Chuyên đề giải bài toán đếm bằng phương pháp sử dụng song ánh

CHUYÊN ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH MÃ: TO02A... Chuyên đề: GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH A.. Lý do chọn đề tài Một trong những vấn đề

CHUYÊN ĐỀ:

GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH

MÃ: TO02A

Chuyên đề:

GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Một trong những vấn đề đầu tiên của việc nghiên cứu tổ hợp là đếm xem

có bao nhiêu cấu hình được tạo ra với các quy tắc đã nêu? Để đếm được chính xác, ta phải phân biệt được các cấu hình dựa vào các quy luật xây dựng chúng

Vì thế có thể xem bài toán đếm là những bài toán luyện tập đầu tiên để con người làm quen với tư duy tổ hợp, điều này giải thích vì sao một số bài toán đếm

đã được đưa vào phổ thông từ những năm mới đi học

Bài toán đếm rất phong phú kể cả dạng phát biểu đến cách giải Độ khó của bài toán đếm được trải rất rộng: từ những bài toán dễ với các số liệu cụ thể,

có thể kiểm chứng bằng trực giác đến những bài toán khó hơn, với những dữ liệu đầu vào bằng chữ mà kết quả của nó được biểu diễn bằng một công thức toán học Có những công thức được tìm ra qua một vài suy luận đơn giản nhưng cũng có những công thức mà việc tìm thấy chúng phải kéo dài hàng thế kỷ Có những bài toán đếm gặp rất nhiều khó khăn, bế tắc nếu như giải bằng phương pháp trực tiếp, trong khi giải bằng phương pháp gián tiếp lại trở nên rõ ràng, đơn giản

Để giải được bài toán đếm cần đòi hỏi học sinh phải tư duy tốt, linh hoạt, sáng tạo Bài toán đếm giúp học sinh phát huy tốt năng lực tư duy sáng tạo

Vì những lí do trên, với mong muốn phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, chúng tôi chọn nghiên cứu vấn đề “Giải bài toán đếm bằng phương pháp

sử dụng song ánh”

2 Mục đích của đề tài

Vận dụng tính chất của song ánh vào giải bài toán đếm

B NỘI DUNG

1.1 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh

* Khái niệm:

Cho ánh xạ f : A → B Khi đó:

+ Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu với hai phần tử bất kì a ,a1 2∈A mà a1 ≠a2

thì f a( ) ( )1 ≠f a2 , tức là f a( ) ( )1 =f a2 ⇒ =a1 a2

+ Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu với mọi b B ∈ đều tồn tại a A ∈ sao cho

( )

f a =b

+ Ánh xạ f được gọi là song ánh khi và chỉ khi nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

* Tính chất:

Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn Khi đó:

+ Nếu có một đơn ánh f : A → B thì A ≤ B

+ Nếu có một toàn ánh f : A → B thì A ≥ B

+ Nếu có một song ánh f : A → B thì A = B

1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị

a) Tổ hợp

Cho tập X gồm n phần tử (n 1≥ ) Mỗi tập con A gồm k phần tử của X

(1 k n≤ ≤ ) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Số các tổ hợp chập k của n phần tử là:

k n

n!

C k! n k !

=

−

b) Chỉnh hợp

Cho tập X gồm n phần tử (n 1≥ ) Mỗi bộ có thứ tự (x ;x ; ;x1 2 k) gồm k phần tử của X (1 k n≤ ≤ ) được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

k n

n!

A

n k !

=

−

c) Hoán vị

Cho tập X gồm n phần tử (n 1≥ ) Mỗi cách sắp sếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử

Số các hoán vị của n phần tử là: Pn =n!

2 Bài toán đếm

Đây là bài toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình thỏa mãn điều kiện đã nêu”

3 Phương pháp sử dụng song ánh

Phương pháp sử dụng song ánh dựa trên ý tưởng sau: Nếu tồn tại một song ánh từ A vào B thì A = B Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có cùng

số phần tử, chỉ cần xây dựng một song ánh giữa chúng Hơn nữa, ta có thể đếm được số phần tử của một tập hợp A bằng cách xây dựng một song ánh từ A đến một tập hợp B mà tập B đã biết cách đếm số phần tử

4 Áp dụng

Bài toán 1: (Bài toán chia kẹo của Euler) Cho m và n là các số nguyên dương

Xét phương trình nghiệm nguyên x1+x2 + + xn =m Hỏi phương trình trên có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm?

(Bài toán trên xuất phát từ bài toán thực tế: Cho n, m là các số nguyên dương Hói có bao nhiêu cách chia m chiếc kẹo cho n người?)

Lời giải

Gọi X là tập các nghiệm nguyên không âm của phương trình đã cho và Y

là tập các xâu nhị phân có độ dài m n 1+ − , trong đó có m kí tự 1 và n 1− kí tự

0

Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng mỗi phần tử x=(x ;x ; ;x1 2 n)∈X

y 11 1011 100 011 1=

Ta chứng minh được f là song ánh Do đó n 1

m n 1

X = Y C = −+ −

Bài toán 2 : Cho n là một số nguyên dương Xét bảng ô vuông n n× Hỏi trong

Lời giải

Gọi X là tập các hình vuông trong bảng, Xi, i 1,n= là tập các hình vuông cạnh i trong bảng Ta có X ,X , ,X1 2 n đôi một dời nhau và

X X= ∪X ∪ ∪ X

i 1

X X

=

=∑

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Khi đó mỗi hình vuông MNPQ cạnh k trong bảng tương ứng với một cặp

số tự nhiên ( )a;b ∈ ×A B, trong đó A={0;1;2; ;n k− }, B={0;1;2; ;n k− }

Ta thấy tương ứng trên là song ánh f : X → × A B

X = × =A B A B = n k 1− +

Bài toán 3 : Cho m, n là các số nguyên dương Xét mạng lưới ô vuông kích

thước m n× trong hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Hỏi số đường đi ngắn nhất (theo mạng lưới) từ điểm O 0;0( ) đến điểm A m;n( ) là bao nhiêu ?

Lời giải

Một đường đi ngắn nhất (theo mạng lưới) từ O đến A sẽ bao gồm m bước

đi ngang và n bước đi lên

Gọi X là tập các đường đi ngắn nhất (theo mạng lưới) từ O đến A ; Y là tập các bộ số ( ) { }m n

1 2 m n

a ;a ; ;a + ∈ 0;1 + , trong đó có n tọa độ bằng 1

Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng mỗi đường đi x X∈ với

( 1 2 m n)

y= a ;a ; ;a + ∈Y, trong đó a bằng 0 nếu bước thứ i đi ngang và bằng 1 i nếu bước thứ i đi lên

Dễ dàng chứng minh được f là song ánh Do đó n

m n

X = Y C = +

Bài toán 4 : Có n người xếp thành hàng dọc ( n 1≥ ) Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ra k người sao cho trong số đó không có hai người nào đứng liên tiếp trong hàng ?

Lời giải

Đánh số n người bằng số thứ tự 1 ; 2 ; 3 ; ;n Một cách chọn

(a ;a ; ;a1 2 k) thỏa mãn 1 a≤ < < <1 a2 ak ≤n, ai 1+ − ≥ai 2, ∀ =i 1;n 1−

Ta phải tìm A với A={ (a ;a ; ;a | a1 2 k) i∈{1;2; ;n ,a} i 1+ − ≥ ∀ =ai 2, i 1;n 1− }

Đặt B={ (b ;b ; ;b | b1 2 k) i = − + ∀ =ai i 1, i 1;k 1− }

{ b ;b ; ;b |1 b1 2 k 1 b2 bk n k 1}

= ≤ < < < ≤ − +

Xét ánh xạ f : A → B cho tương ứng mỗi (a ;a ; ;a1 2 k)∈A với

(b ;b ; ;b1 2 k)∈B sao cho bi = − + ∀ = ai i 1, i 1;k 1 −

Dễ dàng chứng minh được f là song ánh Do đó k

n k 1

A = = B C − +

Bài toán 5 : (Balkan 1997) Cho m, n là các số nguyên dương lớn hơn 1 Xét tập

X gồm n phần tử và A ;A ; ;A1 2 m là m tập con của X thỏa mãn : vói mọi

x, y X, x y∈ ≠ , tồn tại tập Ak (1 k m≤ ≤ ) sao cho x A , y A∈ k ∉ k hoặc

Lời giải

Đặt { }m

Y = 0;1 Ta có Y 2 = m Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng mỗi

x X∈ với y=(x ;x ; ;x1 2 m) sao cho xk =1 nếu x X∈ k và xk =0 nếu x X∉ k,

k 1,m=

Ta chứng minh được f : X → Y là đơn ánh Do đó n 2 ≤ m (đpcm)

Bài toán 6: (IMO 1989) Cho n là số nguyên dương Một hoán vị (x ;x ; ;x1 2 2n)

của tập {1;2; ;2n} được gọi là có tính chất T nếu tồn tại i∈{1;2; ;2n 1− } sao cho xi −xi 1+ =n Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số các hoán vị có tính chất T lớn hơn số các hoán vị không có tính chất T

Lời giải

Gọi A là tập các hoán vị có tính chất T, B là tập các hoán vị không có tính chất T

Xét ánh xạ f : B → A cho tương ứng mỗi phần tử b=(b ;b ; ;b1 2 2n)∈B,

2n k

b −b =n với phần tử a=(a ;a ; ;a ; ;a1 2 k 2n)∈A trong đó

i i

i 2n i k 1

a b , i 1,k

a b − + + , i k 1,2n

⎧ = ∀ =

⎪

⎨

= ∀ = +

⎪⎩

Ta thấy f đơn ánh

Mặt khác vì phần tử b=(1;n 1;2;n 2;3;4; ;n;n 3;n 4; ;2n+ + + + ) không

có tạo ảnh nên f không là toán ánh Do đó A > B (đpcm)

Bài toán 7: Có một nhóm người mà trong đó, mỗi cặp không quen nhau có đúng

hai người quen chung, còn mỗi cặp quen nhau thì không có người quen chung Chứng minh rằng số người quen của mỗi người là như nhau

Lời giải

Nếu a quen b Gọi tập các người quen của a và b (không kể a, b) theo thứ

tự là A và B Mỗi người a’ thuộc A sẽ quen với duy nhất một người thuộc B (do a’ và b không quen nhau, hơn nữa họ sẽ có một người quen chung là a) Tương

tự, mỗi người thuộc B cũng quen với duy nhất một người thuộc A Vậy tồn tại một song ánh từ A đến B Do đó a và b có số người quen bằng nhau

Nếu a không quen b thì tồn tại c quen cả a và b Do đó số người quen của

a và b bằng nhau (vì cùng bằng số người quen của c)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 8: (VMO 1996) Cho n,k,m∈• * thỏa mãn điều kiện 1 k n< ≤ , m 1> Hỏi có bao nhiêu chỉnh hợp không lặp (a ;a ; ;a1 2 k)chập k của n số nguyên dương đầu tiên mà mỗi chỉnh hợp đó đều thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện:

(a) ∃ ∈i, j {1;2; ;k} sao cho i j< và ai >aj

(b) ∃ ∈i {1;2; ;k} sao cho ai −i không chia hết cho m

Lời giải

Đặt A là tập gồm các chỉnh hợp chập k của n phần tử lấy từ tập

{1;2; ;n}, A* là là tập gồm các chỉnh hợp thỏa mãn giả thiết và

B= a ;a ; ;a ∈A | a < < <a a ,a −i m, i 1,kM ∀ =

n

A A = và A* =A \ B

Xét ánh xạ f : B → B'

(a ;a ; ;a1 2 k) (a a1− +1 m;a2 − +2 2m; ;ak − +k km)

Với B'={ (b ;b ; ;b | b1 2 k) 1 < < <b2 b ,bk i∈{1;2; ;n k km ,b m, i 1,k− + } iM ∀ = }

Khi đó f : B → B' là song ánh

n k k m

B B' C⎡ −

⎤+

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= =

n n k

k m

A A B A C⎡ −

⎤+

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − = −

Bài toán 9: (Olympic 30/4/2000) Hãy tính trung bình cộng tất cả các số N gồm

2002 chữ số thỏa mãn N 99M và các chữ số của N thuộc {1;2;3;4;5;6;7;8}

Lời giải

Gọi M là tập các số N thỏa mãn điều kiện đề bài Xây dựng ánh xạ f như sau : Nếu N a a a = 1 2 2002 thì f N( )=b b b1 2 2002, với bi = − ∀ = 9 a , i 1,2002i

2002 9

N f N+ = 99 9 99M nên f : M → M là song ánh

N M N M 2002 9 N M 2002 9

1

2 N N f N M 99 9 N M 99 9

2

Vậy số trung bính cộng các số N là {

2012

N M 2002 9

N 99 9

−

Bài toán 10 : (VMO 2012) Cho tập S gồm tất cả các số nguyên thuộc [ ]1;n

(n∈• *) T là tập tất cả các tập con khác rỗng của S Với mỗi X T∈ , kí hiệu

( )

m X là trung bình cộng tất cả các phần tử các phần tử thuộc X Tính

( )

X T

m X

m

T

∈

= ∑

Lời giải

Xét ánh xạ f :T → T

Xa f X = + −n 1 x | x X∈

Ta có f song ánh Do đó ( ) ( ( ) )

X T X T

m X m f X n 1, X T

m X m f X

⎧ + = + ∀ ∈

⎪

⎪⎩∑ ∑

X T

2 m X m X m f X T n 1

∈

= ⎣ + ⎦= +

X T

m X

n 1 m

T 2

= ∑ =

C KẾT LUẬN

Bài toán tổ hợp là bài toán có nội dung thực tế, lý luận hấp dẫn và lý thú, những điều nghe như là đơn giản nhưng giải được nó là một quá trình tư duy sâu sắc, ứng dụng ánh xạ sẽ làm rõ hơn cách giải toán rời rạc cho học sinh giải toán

ở trường Trung học phổ thông chuyên

Do kinh nghiệm còn hạn chế nên bài viết không tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự bổ sung, góp ý để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn