CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

CHƯƠNG 1: HÀM GIẢI TÍCH

Định lí: Nếu hàm w = f(z) = u(x, y) + jv(x, y) có đạo hàm tại z, thì phần thực u(x, y)

và phần ảo v(x, y) của nó có đạo hàm riêng tại (x, y) và các đạo hàm riêng đó thoả mãn hệ thức:

x

v y

u

; y

v x

u

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

(5) là điều kiện Cauchy - Riemann Đây là điều kiện cần

Ngược lại nếu các hàm số u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục, thoả mãn điều kiện C - R thì hàm w = f(z) có đạo hàm tại z = x + jy và được tính theo công thức:

x

x jv u )

z

(

Đây là điều kiện đủ

Ta chứng minh điều kiện cần: Giả sử f’(z) tồn tại, nghĩa là giới hạn của tỉ số:

y j x

v j u y

j x

) y , x ( v ) y y , x x ( v j ) y , x ( u ) y y , x x ( u

y j x

) y , x ( v ) y , x ( u ) y y , x x ( jv ) y y , x x ( u z

w

∆ +

∆

∆ +

∆

=

∆ +

∆

−

∆ +

∆ + +

−

∆ +

∆ +

=

∆ +

∆

−

−

∆ +

∆ + +

∆ +

∆ +

=

∆

∆

bằng f’(z) khi ∆z → 0 theo mọi cách Đặc biệt khi ∆z = ∆x thì:

x

v j x

u z

∆

∆ +

∆

∆

=

∆

∆

Trong đó ∆u = ∆xu là số gia riêng của u đối với x

Cho ∆x → 0, theo giả thiết thì vế trái dần tới f’(z) Do đó vế phải cũng có giới hạn là f’(z) Từ đó suy ra:

x

u

x

∆

∆

có giới hạn là

x

u

∂

∂

x

v

x

∆

∆

có giới hạn là

x

v

∂

∂

và:

x

v j x

u )

z

(

f

∂

∂ +

∂

∂

=

Tương tự, khi ∆z = ∆y thì:

y

u j y

v y

j

v j u z

∆

∆

−

∆

∆

=

∆

∆ +

∆

=

∆

∆

Cho ∆z → 0 ta có:

y

u j y

v ) z ( f

∂

∂

−

∂

∂

=

So sánh (6) và (7) ta có:

y

u j y

v x

v j x

u

∂

∂

−

∂

∂

≡

∂

∂ +

∂

∂

Từ đây ta rút ra điều kiện C - R:

y

u x

v

; y

v x

u

∂

∂

−

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

Tiếp theo ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử các hàm u(x, y) và v(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại (x, y) và các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện C - R Ta cần chứng minh

z

w

∆

∆

có giới hạn duy nhất khi ∆z → 0 theo mọi cách

Ta viết:

y j x

v j u z

w

∆ +

∆

∆ +

∆

=

∆

∆

Từ giả thiết ta suy ra u(x, y) và v(x, y) khả vi, nghĩa là:

y x

y y

u x x

u

∂

∂ +

∆

∂

∂

=

∆

y x

y y

v x x

v

v ∆ +β1∆ +β2∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

=

∆

Trong đó α1, α2, β1, β2 → 0 khi ∆x → 0, ∆y → 0(tức là ∆z → 0) Thay vào (8) các kết quả này ta có:

y j x

y x

y y

v x x

v j y x

y y

u x x u z

∆ +

∆

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆ α +

∆ α +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

=

∆

∆

y j x

y j x

j y

j x

y y

v j x x

v j y y

u x x

u

2 2 1

1

∆ +

∆

∆ β + α +

∆ β + α +

∆ +

∆

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

=

Do điều kiện C - R, ta có thể lấy ∆x + j∆y làm thừa số chung trong tử số của số hạng thứ nhất bên vế phải:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

∆ +

∆

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∆ +

∆ +

∂

∂

∆ +

∆

=

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

−

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

=

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂ +

∆

∂

∂

y

u j x

u y j x y

u j y j x x

u y j x

y x

u j x y

u j y y

u x x

u y y

v j x x

v j y y

u x

x

u

y j x

y j

x j y

u j x

u z

∆ +

∆

∆ β + α +

∆ β + α +

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

∂

∂

=

∆

∆

(9) Chú ý là khi ∆x → 0, ∆y → 0 thì số hạng thứ 2 bên vế phải dần tới 0 Thật vậy:

1 y x

x y

j x

x y

j x

x

2

∆ +

∆

∆

=

∆ +

∆

∆

=

∆ +

∆

∆

y j x

x

∆ +

∆

∆ β

+

α

y j x

x

j 1

∆ +

∆

∆ β

+ α

y j x

y

j 2

∆ +

∆

∆ β

+ α

Cho nên nếu cho ∆z → 0 theo mọi cách thì vế phải của (9) sẽ có giới hạn là

y

u

j

x

u

∂

∂

−

∂

Vậy vế trái cũng dần tới giới hạn đó, nghĩa là ta đã chứng minh rằng tồn tại

y

u j x

u

)

z

(

f

∂

∂

−

∂

∂

=

Do điều kiện C - R nên ta có thể tính đạo hàm bằng nhiều biểu thức khác nhau:

x

v j y

v y

u j x

u y

u j y

v x

v j x

u )

z

(

f

∂

∂ +

∂

∂

=

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂ +

∂

∂

=

′

Hàm có đạo hàm tại mọi điểm vì điều kiện C - R luôn luôn thoả mãn

Thật vậy: u = excosy, v = exsiny

y x

x e cosy v

x x

y e siny v

w y sin je y cos e dz

= +

=

u = x + 2y

v = 2x + y

2 v

2 u , v 1

u′x = = ′y ′y = ≠ − ′x = −

Ví dụ 3: Xét sự khả vi của hàmw = z2 = (x2 - y2) + 2jxy

Vì

x

v y 2 y

u

; y

v x

2

x

u

∂

∂

=

−

=

∂

∂

∂

∂

=

=

∂

∂

tại mọi điểm hữu hạn w = z2 khả vi tại mọi điểm

z ≠ ∞ và z’ = 2z

Do hệ phương trình:

x

v y 0 y

u

y

v x x 2 x

u

∂

∂

=

−

=

=

∂

∂

∂

∂

=

=

=

∂

∂

chỉ thoả mãn tại điểm (0, 0) nên w chỉ khả vi tại z = 0

đạo hàm của hàm biến thực, nên các phép tính đạo hàm của tổng, tích, thương hàm hợp hoàn toàn tương tự như đối với hàm thực

Giả sử các hàm f(z) và g(z) có đạo hàm tại z Khi đó:

[ f(z) + g(z) ]’ = f’(z) + g’(z)

[ f(z).g(z) ]’ = f’(z).g(z) + g’(z).f(z)

) z ( g

) z ( ' g )

z ( f ) z ( g )

z ( ' f )

z

(

g

)

z

(

f

2

−

=

′

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Nếu w = f(z) , z = ϕ(ζ) đều là các hàm có đạo hàm, thì đạo hàm của hàm hợp w = f[ϕ(ζ)] là:

ζ

=

dz dz

dw d

dw

Nếu f(z) là hàm đơn diệp có hàm ngược là h(w), thì:

0 ) w ( ' h , ) w ( ' h

1 )

z

(

'

trong lân cận điểm zo và f’(zo) ≠ 0

a Ý nghĩa hình học của Arg f’(z o ): Phép biến hình w = f(z) biến điểm zo thành điểm wo = f(zo) Gọi Mo là toạ vị của zo và Po là toạ vị của wo Cho một đường cong bất kì đi qua Mo và có phương trình là z(t) = x(t) + jy(t) Giả sử:

z’(to) = x’(to) + jy’(to) ≠ 0

nghĩa là haí số x’(to) và y’(to) không đồng thời triệt tiêu khi t = to Vậy đường cong L

có tiếp tuyến tại Mo mà ta gọi là MoT

Γ P

Po

v

u

O

L

Mo

T M

y

x

O

τ

Gọi Γ là ảnh của đường cong L qua phép biến hình Hiển nhiên đường cong đi qua điểm Po và có phương trình w = w(t) = f[z(t)] Theo công thức đạo hàm hàm hợp

ta có w’(to) = f’(zo).z’(to) Theo giả thiết thì f’(zo) ≠ 0, z’(to) ≠ 0 nên w’(to) ≠ 0 Như vậy tại P0, đường cong Γ có tiếp tuyến Poτ Bây giờ ta lấy z là điểm khác thuộc L Nó

có ảnh là w ∈ Γ Theo định nghĩa đạo hàm:

) z ( f z z

w w

0

0 o

z

−

−

z z

w w Arg lim )

z ( f

o z z o

o o

z z

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

′

→

→

Gọi M, P lần lượt là toạ vị của z và w thì đẳng thức trên được viết là:

(Ou,PP) lim (Ox,M M)

lim )

z ( f

L

P Mo M o

P Po P o

∈→ Γ

∈→

−

=

′

Vì khi P → Po, cát tuyến PoP dần tới tiếp tuyến Poτ với Γ; khi M → Mo, cát tuyến

MoM dần tới tiếp tuyến MoT với L nên:

(Ou,P ) (Ox,M T)

) z ( f

hay: (Ou,Poτ)=Argf′(zo)+(Ox,MoT)

Từ đó suy ra Argf’(zo) là góc mà ta cần quay tiếp tuyến MoT với đường cong L tại Mo

để được hướng của tiếp tuyến Poτ với đường cong Γ tại Po

Bây giờ ta xét hai đường cong bất kì L và L’ đi qua Mo, lần lượt có tiếp tuyến tại Mo là MoT và MoT’ Gọi Γ và Γ’ là ảnh của L và L’qua phép biến hình w = f(z) Γ

và Γ’ lần lượt có tiếp tuyến tại Po là Poτ và Poτ’ Theo kết quả trên:

(Ou,P ) (Ox,M T)

) z ( f

Do (13) được thiết ập với L và Γ bất kì nên: l

(Ou,P ') (Ox,M T')

) z ( f

Từ đó suy ra:

(Ou,Poτ′) (− Ou,Poτ) (= Ox,MoT′) (+ Ox,MoT)

Vậy góc giữa hai đường cong L và L’ bằng góc giữa hai ảnh Γ và Γ’ cả về độ lớn và hướng Ta nói phép biến hình w = f(z) bảo toàn góc giữa hai đường cong hay phép biến hình w = f(z) là bảo giác

b Ý nghĩa của | f’(z o ) |: Do (12) ta có:

M M lim

P P lim z

z

w w lim z

z

w w lim )

z

(

f

o o M M

o o P P o

o o

z z o

o o

z z 0

→

→

→

−

−

=

−

−

=

′

Với ∆z = z - zo khá nhỏ thì ∆w cũng khá nhỏ và ta có:

M M

P P ) z

(

f

o

o

′

Nếu f′(zo) >1 thì PoP > MoM và ta có một phép biến hình dãn Nếu f′(zo) <1 thì

PoP < MoM và ta có một phép biến hình co

Công thức (15) đúng với mọi cặp M và P nên ta nói f′(zo) là hệ số co dãn của phép biến hình tại zo

Trên đây ta đã giả thiết f’(zo) ≠ 0 Nếu f’(zo) = 0 thì kết quả trên không đúng nữa

Ví dụ: Xét hàm w = z2

Qua phép biến hình này, nửa trục dương Ox (argz = 0), có ảnh là nửa trục dương

⎠

⎞

⎜

⎝

2 z

Như vậy góc giữa hai tia Ox và Oy không được bảo toàn qua phép biến hình Sở dĩ như vậy vì w’(0) = 0

a Định nghĩa 1: Giả sử G là một miền mở Nếu hàm w = f(z) có đạo hàm f’(z) tại mọi điểm thuộc G thì nó được gọi là giải tích trong miền G Hàm số w = f(z) được gọi là giải tích tại điểm z nếu nó giải tích trong một miền lân cận nào đó của z Trên kia ta chỉ định nghĩa hàm số giải tích trong một miền mở Giả sử miền G giới hạn bởi đường cong kín L Nếu hàm w = f(z) giải tích trong một miền mở chứa G, thì để cho gọn ta nói nó giải tích trong miền kín G

b Định nghĩa 2: Những điểm tại đó w = f(z) không giải tích, được gọi là các

điểm bất thường của hàm số đó

- Hàm w = excosy + j exsiny giải tích trong toàn C

- Hàm w = zkhông giải tích ∀z ∈ C

-

z

1

w = giải tích trong toàn C trừ z = 0 Điểm z = 0 là điểm bất thương duy nhất của hàm

- Hàm w = zRez chỉ thoả mãn điều kiện C - R tại z = 0 Vậy nó không giải tích trong toàn C

c Tính chất của hàm giải tích:

- Tổng, tích của hai hàm giải tích là một hàm giải tích

- Thương của hai hàm giải tích là một hàm giải tích trừ điểm làm cho mẫu số triệt tiêu

- Hợp của hai hàm giải tích là một hàm giải tích

- Hàm ngược của một hàm giải tích đơn diệp có đạo hàm khác không là một hàm giải tích đơn diệp

tích trong C

-

1 z

z

+

= giải tích tại mọi điểm trừ z = ±j

giải tích trong miền đơn liên G Phần thực u(x, y) và phần ảo v(x, y) là những hàm điều hoà trong G, nghĩa là chúng thoả mãn phương trình Laplace:

) y , x ( jv ) y , x ( u

)

z

(

f

G ) y , x ( 0 y

v x

v v

0 y

u x

u

2 2

2 2

2 2

2

∈

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∆

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∆

Thật vậy, theo giả thiết, điều kiện C - R thoả mãn, tức là:

x y

y

u′ = ′ ′ = − ′

Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức thứ nhất theo x và đạo hàm hai vế đẳng thức thứ hai theo y ta có:

xy y

yx

u′′ = ′′ ′′ = − ′′

Cộng hai đẳng thức ta có: 0

y

u x

u

2 2

2

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∆

y

v x

v

2 2

2

=

∂

∂ +

∂

∂

=

∆

Ngược lại, cho trước hai hàm điều hoà bất kì u(x, y) và v(x, y) thì nói chung, hàm w = u(x, y )+ jv(x, y) không giải tích Muốn w = u + jv giải tích thì u và v phải là hai hàm điều hoà liên hợp, nghĩa là thoả mãn điều kiện C - R Vì cho trước một hàm điều hoà, ta có thể tìm được hàm điều hoà liên hợp với nó nên cho trước phần thực hay phần ảo của một hàm giải tích ta tìm được hàm giải tích đó Phương pháp tìm hàm v(x, y) điều hoà liên hợp với u(x, y) cho trước trong một miền đơn liên G như sau:

Do điều kiện C - R ta biết được các đạo hàm riêng của v(x, y) là:

x y y

v′ =− ′ ′ = ′  

Vậy bài toán được đưa về tìm hàm v(x, y) biết rằng trong miền đơn liên G nó có vi phân :

dy u dx u dy v dx v

dv= ′x + ′y =− ′y + ′x

A

Mo

M(x,y)

yo

y

O

Bài toán này có nghĩa vì vế phải là vi phân toàn

phần Thật vậy, nếu đặt P= −u′yvà Q=u′xthì

y

P x

Q

yy

xx′′ + ′′ =

=

∂

∂

−

∂

∂

được thoả mãn Theo kết quả giải tích thì:

(16)

C dy u dx u )

y

,

x

(

v

) y , x (

) o , o (

x

′

−

Trong đó tích phân (không phụ thuộc đường đi)

được lấy dọc theo đường bất kì nằm trong G, đi từ điểm (xo, yo) đến điểm (x, y), còn

C là một hằng số tuỳ ý Nếu tích phân được tính dọc theo đường gấp khúc MoAM thì:

C dy ) y , x ( u dx ) y , x ( u )

y

,

x

(

v

x

o

y

o x

′

−

Ví dụ 1: Cho hàm u = x2 - y2 +2x Tìm v(x,y) và f(z)

Đây là một hàm điều hoà trong toàn mặt phẳng vì ∆u = 0 ∀(x,y)

Theo (16) ta chọn xo = yo = 0

C y 2 xy 2 C dy 2 ydx 2 ) y

,

x

(

v

x

0

y

0

+ +

= + +

Vây: f(z) = u + jv = x2 - y2 +2x + j(2xy + 2y + C) = (x2 + 2jxy - y2) + (2x + 2jy) + jC = (x + jy)2 + 2(x + jy) = jC = z2 + 2z + jC

f(z) là một hàm giải tích trong toàn C

2

1 ) y , x (

Đây là một hàm điều hoà trong toàn bộ miền G trừ điểm gốc toạ độ Dùng (16) ta xác định được hàm điều hoà liên hợp:

v(x,y) = Arg(x + jy) + C

Vì Argz xác định sai khác 2kπ, nên v(x, y) là một hàm đa trị