CHU TRÌNH HAMILTON

Hamilton đưa trò chơi sau đây: Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của khối đa diện ngũgiác đều 12 mặt ghi tên một thành phố trên thế giớiHãy tìm cách đi bằng các cạnh của khối đa diện để qua

TRÒ CHƠI HAMILTON

Năm 1857 W R Hamilton đưa trò chơi sau đây:

Trên mỗi đỉnh trong số 20 đỉnh của khối đa diện ngũgiác đều 12 mặt ghi tên một thành phố trên thế giớiHãy tìm cách đi bằng các cạnh của khối đa diện để qua tất cả các thành phố, mỗi thành phố đúng một lần

KHÁI NIỆM CHU TRÌNH HAMILTON

VÍ DỤ 7.5

Tổ chức tour du lịch sao cho người du lịch thăm quan mỗi thắng cảnh trong thành phố đúng một lần

Bài toán mã đi tuần: cho con mã đi trên bàn cờ vua

sao cho nó đi qua mỗi ô đúng một lần

Đường Hamilton biểu diễn nước đi của con mã trên bàn cờ 3x4

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12 H = [ 8, 10, 1, 7, 9, 2, 11, 5, 3, 12, 6, 4 ]

TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ

1 Tính chất Hamilton trong lớp đồ thị đầy đủ

2 Tính chất Hamilton trong lớp đồ thị có đồ thị riêng bậc 1

TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ

TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ (tiếp)

kề với a

Đồ thị G’ có n đỉnh và đầy đủ nên có đường

Hamilton: (H) = < x 1 , x 2 , …, x n >

TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ (tiếp)

TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ (tiếp)

1 Nếu G’ có cạnh (x n ,a) thì đường < (H), a > sẽ là

đường Hamilton trong G

2 Nếu G’ có cạnh (a,x 1 ) thì đường < a, (H) > sẽ là

đường Hamilton trong G

3 Ngược lại, thì hai cạnh (a,x n ) và (x 1 ,a) ngược hướng

nhau Khi đó, có cặp cạnh sát nhau nhưng ngược

hướng nhau, chẳng hạn (x i ,a) và (a,x i+1) Đường đi <

G 

TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP

ĐỒ THỊ CÓ ĐỒ THỊ RIÊNG BẬC 1

Đồ thị bậc 1

Là đồ thị mà mỗi đỉnh có đúng một cạnh vào và một cạnh ra

Ví dụ: Chu trình Hamilton (nếu có) của G là đồ thị riêng bậc 1 của G

Định lý 7.4

Đồ thị G = (V, F) có đồ thị riêng bậc 1 khi và chỉ khi

2 b

1 a

2 b

Chứng minh hệ quả:

Giả sử H = < a , , b > là đường đi Hamilton trong

G Nếu trong G có cạnh (b,a) thì G có chu trình

Hamilton, do đó, theo hệ quả 7.8, d = 0.

Nếu không có cạnh (b,a):

 Thêm cạnh (b,a) vào G, nhận được đồ thị G’

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh bổ đề:

Ký hiệu r'(a) là bậc của đỉnh a trong G’.

Vì < a 0 , a 1 , , a q > là đường đơn cực đại nên

r'(a 0 ) = r(a 0 ) và r'(a q ) = r(a q)

Giả sử a 0 kề với k đỉnh trên đường đi là:

a 1 , a i2 , , a ik ( r(a 0 ) = k )

- Nếu a 0 kề với a q thì G’ có chu trình vô hướng

Hamilton

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh bổ đề:

- Nếu a q không kề với các đỉnh a 0 , a i2-1 , , a ik-1 thì r(a q) ≤

tồn tại đỉnh a i-1 sao cho a 0 kề với a i và a q kề với a i-1.

a0

a0

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Bổ đề 7.2

Giả sử G là đồ thị liên thông và các đỉnh trên đường

đi đơn vô hướng dài nhất trong G tạo nên đồ thị conG’có chu trình Hamilton H

Khi đó, H là chu trình Hamilton trong G

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh bổ đề:

Chứng minh đồ thị con G’ chính là đồ thị G

Phản chứng: Giả sử tồn tại đỉnh a ∈G nhưng a ∉ G’

- Do G liên thông nên tồn tại đường đi vô hướng D

= < b = a 0 , a 1 , , a > trong G.

- b ∈ G’ và a ∉ G’, do đó tồn tại a i là đỉnh đầu tiên

của D không thuộc G’

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh bổ đề:

Xây dựng đường D’: Bỏ ra khỏi chu trình Hamilton H

cạnh kề với a i-1 và thêm vào cạnh (a i-1 , a i)

Đường D’ có độ dài bằng số đỉnh của G’

Mặt khác, đường đơn dài nhất trong G có độ dài bằng

số đỉnh của G’ trừ 1 Suy ra mâu thuẫn

Vậy đồ thị con G’ chính là đồ thị G 

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

 Định lý 7.5

Giả sử đồ thị G có n đỉnh.

1) Nếu ∀ a, b ∈ V, r(a) + r(b) ≥ n-1 thì G có đường

đi vô hướng Hamilton

2) Nếu ∀ a, b ∈ V, r(a) + r(b) ≥ n thì G có chu

trình vô hướng Hamilton

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh định lý:

1) Giả sử D = < x 0 , , x q > là đường đi đơn vô

hướng dài nhất của G

- Nếu q = n-1 thì D là đường đi Hamilton của G.

- Nếu q ≤ n-2 thì r(x0) + r(x q) ≥ n-1 ≥ q +1

Theo Bổ đề 7.10 , đồ thị con G’ tạo bởi tập đỉnh

7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh định lý:

Vì q ≤ n-2 nên có ít nhất một đỉnh y của G nằm ngoài chu trình H Suy ra, y được nối với y j nào đó bằng một đường đi đơn vô hướng

Từ đó: < y, , y j , y j-1 , , y 0 , y q , , y j+2 , y j+1 > là đường đi

đơn vô hướng có độ dài lớn hơn q+1 Mâu thuẫn với

tính cực đại của đường đi < x 0 , , x q >

Do đó: q = n -1 Đồ thị G luôn có đường đi vô hướng

7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

Chứng minh định lý:

2) Theo 1) đồ thị G có đường đi đơn vô hướng dài

nhất chứa n đỉnh < y 0 , y 1 , , y n-1 >

Mặt khác, r(y 0 ) + r(y n-1) ≥ n = (n-1) +1.

Theo Bổ đề 7.10, đồ thị con G’ sinh bởi tập đỉnh

và do đó G có chu trình vô hướng Hamilton 

VÍ DỤ 7.7

Xét đồ thị có hướng:

Đồ thị trên thỏa mãn điều kiện 2), do đó có chu trình

vô hướng Hamilton

Nếu bỏ cạnh (c,d) thì điều kiện 1) thỏa mãn, điều

kiên 2) không thỏa mãn, đồ thị chỉ có đường đi vô

a

c

7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

3 Nếu trong đồ thị có một đỉnh kề với 3 đỉnh bậc 2

thì không có chu trình Hamilton

7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)

4 Nếu đỉnh a có 2 đỉnh kề bậc 2 là b và c thì mọi cạnh (a, x), x ∉ {b,c} sẽ không thuộc chu trình

Hamilton nào

5 Đồ thị có đường đi vô hướng < a 1 , a 2 , , a k >, với

bậc 2 thì không có chu trình Hamilton đi qua cạnh

(a 1 , a k)

6 Đồ thị hai phần G = (V 1 ,V 2 , F) với |V 1| ≠ |V 2| không

có chu trình Hamilton