CHU TRÌNH HAMILTON

7.5 CHU TRÌNH HAMILTON  Trò chơi Hamilton  Khái niệm chu trình Hamilton  Tính chất Hamilton số lớp đồ thị  Điều kiện tồn chu trình Hamilton 1/55 TRÒ CHƠI HAMILTON Năm 1857 W R Hamilton đưa trò chơi sau đây: Trên đỉnh số 20 đỉnh khối đa diện ngũ giác 12 mặt ghi tên thành phố giới Hãy tìm cách cạnh khối đa diện để qua tất thành phố, thành phố lần 2/55 KHÁI NIỆM CHU TRÌNH HAMILTON  Định nghĩa 7.2 - Đường Hamilton đường qua đỉnh đồ thị lần - Chu trình Hamilton chu trình qua đỉnh đồ thị lần 3/55 VÍ DỤ 7.5  Tổ chức tour du lịch cho người du lịch thăm quan thắng cảnh thành phố lần  Bài toán mã tuần: cho mã bàn cờ vua cho qua ô lần 10 11 12 H = [ 8, 10, 1, 7, 9, 2, 11, 5, 3, 12, 6, ] Đường Hamilton biểu diễn nước mã bàn cờ 3x4 4/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ Tính chất Hamilton lớp đồ thị đầy đủ Tính chất Hamilton lớp đồ thị có đồ thị riêng bậc 5/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ  Định lý 7.3 (Rédei) Đồ thị đầy đủ có đường Hamilton b a c d e H = [ a, b, d, c, e ] 6/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ (tiếp)  Chứng minh định lý 7.3: Chứng minh quy nạp theo số đỉnh n đồ thị có hướng G - n = 1, 2: hiển nhiên - (n) ⇒ (n+1): G đồ thị đầy đủ n+1 đỉnh, G’ xây dựng từ G cách bớt đỉnh a cạnh kề với a Đồ thị G’ có n đỉnh đầy đủ nên có đường Hamilton: (H) = < x1, x2, …, xn > 7/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ (tiếp) Chứng minh định lý 7.3: a x1 xi xi+1 xn Đường Hamilton 8/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ (tiếp) Nếu G’ có cạnh (xn,a) đường < (H), a > đường Hamilton G Nếu G’ có cạnh (a,x1) đường < a, (H) > đường Hamilton G Ngược lại, hai cạnh (a,xn) (x1,a) ngược hướng Khi đó, có cặp cạnh sát ngược hướng nhau, chẳng hạn (xi,a) (a,xi+1) Đường < x1, x2, …, xi, a, xi+1,…, xn > đường Hamilton G  9/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ CÓ ĐỒ THỊ RIÊNG BẬC  Đồ thị bậc Là đồ thị mà đỉnh có cạnh vào cạnh Ví dụ: Chu trình Hamilton (nếu có) G đồ thị riêng bậc G Định lý 7.4 Đồ thị G = (V, F) có đồ thị riêng bậc ∀ B ⊆ V, | B | ≤ | F(B) | 10/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ CÓ ĐỒ THỊ RIÊNG BẬC (tiếp) Chứng minh hệ quả: Giả sử H = < a , , b > đường Hamilton G Nếu G có cạnh (b,a) G có chu trình Hamilton, đó, theo hệ 7.8, d = Nếu cạnh (b,a):  Thêm cạnh (b,a) vào G, nhận đồ thị G’  G’ có d’ =  d ≤ d' +1, thêm cạnh mà không thêm đỉnh Suy d ≤  Suy ra: Nếu d ≥ G đường Hamilton 17/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON  Bổ đề 7.1 Giả sử đồ thị G có đường đơn vô hướng cực đại < a0 , a1 , , aq > r(a0) + r(aq) ≥ q +1 Thế thì, G’ tạo tập đỉnh {a0, a1, , aq} có chu trình vô hướng Hamilton 18/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Ký hiệu r'(a) bậc đỉnh a G’ Vì < a0 , a1 , , aq > đường đơn cực đại nên r'(a0) = r(a0) r'(aq) = r(aq) Giả sử a0 kề với k đỉnh đường là: a1 , ai2 , , aik ( r(a0) = k ) - Nếu a0 kề với aq G’ có chu trình vô hướng Hamilton 19/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) a0 Chứng minh bổ đề: a0 a i-1 - Nếu aq không kề với đỉnh a0 , ai2-1 , , aik-1 r(aq) ≤ q - k Do đó: r(a0) + r(aq) ≤ q, trái với giả thiết Vậy tồn đỉnh ai-1 cho a0 kề với aq kề với ai-1 Khi [a0 , , , aq , ai-1, , a0] chu trình vô hướng G’  20/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Bổ đề 7.2 Giả sử G đồ thị liên thông đỉnh đường đơn vô hướng dài G tạo nên đồ thị G’có chu trình Hamilton H Khi đó, H chu trình Hamilton G 21/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Chứng minh đồ thị G’ đồ thị G Phản chứng: Giả sử tồn đỉnh a ∈G a ∉ G’ - Do G liên thông nên tồn đường vô hướng D = < b = a0 , a1 , , a > G - b ∈ G’ a ∉ G’, tồn đỉnh D không thuộc G’ 22/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Xây dựng đường D’: Bỏ khỏi chu trình Hamilton H cạnh kề với ai-1 thêm vào cạnh (ai-1, ai) Đường D’ có độ dài số đỉnh G’ Mặt khác, đường đơn dài G có độ dài số đỉnh G’ trừ Suy mâu thuẫn Vậy đồ thị G’ đồ thị G  23/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Định lý 7.5 Giả sử đồ thị G có n đỉnh 1) Nếu ∀ a, b ∈ V, r(a) + r(b) ≥ n-1 G có đường vô hướng Hamilton 2) Nếu ∀ a, b ∈ V, r(a) + r(b) ≥ n G có chu trình vô hướng Hamilton 24/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: 1) Giả sử D = < x0 , , xq > đường đơn vô hướng dài G - Nếu q = n-1 D đường Hamilton G - Nếu q ≤ n-2 r(x0) + r(xq) ≥ n-1 ≥ q +1 Theo Bổ đề 7.10 , đồ thị G’ tạo tập đỉnh {x0 , , xq} có chu trình vô hướng Hamilton H = [y0 , y1 , , yq] 25/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: Vì q ≤ n-2 nên có đỉnh y G nằm chu trình H Suy ra, y nối với yj đường đơn vô hướng Từ đó: < y, , yj, yj-1, , y0, yq, , yj+2, yj+1 > đường đơn vô hướng có độ dài lớn q+1 Mâu thuẫn với tính cực đại đường < x0 , , xq > Do đó: q = n -1 Đồ thị G có đường vô hướng Hamilton 26/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Theo 1) đồ thị G có đường đơn vô hướng dài chứa n đỉnh < y0 , y1 , , yn-1 > Mặt khác, r(y0) + r(yn-1) ≥ n = (n-1) +1 Theo Bổ đề 7.10, đồ thị G’ sinh tập đỉnh {y0 , y1 , , yn-1} có chu trình vô hướng Hamilton, G có chu trình vô hướng Hamilton  27/55 VÍ DỤ 7.7 Xét đồ thị có hướng: a b c d Đồ thị thỏa mãn điều kiện 2), có chu trình vô hướng Hamilton Nếu bỏ cạnh (c,d) điều kiện 1) thỏa mãn, điều kiên 2) không thỏa mãn, đồ thị có đường vô hướng Hamilton 28/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Hệ 7.5 (Dirac) Nếu ∀ a ∈ V, r(a) ≥ (n/2) đồ thị G có chu trình vô hướng Hamilton Chứng minh: Suy từ phần 2) Định lý 7.5  29/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Nhận xét: Đồ thị có đỉnh bậc ≤ chu trình Hamilton Nếu đồ thị có đỉnh có bậc ≥ có đỉnh bậc chu trình Hamilton (nếu có) phải qua cạnh kề đỉnh Nếu đồ thị có đỉnh kề với đỉnh bậc chu trình Hamilton 30/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Nếu đỉnh a có đỉnh kề bậc b c cạnh (a, x), x ∉ {b,c} không thuộc chu trình Hamilton Đồ thị có đường vô hướng < a1 , a2, , ak >, với k < n đỉnh đường (trừ a1 ak) có bậc chu trình Hamilton qua cạnh (a1, ak) Đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) với |V1| ≠ |V2| chu trình Hamilton 31/55 [...]... không có chu trình Hamilton 2 Nếu đồ thị có các đỉnh đều có bậc ≥ 2 và có một đỉnh bậc 2 thì mọi chu trình Hamilton (nếu có) phải đi qua 2 cạnh kề của đỉnh này 3 Nếu trong đồ thị có một đỉnh kề với 3 đỉnh bậc 2 thì không có chu trình Hamilton 30/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) 4 Nếu đỉnh a có 2 đỉnh kề bậc 2 là b và c thì mọi cạnh (a, x), x ∉ {b,c} sẽ không thuộc chu trình Hamilton. .. 2), do đó có chu trình vô hướng Hamilton Nếu bỏ cạnh (c,d) thì điều kiện 1) thỏa mãn, điều kiên 2) không thỏa mãn, đồ thị chỉ có đường đi vô hướng Hamilton 28/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Hệ quả 7.5 (Dirac) Nếu ∀ a ∈ V, r(a) ≥ (n/2) thì đồ thị G có chu trình vô hướng Hamilton Chứng minh: Suy ra từ phần 2) của Định lý 7.5  29/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)... {(a, 2), (b, 3), (c, 4), (d, 1)} Từ đó, xây dựng được chu trình Hamilton: [a, b, c, d] 14/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ CÓ ĐỒ THỊ RIÊNG BẬC 1 (tiếp)  Hệ quả 7.3: Nếu đồ thị có chu trình Hamilton thì: ∀B ⊆ V , | B | ≤ | F(B) | Từ hệ quả suy ra: Nếu trong G có tập B ⊆ V mà | B | > | F(B) | thì G không có chu trình Hamilton 15/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ CÓ ĐỒ THỊ RIÊNG BẬC 1 (tiếp)... hướng Hamilton 2) Nếu ∀ a, b ∈ V, r(a) + r(b) ≥ n thì G có chu trình vô hướng Hamilton 24/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: 1) Giả sử D = < x0 , , xq > là đường đi đơn vô hướng dài nhất của G - Nếu q = n-1 thì D là đường đi Hamilton của G - Nếu q ≤ n-2 thì r(x0) + r(xq) ≥ n-1 ≥ q +1 Theo Bổ đề 7.10 , đồ thị con G’ tạo bởi tập đỉnh {x0 , , xq} có chu trình vô hướng Hamilton. .. thêm đỉnh Suy ra d ≤ 1  Suy ra: Nếu d ≥ 2 thì G không có đường đi Hamilton 17/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON  Bổ đề 7.1 Giả sử đồ thị G có đường đi đơn vô hướng cực đại < a0 , a1 , , aq > và r(a0) + r(aq) ≥ q +1 Thế thì, G’ tạo bởi tập đỉnh {a0, a1, , aq} có chu trình vô hướng Hamilton 18/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Ký hiệu r'(a) là bậc của đỉnh a... có chu trình vô hướng Hamilton 19/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) a0 Chứng minh bổ đề: a0 a i-1 ai - Nếu aq không kề với các đỉnh a0 , ai2-1 , , aik-1 thì r(aq) ≤ q - k Do đó: r(a0) + r(aq) ≤ q, trái với giả thiết Vậy tồn tại đỉnh ai-1 sao cho a0 kề với ai và aq kề với ai-1 Khi đó [a0 , ai , , aq , ai-1, , a0] là một chu trình vô hướng của G’  20/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH... ai-1, , a0] là một chu trình vô hướng của G’  20/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Bổ đề 7.2 Giả sử G là đồ thị liên thông và các đỉnh trên đường đi đơn vô hướng dài nhất trong G tạo nên đồ thị con G’có chu trình Hamilton H Khi đó, H là chu trình Hamilton trong G 21/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Chứng minh đồ thị con G’ chính là đồ thị G Phản chứng:... G’ 22/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Xây dựng đường D’: Bỏ ra khỏi chu trình Hamilton H cạnh kề với ai-1 và thêm vào cạnh (ai-1, ai) Đường D’ có độ dài bằng số đỉnh của G’ Mặt khác, đường đơn dài nhất trong G có độ dài bằng số đỉnh của G’ trừ 1 Suy ra mâu thuẫn Vậy đồ thị con G’ chính là đồ thị G  23/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Định lý 7.5... vô hướng Hamilton 26/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Theo 1) đồ thị G có đường đi đơn vô hướng dài nhất chứa n đỉnh < y0 , y1 , , yn-1 > Mặt khác, r(y0) + r(yn-1) ≥ n = (n-1) +1 Theo Bổ đề 7.10, đồ thị con G’ sinh bởi tập đỉnh {y0 , y1 , , yn-1} có chu trình vô hướng Hamilton, và do đó G có chu trình vô hướng Hamilton  27/55 VÍ DỤ 7.7 Xét đồ thị có hướng:... ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: Vì q ≤ n-2 nên có ít nhất một đỉnh y của G nằm ngoài chu trình H Suy ra, y được nối với yj nào đó bằng một đường đi đơn vô hướng Từ đó: < y, , yj, yj-1, , y0, yq, , yj+2, yj+1 > là đường đi đơn vô hướng có độ dài lớn hơn q+1 Mâu thuẫn với tính cực đại của đường đi < x0 , , xq > Do đó: q = n -1 Đồ thị G luôn có đường đi vô hướng Hamilton 26/55 ... tất thành phố, thành phố lần 2/55 KHÁI NIỆM CHU TRÌNH HAMILTON  Định nghĩa 7.2 - Đường Hamilton đường qua đỉnh đồ thị lần - Chu trình Hamilton chu trình qua đỉnh đồ thị lần 3/55 VÍ DỤ 7.5  Tổ... y1 , , yn-1} có chu trình vô hướng Hamilton, G có chu trình vô hướng Hamilton  27/55 VÍ DỤ 7.7 Xét đồ thị có hướng: a b c d Đồ thị thỏa mãn điều kiện 2), có chu trình vô hướng Hamilton Nếu bỏ... 7.5  29/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Nhận xét: Đồ thị có đỉnh bậc ≤ chu trình Hamilton Nếu đồ thị có đỉnh có bậc ≥ có đỉnh bậc chu trình Hamilton (nếu có) phải qua cạnh