ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 180 phút ĐỀ I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + (1), (với m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị đến gốc tọa độ 10 π Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: sin x + (1 + 2cos x).sin x − 2sin (2 x + ) = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x − ≤ − x +1 Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị m để phương trình: x ( − x ) + m x − x + + = có nghiệm x ∈ 2;2 + Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, AC = a, AB=2a, SA ⊥ (ABC) Góc SC (ABC) 60o Gọi H, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC chứng minh tam giác AHK vuông K Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thoả mãn: x( x − 1) + y( y − 1) + z ( z − 1) ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A.Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(3;1) I(2;-2) Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt trục Ox, Oy A B cho tam giác IAB cân I Câu 8.a (1,0 điểm) Giải phương trình: log x − 20log81 x + 40log x + = Câu 9.a (1,0 điểm) Có tất số tự nhiên có chữ số mà số đó, chữ số đứng trước nhỏ chữ số đứng sau (kể từ trái qua phải) B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp 2 đường tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương thuộc đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình cạnh AB hình thoi 3x − x →0 x Câu 8.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn: I = lim Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm hệ số x10 khai triển ( x − 3x )n , (x >0, n nguyên dương) biết tổng tất hệ số khai triển −2048 - Hết Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:………… ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Thang điểm I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7,0 điểm a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1 1,0 điểm Với m=1, hàm số (1) trở thành y = x3 − 3x • TXĐ: D = ¡ 0,25 • Sự biến thiên: y = +∞,lim y = −∞ + Giới hạn: lim x →+∞ x →−∞ x = x = 2 + Chiều biến thiên: y ' = x − x, y ' = ⇔ 0,25 Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0) & (2; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (0;2) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=0, ycd = ; cực tiểu x=2, yct = −4 Câu • BBT 0,25 • Đồ thị: Tiếp xúc Ox O, cắt Ox (3;0) f( x) = x3-3⋅ x2 y O -5 0,25 x -2 -4 b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị đến gốc tọa độ 10 1,0 điểm Trong trường hợp tổng quát, ta có y ' = x − 6mx + 3(m − 1) , x = m −1 y ' = ⇔ x − 2mx + m − = ⇔ x2 = m + 0,25 Vì y ' = có hai nghiệm phân biệt với m nên hàm số có cực đại, cực tiểu với m 0,25 Dề thấy m − < m + , nên y’ đổi dấu từ dương sang âm x qua x1 = m − , đồ thị hàm số có điểm cực đại A(m − 1;3 − 3m) 0,25 Ycbt tương đương với m = OA = (m − 1)2 + 9(1 − m)2 = 10 ⇔| m − 1|= ⇔ m = −1 Vậy m=3 m=-1 Câu 0,25 π Giải phương trình: sin x + (1 + 2cos x).sinx − 2sin (2 x + ) = (1) π (1) ⇔ sin x + (1 + 2cos x).sinx − + cos(4 x + ) = 1,0 điểm 0,25 ⇔ sin x + sin x + 2cos x.sin x − − sin x = 0,25 ⇔ sin x + sin x + sin x − sin x − − sin x = ⇔ sin x = 0,25 ⇔x= π + k 2π , k ∈ ¢ KL… Giải bất phương trình: 0,25 x − ≤ − x +1 Câu ĐK: x ≥ Bpt tương đương với 1,0 điểm 0,25 x − + x + ≤ ⇔ 2x − + x2 − x − ≤ x ≤ 5 − x ≥ x2 − x − ⇔ 2 25 − 10 x + x ≥ x − x − x ≤ ⇔ ⇒ x ≤ Kết hợp điều kiện ta tập nghiệm bất x ≤ 0,25 0,25 0,25 phương trình [2;3] Tìm tất giá trị m để phương trình: Câu x ( − x ) + m x2 − 4x + + = có nghiệm x ∈ 2;2 + ĐK: ∀x ∈ ¡ Đặt x − x + = t ⇒ t = ( x − ) + ≥ 1,0 điểm 0,25 2x − ≥ 0, ∀x ∈ [2;2 + 3] nên t ∈ [ 1;2] Vì x ∈ 2;2 + t ′( x) = 2 x − 4x + Phương trình trở thành m = t2 − Pt cho có nghiệm x ∈ 2;2 + t t2 − ⇔ pt m = có nghiệm t ∈ [ 1;2] t 0,25 t2 − t2 + Xét f (t ) = với t ∈ [ 1;2] , f ′(t ) = > 0, ∀t ∈ [ 1;2] t t 0,25 ⇒ f (t ) = f (1) = −6, m ax f (t ) = f (2) = − [1;2] [1;2] 3 ⇒ Vậy m ∈ −6; − giá trị cần tìm 2 0,25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, AC = 1,0 a, điểm Câu AB = 2a, SA ⊥ (ABC) Góc SC (ABC) 60o Gọi H, K hình chiếu vuông góc A lên SB, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC chứng minh tam giác AHK vuông K S H K A B 60° C Ta có CB = AB − AC = 4a − a = a ⇒ S ∆ABC = AC.CB = a2 · Góc SC (ABC) SCA = 60o nên ta có SA = AC tan 60 = a ⇒ VS ABC o 0,25 0,25 1 a a3 = SA.S ∆ABC = a = (đvtt) 3 2 BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ AK , BC ⊥ SA 0,25 Vì mà AK ⊥ SC suy AK ⊥ ( SBC ) , AK ⊥ KH , hay ∆ AHK vuông K (đpcm) 0,25 Cho số dương x, y , z thoả mãn: x( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≤ Tìm Câu giá trị nhỏ biểu thức: A = 1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 1,0 điểm x( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≤ ⇔ x + y + z − ( x + y + z ) ≤ ⇒ 18 ≥ ( x + y + z ) − 3( x + y + z ) ⇔ −3 ≤ x + y + z ≤ ⇒ < x + y + x ≤ 0,25 Ta có: y + z +1 z + x +1 + ≥ ; + ≥ ; y + z +1 25 z + x +1 25 x + y +1 + ≥ x + y +1 25 ⇒ A+ 0,25 2( x + y + z ) + 6 2( x + y + z ) + 3 ≥ ⇔ A≥ − ≥ 25 5 25 Dấu “=” xảy x= y = z =2 Vậy 0,25 Amin = ⇔ x = y = z = Cách khác: Đặt t = x + y + z , t > 0,25 ( x + y + z )2 t2 ⇒ − t ≤ ⇒ t ∈ (0;6] Sử dụng BĐT x + y + z ≥ 3 2 1 + + ≥ , ∀a, b, c > áp dụng kết a b c a +b +c 9 ta A ≥ Xét f (t ) = (0;6], suy kết 2t + 2t + Chứng minh toán II PHẦN RIÊNG: Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) 3,0 điểm PHẦN A: Theo chương trình Chuẩn Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d qua M(3;1) cắt trục Ox, Oy A B cho tam giác IAB 1,0 cân I(2;-2) điểm Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A(a;0), B(0;b), (a, b ≠ 0) Phương trình đường thẳng d có dạng: Do d qua M(3;1) nên x y + =1 a b + = (1) a b Đồng thời, ∆IAB cân I nên 0,25 IA = IB ⇔ (a − 2) + (0 + 2) = (0 − 2) + (b + 2) 0,25 2 Câu 7.a a = −b ⇔ a−2 = b+2 ⇔ a = b + • Với a = −b , thay vào (1) ta a = 2; b = −2 nên phương trình đường thẳng d x − y − = 0,25 • Với a = b + 4, thay vào (1) ta ( a; b ) = (6;2) (a; b) = (2; −2) Từ đó, phương trình đường thằng d x + y − = x − y − = 0,25 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán d : x + y − = d : x − y − = Câu 8.a Giải phương trình: log x − 20log81 x + 40log x + = 1,0 điểm Điều kiện: x ∈ (0; +∞) 0,25 Khi đó, PT ⇔ 2log 13 x − 60log81 x + 20log x + = Câu 9.a ⇔ −2log x − 15log x + 10log x + = 0,25 ⇔ log x = ⇔ x = 0,25 Vậy x =3 nghiệm phương trình 0,25 Có số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng trước nhỏ chữ số đằng sau 1,0 điểm Giả sử số cần tìm có dạng abcdef ( a < b < c < d < e < f ) 0,25 Số chọn chữ số 0, giả sử có chữ số số phải có dạng 0bcdef , ( b, c, d , e, f ∈ { 1;2; ;9} ) (không thỏa mãn) Với cách chọn chữ số, có cách tạo thành số có 0,25 chữ số cho chữ số đứng trước nhỏ chữ số đằng sau Số số có chữ số thỏa mãn yêu cầu toán số cách chọn chữ số thuộc tập A = { 1;2;3; 4;5;6;7;8;9} 0,25 Vậy có C96 = 84 số thỏa mãn yêu cầu toán 0,25 PHẦN B: Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường 2 tròn ( C ) : ( x − 1) + ( y + 1) = 20 Biết AC=2BD, điểm B có hoành độ dương thuộc đường thẳng d : x − y − = Viết phương trình cạnh AB Đường tròn (C) có tâm I (1; −1), bán kính R = 1,0 điểm B H d Đặt BI = x,( x > 0) Do AC = BD ⇒ AI = BI = x A I C 0,25 Kẻ IH ⊥ AB ⇒ IH = R = D • Trong ∆AIB có: 1 1 1 + = ⇔ 2+ = ⇔ x = ( Do x > 0) 2 IA IB IH 4x x 20 Suy IB = Gọi B(t ;2t − 5), (t > 0) t = (tm) Do IB = ⇔ (t − 1) + (2t − 4) = 25 ⇔ −2 t = (ktm) 2 0,25 • Với t = ⇒ B (4;3) Phương trình cạnh AB có dạng: a ( x − 4) + b( y − 3) = Có : d ( I ; AB ) = IH = R ⇔ ( a + b ≠ 0) −3a − 4b a + b2 =2 a = 2b ⇔ 11a − 24ab + 4b = ⇔ a = b 11 • 0,25 Với a = 2b, chọn a = 2, b = , phương trình AB là: x + y − 11 = • Với a = b, chọn a = 2, b = 11 , phương trình AB là: x + 11 y − 41 = 11 Vậy phương trình cạnh AB x + y − 11 = x + 11y − 41 = 0,25 1,0 điểm 3x − Tìm giới hạn: I = lim x →0 x Câu 8.b x 0,25 e x ln − x →0 x 0,25 e x ln − ln x →0 x.ln 0,25 eln − Ta có I = lim x →0 x ⇔ I = lim ⇔ I = lim Câu 9.b ⇔ I = 1.ln = ln 0,25 Tìm hệ số x10 khai triển ( x − 3x )n , (x >0, n nguyên dương) biết tổng hệ số khai triển −2048 1,0 điểm Do tổng hệ số khai triển –2048 nên ta có: Cn0 − 3Cn1 + 32 Cn2 − + (−1) n 3n Cnn = −2048 0,25 ⇔ (1 − 3) n = −2048 ⇔ n = 11 Ta có khai triển: 11 0,25 k 11 ( x − x )11 = ∑ C11k x (−3 x )11−k = ∑ C11k ( −1)11−k 311−k x k =0 22 − k k =0 Hệ số x10 khai triển tương ứng với 22 − k = 10 ⇔ k = 0,25 Vậy hệ số cần tìm (−1)3 33.C118 = −4455 0,25 Hết - ... số số phải có dạng 0bcdef , ( b, c, d , e, f ∈ { 1;2; ;9} ) (không thỏa mãn) Với cách chọn chữ số, có cách tạo thành số có 0,25 chữ số cho chữ số đứng trước nhỏ chữ số đằng sau Số số có chữ số. .. (0;2) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=0, ycd = ; cực tiểu x=2, yct = −4 Câu • BBT 0,25 • Đồ thị: Tiếp xúc Ox O, cắt Ox (3; 0) f( x) = x 3- 3 ⋅ x2 y O -5 0,25 x -2 -4 b) Tìm m để hàm số (1) có cực đại,... Vậy x =3 nghiệm phương trình 0,25 Có số tự nhiên có chữ số mà chữ số đứng trước nhỏ chữ số đằng sau 1,0 điểm Giả sử số cần tìm có dạng abcdef ( a < b < c < d < e < f ) 0,25 Số chọn chữ số 0, giả