Vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ

Các kí hiệu Các ký hiệu dựa vào tài liệu: V Camillo and W.K Nicholson [1]; W.K Nicholson and M.F Yousif [6]; W.K Nicholson and E Sánchez Campos [7] R Wisbauer [8] : Tổng trực tiếp : Tích trực tiếp : Tập : Iđêan vành =: Đẳng cấu l(A): Linh hoá tử trái tập hợp A vành R r(A): Linh hoá tử phải tập hợp A vành R Tóm tắt Đối với vành R theo định lý đồng cấu có R/l(a) = Ra, a R l(a) linh hoá tử trái phần tử a, nhiên đối ngẫu R/Ra = l(a) Lớp vành cấu xạ đợc đa nghiên cứu tính đắn đẳng thức R/Ra = l(a) Các nhà toán học Nicholson Campos (2004) (xem [7]) tìm thấy liên hệ lớp vành với tính chất phần tử Nicholson cộng đạt đợc nhiều kết sâu sắc nghiên cứu lớp vành cấu xạ (xem [2], [7]) Trong thời gian gần họ mở rộng lớp vành để đạt đợc lớp vành tựa cấu xạ (xem [1]) Khoá luận tiếp tục nghiên cứu tính chất xây dựng số ví dụ lớp vành cấu xạ lớp vành tựa cấu xạ Để giải vấn đề đặt sử dụng kiến thức, phơng pháp kỹ thuật chứng minh lý thuyết vành, đặc biệt kỹ thuật phần tử Bố cục khoá luận gồm hai chơng: Chơng Các khái niệm Chơng giới thiệu khái niệm tính chất có liên quan đợc sử dụng cho chơng sau Đó kiến thức sở để nghiên cứu lớp vành cấu xạ tựa cấu xạ Chơng Vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Chơng giới thiệu phần tử cấu xạ, phần tử tựa cấu xạ, vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Chơng đa ví dụ mối liên hệ hai lớp vành với lớp vành cổ điển Đ1 Vành cấu xạ Mục giới thiệu phần tử cấu xạ vành cấu xạ, số tính chất nội đặc trng vành cấu xạ để đa mối liên hệ vành cấu xạ với vành quy khả nghịch, vành Bun, thể, vành nửa đơn, Đ2 Vành tựa cấu xạ Mục giới thiệu phần tử tựa cấu xạ vành tựa cấu xạ, mối liên hệ vành tựa cấu xạ với vành cấu xạ số lớp vành khác nh vành quy, vành hữu hạn trực tiếp Mục đa số tính chất vành tựa cấu xạ Lời nói đầu Lý thuyết vành lý thuyết phát triển mạnh mẽ giai đoạn Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc trng lớp vành toán đợc nhiều nhà toán học quan tâm đạt đợc nhiều kết sâu sắc Có hai hớng để đặc trng cho lớp vành Hớng thứ đặc trng vành thông qua tính chất nội nh tính chất phần tử iđêan Hớng thứ hai đặc trng vành thông qua tính chất lớp môđun vành Hớng thứ đời sớm đợc số nhà toán học quan tâm nghiên cứu Khoá luận nghiên cứu theo hớng thứ nhất, dựa báo Nicholson, Campos (2004) (xem [7]) Camillo, Nicholson (2007) (xem [1]) Chúng ta biết vành R theo định lý đồng cấu R/l(a) = Ra, a R l(a) linh hoá tử trái phần tử a Tuy nhiên tính chất R/Ra = l(a) chẳng hạn Z/2Z = l(2) = Năm 1976, G.Erlich đa lớp vành cấu xạ lớp vành thoả mãn điều kiện R/Ra = l(a) (xem [3]), nhiên việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều kiện tỏ không thật hiệu Năm 2004, Nicholson Campos đa điều kiện tơng đơng vành cấu xạ với tính chất linh hoá tử phần tử (xem [7, Lemma 1]) Nhờ sử dụng điều kiện việc nghiên cứu lớp vành cấu xạ tỏ có hiệu đạt đợc nhiều kết thú vị Đặc biệt năm 2007, V Camillo Nicholson mở rộng điều kiện đa lớp vành tựa cấu xạ đạt đợc số kết (xem [1]) Khoá luận nghiên cứu tính chất vành cấu xạ vành tựa cấu xạ, đa ví dụ, mối liên hệ hai lớp vành với lớp vành cổ điển Khoá luận nghiên cứu tính chất phần tử hai lớp vành Khoá luận đợc trình bày hai chơng Trong chơng I, hệ thống khái niệm đợc sử dụng khoá luận Chơng II nội dung khoá luận trình bày phần tử vành cấu xạ, tựa cấu xạ, tính chất chúng, thông qua đa ví dụ mối liên hệ hai lớp vành với lớp vành cổ điển Kết khoá luận đợc viết thành báo: Vành cấu xạ QF vành gửi đăng Tạp chí khoa học trờng Đại học Vinh (xem [9]) Khi nghiên cứu lớp vành cấu xạ vành tựa cấu xạ nhận thấy hệ thống kết cha thực hoàn thiện Từ đặt toán hấp dẫn tiếp tục nghiên cứu thời gian tới nh đặc trng QF vành vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Khoá luận đợc hoàn thành dới hớng dẫn thầy giáo PGS TS Ngô Sỹ Tùng, NCS ThS Lê Văn An nhóm Seminar Lý thuyết vành môđun Nhân dịp bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn nhóm Seminar giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo góp ý thiết thực cho trình hoàn thành khoá luận Chúng xin gửi lời cảm ơn thầy cô giáo tổ Đại số Lý thuyết số bạn sinh viên giúp đỡ trình hoàn thành khoá luận Vì trình độ thời gian có hạn nên khoá luận chắn không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đợc đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn đọc để khoá luận đợc hoàn thiện Tác giả CHƯƠNG Các khái niệm Trong chơng này, đa định nghĩa, tính chất liên quan đến công trình Các khái niệm, tính chất ký hiệu dựa vào tài liệu: V Camillo and W.K Nicholson [1]; W.K Nicholson and M.F Yousif [6]; W.K Nicholson and E Sánchez Campos [7] R Wisbauer [8] Các vành đợc giả thiết vành kết hợp có đơn vị môđun vành đợc hiểu môđun phải unita 1.1 Các phần tử đặc biệt vành Cho vành R phần tử e, f R Phần tử e đợc gọi phần tử luỹ đẳng (idempotent element) R e2 = e Hai phần tử e, f đợc gọi luỹ đẳng trực giao (orthogonal idempotents) e2 = e; f = f ; ef = f e = 1.1.2 Phần tử quy Cho vành R Phần tử a vành R đợc gọi phần tử quy (regular element) tồn phần tử b R cho aba = a 1.1.3 Phần tử quy khả nghịch Cho vành R Phần tử a vành R đợc gọi phần tử quy khả nghịch (unit regular element) tồn phần tử khả nghịch b R cho aba = a 1.1.4 Nhận xét Phần tử quy khả nghịch phần tử quy nhng điều ngợc lại không (xem [5]) 1.1.1 Phần tử luỹ đẳng 1.2 Định lý phân tích vành Giả sử R vành có đơn vị có phân tích R R = iI Ai , (Ai R R) thì: a) Tồn tập hữu hạn I0 I cho R R = iI0 Ai ; Ai = 0, i I0 b) Tồn ei Ai , i I0 cho (i) Ai = Rei ; (ii) iI0 ei = 1; (iii) {ei }iI0 họ luỹ đẳng trực giao c) Nếu R tồn họ {e1 ; e2 ; ; en } luỹ đẳng trực giao mà n i=1 ei = R R = ni=1 Rei Chứng minh Do R R = iI Ai , (Ai R R) nên = e1 + e2 + + en , (ei Ai ) Đặt I0 = {1; 2; ; n} I có x = xe1 +xe2 + +xen Từ R = Re1 + Re2 + + Ren Vì ei Ai nên Rei Ai , R = Re1 Re2 Ren Mặt khác R = Re1 Re2 Ren iI0 Ai R suy Rei = Ai Chúng ta có tính chất a), b) với tính chất (i) (ii) Từ = e1 + e2 + + en suy ei = e1 ei + e2 ei + en ei Đồng thời ei = + + + ei + + + Do ei , e2i Ai phân tích nên ei = e2i ; ei ej = 0, i = j Từ {ei }ni=1 họ luỹ đẳng trực giao Chúng ta có b) với tính chất (iii) c) Từ giả thiết = ni=1 ei có R = ni=1 Rei Nếu Rei0 i=i0 Rei r = aei0 = i=i0 ei Chúng ta suy rei0 = aei0 ei0 = aei0 = r rei0 i=i0 ei ei0 = Do r = Vậy R R = ni=1 Rei 1.3 Các lớp vành cổ điển Vành R đợc gọi vành Bun (Boolean ring) phần tử R phần tử luỹ đẳng 1.3.2 Vành quy Vành R đợc gọi vành quy (regular ring) phần tử R phần tử quy 1.3.3 Định lý([8, 3.10] )(Đặc trng vành quy) Cho vành R Các khẳng định sau tơng đơng: (a) R vành quy; (b) Mọi iđêan trái sinh phần tử luỹ đẳng; (c) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R; (d) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R 1.3.4 Vành quy khả nghịch Vành R đợc gọi vành 1.3.1 Vành Bun quy khả nghịch (unit regular ring) phần tử R phần tử quy khả nghịch 1.3.5 Nhận xét Vành quy khả nghịch vành quy nhng điều ngợc lại không Ví dụ([5, Corollary 2.11]) Cho trờng k V không gian véc tơ vô hạn chiều k Xét vành R = End(V ) vành tự đồng cấu V Khi R vành quy nhng không vành quy khả nghịch 1.3.6 Vành nửa đơn Vành R đợc gọi vành nửa đơn (semisimple ring) R = iI Ri với Ri iđêan trái tối tiểu R 1.3.7 Định lý([8, 3.4]) (Đặc trng vành nửa đơn) Cho vành R Các khẳng định sau tơng đơng: (a) R vành nửa đơn; (b) R tổng hữu hạn iđêan trái tối tiểu; (c) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R; (d) Mọi iđêan trái R sinh phần tử luỹ đẳng 1.3.8 Vành hữu hạn trực tiếp Vành R đợc gọi hữu hạn trực tiếp (directly finite ring) với phần tử a, b R cho ab = ba = 1.4 Linh hoá tử Cho vành R = A R Khi đó: a) l(A) = {r R | = 0, a A} đợc gọi linh hoá tử trái (left annihilator) A vành R b) r(A) = {r R | ar = 0, a A} đợc gọi linh hoá tử phải (right annihilator) A vành R c) Nếu A = {a} viết l(a) r(a) tơng ứng 1.4.2 Tính chất Cho vành R = A, B R Khi đó: (i) l(A)R R; r(A)RR (ii) a) Nếu AR R l(A)R b) Nếu ARR r(A)R (iii) A l(l(A)) A r(r(A)) 1.4.1 Định nghĩa (iv) Nếu A B l(B) l(A) r(B) r(A) Chứng minh (i) Giả sử a1 , a2 l(A) có a1 b = a2 b = 0, b A Do a1 b a2 b = (a1 a2 )b = 0, suy a1 a2 l(A) Vì l(A) vành R Mặt khác với a l(A) b A ab = 0, với x R có xab = 0, tức xa l(A) Vậy l(A)R R Tơng tự có r(A)RR (ii) a) Giả sử AR R Với b A, x R xb A Do với a l(A) (ax)b = a(xb) = nên ax l(A) Vậy l(A)R Tơng tự có b) (iii) Với x A a r(A) ax = Do x r(r(A)) Vậy A r(r(A)) Tơng tự A l(l(A)) (iv) Với x r(B), có bx = 0, b B Vì A B nên ax = 0, a A Do x r(A) Vậy r(B) r(A) Tơng tự có l(B) l(A) Cho vành R phần tử a R Chúng ta xét toàn cấu f : R Ra xác định f (x) = xa, x R Khi theo định lý đồng cấu có Ra = R/Kerf , với Kerf = {x R | xa = 0} = l(a) Ra = R/l(a) Tuy nhiên R/Ra = l(a) Ví dụ sau điều đó: Ví dụ Xét vành số nguyên Z iđêan Z.2 Chúng ta có Z/Z.2 = Z2 l(2) = {x Z | x.2 = 0} = Chúng ta nhận thấy Z/0 = = l(2) = Z.2 nhng Z/Z.2 = Z2 Trong chơng sau xét đến lớp vành có tính chất R/Ra = l(a) lớp vành mở rộng lớp vành Các lớp vành đợc gọi vành cấu xạ (morphic ring) tựa cấu xạ (quasi - morphic ring) 1.4.3 Nhận xét 1.5 Vành P nội xạ Cho vành R A, M Rmôđun phải Môđun M đợc gọi Anội xạ (Ainjective) với môđun X A, đồng cấu : X M mở rộng tới đồng cấu 1.5.1 Môđun nội xạ : A M Môđun M đợc gọi nội xạ (injective) M Anội xạ với môđun A 1.5.2 Định lý([8, 16.4])(tiêu chuẩn Baer) Môđun M nội xạ M Rnội xạ 1.5.3 Môđun P nội xạ Cho vành R M Rmôđun phải Môđun M đợc gọi nội xạ phải (viết tắt P nội xạ phải) (principally injective) Rđồng cấu : aR M với a R mở rộng tới đồng cấu : R M 1.5.4 Nhận xét Từ định nghĩa môđun P nội xạ tiêu chuẩn Baer thấy môđun nội xạ môđun P nội xạ Trong khoá luận sử dụng định nghĩa tơng đơng định nghĩa nh sau: Cho vành R M Rmôđun phải Môđun M đợc gọi nội xạ phải (viết tắt P nội xạ phải) Rđồng cấu : aR M phép nhân với phần tử m M (kí hiệu = m.) 1.5.5 Vành P nội xạ Vành R đợc gọi nội xạ phải (P nội xạ phải) (right principally injective ring) RR môđun P nội xạ, nghĩa iđêan phải aR mở rộng đợc 1.5.6 Định lý (đặc trng vành P nội xạ) Cho vành R Các điều kiện sau tơng đơng: (a) R vành P nội xạ phải; (b) l(r(a)) = Ra, a R; (c) Nếu r(a) r(b) với a, b R Rb Ra; (d) l(bR r(a)) = l(b) + Ra, a, b R; (e) Nếu : aR R a R Rtuyến tính (a) Ra Chứng minh (a) (b): Giả sử R vành P nội xạ chứng minh l(r(a)) = Ra, a R Thật vậy, với y r(a) ay = Với x Ra có x = ra, xy = ray = suy x l(r(a)), tức Ra l(r(a)) Giả sử b l(r(a)) có với x r(a) bx = suy x r(b) Từ : aR R đợc xác định (ar) = br 10 2.1.12 Mệnh đề Vành Zpn vành cấu xạ với n  p số nguyên tố x Chứng minh Xét Zpn có Zpn = = l(1) l(0) = { Zpn | x0 = 0} = Zpn = Zpn = 0, a = pi (i {1, , n 1}) có Zpn a= Xét a Zpn , a a) = { x Zpn | xa = xa = 0} = = Zpn Zpn = l(0) l( Xét a = pi Zpn (i {1, , n 1}) chứng minh Zpn pi = = l(pi ) ) Zpn pni l(pni = x1 pi pni = 0, Thật vậy, x Zpn pi x = x1 pi Từ xpni ) Chúng ta suy Zpn pi l(pni ) Ngợc lại, tức x l(pni = = pn Do x = x1 pi Zpn pi , ) xpni x l(pni ) Tơng tự có ) Zpn pi Vậy Zpn pi = l(pni tức l(pni = l(pi ) Zpn pni Tóm lại Zpn vành cấu xạ trái Tơng tự Zpn vành cấu xạ phải 2.1.13 Hệ Vành Zm vành cấu xạ với m Z, m  Chứng minh Với m  có m = p1 p2 pk k pi số nguyên tố i số nguyên dơng Theo Mệnh đề 2.1.12, Zpi i vành cấu xạ Theo Mệnh đề 2.1.3 tích trực tiếp ki=1 Zpi i vành cấu xạ Mặt khác Zm = ki=1 Zpi i có Zm vành cấu xạ Vành số nguyên Z không vành cấu xạ Thật vậy, xét phần tử Z có l(2) = Z/Z.2 = Z2 = Do không phần tử cấu xạ trái Vậy Z không vành cấu xạ trái không vành cấu xạ 2.1.15 Mệnh đề Cho vành R Nếu R vành nửa đơn R vành cấu xạ 2.1.14 Nhận xét Chứng minh Xét a R, chứng minh a phần tử cấu xạ trái Chúng ta có: Ra = l(1 e) l(a) = R(1 e) với e phần tử luỹ đẳng vành R Thật vậy, a = R0 = = l(1 0) l(0) = R = R(1 0) Chúng ta xét a = Khi từ tính chất R vành nửa đơn suy Ra 18 hạng tử trực tiếp RR Do Ra = Re với e phần tử luỹ đẳng vành R Từ Ra = l(1 e) l(a) = R(1 e) Vậy R vành cấu xạ trái Chứng minh tơng tự R vành cấu xạ phải Từ R vành cấu xạ Cho vành R Chúng ta thấy s phần tử cấu xạ eRe (với e phần tử luỹ đẳng vành R) s phần tử cấu xạ R nhng điều ngợc lại không Ví dụ sau tồn phần tử phần tử cấu xạ R nhng phần tử cấu xạ eRe Ví dụ Cho vành S phần tử s S quy nhng không quy khả nghịch S, tồn phần tử t S cho s = sts Đặt R = M2 (S) w W e= R 0 2.1.16 Nhận xét Với a= W s eRe 0 w u= aua = Với W t 1 w W W w W w Ww Ww s sts s t s = a = = 0 0 0 0 w W w v= t uv = vu = Do a phần tử quy khả nghịch trong R Chúng ta có eRe = S, s không quy khả nghịch S nên a không quy khả nghịch trong eRe Vì a không phần tử cấu xạ eRe nhng phần tử cấu xạ R 2.1.17 Bổ đề Cho vành R với {ei }n họ luỹ đẳng trực giao 19 Các khẳng định sau tơng đơng phần tử ei Rei : (a) phần tử cấu xạ trái ei Rei ; (b) a1 + a2 + + an phần tử cấu xạ trái R với aj phần tử cấu xạ phải ej Rej , j {1, , n}, j = i; (c) a1 + a2 + + an phần tử cấu xạ trái R với aj phần tử khả nghịch ej Rej , j {1, , n}, j = i; (d) + e1 + + ei1 + ei+1 + + en phần tử cấu xạ trái R; (e) a1 + a2 + + an phần tử cấu xạ trái R với phần tử khả nghịch aj ej Rej , j {1, , n}, j = i Chứng minh (a) (b): Từ giả thiết a1 , a2 , , an phần tử cấu xạ trái e1 Re1 , e2 Re2 , , en Ren có (a1 , a2 , , an ) phần tử cấu xạ trái e1 Re1 ì e2 Re2 ì ì en Ren Mệnh đề 2.1.3 Do a1 + a2 + + an cấu xạ trái R (b) (c): Vì phần tử khả nghịch phần tử cấu xạ trái nên kết hợp giả thiết (b) có (c) (c) (d): Vì ej phần tử khả nghịch ej Rej nên theo (c), có (d) (d) (e): Chúng ta chọn aj = ej theo (d) suy (e) (e) (a): Giả sử tồn phần tử a1 , a2 , , ai1 , ai+1 , , an cho aj khả nghịch ej Rej với j {1, , n}, j = i a1 + a2 + + an phần tử cấu xạ trái R Chúng ta chứng minh phần tử cấu xạ trái ei Rei Chúng ta chứng minh tồn b ei Rei cho lei Rei (ai ) = (ei Rei )b lei Rei (b) = (ei Rei )ai Thật vậy, từ giả thiết (e), tồn b R cho l(a1 + a2 + + an ) = Rb l(b) = R(a1 + a2 + + an ) Chú ý = (a1 + a2 + + an )b = a1 b + a2 b + + an b e1 R e2 R en R, suy aj b = với j {1, , n} Vì aj khả nghịch ej Rej với j {1, , n}, j = i nên ej b = a1 j aj b = với j {1, , n}, j = i Từ ei b = (1 e2 en )b = b Chứng minh tơng tự bei = b Vậy b = ei bei ei Rei Với x = ei xei ei Rei xai = 0, có x(a1 + a2 + + an) = e1 x1 e1 (a1 + a2 + + an ) = 0, tức x l(a1 + a2 + + an ) = Rb Do 20 x ei Rei Rb = ei Rei b Vì vậy, lei Rei (ai ) (ei Rei )b Ngợc lại, x ei Rei b x Rb = l(a1 + a2 + + an ) Do = x(a1 + a2 + + an ) = xai , suy x lei Rei (ai ), tức (ei Rei )b lei Rei (ai ) Vậy lei Rei (ai ) = (ei Rei )b Mặt khác (ei Rei )ai = (ei Rei )(a1 +a2 + +an ) R(a1 +a2 + +an) = l(b) Do (ei Rei )ai lei Rei (b) Ngợc lại, x lei Rei (b) x l(b) = R(a1 + a2 + + an ) Mặt khác x = ei xei ei Rei Chúng ta có x (ei Rei )ai , tức lei Rei (b) (ei Rei )ai Vậy lei Rei (b) = (ei Rei )ai Do phần tử cấu xạ trái ei Rei Vậy có (a) Phần tử cấu xạ vành R cha phần tử cấu xạ eRe (với e phần tử luỹ đẳng vành R) nhng vành R vành cấu xạ eRe vành cấu xạ 2.1.18 Định lý Cho R vành cấu xạ Khi eRe vành cấu xạ với phần tử luỹ đẳng e R Chứng minh Giả sử a eRe, có a + (1 e) phần tử cấu xạ trái R R vành cấu xạ Theo Bổ đề 2.1.13 có a phần tử cấu xạ trái eRe Do eRe vành cấu xạ trái Chứng minh tơng tự eRe vành cấu xạ phải Vậy eRe vành cấu xạ 21 Đ2 Vành tựa cấu xạ Nh biết tiết trớc phần tử a vành R đợc gọi phần tử cấu xạ trái tồn phần tử b R cho Ra = l(b) l(a) = Rb Trong tiết xét đến tính chất tổng quát phần tử vành Chúng xét đến phần tử a R cho tồn phần tử b, c R cho Ra = l(b) l(a) = Rc Các phần tử nh đợc gọi phần tử tựa cấu xạ lớp vành mà phần tử thoả mãn điều kiện gọi vành cấu xạ Chúng đa số tính chất vành tựa cấu xạ số lớp vành cổ điển vành tựa cấu xạ Cho vành R a phần tử R a) Phần tử a đợc gọi phần tử tựa cấu xạ trái (phải) (left (right) quasi - morphic element) R tồn phần tử b, c R cho Ra = l(b); Rc = l(a) (tơng ứng aR = r(b); cR = r(a)) b) Vành R đợc gọi vành tựa cấu xạ trái (phải) (left (right) quasi - morphic ring) phần tử phần tử tựa cấu xạ trái (tơng ứng phải) c) Vành R đợc gọi vành tựa cấu xạ ( quasi - morphic ring) vành tựa cấu xạ trái phải 2.2.2 Nhận xét a) Mọi phần tử cấu xạ phần tử tựa cấu xạ vành cấu xạ vành tựa cấu xạ b) Từ nhận xét nhận thấy vành Bun, thể, vành nửa đơn, vành quy khả nghịch vành Zn (n  2) vành tựa cấu xạ 2.2.3 Mệnh đề Cho vành R Nếu R vành quy R vành tựa cấu xạ 2.2.1 Định nghĩa Chứng minh Xét a R chứng minh a phần tử tựa cấu xạ trái Thật vậy, R vành quy nên tồn b R cho a = aba Chúng ta chứng minh Ra = l(1 ba) l(a) = R(1 ab) 22 Thật vậy, x Ra x = x1 a Khi x(1 ba) = x1 a(1 ba) = x1 (a aba) = 0, tức x l(1 ba) Chúng ta suy Ra l(1 ba) Ngợc lại, x l(1 ba) x(1 ba) = x xba = Từ x = xba Ra, tức l(1 ba) Ra Vậy Ra = l(1 ba) Nếu x R(1 ab) x = x1 (1 ab) Khi xa = x1 (1 ab)a = x1 (aaba) = 0, tức x l(a) Do R(1ab) l(a) Ngợc lại, x l(a) xa = Nhận xét xab = nên x = x(1 ab), tức x R(1ab) Chúng ta suy l(a) R(1ab) Vậy l(a) = R(1ab) Vậy a phần tử tựa cấu xạ trái Tơng tự a phần tử tựa cấu xạ phải R vành tựa cấu xạ Chiều ngợc lại Mệnh đề 2.2.3 sai Ví dụ Theo Nhận xét 2.2.2 thấy Z4 vành tựa cấu xạ nhng không vành quy Z4 phần tử quy Z4 Thật có 202 = 212 = 222 = 232 = Theo Nhận xét 2.2.2, vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Ví dụ sau vành tựa cấu xạ không vành cấu xạ Do vành tựa cấu xạ mở rộng thực vành cấu xạ 2.2.5 Ví dụ Trong [5, Corollary 2.11], Mk không gian vectơ vô hạn chiều trờng k vành tự đồng cấu R = End(Mk ) vành quy nhng không quy khả nghịch Theo 2.2.3, vành R tựa cấu xạ nhng R không vành cấu xạ 2.2.6 Mệnh đề Cho R miền nguyên Nếu R vành tựa cấu xạ trái R thể 2.2.4 Nhận xét Chứng minh Giả sử R miền nguyên vành tựa cấu xạ trái Xét phần tử a R, a = Chúng ta chứng minh a khả nghịch Thật từ giả thiết tồn phần tử b R cho Ra = l(b) Vì a = nên l(b) = Mặt khác với x l(b) xb = 0, suy b = Do Ra = l(0) = R Vì tồn a R cho a a = Nhận thấy với x l(a) xa = Mà a = suy x = 0, tức l(a) = Hơn a a = 1, suy aa a = a Từ (aa 1)a = hay aa l(a) = Chúng ta có aa = Vậy aa = a a = 1, tức a 23 khả nghịch Do R thể 2.2.7 Mệnh đề Cho R = iI Ri tích trực tiếp vành Ri , với i I Khi đó: (a) Phần tử a = (ai )iI R (với Ri ) tựa cấu xạ trái R phần tử tựa cấu xạ trái Ri với i I (b) R vành tựa cấu xạ trái Ri tựa cấu xạ trái với i I Chứng minh (a) (): Giả sử a = (ai )iI phần tử tựa cấu xạ trái R, tồn b = (bi )iI , c = (ci )iI cho Ra = l(b) Rc = l(a) Chúng ta chứng minh phần tử tựa cấu xạ trái Ri với i I Với xi Ri (i I), ta có x = (xi )iI Ra = l(b) Vì xb = (xi bi )iI = (0) xi bi = 0, i I Từ xi l(bi ) tức Ri l(bi ), i I Ngợc lại, xi l(bi )(i I) xi bi = 0, i I Đặt x = (xi )iI , có xb = (0) Do x l(b) = Ra, tức x = (xi )iI = (ri )iI (ai )iI = (ri )iI Vì xi = ri , i I xi Ri , i I Từ suy l(bi ) Ri , i I Vậy Ri = l(bi ), i I Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc Ri ci = l(ai ), i I Từ có phần tử tựa cấu xạ trái Ri với i I (): Ngợc lại, giả sử phần tử tựa cấu xạ trái Ri với i I Khi tồn phần tử bi , ci Ri (i I) cho Ri = l(bi ) Ri ci = l(ai ) với i I Chúng ta chứng minh a = (ai )iI R phần tử tựa cấu xạ trái R Đặt b = (bi )iI c = (ci )iI , Ra = l(b) Rc = l(a) Nếu x = (xi )iI Ra xi Ri = l(bi ), i I Vì xi bi = 0, i I xb = (xi )iI (bi )iI = (xi bi )iI = (0) Từ có x l(b), tức Ra l(b) Ngợc lại, x = (xi )iI l(b) xb = (xi )iI (bi )iI = (xi bi ) = (0) Do xi bi = 0, tức xi l(bi ) = Ri , i I Từ suy x Ra, l(b) Ra Vậy Ra = l(b) Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc Rc = l(a) Vì a 24 phần tử tựa cấu xạ trái R b) Từ a) trực tiếp suy b) Cho vành R a phần tử R a) Nếu a phần tử tựa cấu xạ trái r(a) = Ra = R b) Nếu a phần tử tựa cấu xạ trái u phần tử khả nghịch R au ua phần tử tựa cấu xạ trái R 2.2.8 Mệnh đề Chứng minh a) Giả sử a phần tử tựa cấu xạ trái R Khi tồn b R cho Ra = l(b) Vì a l(b) nên ab = 0, suy b r(a) = Do b = hay Ra = l(0) = R b) Giả sử a phần tử tựa cấu xạ trái, tồn phần tử b, c R cho Ra = l(b) Rc = l(a) Vì a l(b) c l(a) nên ab = ca = Với u phần tử khả nghịch chứng minh au ua phần tử tựa cấu xạ trái R Chúng ta có R(ua) = l(b), l(ua) = R(cu1 ), R(au) = l(u1 b) l(au) = Rc Thật vậy, x = x1 (ua) R(ua) xb = x1 (ua)b = 0, suy x l(b) Do R(ua) l(b) Ngợc lại, x l(b) = Ra nên x = x1 a = x1 u1 ua R(ua) Do l(b) R(ua) Chúng ta có R(ua) = l(b) Nếu x l(ua) x(ua) = 0, suy xu l(a) = Rc Vì xu = x1 c x = x1 cu1 R(cu1 ) Do l(ua) R(cu1 ) Ngợc lại, x = x1 (cu1 ) R(cu1 ) xua = x1 (cu1 )ua = x1 ca = 0, suy x l(ua) Từ R(cu1 ) l(ua) Chúng ta có l(ua) = R(cu1 ) Tơng tự chứng minh đợc R(au) = l(u1 b) l(au) = Rc Tóm lại ua au phần tử cấu xạ trái R Cho R vành tựa cấu xạ trái, khẳng định sau tơng đơng: (a) R vành hữu hạn trực tiếp (b) Với a R r(a) = l(a) = 2.2.9 Mệnh đề Chứng minh (a) (b): Giả sử R vành tựa cấu xạ trái hữu hạn trực tiếp Xét phần tử a R cho r(a) = 0, chứng minh 25 l(a) = Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.8 có Ra = R Do tồn phần tử b R cho ba = Vì R vành hữu hạn trực tiếp nên ab = Khi với x l(a) xa = 0, suy x = xab = Vậy l(a) = (a) (b): Giả sử R vành tựa cấu xạ trái với phần tử a R cho r(a) = l(a) = Chúng ta chứng minh R vành hữu hạn trực tiếp Thật vậy, xét a, b R cho ba = Khi với x r(a) có ax = 0, suy x = bax = Do r(a) = theo giả thiết l(a) = Vì (ab 1)a = aba a = a a = nên ab l(a) = Từ ab = Vậy R vành hữu hạn trực tiếp Cho R vành tựa cấu xạ trái Khi đó: a) R vành P nội xạ phải b) R vành tựa cấu xạ phải R vành P nội xạ trái 2.2.10 Mệnh đề Chứng minh a) Giả sử R vành tựa cấu xạ trái a phần tử R Chúng ta chứng minh l(r(a)) = Ra Thật vậy, x Ra x = x1 a Mà với b r(a) có ab = 0, suy x1 ab = xb = Do x l(r(a)), tức Ra l(r(a)) Ngợc lại, với x l(r(a)) có xr(a) = Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn phần tử b R cho Ra = l(b), suy ab = tức b r(a) Do xb = 0, suy x l(b) = Ra tức l(r(a)) Ra Vậy l(r(a)) = Ra hay R vành P nội xạ phải (): Giả sử R vành tựa cấu xạ phải có với a R tồn b R cho aR = r(b) Chúng ta chứng minh r(l(a)) = r(b) = aR Thật vậy, x aR x = ax1 Mà với a l(a) có a a = 0, suy a x = a ax1 = Do x r(l(a)), tức aR r(l(a)) Ngợc lại, với x r(l(a)) có l(a)x = Vì aR = r(b) nên ba = tức b l(a) Do bx = 0, suy x r(b) = aR tức r(l(a)) aR Vậy r(l(a)) = aR hay R vành P nội xạ trái (): Giả sử R vành P nội xạ trái Khi với a R có r(l(a)) = aR Mặt khác R vành tựa cấu xạ trái nên tồn 26 phần tử b, c cho Ra = l(b) l(a) = Rc Vì a l(b) c l(a) nên ab = ca = Chúng ta chứng minh R vành tựa cấu xạ phải cách chứng minh a phần tử tựa cấu xạ phải Chúng ta có aR = r(c) r(a) = bR Thật vậy, x aR x = ax1 Do cx = cax1 = 0, suy x r(c) tức aR r(c) Ngợc lại, x r(c) cx = Mà với a l(a) = Rc a = a1 c, suy a x = a1 cx = Từ x r(l(a)) = aR hay r(c) aR Vậy aR = r(c) Nếu x bR x = bx1 Do ax = abx1 = 0, suy x r(a) tức bR r(a) Ngợc lại, x r(a) ax = Do R vành P nội xạ trái nên bR = r(l(b)) Với b l(b) = Ra b = b1 a, suy b x = b1 ax = Từ x r(l(b)) = bR hay r(a) bR Vậy r(a) = bR Tóm lại a phần tử tựa cấu xạ phải hay R vành tựa cấu xạ phải Cho vành R Vành R tựa cấu xạ với phần tử a R tồn phần tử b, c R cho điều kiện sau đợc thoả mãn: a) Ra = l(b) l(a) = Rc; b) aR = r(c) r(a) = bR 2.2.11 Mệnh đề Chứng minh Giả sử R vành tựa cấu xạ a phần tử R Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn phần tử b, c R cho Ra = l(b) l(a) = Rc Nhng R vành tựa cấu xạ phải nên vành P nội xạ trái, suy aR = r(l(a)) = r(Rc) = r(c) bR = r(l(b)) = r(Ra) = r(a) Chiều ngợc lại hiển nhiên Cho R vành tựa cấu xạ trái Khi giao hai iđêan trái R iđêan trái 2.2.12 Định lý Chứng minh Giả sử R vành tựa cấu xạ trái a, b R chúng minh Ra Rb iđêan trái R Từ tính chất vành R tồn phần tử x R để Rb = l(x) tồn phần tử y R để l(ax) = R(y) Chúng ta có Ra Rb = Rya 27 Giả sử w Ra Rb, w = sa = tb với s, t R Chúng ta có s(ax) = (sa)x = (tb)x = 0, suy s l(ax) = Ry Do s = ry, tức w = sa = rya Rya Từ Ra Rb R(ya) Ngợc lại, có y l(ax) = 0, suy yax = Vì ya l(x) = Rb R(ya) Rb Hiển nhiên R(ya) Ra, có R(ya) Ra Rb Vậy Ra Rb = R(ya) Tóm lại Ra Rb iđêan trái R Chiều ngợc lại Định lý 2.2.12 không Ví dụ Vành số nguyên Z thoả mãn giao hai iđêan trái iđêan trái Z vành Tuy nhiên Z không vành tựa cấu xạ trái (phải) Thật vậy, xét phần tử a Z, a = 0, a = Za = {xa | x Z}, l(b) = {x Z | xb = 0} Nếu b = l(b) = Z = Za Nếu b = l(b) = = Za Vậy không tồn b Z để Za = l(b) Do Z không vành cấu xạ trái (tơng tự cho phía phải) 2.2.14 Hệ Cho R vành tựa cấu xạ trái a, b R Khi l(a) l(b) = l(c) với c R 2.2.13 Nhận xét Chứng minh Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn a , b R cho l(a) = Ra l(b) = Rb Theo Định lý 2.2.12 l(a) l(b) = Ra Rb = Rc với c R Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn c R cho Rc = l(c) Vậy l(a) l(b) = l(c) Trong vành tựa cấu xạ trái R tổng hai iđêan trái có phải iđêan trái hay không? Câu trả lời R vành tựa cấu xạ Đó nội dung Định lý sau: 2.2.15 Định lý Nếu R vành tựa cấu xạ với phần tử a1 , a2 , , an R thoả mãn: a) l(r(a1 ) r(a2 ) r(an )) = Ra1 + Ra2 + + Ran b) r(l(a1 ) l(a2 ) l(an )) = a1 R + a2 R + + an R Chứng minh a) Với n = lr(a1 ) = Ra1 thoả mãn R vành P nội xạ phải theo Mệnh đề 2.2.9 Giả sử với n 1, tức l(r(a2 ) + r(a3 ) + + r(an )) = Ra2 + Ra3 + + Ran Chúng ta chứng 28 minh với n, tức l(r(a1 )r(a2 ) r(an )) = Ra1 +Ra2 + +Ran Thật vậy, theo Định lý 2.2.10 viết r(a2 )r(a3 ) r(an ) = r(b) với b R Do l(r(b)) = Rb = Ra2 + Ra3 + Ran Khi l(r(a1 ) r(a2 ) r(an )) = l(r(a1 ) r(b)) = Ra1 + Rb = Ra1 + Ra2 + + Ran b) Tơng tự nh chứng minh a) 29 Kết luận Khoá luận đề cập giải số vấn đề nh sau: Giới thiệu vành cấu xạ vành tựa cấu xạ, đa chứng minh tính chất, ví dụ mối liên hệ hai lớp vành với lớp vành cổ điển Các kết dựa báo [1], [7] Đa số kết mối liên hệ vành cấu xạ vành tựa cấu xạ với lớp vành nửa đơn, vành Bun, vành quy Đa số ví dụ vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Mở rộng số kết báo [1], [7] 30 Tài liệu tham khảo [1] V Camillo and W.K Nicholson, Quasi - morphic rings, J of Algebra and its Appl Vol 6, No (2007), 789 - 799 [2] J Chen and Y Zhou, Morphic rings as trivial extensions, Glasgow J Math 47 (2005), 139 - 148 [3] G Erlich, Units and one - sided units in regular rings, Trans Amer Math Soc 216 (1976), 81 - 90 [4] T Y Lam and W Murray, Unit regular elements in corner rings, Bull Hong Kong Math Soc 1(1997), 61-65 [5] T.Y Lam, A crash course on stable range, cancellation, substitution and exchange, Journal of Algebra and Its Applications, Vol 3, No (2004), 301 - 343 [6] W.K Nicholson and M.F Yousif, Quasi - Frobenius Rings, Cambridge Tracts No 158 Cambridge Univ Press, London, New York, 2003 [7] W.K Nicholson and E Sánchez Campos, Rings with the dual of the isomorphism theorem, J Algebra 27 (2004), 391 - 406 [8] R Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading 1991 [9] L V An N T H Anh, Vành cấu xạ QF vành, (gửi đăng Tạp chí Khoa học Đại học Vinh) 31 mục lục Trang Tóm tắt Tóm tắt Lời nói đầu Chơng I: Các khái niệm Chơng II: Vành cấu xạ vành tựa cấu xạ 12 Đ1 Vành cấu xạ 12 Đ2 Vành tựa cấu xạ 22 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 32 [...]... quasi - morphic ring) nếu nó là vành tựa cấu xạ trái và phải 2.2.2 Nhận xét a) Mọi phần tử cấu xạ là phần tử tựa cấu xạ và mọi vành cấu xạ cũng là vành tựa cấu xạ b) Từ nhận xét trên chúng ta nhận thấy vành Bun, thể, vành nửa đơn, vành chính quy khả nghịch và vành Zn (n  2) đều là vành tựa cấu xạ 2.2.3 Mệnh đề Cho vành R Nếu R là vành chính quy thì R là vành tựa cấu xạ 2.2.1 Định nghĩa Chứng minh Xét a... cập và giải quyết một số vấn đề nh sau: 1 Giới thiệu về vành cấu xạ vành tựa cấu xạ, đa ra và chứng minh các tính chất, ví dụ và mối liên hệ giữa hai lớp vành với các lớp vành cổ điển Các kết quả này dựa trên các bài báo [1], [7] 2 Đa ra một số kết quả mới về mối liên hệ giữa vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ với các lớp vành nửa đơn, vành Bun, vành chính quy Đa ra một số ví dụ mới về vành cấu xạ và vành. .. tựa cấu xạ không là vành cấu xạ Do đó vành tựa cấu xạ là mở rộng thực sự của vành cấu xạ 2.2.5 Ví dụ Trong [5, Corollary 2.11], nếu Mk là không gian vectơ vô hạn chiều trên một trờng k thì vành các tự đồng cấu R = End(Mk ) là vành chính quy nhng không chính quy khả nghịch Theo 2.2.3, vành R là tựa cấu xạ nhng R không là vành cấu xạ 2.2.6 Mệnh đề Cho R là một miền nguyên Nếu R là vành tựa cấu xạ trái... tử cấu xạ trái trong ei Rei Vậy chúng ta có (a) Phần tử cấu xạ trong vành R cha hẳn là phần tử cấu xạ trong eRe (với e là phần tử luỹ đẳng của vành R) nhng nếu vành R là vành cấu xạ thì eRe cũng là vành cấu xạ 2.1.18 Định lý Cho R là vành cấu xạ Khi đó eRe cũng là vành cấu xạ với mọi phần tử luỹ đẳng e trong R Chứng minh Giả sử a eRe, chúng ta có a + (1 e) là phần tử cấu xạ trái trong R vì R là vành. .. tử tựa cấu xạ trái Tơng tự a là phần tử tựa cấu xạ phải và do đó R là vành tựa cấu xạ Chiều ngợc lại của Mệnh đề 2.2.3 là sai Ví dụ Theo Nhận xét 2.2.2 chúng ta thấy Z4 là vành tựa cấu xạ nhng không là vành chính quy vì 2 Z4 không phải là phần tử chính quy trong Z4 Thật vậy chúng ta có 202 = 212 = 222 = 232 = 0 Theo Nhận xét 2.2.2, vành cấu xạ là vành tựa cấu xạ Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng vành tựa cấu. .. là vành cấu xạ trái Tơng tự Zpn là vành cấu xạ phải 2.1.13 Hệ quả Vành Zm là vành cấu xạ với mọi m Z, m  2 Chứng minh Với m  2 chúng ta có m = p1 1 p2 2 pk k trong đó pi là số nguyên tố và i là số nguyên dơng Theo Mệnh đề 2.1.12, Zpi i là vành cấu xạ Theo Mệnh đề 2.1.3 tích trực tiếp ki=1 Zpi i là vành cấu xạ Mặt khác Zm = ki=1 Zpi i chúng ta có Zm là vành cấu xạ Vành các số nguyên Z không là vành. .. quát hơn trên các phần tử của vành Chúng tôi xét đến các phần tử a R sao cho tồn tại các phần tử b, c R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rc Các phần tử nh vậy đợc gọi là phần tử tựa cấu xạ và lớp vành mà mọi phần tử thoả mãn điều kiện trên gọi là vành cấu xạ Chúng tôi đa ra một số tính chất của vành tựa cấu xạ và chỉ ra một số lớp vành cổ điển là vành tựa cấu xạ Cho vành R và a là một phần tử của R a)... lớp vành mà tính chất R/Ra = l(a) đợc thoả mãn Lớp vành nh vậy đợc gọi là vành cấu xạ Chúng tôi đa ra một số tính chất và điều kiện tơng đơng của vành cấu xạ; một số kết quả khẳng định các lớp vành cổ điển nh vành chính quy khả nghịch, vành nửa đơn, vành Bun, thể, là vành cấu xạ Cho vành R và a là một phần tử của R a) Phần tử a đợc gọi là phần tử cấu xạ trái (phải) (left (right) morphic element) trong... là phần tử cấu xạ trái trong R vì R là vành cấu xạ Theo Bổ đề 2.1.13 chúng ta có a là phần tử cấu xạ trái trong eRe Do đó eRe là vành cấu xạ trái Chứng minh tơng tự eRe là vành cấu xạ phải Vậy eRe là vành cấu xạ 21 Đ2 Vành tựa cấu xạ Nh chúng ta đã biết ở tiết trớc phần tử a của vành R đợc gọi là phần tử cấu xạ trái nếu tồn tại phần tử b R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rb Trong tiết này chúng tôi xét... r(a) = bR 2.2.11 Mệnh đề Chứng minh Giả sử R là vành tựa cấu xạ và a là một phần tử trong R Vì R là vành tựa cấu xạ trái nên tồn tại các phần tử b, c R sao cho Ra = l(b) và l(a) = Rc Nhng R là vành tựa cấu xạ phải nên là vành P nội xạ trái, suy ra aR = r(l(a)) = r(Rc) = r(c) và bR = r(l(b)) = r(Ra) = r(a) Chiều ngợc lại hiển nhiên đúng Cho R là vành tựa cấu xạ trái Khi đó giao của hai iđêan chính trái