Ứng dụng của toán học và một số mô hìnhtoán học trong kinh tế

LỜI MỞ ĐẦU * * * Phát triển kinh tế mục tiêu tất nước giới để đạt mục tiêu đòi hỏi nước phải có kết hợp hài hòa việc phát triển tất ngành khác trình phát triển kinh tế toán học yếu tố có ứng dụng quan trọng việc ứng dụng tốt mô hình kinh tế vào kinh tế đòi hỏi nước phải có sở toán học vững chứng mô hình kinh tế từ trước đến mô hình IS_LM ,mô hình tăng trưởng SOLOW tất in đậm dấu ấn toán học Ngày vai trò toán học thể qua nhiều khía cạnh khác từ giảng dạy nghiên cứu đến sách kinh tế nhiều người cho toán học phần tương ứng lý thuyết kinh tế lượng ngành có mục đích phân giải tượng kinh tế phương pháp thống kê Trên bình diện sách kinh tế mô hình kinh tế toán kinh tế lượng viện nghiên cứu quan phủ sử dụng rộng rãi thường xuyên việc đánh giá dự báo ảnh hưởng chu trình, xu hướng kinh tế hay sách kinh tế công Do nói ngày toán học có vai trò quan trọng tất lĩnh vực đặc biệt lĩnh vực kinh tế dựa vào toán học tiến hành phân tích dự báo biến động nhiều lĩnh vực khác giá tài Sau xẽ xem xét tầm quan trọng toán học kinh tế ứng dụng số mô hình tăng trưởng phát triển kinh tế NỘI DUNG * * * I _ Ứng dụng toán học số mô hình toán học kinh tế _ Lịch sử toán kinh tế học Sự ứng dụng toán kinh tế tượng Thật toán đóng vai trò đáng kể kinh tế học kỷ thuyết kinh tế cổ điển phát triển hệ thống hoá mà không cần dùng toán Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn Adam smith David Ricardo , dùng thí dụ số để minh hoạ lý thuyết Họ phối hợp quan sát thực tế cách phi toán với lý luận suy diễn liên hệ nhân để giải thích hệ thống kinh tế làm việc Ngay công trình kinh tế gia cổ điển vĩ đại cuối John stuart Mill Karl Marx, công thức toán hay đồ thị loại tốc ký hay phương cách trình bày mà Một ngoại lệ đáng kể thuyết dân số Thomas Malthus (1798) Malthus lập luận dân số tăng theo cấp số nhân thực phẩm tăng theo cấp số cộng Ngày nay, phần lớn nhà kinh tế đồng ý Augustin Cournot, triết gia toán gia Pháp, xứng đáng nhận danh hiệu “cha đẻ kinh tế toán học” Cournot (1838) coi khai sinh kinh tế toán học ông hệ thống hoá ứng dụng ký hiệu, công thức lý luận toán kinh tế Sau thời Cournot, hầu hết kinh tế gia danh tiếng phải sử dụng toán, không nhiều, việc phát triển truyền đạt lý thuyết Cournot xem kinh tế gia thành công việc thành lập lý thuyết giá trị quán qua phân tích tiêu thụ Một vài đóng góp cụ thể ông cho kinh tế gồm có: ý niệm hàm xác xuất phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc quyền lưỡng độc quyền Cũng nên nhắc thuyết lưỡng độc quyền Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc thuyết trò chơi giải pháp Cournot hình thức hạn chế cân Nash Các công trình Cournot đánh dấu chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua kinh tế tân cổ điển Cả hai thuyết quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao đổi tiêu thụ cải (của cải theo nghiã hàng hoá) Các kinh tế gia cổ điển ý đến sản xuất phân phối cải qua thời gian Họ nhấn mạnh tỷ lệ tăng truởng dân số nguồn lực vật chất, xem xét hậu nhân tố lên tiến kinh tế phúc lợi nhân dân xã hội Các kinh tế gia tân cổ điển quan tâm đến khiá cạnh động Thay vào đó, họ đặt câu hỏi: “trong kinh tế với dân số có sở thích, nguồn lực kỹ thuật cho sẵn, nguồn lực phân phối qua hệ thống thị trường để cực đại hoá thoả mãn người tiêu thụ?” Ngày nay, chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển xê dịch từ phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô Đường hướng giải cách toán học phương pháp giải tích Walras (1874) lý luận: “Chỉ có toán giúp hiểu ý nghĩa điều kiện hữu dụng tối đa (maximum utility).” Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia : Stanley Jevon (Anh), Carl Menger (Áo) Léon Walras (Pháp) Ba kinh tế gia thường xem ông tổ “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution) Danh từ biên tế liên quan đến kết toán điều kiện biên tế cho cân thị trường Quan trọng ba kinh tế gia Walras ông khám phá lý thuyết cân tổng thể Thuyết giải thích quân bình hệ thống kinh tế thị trường qua trình điều chỉnh tác nhân kinh tế riêng rẽ ảnh hưởng lên giá thị trường Nói tóm gọn, Walras xếp đặt chương trình nghiên cứu mà nhiều kinh tế gia kỷ 20 theo đuổi Cùng với học trò Vilfredo Pareto, Walras sáng lập trường phái Lausanne, xem trường phái kinh tế toán giới Từ kinh tế tân cổ điển xuất đến nay, phấn lớn đóng góp quan trọng cho lý thuyết kinh tế từ kinh tế gia có đầu óc toán học Những kinh tế gia xem toán cần thiết thiếu Hai ngoại lệ đáng ý hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall John Maynard Keynes Tuy Marshall mang tính nghiêm túc toán vào kinh tế, ông nghi ngờ vai trò toán kinh tế Ông cho biến số thật đời sống nhiều tương hỗ với cố gắng toán hoá làm vấn đề phức tạp, không nghiên cứu được, phải bỏ sót để vấn đề phân tích được, lời giải thích trở thành thiếu thực tế Keynes, giống Marshall, ban đầu đào tạo để trở thành nhà toán học nghi ngờ vai trò toán kinh tế Keynes dùng toán lý luận khả toán việc thu hút nội dung kinh tế hạn chế Việc dễ hiểu quan tâm Keynes sách kinh tế kinh tế gia muốn phát biểu đề xuất cho vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng ngôn ngữ toán tốt Nhưng mà công trình vĩ đại Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng mâu thuẫn Dù Keynes dặt móng cho kinh tế vĩ mô đại mở cho chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò toán kinh tế ứng dụng toán công trình thực nghiệm Trong kỷ 20, công trình kinh tế toán to lớn xuất sau Thế chiến Thứ hai , ba thí dụ tiêu biểu : Thí dụ thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc kỷ 20 Samuelson (1947) nhiều người xem cha đẻ kinh tế toán học đại qua sách “ Nền tảng Phân tích Kinh tế “ , dùng ngôn ngữ toán nghiêm túc thống thuyết kinh tế vài nguyên lý bản, đặt tảng cho nghiên cứu kinh tế toán đại Thí dụ thứ nhì mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie (ADM), dựa công trình Arrow & Debreu (1954) Lionel McKenzie (1954) Mô hình ADM mô hình trung tâm lý thuyết cân tổng thể thường dùng làm tham khảo tổng quát cho mô hình kinh tế vi mô khác So sánh với mô hình trước đó, mô hình ADM dùng ý niệm hàng hoá tổng quát, phân biệt hàng hoá không gian lẫn thời gian Thí dụ thứ ba lý thuyết trò chơi nhà bác học von Neumann xem cha đẻ thuyết trò chơi ông phát triển hoàn hảo phổ thông hoá thuyết Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi thứ ngôn ngữ dùng để biểu diễn giải vấn đề kinh tế cách xác Lối tư nhấn mạnh tương tác chiến lược tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, phủ, ) Như vậy, lý thuyết cân tổng thể xem trường hợp đặc biệt thuyết trò chơi Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác tìm cách ứng dụng toán lý vào lĩnh vực kinh tế nửa sau kỷ 20 Nổi tiếng có lẽ toán gia Steve Smale Smale đóng góp nhiều cho lý thuyết kinh tế thập kỷ 1970 Ông thành công việc mang giải tích toàn vào nghiên cứu cân kinh tế tổng quát 2_ Hạn chế toán kinh tế Để có nhìn khách quan toàn diện hơn, xét qua vài thí dụ ứng dụng toán không thành công kinh tế Hai thí dụ tiêu biểu có lẽ thuyết tai biến (catastrophe theory) thuyết hỗn độn (chaos theory) Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến thức xuất vào đầu thập kỷ 1970 qua công trình đột phá René Thom (1969) Sau đó, thuyết tai biến áp dụng nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ thị trường chứng khoán, thị trường độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu hối suất, thuyết tăng trưởng, kinh tế thành phố vùng, kinh tế sinh thái, Vào cuối thập kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu trích lạm dụng thuyết tai biến (không phải kinh tế) ba lý sau : Thuyết tai biến dựa nhiều phương pháp định tính, nhiều ứng dụng đòi hỏi định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không thích hợp, nhiều mô hình không thoả điều kiện toán cần cho thuyết tai biến Ngày nay, phần đông nhà kinh tế có nhìn đắn lạc quan thuyết tai biến Tuy kỹ thuật tổng quát dùng cho trường hợp, thuyết tai biến đóng vai trò định việc nghiên cứu tượng bất liên tục động kinh tế Giống thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ công trình nghiên cứu toán học thiên thể “toán gia phổ quát cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối kỷ 19 Poincaré nhận thấy hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản số điều kiện tiến hoá cách ngẫu nhiên, phức tạp Những hệ thống nhạy cảm với điều kiện ban đầu dự đoán dài hạn với độ xác đòi hỏi điều kiện ban đầu định rõ tới mức xác vô cực Bắt đầu từ thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn áp dụng vào nhiều lĩnh vực kinh tế khác Ứng dụng thuyết hỗn độn kinh tế gây vài trở ngại sau : Thứ nhất, có mặt thuyết hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả thi, người dự báo phải trả giá cao muốn tăng tầm xa dự báo lên chút Tính không dự đoán dài hạn trái ngược với giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), ý niệm lý thuyết kinh tế đại Thứ hai, nhà nghiên cứu chưa tìm chứng có tính thuyết phục diện hỗn độn xác định chuỗi kiện kinh tế thời gian Nếu thế, nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào thuyết hỗn độn hay nên khảo sát dạng động lực phi tuyến khác với khả tiên đoán tốt hơn? Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị nhà kinh tế tránh né thuyết tai biến Một số nhà kinh tế cho thuyết hỗn độn cần cho lý thuyết kinh tế, dụng cụ phương pháp nghiên cứu phải khác kỹ thuật dùng khứ _ vai trò toán nghiên cứu kinh tế Toán phương tiện, cứu cánh, tầm nhìn kiện ý nghĩa phải thiết trước việc phân tích vấn đề (hai thí dụ tốt cho điểm tác phẩm “Sự Thịnh vượng Quốc gia” Adam Smith (1776) “Lý thuyết Chung” Keynes (1936)) Phẩm chất lý thuyết kinh tế hoàn toàn không tùy thuộc vào chiều sâu hay tính phức tạp nội dung toán thuyết (hai thí dụ Định luật Coase (1937) Thuyết Thị trường Hàng hoá xấu George Akerlof (1970)) Cuộc tranh cãi vai trò toán kinh tế học tranh luận nên hay không nên dùng toán kinh tế, mà “dùng toán” “dùng toán loại nào” (hình học, đại số, giải tích , thống kê, toán số) Không phải ngẫu nhiên mà Francis Edgeworth (1881) gọi giải tích “tiếng mẹ đẻ kinh tế học” Để thấy rõ vai trò toán kinh tế xẽ xem xét hai thí dụ sau : Thí dụ thứ : dựa công trình Allingham Sandmo (1972) trốn thuế Mô hình gây tiếng vang lớn lý thuyết tài công nới rộng nhiều sau xẽ xem xét mô hình nguyên thủy Đây mô hình tương đối đơn giản, thuộc loại cân cục , tĩnh ngẫu nhiên với biến số nội sinh Vấn đề: Một kinh tế nhân tuân thủ luật thuế thu nhập nào, giả sử hệ thống kiểm tra nộp phạt cho sẵn? Giả thiết : Kinh tế nhân cực đại hoá hàm hữu dụng (utility function) tùy thuộc vào thu nhập sau thuế Mô hình hoá vấn đề: Gọi: y = thu nhập thật (y > 0) t = thuế suất (0 < t < 1) x = thu nhập khai báo (x < y) z º y – x = số lượng thu nhập trốn thuế p = xác xuất bị kiểm tra (0 < p < 1) q = tỉ lệ nộp phạt cho đồng trốn thuế u = hàm hữu dụng (tăng lõm theo thu nhập) Đặt vấn đề : Nếu trốn thuế không bị Cục Thuế kiểm tra, thu nhập sau thuế người đóng thuế : y - tx = (1-t)y + tZ Nếu bị kiểm tra, thu nhập sau thuế sau bị phạt người đóng thuế : y-tx-(t+θ)Z =(1-t)y-θtZ Như vậy, vấn đề đặt dạng toán sau: Chọn z để cực đại hoá hàm EU= pu[(1-t)y-qtZ]+(1-p)u[(1-t)y+tZ] → max tùy theo y, t, p, q , < t < < p < cho sẵn Phân tích mô hình: Trong mô trên, ta gọi thông số y, t, p, q, t p biến số ngoại sinh (exogenous variables) biến số chọn lựa Z biến số nội sinh Đi tìm cân mô hình tìm cực trị biến số nội sinh Z theo tập hợp biến số ngoại sinh Vì vấn đề cực đại hoá bị ràng buộc, phép toán vi phân dụng cụ phân tích thích hợp Lấy đạo hàm EU theo Z, điều kiện bậc cực đại EU là: - pqu ’[(1-t)y-qtZ] +(1-p)tu’[(1-t)y + tZ)] = Trong u’ đạo hàm bậc u lưu ý điều kiện bậc hai cho cực đại toàn thoả mãn giả thiết u” < Trên nguyên tắc, ta giải phương trình để tìm trị Z theo y, t, p,q, tức : Z = f(y, t, p, q) Đây dạng rút gọn mô hình Phân tích so sánh tĩnh có nghiã xác định dấu đạo hàm bậc phẩn f Trong trường hợp này, hai fp fq âm (nếu xác xuât kiểm tra tăng hay tỉ lệ nộp phạt tăng, số lượng thu nhập trốn thuế giảm), dấu fy ft không rõ (nghiã ảnh hưởng thu nhập hay thuế suất lên số thu nhập trốn thuế không minh bạch trường hợp tổng quát) Thí dụ bên cho thấy sức mạnh hạn chế phương pháp toán việc mô hình hoá hành xử thuế Trong phép tính vi phân cung cấp dụng cụ phân tích mạnh, công thức hoá mô hình kết hợp tính trung thực người đóng thuế hay tìm kết minh bạch mà không cần đòi hỏi thêm giả thiết ý muốn người đóng thuế chuyện dễ dàng Thí dụ thứ hai : mô hình tăng trưởng nội sinh mô hình dân số (đồng nghĩa với lực lượng lao động) tăng theo luật số mũ với tỷ lệ cho sẵn Người lao động làm việc khu vực kiến thức hay sản xuất Kiến thức nẩy sinh vốn người (human capital) sản phẩm cuối (final output) tiêu thụ hay để dành thành vốn nhân tạo (physical capital) Đặt: L(t) = tổng lao động thời điểm t; 10 Lp(t)= tổng lao động dùng sản xuất thời điểm t (0 £ Lp(t) £ L(t); A(t) = trữ lượng kiến thức thời điểm t; K(t) = trữ lượng vốn nhân tạo thời điểm t, Q (t) = tổng sản phẩm thời điểm t; C (t) = tổng tiêu thụ thời điểm t Dưới số giả thiết tăng trưởng qua thời gian kinh tế diễn tả bắng hệ thống phương trình vi phân sau: : n (tỷ lệ tăng dân số) n ≥ a (tỷ lệ hiệu khu vực kiến thức) a > L(0), A(0) K(0) cho sẵn Tổng sản phẩm hàm hai nhân tố thiếu: vốn nhân tạo (K) vốn người dùng sản xuất (ALp): Q(t) = F[K(t), A(t)Lp(t)] ALp xem lao động sản xuất tính theo đơn vị hiệu thay đầu người Hàm sản xuất F giả sử hàm đồng bậc một, tăng nghiêm ngặt , lõm Để hoàn tất mô hình ta giả sử phủ vĩnh cửu cho kinh tế Chính phủ đánh thuế lên người làm việc khu vực sản xuất (vì người thợ hưởng lợi trực tiếp từ kiến thức) để trả cho khu vực kiến thức Thuế suất thời điểm t r(t), cho điều kiện : 11 r(t) w(t) L(t) = w(t)[L(t)–Lp(t)] : w(t) lương thợ sản xuất thời điểm t Đơn giản hoá, ta có : r(t) = – Lp(t)/L(t) Hơn nữa, phủ chọn C(t) Lp(t) để cực đại hoá hàm phúc lợi xã hội Theo bốn ràng buộc Q, r (> n) tỷ suất chiết khấu xã hội Mô hình tăng trưởng nội sinh trở thành toán diều khiển tối ưu với hai biến điều khiển C(t) Lp(t) hai biến trạng thái K(t) A(t) Nếu hạn chế thêm n = (0 < β < 1), mô tả tiến hoá kinh tế với công thức tường minh chứng minh rằng, tuỳ theo điều kiện ban đầu, kinh tế đạt cân vững từ đầu, tiến tới cân vững cách đặn thời gian tiến tới vô hạn Thí dụ làm sáng tỏ lời phát biểu Debreu nói trên: toán giúp tìm kết mạnh giả thiết yếu điều kiện tổng quát Về ý kinh tế, kiến thức mô đầu vào túy công , cung cấp kinh tế thị trường 12 II _ MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW Mô hình tăng trưởng Solow mô hình thuyết minh chế tăng trưởng kinh tế Robert Solow Trevor Swan xây dựng học giả kinh tế khác bổ sung Solow nhận giải Nobel kinh tế năm 1987 nhờ cống hiến Mô hình gọi Mô hình tăng trưởng tân cổ điển số giả thiết mô hình dựa theo lý luận kinh tế học tân cổ điển Mô hình có cách gọi khác, Mô hình tăng trưởng ngoại sinh, không liên quan đến nhân tố bên trong, tăng trưởng kinh tế hội tụ tốc độ định trạng thái bền vững Chỉ yếu tố bên ngoài, công nghệ tốc độ tăng trưởng lao động thay đổi tốc độ tăng trưởng kinh tế trạng thái bền vững Ký hiệu • • • • • • • • • • • • • • Y sản lượng thực tế (hoặc thu nhập thực tế) K lượng tư đem đầu tư L lượng lao động y sản lượng đầu lao động k lượng tư đầu lao động S tiết kiệm kinh tế s tỷ lệ tiết kiệm I đầu tư i đầu tư đầu lao động C tiêu dùng cá nhân kinh tế c tiêu dùng cá nhân đầu lao động δ tỷ lệ khấu hao tư Δ lượng tư tăng thêm ròng n tốc độ tăng dân số, đồng thời tốc độ tăng lực lượng lao động 13 Hệ giả thiết Giả thiết : Giá linh hoạt dài hạn Đây quan điểm kinh tế học tân cổ điển Khi này, lao động L sử dụng hoàn toàn, kinh tế tăng trưởng hết mức tiềm ổn định Đồng thời, lúc này, toàn tiết kiệm S chuyển thành đầu tư I Và ta có sY = I Mặt khác, giá lao động (tức tiền công thực tế) giá tư (tức lãi suất vay) lúc linh hoạt Vì thế, kết hợp hai yếu tố để sản xuất môt cách tùy thích Giả thiết 2: Mức sản lượng thực tế Y phụ thuộc vào lượng lao động L, lượng tư K vài suất lao động A Từ đó, ta có hàm sản xuất vĩ mô : Y = F(A,L,K) Giả thiết hàm có dạng Cobb-Douglas, tức là: Với hàm số dạng Cobb-Douglas, ta nhân số nhân vế phải với số, tích số bên vế trái tăng lên số lần Do vậy, nhân 1/L với L K, vế trái thành Y/L tức sản lượng thực tế đầu lao động y (y=Y/L) Còn K/L tức lượng tư đầu lao động k (k=K/L) Hàm sản xuất vĩ mô có dạng sau: Giả thiết 3: 14 Nền kinh tế đóng cửa can thiệp Chính phủ Do đó, tổng sản lượng Y tổng tiêu dùng cá nhân C đầu tư I hay : Y=C+I tương đương với : Y = C + sY hay C = (1-s)Y Nếu tính đầu lao động L, có tiêu dùng cá nhân đầu người c sản lượng thực tế đầu người y nhân với 1-s hay : c = (1-s)y Lưu ý : < s < Giả thiết 4: Có khấu hao tư Với tỷ lệ khấu hao δ, mức khấu hao δY Đầu tư I làm tăng lượng tư khấu hao δK làm giảm lượng tư bản, nên mức tư thực tế tăng thêm ΔK I - δK Có thể viết quan hệ thành: Giả thiết 5: Tư K lao động L tuân theo Quy luật lợi tức biên giảm dần Có nghĩa khi tăng k ban đầu y tăng nhanh đến lúc tăng chậm lại Giả thiết 6: Hàm y = f(k) hàm tăng Đồ thị có dạng đường cong Hàm i = sf(k) = sy vậy, đầu tư đầu lao động i phận sản lượng đầu lao động y Chú ý để hàm số y = f(k) hàm tăng đạo hàm bậc y' phải lớn 0, mặt khác tuân theo quy luật suất cận biên giảm dần nên đạo hàm bậc hai y’’ phải nhỏ Đồ thị hàm số y = f(k) có hình dạng hình vẽ ( trang bên) 15 Giả thiết 7: Thay đổi lực lượng lao động L thể phương trình sau: đó, gL hàm số L Đồng thời giả thiết tốc độ thay đổi lao động tốc độ thay đổi dân số n Xác định mô hình: Hình Khi tư đầu lao động k tăng, giá trị khấu hao δk tăng, nữa, dẫn đến tư đầu lao động nk tăng Gọi δk + nk hay (δ+n)k đầu tư cần thiết, bù đắp phần tài sản bị hao mòn đáp ứng vốn cho lao động tăng thêm Điểm A Hình giao đường đầu tư cần thiết (δ+n)k đường đầu tư đầu lao động i Nó cho thấy cân 16 Tại trạng thái vốn đầu lao động k1 nhở k*, đầu tư i = sy lớn đầu tư cần thiết (δ+n)k, có nghĩa k = sy – (δ+n)k > dẫn đến k tăng Ngược lại, trạng thái vốn đầu lao động k2 lớn k*, đầu tư i = sy nhỏ đầu tư cần thiết (δ+n)k, có nghĩa k = sy – (δ+n)k < 0, k giảm Ta có, k tăng lên đến mức k*, ngược lại giảm, giảm đến mức k* Cả hai trường hợp tăng giảm đạt đến trạng thái cân Và người ta gọi điểm ổn định hay trạng thái ổn định Tại trạng thái ổn định k*, nhận thấy đầu tư đầu tư cần thiết cân nhau, hay ?k = sy – (δ+n)k* = 0, tốc độ tăng sản lượng lao động không (gy = 0), tốc độ tăng vốn lao động không (gk = 0) Ngoài mô hình tăng trưởng solow_swan chịu tác động yếu tố khác tiến công nghệ thời đại ngày khoa học công nghệ trở thành ngành sản xuất trực tiếp sản phẩm ngành tiến công nghệ việc sản xuất sử dụng sản phẩm đặc biệt đòi hỏi yếu tố vật chất định , phải có đầu tư vốn ( vốn vật chất vốn người ) thành coi tác động tiến công nghệ vật chất hóa vốn lao động vật chất hóa tiến công nghệ lao động biểu việc sử dụng lao động hiệu với số lao động định , tác động tiến công nghệ xẽ tương đương với việc sử dụng nhiều Như tăng trưởng nguồn lao động việc tăng tự nhiên theo mức độ tăng dân số mà tăng tác động tiến công nghệ 17 KẾT LUẬN * * * Toán đóng vai trò quan trọng, nói thiếu, môn kinh tế Vai trò có xu hướng ngày tăng dần theo thời gian, phê bình, chống đối việc dùng toán làm phương pháp để phân tích, thông hiểu hệ thống nhân văn phức tạp hệ thống kinh tế Nói chung, toán giúp kinh tế, kinh tế lý thuyết, tiến triển nhiều Toán hoá làm thay đổi chất phạm vi môn kinh tế Toán ảnh hưởng lớn đến truyền đạt ý niệm đề xuất kinh tế, nhà kinh tế với nhau, mà nhà kinh tế dân chúng, nhà kinh tế nhà làm chinh sách Có thể nói ngày toán học có vai trò quan trọng tất lĩnh vực đặc biệt kinh tế điều tất nhà kinh tế khẳng định thông qua việc vận dụng toán vào mô hình kinh tế dựa vào mô hình tiến hành phân tích, dự báo kết xảy từ có định hợp lý khẳng định toán học yếu tố thiếu trình phát triển kinh tế muốn phát triển kinh tế cần phải có sở toán học vững làm tảng 18 PHỤ LỤC LỜI MỞ ĐẦU NỘI DUNG I _ ứng dụng toán học số mô hình toán học kinh tế 4→17 _ Lịch sử toán kinh tế học 4→7 _ Hạn chế toán kinh tế 7→8 _ vai trò toán nghiên cứu kinh tế 8→12 II _ Mô hình tăng trưởng solow 13→17 KẾT LUẬN 19 18 [...]... được kinh tế thì chúng ta cần phải có được một cơ sở toán học vững chắc làm nền tảng 18 PHỤ LỤC LỜI MỞ ĐẦU 3 NỘI DUNG I _ ứng dụng của toán học và một số mô hình toán học trong kinh tế 4→17 1 _ Lịch sử của toán trong kinh tế học 4→7 2 _ Hạn chế của toán trong kinh tế 7→8 3 _ vai trò của toán trong nghiên cứu kinh tế 8→12 II _ Mô hình tăng trưởng solow 13→17 KẾT LUẬN... nhiều Toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của bộ môn kinh tế Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách Có thể nói rằng ngày nay toán học đã và đang có một vai trò rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực đặc biệt là trong kinh. ..II _ MÔ HÌNH TĂNG TRƯỞNG SOLOW Mô hình tăng trưởng Solow là một mô hình thuyết minh về cơ chế tăng trưởng kinh tế do Robert Solow và Trevor Swan xây dựng rồi được các học giả kinh tế khác bổ sung Solow đã nhận được giải Nobel về kinh tế năm 1987 nhờ cống hiến này Mô hình này còn gọi là Mô hình tăng trưởng tân cổ điển vì một số giả thiết của mô hình dựa theo lý luận của kinh tế học tân cổ điển Mô hình... trong kinh tế điều này đã được tất cả các nhà kinh tế khẳng định thông qua việc vận dụng toán vào trong các mô hình kinh tế dựa vào các mô hình này chúng ta có thể tiến hành phân tích, dự báo được các kết quả có thể xảy ra và từ đó có những quyết định hợp lý do vậy có thể khẳng định rằng toán học là một yếu tố không thể thiếu được trong quá trình phát triển kinh tế và muốn phát triển được kinh tế thì... động của tiến bộ công nghệ 17 KẾT LUẬN * * * Toán đóng một vai trò rất quan trọng, có thể nói là không thể thiếu, trong bộ môn kinh tế Vai trò này có xu hướng ngày càng tăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn còn sự phê bình, chống đối việc dùng toán làm một phương pháp chính để phân tích, thông hiểu một hệ thống nhân văn phức tạp như hệ thống kinh tế Nói chung, toán đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý... thể coi tác động của tiến bộ công nghệ được vật chất hóa trong vốn và trong lao động sự vật chất hóa của tiến bộ công nghệ trong lao động biểu hiện ở việc sử dụng lao động hiệu quả hơn với một số lao động nhất định , do tác động của tiến bộ công nghệ xẽ tương đương với việc sử dụng nhiều hơn Như vậy sự tăng trưởng của nguồn lao động ngoài việc do tăng tự nhiên theo mức độ tăng của dân số mà còn tăng... tiết kiệm của cả nền kinh tế s là tỷ lệ tiết kiệm I là đầu tư i là đầu tư trên đầu lao động C là tiêu dùng cá nhân trong nền kinh tế c là tiêu dùng cá nhân trên đầu lao động δ là tỷ lệ khấu hao tư bản Δ là lượng tư bản tăng thêm ròng n là tốc độ tăng dân số, đồng thời là tốc độ tăng lực lượng lao động 13 Hệ giả thiết Giả thiết 1 : Giá cả linh hoạt trong dài hạn Đây là một quan điểm của kinh tế học tân... lượng lao động L, lượng tư bản K vài năng suất lao động A Từ đó, ta có một hàm sản xuất vĩ mô : Y = F(A,L,K) Giả thiết là hàm này có dạng Cobb-Douglas, tức là: Với hàm số dạng Cobb-Douglas, nếu ta nhân các số nhân trong vế phải với cùng một số, thì tích số bên vế trái sẽ tăng lên cùng số đó lần Do vậy, nếu nhân 1/L với L và K, thì vế trái sẽ thành Y/L tức là sản lượng thực tế trên đầu lao động y (y=Y/L)... là Mô hình tăng trưởng ngoại sinh, bởi vì không liên quan đến các nhân tố bên trong, rốt cục tăng trưởng của một nền kinh tế sẽ hội tụ về một tốc độ nhất định ở trạng thái bền vững Chỉ các yếu tố bên ngoài, đó là công nghệ và tốc độ tăng trưởng lao động mới thay đổi được tốc độ tăng trưởng kinh tế ở trạng thái bền vững Ký hiệu • • • • • • • • • • • • • • Y là sản lượng thực tế (hoặc thu nhập thực tế) ... được sử dụng hoàn toàn, và nền kinh tế tăng trưởng hết mức tiềm năng và ổn định Đồng thời, lúc này, toàn bộ tiết kiệm S sẽ được chuyển thành đầu tư I Và do đó ta có sY = I Mặt khác, giá cả lao động (tức tiền công thực tế) và giá tư bản (tức lãi suất đi vay) lúc này cũng sẽ linh hoạt Vì thế, có thể kết hợp hai yếu tố này để sản xuất môt cách tùy thích Giả thiết 2: Mức sản lượng thực tế Y phụ thuộc vào lượng ... - tx = (1-t)y + tZ Nếu bị kiểm tra, thu nhập sau thuế sau bị phạt người đóng thuế : y-tx-(t+θ)Z =(1-t)y-θtZ Như vậy, vấn đề đặt dạng toán sau: Chọn z để cực đại hoá hàm EU= pu[(1-t)y-qtZ]+(1-p)u[(1-t)y+tZ]... dụng cụ phân tích thích hợp Lấy đạo hàm EU theo Z, điều kiện bậc cực đại EU là: - pqu ’[(1-t)y-qtZ] +(1-p)tu’[(1-t)y + tZ)] = Trong u’ đạo hàm bậc u lưu ý điều kiện bậc hai cho cực đại toàn thoả... tương đương với : Y = C + sY hay C = (1-s)Y Nếu tính đầu lao động L, có tiêu dùng cá nhân đầu người c sản lượng thực tế đầu người y nhân với 1-s hay : c = (1-s)y Lưu ý : < s < Giả thiết 4: Có khấu