn trong chất lỏng thực, áp suất động vẫn hướng vào mặt tác dụng nhưng không theo hướng pháp tuyến, vì nó là

tổng hợp của thành phần ứng suất pháp tuyến và thành phần ứng suất tiếp tuyến do lực nhớt gây ra

Vận tốc của một phần tử chất lỏng đo tại một vị trí nhất định trong dòng chất lỏng

ở một thời điểm nhất định gọi là vận tốc điểm tức thời Trong dòng chảy với vận tốc điểm tức thời này luôn luôn thay đổi về hướng và giá trị Việc đo vận tốc điểm tức thời rất khó, đòi hỏi thiết bị rất tinh vi nên thường người ta thay vận tốc điểm tức thời bằng giá trị trung bình của nó trong một thời gian nhất định T, gọi là vận tốc điểm trung bình thời gian Ký hiệu là u

∫

=

T udt T

Trong kỹ thuật, thông thường người ta hay dùng khái niệm vận tốc trung bình của toàn dòng chảy qua một mặt cắt ngang thẳng góc với trục dòng chảy, gọi là vận tốc trung bình của dòng chảy hoặc lưu tốc trung bình, ký hiệu là v

3.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA – KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN DÒNG CHẢY – NHỮNG ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA DÒNG CHẢY

3.1.1 Một số đặc trưng thủy lực của dòng chảy

Việc đưa ra các đặc trưng thủy lực của dòng chảy là nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc biểu diễn các quy luật chuyện động và tổn thất năng lượng

1 Tiết diện ướt (ω) – Đơn vị tính : m 2

Là tiết diện vuông góc với các vectơ vận tốc của dòng chảy Tiết diện ướt có thể là mặt phẳng hay mặt cong

Hình 3.1

2 Chu vi ướt (χ) – đơn vị tính : m

Là đường tiếp xúc giữa tiết diện ướt và thành rắn giới hạn dòng chảy

CB

A

DA

χ

Hình 3.2

3 Bán kính thủy lực (R) – Đơn vị tính : m

Là tỷ số giữa tiết diện ướt ω và chu vi ướt χ

χ

ω

=

R

Cần phân biệt bán kính thủy lực R với bán kính r

Ví dụ : Nếu chất lỏng chảy đầy trong ống tròn bán kính r thì dòng chảy đó có bán kính thủy lực R là :

2 2

2 r r

r

π

πχω

/s ; l/s)

5 Vận tốc trung bình trên diện tích ướt (v)

Là một giá trị tưởng tượng mà mỗi phần tử chất lỏng phải chảy theo vận tốc đó để đảm bảo cho lưu lượng đi qua tiết diện ướt được giữ nguyên như trong trường hợp dòng chảy thực tế

(m/s)

3.1.2 Các định nghĩa liên quan đến dòng chảy :

1 Dòng không dừng (không ổn định), dòng dừng (ổn định), dòng dừng trung bình thời gian

Trong trường hợp tổng quát, các thông số đặc trưng của dòng chất lỏng chuyển động như vận tốc, áp suất, khối lượng riêng, … biến đổi theo thời gian và không gian Tính chất “ dừng” (hay ổn định) của chuyển động được đánh giá trên mức độ phụ thuộc vào thời gian của các thông số này

+ Dòng không dừng (không ổn định) là dòng khi các thông số đặc trưng của dòng

chảy biến đổi theo thời gian

+ Dòng dừng trung bình thời gian : Đối với các dòng chảy trong kỹ thuật công

nghiệp, các yếu tố u, p, ρ, … phụ thuộc vào thời gian và không gian, nhưng xét về trị số trung bình trong một thời gian T đủ dài thì chúng gần như không đổi, tức là các đại lượng như :

∫

+

= t T

t x

t z

3 Chảy có áp và không có áp

Các loại dòng chảy trên đây (dòng dừng, dòng không dừng, dòng đều, …) có thể phân chia thành dòng chảy có áp và dòng chảy không áp

+ Dòng chảy có áp không có mặt thoáng : chất lỏng chuyển động do chênh

lệch áp nặng giữa các mặt cắt Ví dụ : dòng chảy đầy trong các ống dẫn nước

+ Dòng chảy không áp là dòng chảy có mặt thoáng Ví dụ : dòng chảy không

đầy trong ống hoặc máng kín trong các ống lớn, cống ngầm, hoặc dòng chảy trong kênh, máng hở

Mặt cắt dòng chảy có áp Mặt cắt dòng chảy không áp

Hình 3.3

3.1.3 Đường dòng – Ống dòng – Dòng nguyên tố – Dòng chảy

1 Đường dòng : là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với vectơ vận

tốc của phần tử chất lỏng tại điểm đó

2 Ống dòng : là tập hợp các đường dòng tựa trên một đường cong kín cho ta hình

ảnh một ống dòng

đường dòngống dòng

Hình 3.5

3 Dòng nguyên tố : dòng chất lỏng chảy đầy trong ống dòng gọi là dòng nguyên

tố

4 Dòng chảy : là tập hợp hữu hạn các dòng nguyên tố

dòng nguyên tố

3.2.1 Phương trình liên tục của dòng nguyên tố

Trong một dòng nguyên tố chuyển động ổn định, ta xét đoạn giới hạn giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2

dω1

dω2

Hình 3.7

Tại mặt cắt 1-1 có mặt cắt ướt dω1 và vận tốc u1

Tại mặt cắt 2-2 có mặt cắt ướt dω2 và vận tốc u2

Trong thời gian dt, thể tích chất lỏng chảy vào qua mặt cắt 1-1 là u1.dω1.dt và qua mặt cắt 2-2 là u2.dω2.dt

Theo đặc điểm của dòng nguyên tố chuyển động ổn định, nếu thể tích chất lỏng chảy vào không bằng thể tích chất lỏng chảy ra thì hoặc là thể tích chất lỏng bị nén lại (điều này không thể được vì ρ = const), hoặc là chất lỏng có lỗ hỏng mất liên tục (điều này cũng không thể có được, bởi vì ta giả thuyết chất lỏng là môi trường liên tục)

Do đó trong chuyển động ổn định của dòng nguyên tố chất lỏng liên tục không nén được (ρ = const), ta có :

2 2 1

ω ω

ω

d u

(3.1)

3.2.2 Phương trình liên tục của toàn dòng chảy :

Muốn lập phương trình liên tục của dòng chảy có kích thước hữu hạn, ta mở rộng phương trình liên tục của dòng nguyên tố bằng cách tích phân phương trình của dòng nguyên tố trên mặt cắt ướt ω

⇔ Q1 = Q2 (3.2)

Hoặc là : V1.ω1 = V2.ω2

1 2 2

3.2.3 Phương trình vi phân liên tục của dòng ổn định

Trong không gian chứa đầy chất lỏng đang chuyển động ổn định, ta tưởng tượng một hình hộp cố định, có cạnhdx, dy, dz có tâm A với tọa độ là x, y, z Chất lỏng ra

vào các mặt cắt của hình hộp có vận tốc tại A là u (x, y, z), hình chiếu của vận tốc u lên các trục là ux, uy, uz

2

dydx

Vận tốc theo phương x tại trọng tâm M và N của các mặt 1-2-3-4 và 5-6-7-8 (cách

A một đoạn là

dm = - ρ.(

z

u y

u x

∂

∂+

∂

∂+

∂

Trong điều kiện chất lỏng chảy qua hình hộp là liên tục (không có lỗ hỏng) thì sự biến đổi khối lượng chất lỏng trong hình hộp chỉ xảy ra khi có sự biến đổi về khối lượng riêng ρ Nhưng ta nghiên cứu chất lỏng có ρ = const cho nên dm= 0

Mặt khác : ρ.dx.dy.dz.dt ≠ 0

Vậy thì :

z

u y

u x

∂

∂+

∂

∂+

3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

Trong chương thủy tĩnh, ta đã nghiên cứu điều kiện cân bằng của một phân tử chất lỏng hình hộp dưới tác dụng của ngoại lực và lập ra phương trình vi phân cân bằng của Ơle

ρNếu chất lỏng chuyển động, phần tử chất lỏng hình hộp sẽ có vận tốc u và gia tốc

du z

p Z

dt

du y

p Y

dt

du x

p X

z y x

.1

.1

ρρ

ρ

(3.5)

Trong đó : X, Y, Z là hình chiếu của lực khối đơn vị F

Phương trình (3-4) hoặc hệ phương trình (3-5) là dạng tổng quát của phương trình

vi phân chuyển động của chất lỏng và chất khí lý tưởng (không nhớt) do Ơle lập ra

Ta có các trường hợp sau :

a) Chất lỏng chuyển động thẳng và đều = 0

dt

du thì hệ phương trình (3-5) sẽ giống như phương trình vi phân của chất lỏng cân bằng (chương II) Sự phân bố áp suất trong dòng chảy đều tuân theo định luật thủy tĩnh

b) Chất lỏng chuyển động trong một ống dòng có độ cong không đáng kể, nếu

chọn mặt phẳng Oyz thẳng góc với trục ống dòng thì vectơ vận tốc u và gia tốc

dt

u d

đều thẳng góc với mặt phẳng Oyz Ta có :

p

.ρ

Trong trường hợp tổng quát nghiên cứu một dòng chảy, cần biết 6 ẩn số ux, uy, uz

a) Phương trình vi phân liên tục

,

p, ρ, T (nhiệt độ) phụ thuộc 4 biến số (x, y, z, t) Hệ phương trình vi phân chuyển động (3-5) đã cho 3 phương trình, vậy còn cần 3 phương trình nữa đó là:

b) Phương trình trạng thái của chất lỏng

Đối chất lỏng ta coi ρ = const (không nén được) Nếu muốn chính xác hơn thì lấy ρ

= f(T) hoặc ρ = f(T, p)

c) Luật chuyển hóa của quá trình

Quá trình chuyển hóa có thể đẳng nhiệt, đoạn nhiệt, đẳng Entrôpi Việc xét luật chuyển hóa này chỉ quan trọng đối với chất khí (nén được), còn đối với chất lỏng (coi như không nén được) thông thường sự biến đổi nhiệt độ không đáng kể

Như vậy bài toán về dòng chảy chất lỏng (không nén được) gồm 5 ẩn số, ngoài hệ phương trình vi phân chuyển động còn lại phương trình bổ sung là:

- Phương trình trạng thái : ρ = const

- Phương trình liên tục : div u =0 hoặc V.ω = const

3.4 PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG – CHẢY ỔN ĐỊNH

Trong phần trước ta đã trình bày đối với chất lỏng (không nén được), ta có thể xác định được các yếu tố chuyển động p, ux, uy, uz

dz dt

du dy dt

du dx dt

du dz z

p dy y

p dx x

p Zdz

Ydy

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

−+

ρ

bằng các phương trình vi phân chuyển động của Ơle kết hợp với phương trình vi phân liên tục Nhưng việc giải quyết phương trình vi phân đó khá phức tạp

Để giải những bài toán kỹ thuật thông thường liên quan đến dòng chảy ổn định, chất lỏng không nén được, lực khối tác dụng là trọng lực, ta có thể suy từ hệ phương trình vi phân chuyển động của Ơle ra một phương trình đơn giản hơn, gọi là phương trình Becnuli – Hay phương trình năng lượng

Ta nhân lần lượt hai vế của hệ phương trình (3-5) cho dx, dy, dz và cộng lại sẽ được :

Vì lực khối chỉ có trọng lực nên X = Y = 0, Z = -g Mặt khác do giả thiết chuyển động ổn định nên p = f (x, y, z), tức là :

)

z

p dy y

p dx x

p dp

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=Vế phải của phương trình có thể biến thành :

Thay các kết quả vào phương trình trên :

0 2 1

2 1

2 2

u d dp gdz

02

+

g

u d

dp dz

γ

Tích phân phương trình trên ta được :

const g

u p

2

2

γ (3-7) Phương trình (3-7) là một phương trình cơ bản của thủy lực học và của thủy khí động lực học, thường được dùng để giải các bài toán kỹ thuật có liên quan đến chuyển động ổn định, chất lỏng lý tưởng (hoặc chất khí không bị nén ρ =const), lực khối là trọng lực

* Phương trình Becnuli chứng minh từ định luật động năng theo quan điểm của chính Becnuli :

Xét một dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động ổn định ở thời điểm t, ta khảo sát một đoạn dòng chảy giới hạn bởi hai mặt cắt A1B1 và A2B2 Thể tích chứa trong đoạn dòng chảy này là thể tích kiểm tra Tại trọng tâm của A1B1 và A2B2

- Độ cao hình học z

ta có :

2

Ta áp dụng định luật động năng vào đoạn chảy A1B1A2B2 trong khi nó di chuyển qua thể tích kiểm tra : “ Sự biến thiên động năng của một khối lượng khi nó di chuyển trên một đoạn đường bằng công của các lực tác dụng lên khối lượng đó trên đoạn đường đó “

Trong sự di chuyển này ta có thể coi như dòng chảy trong đoạn A’

- Công của áp lực : ∆Ep = p1.∆S1 ∆ω1 – p2.∆S2 ∆ω2

- Công của trọng lực : theo cách phân tích hiện tượng đã nói ở trên, bằng công của trọng lượng chất lỏng ρ.g.dQ ∆t trong đoạn A1 B1 A’

∆S2 ∆ω2 = u2.∆t ∆ω2

( 1 2)

2 1 2 1 2

2

p p g

u u

−+

Hay :

g

u p z g

u p z

22

2 2 2 2

2 1 1

const

g

u p

2

2

γ (3-9) Như vậy ta đã lập lại phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chảy ổn định dựa vào định luật động năng

3.5 Ý NGHĨA NĂNG LƯỢNG – THỦY LỰC VÀ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG CHẢY ỔN ĐỊNH

3.5.1 Ý nghĩa năng lượng của phương trình Becnuli

Tổng của ba thành phần trong phương trình Becnuli biểu diễn cơ năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng được gọi là cơ năng đơn vị, trong đó các thành phần có ý nghĩa như sau:

+ z : biểu diễn năng lượng do vị trí gây nên, tính từ mặt chuẩn bất kỳ, được gọi là vị năng đơn vị

+ p/γ: năng lượng do áp suất gây nên, gọi là áp năngđơn vị

+ z+ p/γ = Et: thế năng đơn vị

+ u2/2g = Eđ: biểu diễn động năng đơn vị

E = Et + Eđ

3.5.2 Ý nghĩa thủy lực của phương trình Becnuli

+ z: độ cao đặc trưng của điểm được xét so với mặt chuẩn nào đó, gọi là độ cao hình học

+ p/γ: độ cao đo áp

ht = z + p/γ: được gọi là cột áp tĩnh

+ u2/2g: độ cao vận tốc, đó chính là chiều cao của cột chất lỏng đạt được khi ta cho chất lỏng phun lên từ 1 vòi theo phương thẳng đứng với vận tốc u trong điều kiện chất lỏng không bị cản trở của môi trường ngoài Thành phần này được gọi là cột áp động hđ

Cột áp toàn phần, được gọi là cột áp thủy động htđ và được viết lại như sau:

3.5.3 Biểu diễn hình học độ dốc đo áp

Độ dốc đo áp: để đánh giá mức độ biến thiên của thế năng đơn vị, hoặc của cột áp tĩnh ht, trên mặt đơn vị dài của dòng chảy gọi là độ dốc đo áp Jđa

L d

p z d

(không thứ nguyên)

(3.10) Độ dốc đo áp chính là độ dốc của đường đo áp

3.6 PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH – ĐƯỜNG NĂNG CỦA DÒNG CHẢY CHẤT LỎNG THỰC – ĐỘ DỐC THỦY LỰC

Ta biết rằng, chất lỏng thực có tính nhớt Khi chất lỏng chuyển động, tính nhớt gây ra những lực ma sát trong nội bộ chất lỏng, cản trở sự chuyển động, một phần cơ năng của chất lỏng bị tiêu hao để khắc phục các lực cản đó Phần cơ năng này biến thành nhiệt năng không thu hồi được,vì vậy năng lượng đơn vị của chất lỏng thực

giảm dần dọc theo dòng chảy và const

g

u p

2

2

γNếu chất lỏng thực chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2, ta sẽ có:

g

u p z g

u p z

22

2 2 2 2

2 1 1

γγ

2

2 1 1 1

u p z

γ

Trong đó: hw1-2

Đường biểu diễn sự biến thiên năng lượng đơn vị (hoặc của cột áp thủy động h

là phần năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng bị tiêu hao khi chất lỏng di chuyển từ 1-1 đến 2-2, nó được gọi là tổn thất năng lượng đơn vị hoặc là tổn thất cột áp

Phương trình (3.11) là phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố chất lỏng thực chuyển ổn định

tđ) trong dòng nguyên tố chất lỏng thực không còn là một đường thẳng song song với mặt

chuẩn như chất lỏng lý tưởng mà phải là đường dốc xuống dọc theo chiều dòng chảy, bởi vì năng lượng đơn vị giảm dần, tổn thất năng lượng hw

L d

Độ dốc thủy lực chính là độ dốc đường năng

Trong phần biểu diễn hình học phương trình Becnuli chất lỏng lý tưởng, ta đã định nghĩa độ dốc đo áp Jđa So sánh hai loại độ dốc J và Jđa ta có thể nhận xét rằng: độ dốc đo áp có thể âm hoặc dương, còn độ dốc thủy lực luôn luôn dương, vì tổn thất hw

luôn luôn tăng dọc dòng chảy

Cũng cần nhận xét là đọ dốc đo áp trong dòng chảy chất lỏng thực khác độ dốc đo áp trong dòng chảy chất lỏng lý tưởng

Trong trường hợp chuyển động đều, đường đo áp và đường năng song song, do đó độ dốc đo áp bằng độ dốc thủy lực

3.7 MỞ RỘNG PHƯƠNG TRÌNH BECNULI ĐỐI VỚI DÒNG NGUYÊN TỐ CHO TOÀN DÒNG CHẤT LỎNG THỰC CHẢY ỔN ĐỊNH

Trong thực tế, các dòng chảy có kích thước nhất định, vì vậy không thể dùng phương trình Becnuli cho dòng nguyên tố để giải quyết các bài toán kỹ thuật liên quan đến dòng chảy thực tế Ta biết rằng dòng có kích thước hữu hạn có thể coi như vô số dòng nguyên tố,nhưng trong một mặt cắt, các yếu tố chuyển động p, u tại các điểm phân bố khác nhau và thường không biết quy luật phân bố đó Cho nên giá trị của z, p/γ và u2/2g, hw trong các dòng nguyên tố tại cùng một mặt cắt ngang toàn dòng chảy không giống nhau