CHUYÊN ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH MÃ: TO02A Chuyên đề: GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một vấn đề việc nghiên cứu tổ hợp đếm xem có cấu hình tạo với quy tắc nêu? Để đếm xác, ta phải phân biệt cấu hình dựa vào quy luật xây dựng chúng Vì xem toán đếm toán luyện tập để người làm quen với tư tổ hợp, điều giải thích số toán đếm đưa vào phổ thông từ năm học Bài toán đếm phong phú kể dạng phát biểu đến cách giải Độ khó toán đếm trải rộng: từ toán dễ với số liệu cụ thể, kiểm chứng trực giác đến toán khó hơn, với liệu đầu vào chữ mà kết biểu diễn công thức toán học Có công thức tìm qua vài suy luận đơn giản có công thức mà việc tìm thấy chúng phải kéo dài hàng kỷ Có toán đếm gặp nhiều khó khăn, bế tắc giải phương pháp trực tiếp, giải phương pháp gián tiếp lại trở nên rõ ràng, đơn giản Để giải toán đếm cần đòi hỏi học sinh phải tư tốt, linh hoạt, sáng tạo Bài toán đếm giúp học sinh phát huy tốt lực tư sáng tạo Vì lí trên, với mong muốn phát triển tư sáng tạo cho học sinh, chọn nghiên cứu vấn đề “Giải toán đếm phương pháp sử dụng song ánh” Mục đích đề tài Vận dụng tính chất song ánh vào giải toán đếm B NỘI DUNG Một số khái niệm 1.1 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh * Khái niệm: Cho ánh xạ f : A → B Khi đó: + Ánh xạ f gọi đơn ánh với hai phần tử a1 ,a ∈ A mà a1 ≠ a f ( a1 ) ≠ f ( a ) , tức f ( a1 ) = f ( a ) ⇒ a1 = a + Ánh xạ f gọi toàn ánh với b ∈ B tồn a ∈ A cho f (a ) = b + Ánh xạ f gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh * Tính chất: Cho A B hai tập hợp hữu hạn Khi đó: + Nếu có đơn ánh f : A → B A ≤ B + Nếu có toàn ánh f : A → B A ≥ B + Nếu có song ánh f : A → B A = B 1.2 Tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị a) Tổ hợp Cho tập X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi tập A gồm k phần tử X (1 ≤ k ≤ n ) gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử là: Ckn = n! k!( n − k )! b) Chỉnh hợp Cho tập X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi có thứ tự ( x1;x ; ;x k ) gồm k phần tử X (1 ≤ k ≤ n ) gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: Akn = n! ( n − k )! c) Hoán vị Cho tập X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Mỗi cách sếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! Bài toán đếm Đây toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình thỏa mãn điều kiện nêu” Phương pháp sử dụng song ánh Phương pháp sử dụng song ánh dựa ý tưởng sau: Nếu tồn song ánh từ A vào B A = B Do đó, muốn chứng minh hai tập hợp có số phần tử, cần xây dựng song ánh chúng Hơn nữa, ta đếm số phần tử tập hợp A cách xây dựng song ánh từ A đến tập hợp B mà tập B biết cách đếm số phần tử Áp dụng Bài toán 1: (Bài toán chia kẹo Euler) Cho m n số nguyên dương Xét phương trình nghiệm nguyên x1 + x + + x n = m Hỏi phương trình có nghiệm nguyên không âm? (Bài toán xuất phát từ toán thực tế: Cho n, m số nguyên dương Hói có cách chia m kẹo cho n người?) Lời giải Gọi X tập nghiệm nguyên không âm phương trình cho Y tập xâu nhị phân có độ dài m + n − , có m kí tự n − kí tự Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng phần tử x = ( x1;x ; ;x n ) ∈ X với phần tử y = 11 1011 100 011 { { { x1 x2 xn Ta chứng minh f song ánh Do X = Y = Cnm−+1n−1 Bài toán : Cho n số nguyên dương Xét bảng ô vuông n × n Hỏi bảng cho có hình vuông ? Lời giải Gọi X tập hình vuông bảng, X i , i = 1,n tập hình vuông cạnh i bảng Ta có X1 ,X , ,X n đôi dời X = X1 ∪ X ∪ ∪ X n n Do X = ∑ X i i =1 Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình vuông MNPQ cạnh k bảng tương ứng với cặp số tự nhiên ( a;b ) ∈ A × B , A = {0;1;2; ;n − k} , B = {0;1;2; ;n − k} Ta thấy tương ứng song ánh f : X → A × B Do X = A × B = A B = ( n − k + 1) Bài toán : Cho m, n số nguyên dương Xét mạng lưới ô vuông kích thước m × n hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Hỏi số đường ngắn (theo mạng lưới) từ điểm O ( 0;0 ) đến điểm A ( m;n ) ? Lời giải Một đường ngắn (theo mạng lưới) từ O đến A bao gồm m bước ngang n bước lên Gọi X tập đường ngắn (theo mạng lưới) từ O đến A ; Y tập số ( a1;a ; ;a m +n ) ∈ {0;1} m+n Xét ánh xạ , có n tọa độ f : X → Y cho tương ứng đường x∈X với y = ( a1;a ; ;a m+n ) ∈ Y , a i bước thứ i ngang bước thứ i lên Dễ dàng chứng minh f song ánh Do X = Y = Cnm+n Bài toán : Có n người xếp thành hàng dọc ( n ≥ ) Hỏi có cách chọn k người cho số hai người đứng liên tiếp hàng ? Lời giải Đánh số n người số thứ tự ; ; ; ;n Một cách chọn ( a1;a ; ;a k ) thỏa mãn ≤ a1 < a < < a k ≤ n , a i+1 − a i ≥ , ∀i = 1;n − { } Ta phải tìm A với A = ( a1;a ; ;a k ) | a i ∈{1;2; ;n},a i+1 − a i ≥ 2, ∀i = 1;n − { } Đặt B = ( b1;b2 ; ;bk ) | bi = a i − i + 1, ∀i = 1;k − = {( b1;b2 ; ;bk ) |1 ≤ b1 < b2 < < bk ≤ n − k + 1} Xét ánh xạ f : A → B cho tương ứng ( a1;a ; ;a k ) ∈ A với ( b1;b2 ; ;bk ) ∈ B cho bi = − i + 1, ∀i = 1;k − Dễ dàng chứng minh f song ánh Do A = B = Ckn−k+1 Bài toán : (Balkan 1997) Cho m, n số nguyên dương lớn Xét tập X gồm n phần tử A1;A ; ;A m m tập X thỏa mãn : vói x, y ∈ X, ( x ≠ y ) , tồn tập A k (1 ≤ k ≤ m ) cho x ∈ A k , y ∉ A k x ∉ A k , y ∈ A k Chứng minh n ≤ 2m Lời giải Đặt Y = {0;1} Ta có Y = 2m Xét ánh xạ f : X → Y cho tương ứng m x ∈ X với y = ( x1;x ; ;x m ) cho x k = x ∈ X k x k = x ∉ X k , k = 1,m Ta chứng minh f : X → Y đơn ánh Do n ≤ 2m (đpcm) Bài toán 6: (IMO 1989) Cho n số nguyên dương Một hoán vị ( x1;x ; ;x 2n ) tập {1;2; ;2n} gọi có tính chất T tồn i ∈{1;2; ;2n − 1} cho x i − x i+1 = n Chứng minh với n nguyên dương, số hoán vị có tính chất T lớn số hoán vị tính chất T Lời giải Gọi A tập hoán vị có tính chất T, B tập hoán vị tính chất T Xét ánh xạ f : B → A cho tương ứng phần tử b = ( b1;b2 ; ;b 2n ) ∈ B , b2n − bk = n với phần tử a = ( a1;a ; ;a k ; ;a 2n ) ∈ A ⎧⎪a i = bi , ∀i = 1,k ⎨ ⎪⎩a i = b 2n −i+k +1 , ∀i = k + 1,2n Ta thấy f đơn ánh Mặt khác phần tử b = (1;n + 1;2;n + 2;3;4; ;n;n + 3;n + 4; ;2n ) tạo ảnh nên f không toán ánh Do A > B (đpcm) Bài toán 7: Có nhóm người mà đó, cặp không quen có hai người quen chung, cặp quen người quen chung Chứng minh số người quen người Lời giải Nếu a quen b Gọi tập người quen a b (không kể a, b) theo thứ tự A B Mỗi người a’ thuộc A quen với người thuộc B (do a’ b không quen nhau, họ có người quen chung a) Tương tự, người thuộc B quen với người thuộc A Vậy tồn song ánh từ A đến B Do a b có số người quen Nếu a không quen b tồn c quen a b Do số người quen a b (vì số người quen c) Từ suy điều phải chứng minh Bài toán 8: (VMO 1996) Cho n,k,m∈• * thỏa mãn điều kiện < k ≤ n , m > Hỏi có chỉnh hợp không lặp ( a1;a ; ;a k ) chập k n số nguyên dương mà chỉnh hợp thỏa mãn hai điều kiện: (a) ∃i, j ∈ {1;2; ;k} cho i < j a i > a j (b) ∃i ∈{1;2; ;k} cho a i − i không chia hết cho m Lời giải Đặt A tập gồm chỉnh hợp chập k n phần tử lấy từ tập {1;2; ;n}, A* là tập gồm chỉnh hợp thỏa mãn giả thiết { } B = ( a1;a ; ;a k ) ∈ A | a1 < a < < a k ,a i − iMm, ∀i = 1,k Ta có A = Akn A* = A \ B Xét ánh xạ f : B → B' ( a1;a ; ;a k ) a (a1 − + m;a − + 2m; ;a k − k + km ) { } Với B' = ( b1;b2 ; ;bk ) | b1 < b2 < < bk ,bi ∈{1;2; ;n − k + km},bi M m, ∀i = 1,k Khi f : B → B' song ánh Do B = B' = Ck⎡ n −k ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ + k Vậy A* = A − B = A kn − Ck⎡ n −k ⎤ ⎢⎣ m ⎥⎦ + k Bài toán 9: (Olympic 30/4/2000) Hãy tính trung bình cộng tất số N gồm 2002 chữ số thỏa mãn NM99 chữ số N thuộc {1;2;3;4;5;6;7;8} Lời giải Gọi M tập số N thỏa mãn điều kiện đề Xây dựng ánh xạ f sau : Nếu N = a1a a 2002 f ( N ) = b1b2 b2002 , với bi = − a i , ∀i = 1,2002 Do N + f ( N ) = 99 M99 nên f : M → M song ánh { 2002 ch˜ sË 9 Do ∑ N = N∈M ∑ ( N + f ( N )) = M N∈M 99 ⇒ { 2002 ch˜ sË 9 Vậy số trung bính cộng số N M ∑N= M N∈M 99 { 2002 ch˜ sË 9 102012 − = ∑ N = 200299 { N∈M ch˜ sË 9 Bài toán 10 : (VMO 2012) Cho tập S gồm tất số nguyên thuộc [1;n ] ( n ∈ • * ) T tập tất tập khác rỗng S Với X ∈ T , kí hiệu m ( X ) trung bình cộng tất phần tử phần tử thuộc X Tính ∑ m(X) m = X∈T T Lời giải Xét ánh xạ f : T → T X a f ( X ) = {n + − x | x ∈ X} ⎧m ( X ) + m ( f ( X ) ) = n + 1, ∀X ∈ T ⎪ Ta có f song ánh Do ⎨ m ( X ) = ∑ m (f ( X )) ⎪⎩X∑ ∈T X∈T Suy 2∑ m ( X ) = ∑ ⎡⎣ m ( X ) + m ( f ( X ) )⎤⎦ = T ( n + 1) X∈T Vậy m = ∑ m(X) X∈T T = n +1 C KẾT LUẬN Bài toán tổ hợp toán có nội dung thực tế, lý luận hấp dẫn lý thú, điều nghe đơn giản giải trình tư sâu sắc, ứng dụng ánh xạ làm rõ cách giải toán rời rạc cho học sinh giải toán trường Trung học phổ thông chuyên Do kinh nghiệm hạn chế nên viết không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận bổ sung, góp ý để viết hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ... là: Pn = n! Bài toán đếm Đây toán nhằm trả lời câu hỏi: “Có cấu hình thỏa mãn điều kiện nêu” Phương pháp sử dụng song ánh Phương pháp sử dụng song ánh dựa ý tưởng sau: Nếu tồn song ánh từ A vào.. .Chuyên đề: GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SONG ÁNH A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một vấn đề việc nghiên cứu tổ hợp đếm xem có cấu hình tạo với quy tắc nêu? Để đếm xác, ta phải... Mục đích đề tài Vận dụng tính chất song ánh vào giải toán đếm B NỘI DUNG Một số khái niệm 1.1 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh * Khái niệm: Cho ánh xạ f : A → B Khi đó: + Ánh xạ f gọi đơn ánh với