Giáo trình Cơ ứng dụng (ĐCN) Chương 5

Ta gọi trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đang xét được đặc trưng bởi những giá trị ứng suất pháp và tiếp trên những mặt cắt khác nhau đi qua điểm đĩ.. Vậy

CHƯƠNG 5 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT

I KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT ÐIỂM

Ta biết rằng ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vật thể đàn hồi chịu lực

phụ thuộc vào vị trí điểm đĩ và mặt cắt ta xét Qua một điểm, với những mặt cắt

khác nhau ta cĩ những ứng suất σ và τ khác nhau

Ta gọi trạng thái ứng suất tại một điểm là trạng thái chịu lực của điểm đang

xét được đặc trưng bởi những giá trị ứng suất pháp và tiếp trên những mặt cắt khác

nhau đi qua điểm đĩ

Lý thuyết đàn hồi chứng minh rằng qua một điểm bao giờ cũng tìm được ba

mặt cắt vuơng gĩc nhau mà trên các mặt cắt đĩ chỉ xuất hiện ứng suất pháp cịn

ứng suất tiếp đều bằng khơng Những mặt ấy gọi là mặt chính

Phương vuơng gĩc với mặt chính gọi là phương chính

Ưùng suất pháp tác dụng lên mặt chính gọi là ứng suất chính Các ứng suất

chính cịn là ứng suất pháp cực trị của một trạng thái ứng suất

Những ứng suất chính được ký hiệu là 1,2,3 và theo qui ước:

3

2

  

Ðể nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm, ta tách riêng ra một hình

hộp kích thước vơ cùng bé (gọi là phân tố) bao quanh điểm đĩ Các cạnh của phân

tố là vơ cùng bé nên ta cĩ thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các

mặt phân tố được xem là ứng suất trên các mặt cắt đi qua điểm đĩ Ðiều này hồn

tồn phù hợp, vì nếu cho kích thước của phân tố giảm đến 0 thì phân tố sẽ thu về

Cơ ứng dụng ĐCN - 1- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

một điểm Mặt khác, vì đã thừa nhận vật liệu đồng chất và đẳng hướng nên phân

tố tách ra ở bất kỳ điểm nào vẫn có đầy đủ tính chất của toàn bộ vật thể đàn hồi

(hình 5-1)

Hình 5-1

Ký hiệu hệ trục song song với các cạnh của hình lập phương là x, y, z ta được

chín thành phần ứng suất là:

 Ứng suất pháp: σx , σy , σz

 Ứng suất tiếp:xy,xz,yx,yz,zx,zy

Ký hiệu:

+ σi: chỉ ứng suất pháp theo phương i

+ τij: chỉ - i: ứng suất tiếp trong mặt phẳng có pháp tuyến i

- j: ứng suất tiếp theo phương j

do định luật đối ứng của ứng suất tiếp ta có:

;

yx

  xz zx; yz zy;

Như vậy trên phân tố hình lập phương chỉ có 6 ứng suất độc lập nhau

Cơ ứng dụng ĐCN - 2- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Trong thực tế, tùy theo lực tác dụng và dạng vật thể mà trên phân tố chính có đủ

cả 3, 2 hoặc 1 ứng suất chính Dựa vào sự có mặt của ứng suất chính ta phân ra:

a) Trạng thái ứng suất khối: khi cả 3 ứng suất chính đều khác không Ðó là

trạng thái ứng suất chính của những điểm thuộc vùng tiếp xúc giữa hai vật thể đàn

hồi

b) Trạng thái ứng suất đơn: khi chỉ có một ứng suất chính khác không Ðó là

trường hợp thanh chịu kéo nén đúng tâm hay uốn thuần túy thẳng

c) Trạng thái ứng suất phẳng: khi có hai ứng suất chính khác không

Vấn đề chủ yếu của chương này là xác định phương chính và ứng suất chính, ứng

suất tiếp cực đại

II TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG

1) Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Xét một phân tố có trạng thái ứng suất phẳng như hình vẽ (5-2)

Cơ ứng dụng ĐCN - 3- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Muốn xác định ứng suất trên mặt cắt song song với trục z và nghiêng với trục x

một góc α (chiều dương của góc ( theo qui ước trong lượng giác), ta cắt phân tố và

xét sự cân bằng của phần dưới

Vì diện tích của các mặt phân tố là vô cùng bé nên ta có thể coi ứng suất trên đó là

phân bố đều Vậy lực tác dụng lên các mặt phân tố là:

- Mặt nghiêng ds : σu dz ds và τuv dz ds

- Mặt dx : σy dz ds sinα và τyx dz ds sinα

- Mặt dy : σx dz ds cosα và τxy dz ds cosα

Ta viết điều kiện cân bằng dưới dạng các phương trình sau:

Phương trình tổng momen của các lực đối với O

Rút ra τxy = τyx

Ðó là định luật đối ứng của ứng suất tiếp mà ta đã biết ở chương II (kéo nén

đúng tâm)

Khi kiểm tra độ bền một điểm của một bộ phận công trình hay chi tiết máy bị

kéo nén (trạng thái ứng suất đơn), bị cắt hoặc xoắn (trượt thuần túy), ta có điều

kiện sau:

Cơ ứng dụng ĐCN - 4- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Trong đó những ứng suất cho phép viết ở vế phải được suy ra từ những kết quả thí

nghiệm về kéo, nén, cắt (hay xoắn), những ứng suất cho phép được tính bằng cách

lấy ứng suất nguy hiểm chia cho hệ số an toàn

Đối với vật liệu dẻo: ứng suất nguy hiểm là  ch

Đối với vật liệu giòn: ứng suất nguy hiểm là  b

Những thí nghiệm để xác định ứng suất nguy hiểm kéo, nén, cắt (hay xoắn),

thường đơn giản và có thể thực hiện được

Nếu muốn kiểm tra độ bền một điểm của một bộ phận công trình hay chi tiết máy

ở trạng thái ứng suất phức tạp (phẳng hoặc khối) thì ta cần có những kết quả thí

nghiệm phá hoại những mẫu thử ở trạng thái ứng suất tương tự, tức là tỉ lệ giữa

những ứng suất chính 1,2 và  của mẫu thử khi bị phá hoại phải bằng tỉ lệ 3

giữa những ứng suất chính của điểm cần kiểm tra Việc thực hiện những thí

nghiệm như thế rất khó khăn và thực tế có khi không thực hiện được vì:

- Số lượng thí nghiệm phải rất nhiều mới đáp ứng được các tỉ lệ giữa những ứng

suất có thể gặp trong thực tế

- Trình độ kỹ thuật hiện nay chưa cho phép thực hiện được tất cả những thí

nghiệm về trạng thái ứng suất phức tạp, ví dụ trường hợp kéo theo 3 phương

vuông góc nhau

Để đơn giản, người ta đưa trạng thái ứng suất phức tạp đang xét về trạng thái

ứng suất đơn tương đương và việc kiểm tra bền sẽ tiến hành đối với trạng thái

ứng suất đơn tương đương này

Cơ ứng dụng ĐCN - 5- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Bây giờ ta phải tìm sự liên hệ giữa các ứng suất chính với ứng suất tương đương

td

 là như thế nào Những giả thuyết cho phép thiết lập sự liên hệ đó gọi là các lý

thuyết bền

Thuyết bền là những giả thuyết về nguyên nhân cơ bản gây ra trạng thái ứng suất

giới hạn của vật liệu, cho phép ta đánh giá độ bền của vật liệu ở bất kỳ một trạng

thái ứng suất phức tạp nào, nếu biết độ bền của vật liệu đó từ thí nghiệm kéo nén

đúng tâm

Thực ra độ bền của vật liệu không những chỉ phụ thuộc vào trạng thái ứng suất mà

còn phụ thuộc nhiều nhân tố cơ, lý khác như nhiệt độ , thời gian, cách đặt

lực Ảnh hưởng của những nhân tố này rất phức tạp Hiện nay cũng chưa có lý

thuyết tổng quát nào xét được đầy đủ những ảnh hưởng đó Ở đây, những lý thuyết

bền chỉ xét đến một nhân tố là trạng thái ứng suất và nghiên cứu sự làm việc của

vật liệu trong giới hạn đàn hồi Các thuyết bền được xây dựng trên mỗi giả thuyết

riêng và vì tính chưa hoàn chỉnh của các thuyết bền nên kết quả tính ra sẽ có giá trị

khác nhau

III CÁC THUYẾT BỀN

1 Thuyết bền thứ nhất: Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất

Thuyết bền thứ nhất do Galileâ đưa ra năm 1638 Thuyết này cho rằng:

Vật liệu bị phá hoại là do ứng suất pháp cực đại của phân tố ở trạng thái ứng

suất phức tạp đạt tới ứng suất nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Ta có thể phát biểu thuyết này như sau:

Hai trạng thái ứng suất phức tạp và đơn sẽ có độ bền tương đương nếu ứng suất

pháp lớn nhất của chúng bằng nhau

Như vậy điều kiện bền được viết là:

Cơ ứng dụng ĐCN - 6- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Cơ ứng dụng ĐCN - 7- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Thiếu sót chính của thuyết ứng suất pháp lớn nhất là không kể đến ảnh hưởng của

hai ứng suất chính còn lại Thực tế cho thấy các ứng suất chính đó có ảnh hưởng

nhiều đến độ bền của vật liệu Ví dụ: nếu ta nén một khối xi-măng hình lập

phương theo tất cả các mặt của nó bởi một áp suất phân bố đều thì thí nghiệm cho

thấy khối xi-măng đó vẫn chịu được lực mà không bị phá hủy mặc dù ứng suất

trong khối xi-mămg đó vựơt quá giới hạn bền nhiều lần đi nữa

Ngoài ra thuyết bền thứ nhất còn không thích hợp đối với vật liệu dẻo, còn đối với

vật liệu giòn, thuyết này chỉ cho những kết quả phù hợp khi có một ứng suất chính

rất lớn so với các ứng suất chính còn lại

Hiện nay thuyết này không còn được áp dụng mà chỉ có ý nghĩa lịch sử

2 Thuyết bền thứ hai: Thuyết bền biến dạng dài tương đối lớn nhất

Thuyết bền thứ hai do Mariốt đưa ra năm 1682 Thuyết này cho rằng: vật liệu bị

phá hủy là do biến dạng dài tương đối cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất

phức tạp đạt đến biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở

trạng thái ứng suất đơn

Biểu thức: nếu ký hiệu giới hạn của biến dạng dài lớn nhất là L thì ở TTƯS khối,

điều kiện bền sẽ viết là     L

E

l  1 1  2 3 

dài lớn nhất  /E sẽ có giới hạn là   /E

Giới hạn không phụ thuộc dạng của TTƯS nên L  /E

Điều kiện bền ở TTƯS khối được viết là

    



1 2  3 

Ưu điểm của thuyết bền thứ hai là có kể đến ảnh hưởng của ba ứng suất chính

3

2

1, ,

 Song cũng như thuyết bền thứ nhất, thuyết này cũng không thích hợp

đối với vật liệu dẻo Còn đối với vật liệu giòn thì nó chỉ cho kết quả phù hợp khi

0

1 

 và 3 0

Trước kia thuyết này được dùng rất rộng rãi nhưng ngày nay hầu như không còn

được dùng nữa

3 thuyết bền thứ ba: thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất

Thuyết bền thứ ba do Coulomb đưa ra năm 1773 Thuyết này cho rằng: vật liệu bị

phá hoại là do ứng suất tiếp cực đại của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt

đến ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Ta có thể phát biểu thuyết này như sau: nguyên nhân gây ra sự sự phá hỏng của

vật liệu ở trạng thái ứng suất khối là do trị số lớn nhất của ứng suất tiếp đạt tới một

giới hạn xác định Giới hạn này không phụ thuộc vào dạng của trạng thái ứng suất

Biểu thức: nếu ký hiệu giới hạn của ứng suất lớn nhất là L thì TTƯS khối, điều

kiện bền sẽ viết là

2

3 1

2

max



  nên giới hạn của ứng

suất tiếp lớn nhất sẽ là  

2 1

Điều kiện giới hạn không phụ thuộc dạng của TTƯS cho phép ta viết  

2

1



L

Vậy điều kiện bền ở TTƯS khối được viết là 13  

Cơ ứng dụng ĐCN - 8- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Thuyết bền ứng suất tiếp chưa kể đến ảnh hưởng của ứng suất chính thứ hai

2

 nhưng khá thích hợp với vật liệu dẻo

4 Thuyết bền thứ tư: Thuyết bền thế năng biến dạng đàn hồi hình dáng (

thuyết bền thứ tư )

Phát biểu: nguyên nhân gây ra sự phá hỏng của vật liệu ở TTƯS khối là do trị số

lớn nhất của TNBDĐH hình dáng đạt tới một giới hạn xác định, giới hạn này

không phụ thuộc vào dạng của TTƯS

Biểu thức: nếu ký hiệu giới hạn của TNBDĐH hình dáng là L thì, ở TTƯS khối

điều kiện bền sẽ viết là:

E

3

2 2

2 1

3

1          

Ơû TTƯS đơn, TNBDĐH hình dáng 2

3

1 

E

u hd   , sẽ có giới hạn là  2

3

1  

E



Giới hạn không phụ thuộc dạng của TTƯS nên  2

3

1  

E

Vậy điều kiện bền ở TTƯS khối được viết là

 

















   2  1 2  2 3  3 1 

3

2

2

2

Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng do Huybe đưa ra năm 1904 Thuyết này

cho rằng: vật liệu bị phá hoại là do thế năng biến đổi hình dạng của phân tố ở trạng

thái ứng suất phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dạng ở trạng thái ứng suất

nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Cơ ứng dụng ĐCN - 9- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Lý thuyết thế năng biến đổi hình dạng phù hợp đối với vật liệu dẻo, nhưng đối với

vật liệu giòn thì cũng không thích hợp Mặt khác thuyết này vẫn chưa giải thích

được sự phá hoại của vật liệu khi bị kéo đều theo 3 phương

Hiện nay thuyết thế năng biến đổi hình dạng được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ

thuật xây dựng và cơ khí

5 Thuyết bền Mohr: Lý thuyết trạng thái ứng suất giới hạn

Khác với những thuyết bền đã trình bày ở trên, xây dựng trên cơ sở giả thuyết,

thuyết bền Mohr đựơc xây dựng trên cơ sở kết quả các thực nghiệm Mỗi trạng

thái ứng suất khối với các ứng suất chính 1,2,3 sẽ có ba vòng tròn Mohr với

các đường kính tương ứng 1 2,2 3,13 như trên hình 4-1 Nếu TTƯS

là trạng thái giới hạn về độ bền thì vòng tròn Mohr lớn nhất với đường kính

được gọi là vòng tròn Mohr giới hạn

3

 

Giả thiết ta đã tiến hành một số lượng lớn thí nghiệm cho các TTƯS khác nhau và

đã tìm được trạng thái giới hạn tương ứng của chúng Trong mặt phẳng toạ độ ,

ta nhận được một họ các vòng tròn Mohr giới hạn như trên hình 4-2 đường bao

của họ các vòng tròn Mohr này sẽ xác định những tổ hợp ứng suất pháp và ứng

suất tiếp của các TTƯS có độ bền giới hạn, điểm cắt trục hoành của đường bao

tương ứng với trạng thái ba ứng suất chính kéo có giá trị như nhau

Ta giả thiết rằng đường bao là duy nhất đối với mỗi loại vật liệu

Nếu một TTƯS cụ thể nào đó có vòng tròn Mohr lớn nhất nằm trong đường bao

thì TTƯS đó đảm bảo bền; vòng tròn Mohr cắt qua đường bao thì TTƯS đó bị phá

hỏng

Việc vẽ chính xác đường bao đòi hỏi một số lượng rất lớn các thí nghiệm, hầu như

không thể thực hiện nổi Ta có thể xây dưng gần đúng đường bao trên cơ sở một

Cơ ứng dụng ĐCN - 10- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

Cơ ứng dụng ĐCN - 11- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

số lượng tối thiểu các thí nghiệm Thí nghiệm kéo với vòng Mohr giới hạn có

đường kính   Thí nghiệm nén với vòng Mohr giới hạn nén có đường kính k   n

Ơû đây ta dùng ký hiệu ứng suất cho phép   , k   thay thế cho các ứng suất giới n

hạn ok,on là đã kể đến hệ số an toàn Đường bao được thay thế gần đường tiếp

tuyến chung của hai đường tròn giới hạn

Ta hãy xét một trạng thái ứng suất có vòng tròn Mohr lớn nhất 1,3 tiếp xúc với

đường bao TTƯS này nằm ở giới hạn về độ bền (trên hình 4-4 đường tròn của

TTƯS được thể hiện bằng đường nét đứt) Từ hình vẽ ta có tỷ lệ thức:

1

1

1

1

PN

NN

PM

MM 

Với MM       n   k

2

1

2

1

1

 

2

2

1    

PN

Sau khi thay thế các trị số này vào tỷ lệ thức trên, ta nhận được điều kiện giới hạn

   

      1 31  3





























k

k k

n

k

n

Hoặc  

n





1 3 

Điều kiện bền được viết là  

n





1  3 

Hoặc 13   k với hệ số  

  n k



 

Cơ ứng dụng ĐCN - 12- Biên sọan: Th.s Phạm Xuân Vũ

III Việc áp dụng các thuyết bền

Cho đến nay người ta đã xây dựng nhiều thuyết bền khác nhau, mỗi thuyết bền

đề ra một quan điểm về nguyên nhân phá hoại của vật liệu Trên đây, ta tìm

hiểu những thuyết quan trọng nhất đã được dùng tương đối phổ biến

Trong thực tế tính toán, việc chọn lý thuyết này hay lý thuyết khác phụ thuộc vào

loại vật liệu sử dụng và trạng thái ứng suất của điểm kiểm tra

Nếu là vật liệu dẻo ta dùng thuyết thứ ba hoặc thứ tư

Nếu là vật liệu giòn ta dùng thuyết thứ hai hoặc thứ năm (Mohr)