Bài tập thảo luận chương 1 môn Giải tích 2

Tài liệu cung cấp một số bài tập chương 1 môn Giải tích 2: miền xác định của các hàm số, các đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của các hàm số, đạo hàm của các hàm số hợp, đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình, các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số...

HỌC PHẦN TOÁN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN BÀI TẬP THẢO LUẬN CHƯƠNG BT Tìm miền xác định hàm số: 1  x y x y 1.  f ( x, y )  f ( x, y )  arcsin f ( x, y )   x  y  x  y  3.  f ( x, y )  y  x2 f ( x, y )  x3  y   x2  y2 y 1 x 4.  f ( x, y )  xarctg y   x BT 2. Tìm đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm số sau: f ( x, y )  tg ( x  y )e x y x f ( x, y )  arcsin x2  y2 f ( x, y )  xy ln( xy ) x2  y2 ) f ( x, y )  ln( x  x f ( x, y )  x2  y2 y f ( x, y )  x x , x0 f ( x, y , z )  ( xy ) z ,  y f ( x, y, z )    x xy  z x y f ( x, y, z )  z , z0 z 10 f ( x, y , z )  x y , 11 f ( x, y, z )  e xyz sin x  0, y  y z z 12 f ( x, y, z )  x2  y BT Tìm đạo hàm hàm số hợp sau: f ( x, y )  e x 2 y2  x  cosu ,  2  y= u  v u v u  sin t v  cos3t f ( x, y )  artg ,  u  xy  f ( x, y )  ln(u  v ),  x  v= y  f ( x, y )  f ( , ) u  x  v f ( x, y )  x ln y,   y=eu  v2  f ( x, y )  f ( x  y, x  y ) 2 x  x  usinv f ( x, y )  artg ,  y  y=vcosu   x y y x x  t2 1  f ( x, y, z )  xyz ,  y  ln t  z  tgt   x  e3t  10 f ( x, y, z )  x  y  z ,  y  sin 2t z  t3   x  u  v y f ( x, y )  u ,  v  xy  BT Tìm đạo hàm hàm số ẩn xác định phương trình sau: x3 y  y x  a , tính  y xe y  ye x  e xy , tính  y x+y y  , tính y a a y ln x  y  artg , tính x artg x m  y n  z p  axyz, y , y  m,n,p  N tính z x , z y  xy - ln(e xy  e  xy )  , tính y , y=1+y x , tính y sinxy-e xy  x y , tính y z y x+  e y z x tính  z x , z y 10 sinxyz+cos(x  y  z )  tính yx , yz x BT Phương trình   z   y  z  xác định hàm số ẩn z = z( x, y ) chứng minh rằng :   x zx  1 z y    y z BT 6. Cho   u  xz  .Tính    u x , u y  biết z là hàm ẩn của x, y xác định từ phương trình   yz ze z  xe x  ye y   BT Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau: z  x y z  arctg x+y 1-xy z  e x  y  cosx u  x  y  z x z  arctg y x u     y z z  x  y e x  y m z  1  x  1  y  n BT Tính đạo hàm của hàm số  u  xy z  tại điểm Mo( 1; 2; -1 ) theo hướng xác định   bởi véc tơ  M M1  với M1( 0; 4; -3 )      u l 2.  Cho u = x2y2z2. Tính  gradu  và    tại M0(1; -1; 3 ) biết  l được xác định bởi véc   tơ  M M1  với M1( 0; 1; 1 )  Cho u  3x  2y  z  2yz  Tính đạo hàm của hàm số u theo hướng véc tơ   M M1  tại điểm  M1  biết  M   3, 2,1 ; M1   2,1,    BT 9. Cho hàm số  z  x  y  z  3xyz  và điểm M(1, 2, 1).    1. Tìm độ lớn và hướng của  gradu  tại M.   2. Tìm M sao cho  gradu  triệt tiêu.   z 3. Tìm hướng  l mà tại đó    M  = 0.  l BT 10. Tìm cực trị hàm số sau:  1) z  x  y  xe y 9) z  x  x3  xy 2) z  x  y  x  y 10) z  eax ( x  y  y ) 3) z  x  y  x  y 11) z  xy ln( x  y ) 4) z  (ax  by )e ( x  y2 ) ax  by  c 12) z  xy  ( x3  y ) 5) z  ax  bxy  ay 13) z  2 ( a  b  c  0) x  y 1 6) z  xy  50 20  x y ( x  0, y  0) 14) z  xy  ( x 15) z  (5 x  y  25)e 7) z  xy  ax  by x2 y2  a2 b2 8)  z     x  y   y –  x                                16)  z = x2(x + 1) + y3.  BT 11 Tìm cực trị có điều kiện hàm số sau: x 1) z   1 1 với điều kiện      y x y a   2)  z  xy    với điều kiện  x  y    3)  z  x  y    với điều kiện  x  y    x y  1  1 5)   u  x  y  z    với điều kiện       x y z 4)   z  x  y    với điều kiện   6)  u  x  y  z    với điều kiện  x2 y z    ( a  b  c)   a b2 c 7)  u  x  y  z    với điều kiện  x  y  z      (a  0, b  0)  xy  y )   8)  u  x  y  z     với điều kiện  x  y  z    9)  u  x  y  z    với điều kiện  x  y  z    10)  u  xy z    với điều kiện  x  y  z  a   11)  u = x + y với điều kiện      x y BT 12 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: 1) z  x  y trong miền tròn  x  y    2)  z  x y (4  x  y )  trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng x = 0,   y = 0, x + y = 6  2 3)  z  e( x  y ) (ax  by )  trong miền tròn  x  y    4)  z  x  y  trong miền tròn  x  y    5)  z  x3  y  3xy  trên miền  D  0  x  2, 1  y  2   6)  z  x  xy  x  y  trên miền  D  0  x  1,  y  2      7)  z  s inx+siny+sin(x+y)   trên miền  D  0  x  ,0  y     2 8)  z  x  y  x  y   trên miền  D   x  0, y  0, x  y  2 9)  z  x y   x  y   với D là miền giới hạn bởi x = 0, y = 0, x + y = 6.  10)  z    x2  y e x2  y   trong miền tròn  x  y  4 ... M1  với M1( 0; 4; -3 )      u l 2.   Cho u = x2y2z2. Tính  gradu  và    tại M0 (1;   -1;  3 ) biết  l được xác định bởi véc   tơ  M M1  với M1( 0; 1; 1 )  Cho u  3x  2y  z  2yz...  M M1  tại điểm  M1  biết  M   3, 2 ,1 ; M1   2 ,1,    BT 9. Cho hàm số  z  x  y  z  3xyz  và điểm M (1, 2, 1) .    1.  Tìm độ lớn và hướng của  gradu  tại M.   2.  Tìm M sao cho ... c 12 ) z  xy  ( x3  y ) 5) z  ax  bxy  ay 13 ) z  2 ( a  b  c  0) x  y 1 6) z  xy  50 20  x y ( x  0, y  0) 14 ) z  xy  ( x 15 ) z  (5 x  y  25 )e 7) z  xy  ax  by x2 y2