Ebook toán bổ trợ và nâng cao tam giác đồng dạng

  Loading [MathJax]/jax/output/HTML‐CSS/fonts/TeX/fontdata.js HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn sách này là phiên bản in của sách điện tử tại http://tilado.edu.vn Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado® Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau: 1.  Vào trang http://tilado.edu.vn 2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng ký 3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc 4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất 5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm để tiện truy cập Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado® Tilado® ĐỊNH LÝ TA ‐ LET VÀ HỆ QUẢ ĐỊNH LÝ TA‐LET BÀI TẬP LIÊN QUAN 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: a.  HA = KA b.  HA = HB KC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/86122 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB = a, CD = b. M và N lần lượt thuộc MA các cạnh AD và BC sao cho MN // CD và  = m (m > 0; < a < b) MD a + mb Chứng minh rằng: MN = m+1   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/86132 3. Cho tam giác OBC. Hai đường thẳng m và m' lần lượt qua B và C song song với nhau và không cắt tam giác OBC. Gọi A là giao điểm của OC và m, D là giao điểm 1 của OB và m'. Xác định vị trí của m và m' để  +  đạt giá trị lớn nhất AB CD   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/86142 4. Cho một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 15cm và 20cm. Gấp tấm bìa đó theo đường chéo . Diện tích phần bìa chồng lên nhau bằng mấy phần diện tích tấm bìa hình chữ nhật?   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/86153 5. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở C', B' và cắt tia đối của tia CB ở A'. Chứng minh hệ thức:  1 + = ′ ′ ′ GA GB GC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/86162 6. Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc đoạn thẳng AB, điểm D thuộc tia đối của tia CA DA BA sao cho  = = 2. Biết CD = cm, tính độ dài AB? CB DB   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/861112 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F. Tính FC, biết AE = 4 cm; ED = 2 cm; BF = 6 cm   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/861122 8. Cho ΔABC. Điểm D thuộc cạnh BC sao cho  BD BC =  Điểm E thuộc đoạn thẳng AD sao cho AE = 2ED. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số  AK KC  ?   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/861132 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F.  AE CF Chứng minh rằng:  + = 1.  AD BC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/861142 10. Cho ΔABC, điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ DE // AC (E ∈ AB); DF // AB ( AE AF F ∈ AC). Tính:  + ? AB AC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/861152 11. Cho ΔABC, một đường thẳng song song với cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB ở F Chứng minh rằng: AB = AD AF   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/522/861162 12. Cho hình thang ABCD (AB // CD; AB  AD và AD = 5cm. Trên DC lấy điểm M sao ^ cho DM = 2cm. Biết AMB = 90 a.  Chứng minh ΔDAM ∼ ΔCMB. Tính độ dài MC ^ b.  Tia phân giác của AMB cắt AB tại E. Kẻ EK⊥AB(K ∈ MB). Chứng minh rằng EA=EK c.  Tia EK cắt AM tại H, tia AK cắt BH tại N. Chứng minh MN là tia phân giác góc  ^ BMH Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869254 96. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB CD + BC AD ≥ AC BD    Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869304 97. Cho ΔABC vuông tại A và có đường cao AH a.  Chứng minh rằng: ΔABC ∼ ΔHBA ∼ ΔHAC b.  Chứng minh rằng: AB = BH BC, AC = CH BC c.  Biết AB=3, AC=4, S HAC = 32cm 2. Tính diện tích của ΔHBA Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869404 ^ 98. Cho ΔABC đều, qua trung điểm O của BC vẽ xOy = 60 0. Các tia Ox, Oy cắt các cạnh AB, AC tương ứng tại M và N. Chứng minh rằng: a.  ΔBOM ∼ ΔCNO b.  4BM CN = BC ^ c.  ΔBOM ∼ ΔONM, OM là phân giác của BMN d.  ON = CN NM Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869504 ( ) ˆ = 90 ,  M là trung điểm của AD và  99. Cho hình thang vuông ABCD Aˆ = D ^ BMC = 90 0. Biết AD = 2a. Chứng minh rằng: a.  AB CD = a b.  ΔMAB ∼ ΔCMB ^ c.  BM là tia phân giác của ABC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869554 ^ 100. Cho góc xOy, trên tia Ox lấy hai điểm C và A, trên tia Oy lấy hai điểm D và B sao cho AD cắt BC tại E. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại K, tia OE cắt AB tại I IA KA Chứng minh rằng:  = IB KB   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/861025 101. Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB cố định, cạnh CD chuyển động trên đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N Tìm quỹ tích điểm N   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/861075 102. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO, AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt BC tại E và tia FN cắt AD tại K Chứng minh rằng: BA BC a.  + =4 BF BE b.  BE + AK ≥ BC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610125 103. Cho ΔABC gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác, A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của AM với BC, BM với AC, và CM với AB thì ta công nhận hệ thức  MA ′ AA ′ + MB ′ BB ′ + MC ′ CC ′ = 1. Đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A 1; B 1; C 1. Tính  MA GA + MB GB + MC GC  ?   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610175 104. Cho ΔABC không cân, M là điểm nằm trong ΔABC sao cho  ^ ^ MB AB ˆ ˆ AMB − C = AMC − B. Chứng minh rằng  =   MC AC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610225 ^ ^ ^ ^ 105. Cho tứ giác ABCD trong đó có ABC = ADC; ABC + BCD < 180 0. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB, CD. Chứng minh rằng  AC = CD CE − AB AE    Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610275 106. Cho ΔABC, một đường thẳng d không đi qua các đỉnh của tam giác, cắt các đường thẳng BC, AC, AB thứ tự ở A’, B’, C’. Chứng minh rằng  B ′A A ′C C ′B ′ ′ = 1  ′ B C A B C A   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610285 107. Cho ΔABC (AB = c; AC = b; BC = a). I là giao điểm của các đường phân IA IB IC giác trong của ΔABC. Chứng minh rằng  + + =1 bc ca ab   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610235 108. Cho ΔABC, lấy các điểm D và M sao cho D ∈ BC; M ∈ AD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng IK//EF   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610185 109. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M chuyển động trên cạnh AB, điểm N trên tia đối của tia CA sao cho NC = MB. Vẽ hình bình hành BMNP. Tìm tập hợp điểm P khi điểm M chuyển động trên cạnh AB   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/861085 110. Cho tam giác ABC và điểm I thuộc miền trong tam giác. Qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ, RS lần lượt song song với BC, CA, AB (M, Q thuộc AB; P, R thuộc BC; N, S thuộc AC) IM IP IS Chứng minh rằng:  = IN IQ IR   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/861035 111. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì nằm trên trung tuyến AD. I và K lần lượt là trung điểm của MB và MC. Gọi P là giao điểm của ID với AB, Q là giao điểm của DK với AC. Chứng minh rằng PQ // IK   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/861055 112. Cho góc vuông xOy và điểm A cố định thuộc cạnh Ox (A khác O), điểm C chuyển động trên cạnh Oy. Vẽ tam giác đều ACB nằm trong góc xOy. Tìm tập hợp các đỉnh B của tam giác ACB   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610105 113. Lấy một điểm O trong ΔABC, các tia OA, OB, OC cắt BC, AC, AB lần lượt tại OA OB OC P, Q, R. Chứng minh rằng  + + = 2  AP BQ CR   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610155 114. Cho ΔABD có Aˆ = 90 0. Vẽ đường cao AH. Gọi M là điểm đối xứng với A qua H. Trên đoạn thẳng MH lấy điểm E bất kỳ, qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc với tia BE tại C và cắt AH tại F a.  Chứng minh rằng: AH = BH HD = HE HF b.  Chứng minh rằng:  AF AE = MF ME Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610205 115. Cho ΔABC cân, có Aˆ = 20 0; AB = AC = b; BC = a. Chứng minh rằng  a + b = 3ab 2    Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610255 116. Cho ΔABC, M là điểm bất kỳ trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại N, P, Q. Gọi R là giao điểm của PQ và BC NB RB Chứng minh rằng  = NC RC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610305 117. Cho tam giác ABC, dựng hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác (hai đỉnh nằm trên một cạnh, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh kia của tam giác). Xác định dạng của hình chữ nhật khi diện tích đạt giá trị lớn nhất   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/86914 118. Cho tứ giác ABCD có diện tích S, điểm O nằm trong tứ giác. Chứng minh rằng: OA + OB + OC + OD ≥ 2S, đẳng thức xảy ra khi nào?   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/86934 119. Cho tam giác ABC có diện tích S và đường trung tuyến AM. D là điểm trên AB, E là điểm trên AC, từ D và E kẻ các đường thẳng song song với AM cắt BC lần lượt tại Q và P Chứng minh rằng: S DEPQ ≤ S   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/86954 120. Cho ba điểm phân biệt và thẳng hàng A, B, C. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để A là trung điểm của BC là: (A, B, C) = (A, C, B)   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/86964 121. Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' trong đó ba điểm A, B, B' thẳng hàng, ba điểm A, D, D' thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của BD' và B'D. Chứng minh rằng I, C, C' thẳng hàng   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/86984 122. Cho tứ giác ABCD, hai điểm phân biệt P và Q nằm trên đường thẳng BD nhưng không trùng với điểm B và điểm D. Một đường thẳng d đi qua P cắt các đường thẳng AB, AQ và AD lần lượt tại các điểm I, J, K. Một đường thẳng d' đi qua P cắt các đường thẳng CB, CQ, CD lần lượt tại các điểm I', J', K'. Chứng minh rằng ba đường thẳng II', JJ', KK' đồng quy hoặc song song   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869105 [...]... Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/523/863203 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC TRƯỜNG HỢP CẠNH ‐ CẠNH ‐ CẠNH 3 39. Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là  và hiệu hai cạnh tương ứng 4 của chúng là 2 cm. Tính hai cạnh đó   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/516/86562 40. Cho ΔABC có AB : BC : AC = 4 : 5 : 6. Biết ΔDEF ∼ ΔABC và cạnh nhỏ nhất của ΔDEF là 8 cm. Tính các cạnh còn lại của ΔDEF... Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/519/868193 BỔ TRỢ VÀ NÂNG CAO PHẦN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 78. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BD a.  Chứng minh rằng ΔAHB ∼ ΔBCD b.  Tính độ dài đoạn thẳng AH c.  Tính diện tích ΔAHB Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869124 79. Cho ΔABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G, qua điểm O thuộc... 116. Cho ΔABC, M là điểm bất kỳ trong tam giác,  các đường thẳng AM, BM, CM theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại N, P, Q. Gọi R là giao điểm của PQ và BC NB RB Chứng minh rằng  = NC RC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610305 117. Cho tam giác ABC, dựng hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác (hai đỉnh nằm trên một cạnh, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh kia của tam giác) . Xác định dạng của hình chữ nhật khi diện tích đạt giá trị lớn nhất... KM, KN, MN a.  Chứng minh ΔFED ∼ ΔABC, tìm tỉ số đồng dạng? b.  Biết nửa chu vi của ΔABC là 12 cm. Tính chu vi ΔFED Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/516/865102 44. Cho ΔABC có BC = a, AC = b, AB = c và a 2 = bc. Gọi h a, h b, h c là chiều cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam giác có ba cạnh bằng độ dài các đường cao của ΔABC   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/516/865123... http://tilado.edu.vn/524/861085 110. Cho tam giác ABC và điểm I thuộc miền trong tam giác.  Qua I kẻ các đường thẳng MN, PQ, RS lần lượt song song với BC, CA, AB (M, Q thuộc AB; P, R thuộc BC; N, S thuộc AC) IM IP IS Chứng minh rằng:  = 1 IN IQ IR   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/861035 111. Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì nằm trên trung tuyến AD. I và K lần lượt là trung điểm của MB và MC. Gọi P là giao điểm của ID với AB, Q là giao... 66. Cho ΔABC đều, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm P trên cạnh AB và điểm ^ Q trên cạnh AC sao cho PMQ = 60 0. Chứng minh: a.  ΔPBM ∼ ΔMCQ b.  ΔMBP ∼ ΔQMP c.  S MPQ S ABC = PQ 2BC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/518/867203 67. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùng với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường vuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K a.  Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành... AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt BC tại E và tia FN cắt AD tại K Chứng minh rằng: BA BC a.  + =4 BF BE b.  BE + AK ≥ BC Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610125 103. Cho ΔABC gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác,  A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của AM với BC, BM với AC, và CM với AB thì ta công nhận hệ thức  MA ′ AA ′ + MB ′ BB ′ + MC ′ CC ′ = 1. Đường thẳng qua M và trọng tâm G của tam giác cắt BC, CA, AB lần lượt tại A... IB 2 IC 2 giác trong của ΔABC. Chứng minh rằng  + + =1 bc ca ab   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610235 108. Cho ΔABC, lấy các điểm D và M sao cho D ∈ BC; M ∈ AD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MB, MC. Gọi E là giao điểm của DI và AB, F là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng IK//EF   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/8610185 109. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M chuyển động trên cạnh AB, điểm N...  Gọi h a, h b, h c là chiều cao tương ứng với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh ΔABC đồng dạng với tam giác có ba cạnh bằng h a, h b, h c   Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/516/86582 42. Cho ΔABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R, D, H, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC, AB, AC, BC a.  Chứng minh ΔKHD ∼ ΔPQR, tìm tỉ số đồng dạng b.  Tính chu vi ΔPQR, ΔABC, biết chu vi ΔKHD bằng 100 cm... Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869394 90. Cho ΔABC có các đường cao BK và CI cắt nhau tại H. Các đường thẳng kẻ từ B vuông góc với AB và kẻ từ C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Chứng minh rằng: a.  BHCD là hình bình hành b.  AI.AB = AK.AC c.  ΔAIK và ΔACB đồng dạng d.  ΔABC cần có thêm điều kiện gì để đường thẳng DH đi qua A. Khi đó tứ giác BHCD là hình gì? Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/524/869444 ... http://tilado.edu.vn/523/863203 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC TRƯỜNG HỢP CẠNH ‐ CẠNH ‐ CẠNH 39. Cho hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi là  và hiệu hai cạnh tương ứng của chúng là 2 cm. Tính hai cạnh đó... minh rằng: PQ = m2 + n2     Xem lời giải tại: http://tilado.edu.vn/519/868193 BỔ TRỢ VÀ NÂNG CAO PHẦN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN 78. Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 12cm, BC = 9cm. Gọi H là chân đường... 67. Cho ΔABC đều, O là trọng tâm của tam giác và điểm M ∈ BC, M không trùng với trung điểm của BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC, các đường vuông góc này lần lượt cắt OB và OC taị I và K a.  Chứng minh rằng tứ giác MIOK là hình bình hành