Bài tập Đại số lớp 8 Rất hay

41 660 0
Bài tập Đại số lớp 8 Rất hay

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tổng hợp các dạng bài tập đại số lớp 8 rất hay. Thầy cô có thể dùng cho việc dạy thêm.

LUYỆN THI BIÊN HÒA BÀI TẬP ĐẠI SỐ LỚP Họ tên:……………………………… Đại số www.luyenthibienhoa.com CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC I NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC – NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC Bài Thực phép tính sau: a) ( x –1)( x + x ) b) (2 x − 1)(3 x + 2)(3 – x ) d) ( x + 1)( x – x + 1) e) (2 x − x − 1).(5 x + 2) Bài Thực phép tính sau: a) −2 x y(2 x – 3y + 5yz) b) ( x – y )( x y − xy + y ) 2 x y.(3xy – x + y ) e) ( x – y)( x + xy + y ) Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) ( x − y )( x + x y + x y + xy + y ) = x − y d) c) ( x + 3)( x + x – 5) f) ( x − x + 3).( x − 4) xy( x y – x + 10 y) 1  f)  xy –1÷.( x – x – 6) 2  c) b) ( x + y)( x − x y + x y − xy3 + y ) = x + y c) (a + b)(a3 − a2 b + ab2 − b3 ) = a4 − b4 d) (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a3 + b3 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = ( x − 2)( x + x + x + x + 16) với x = b) B = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + x − 1) c) C = ( x + 1)( x − x + x − x + x − x + 1) ĐS: A = 211 với x = ĐS: B = 255 với x = ĐS: C = 129 d) D = x (10 x − x − 2) − x (4 x − x − 1) với x = −5 Bài Thực phép tính, sau tính giá trị biểu thức: a) A = ( x − x y + xy − y3 )( x + y ) với x = 2, y = − b) B = (a − b)(a + a3b + a2b2 + ab3 + b ) với a = 3, b = −2 ĐS: D = −5 255 16 ĐS: B = 275 ĐS: A = 1 c) C = ( x − xy + y )( x + y ) + x y − x y + xy với x = − , y = − ĐS: C = 2 16 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A = (3 x + 7)(2 x + 3) − (3 x − 5)(2 x + 11) b) B = ( x − 2)( x + x − 1) − x ( x + x − x − 2) c) C = x( x + x − x − 2) − ( x − 2)( x + x − 1) d) D = x (2 x + 1) − x ( x + 2) + x − x + e) E = ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) Bài * Tính giá trị đa thức: a) P( x ) = x − 80 x + 80 x − 80 x + + 80 x + 15 với x = 79 b) Q( x ) = x14 − 10 x13 + 10 x12 − 10 x11 + + 10 x − 10 x + 10 với x = Trang ĐS: Q(9) = ĐS: R(16) = c) R( x ) = x − 17 x + 17 x − 17 x + 20 với x = 16 d) S ( x ) = x10 − 13 x + 13 x − 13 x + + 13 x − 13 x + 10 ĐS: P(79) = 94 với x = 12 ĐS: S(12) = −2 ĐT: 0935991949 Đại số II HẰNG ĐẲNG THỨC Bài Điền vào chỗ trống cho thích hợp: a) x + x + = b) x  − x  +16 = c) ( x + 5)( x − 5) = d) x + 12 x + 48 x + 64 = e) x − x + 12 x − = f) ( x + 2)( x − x + 4) = g) ( x − 3)( x + x + 9) = k) x + x + = n) x + x + = Bài Thực phép tính: a) (2 x + 3y )2  2  2  d)  x + y ÷  x − y ÷    g) (3 x – y )3 h) x + x + = l) x – = i) x –1 = m) 16 x –8 x + = o) 36 x + 36 x + = p) x + 27 = b) (5 x – y )2 c) (2 x + y )3 1  e)  x + ÷ 4  h) ( x − 3y )( x + xy + y )  2 f)  x − y ÷  3 i) ( x − 3).( x + x + 9) k) ( x + y + z)( x + y – z) l) (2 x –1)(4 x + x + 1) m) (5 + x )3 Bài Tính giá trị biểu thức cách vận dụng đẳng thức: a) A = x + 3x + 3x + với x = 19 b) B = x − x + x với x = 11 ĐS: a) A = 8005 b) B = 1001 Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) (2 x + 3)(4 x − x + 9) − 2(4 x − 1) b) (4 x − 1)3 − (4 x − 3)(16 x + 3) c) 2( x + y3 ) − 3( x + y ) với x + y = d) ( x + 1)3 − ( x − 1)3 − 6( x + 1)( x − 1) e) ( x + 5)2 + ( x − 5)2 (2 x + 5)2 + (5 x − 2)2 f) x + 25 x2 + ĐS: a) 29 b) c) –1 d) e) f) 29 Bài Giải phương trình sau: a) ( x − 1)3 + (2 − x )(4 + x + x ) + x( x + 2) = 17 b) ( x + 2)( x − x + 4) − x ( x − 2) = 15 c) ( x − 3)3 − ( x − 3)( x + x + 9) + 9( x + 1)2 = 15 d) x ( x − 5)( x + 5) − ( x + 2)( x − x + 4) = 10 11 ĐS: a) x = b) x = c) x = d) x = − 15 25 Bài So sánh hai số cách vận dụng đẳng thức: a) A = 1999.2001 B = 20002 b) A = 216 B = (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) c) A = 2011.2013 B = 20122 d) A = 4(32 + 1)(34 + 1) (364 + 1) B = 3128 − Bài Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = x – x b) B = x – x c) C = x – x + d) D = – x + x − 11 e) E = − x − x f) F = x − x + Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x – x + 11 b) B = x – 20 x + 101 c) C = x − x + 11 d) D = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) e) E = x − x + y + y + f) x − x + y − 8y + g) G = x – xy + 5y + 10 x – 22 y + 28 HD: g) G = ( x − y + 5)2 + ( y − 1)2 + ≥ Bài Cho a + b = S ab = P Hãy biểu diễn theo S P, biểu thức sau đây: a) A = a2 + b2 b) B = a3 + b3 c) C = a4 + b4 Trang Đại số www.luyenthibienhoa.com III PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ VẤN ĐỀ I Phương pháp đặt nhân tử chung Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x b) x y3 + x y d) x ( x − 1) + 5( x − 1) e) x ( x + 1) + 4( x + 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y − xy + xy c) x y − x y − x y + 18 xy e) a3 x y − a3 x + a x y 2 c) x − x + x f) −3 x − xy + xz b) x y − x y3 + x y d) x y − 21xy z + xyz − 14 xy VẤN ĐỀ II Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x + x − b) x y + xy + x + d) x − (a + b) x + ab e) x y + xy − x − y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ax − x − a2 + 2a b) x + x − ax − a d) xy − ax + x − 2ay e) x + ax + x + a Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x − y − y b) x + x − x − c) ax + by + ay + bx f) ax + ay − bx − by c) x + 4ax + x + 2a f) x y + y3 + zx + yz c) x + x y − x − y d) x − 3y − 2( x − y )2 e) x − x − x + 36 f) x − y − x − y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − 3)( x − 1) − 3( x − 3) b) ( x − 1)(2 x + 1) + 3( x − 1)( x + 2)(2 x + 1) c) (6 x + 3) − (2 x − 5)(2 x + 1) d) ( x − 5)2 + ( x + 5)( x − 5) − (5 − x )(2 x + 1) e) (3 x − 2)(4 x − 3) − (2 − x )( x − 1) − 2(3 x − 2)( x + 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (a − b)(a + 2b) − (b − a)(2a − b) − (a − b)(a + 3b) b) xy3 − xyz − 15y + 6z c) ( x + y)(2 x − y ) + (2 x − y)(3 x − y) − ( y − x ) d) ab3c2 − a2b2c + ab2c3 − a2bc3 e) x ( y − z) + y (z − x ) + z2 ( x − y ) VẤN ĐỀ III Phương pháp dùng đẳng thức Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 12 x + b) x + x + d) x − 24 xy + 16 y e) x2 + xy + y g) −16a 4b6 − 24a5b5 − 9a6b h) 25 x − 20 xy + y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (3 x − 1)2 − 16 b) (5 x − 4)2 − 49 x Trang c) + 12 x + 36 x f) − x + 10 x − 25 i) 25 x − 10 x y + y c) (2 x + 5)2 − ( x − 9)2 ĐT: 0935991949 Đại số d) (3 x + 1)2 − 4( x − 2)2 e) 9(2 x + 3)2 − 4( x + 1)2 f) 4b2c2 − (b2 + c2 − a2 )2 g) (ax + by)2 − (ay + bx )2 h) (a2 + b2 − 5)2 − 4(ab + 2)2 i) (4 x − x − 18)2 − (4 x + x )2 k) 9( x + y − 1)2 − 4(2 x + 3y + 1)2 l) −4 x + 12 xy − y + 25 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 64 b) + x y e) 27 x + d) x − 27 m) x − xy + y − 4m + 4mn − n2 y3 c) 125 x + f) 125 x + 27 y Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x + 12 x + b) x − x + x − c) − x + 27 x − 27 x 3 d) x + x + x + e) 27 x − 54 x y + 36 xy − 8y3 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x y + y + xy b) x − y c) 25 − a2 + 2ab − b2 d) 4b2c2 − (b2 + c2 − a2 )2 e) (a + b + c)2 + (a + b − c)2 − 4c2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( x − 25)2 − ( x − 5)2 b) (4 x − 25)2 − 9(2 x − 5)2 c) 4(2 x − 3)2 − 9(4 x − 9)2 d) a6 − a + 2a3 + 2a2 e) (3 x + x + 2)2 − (3 x + x − 2)2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( xy + 1)2 − ( x + y )2 b) ( x + y)3 − ( x − y )3 c) x y + 3x y + 3xy + 3y d) 4( x − y ) − 8( x − ay ) − 4(a2 − 1) e) ( x + y)3 − − xy( x + y − 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − + x − + x − b) a5 + a + a3 + a2 + a + c) x − x + x − − y3 d) x − x y − 45 xy + 27 y e) x (a − b + c) + 36 xy(a − b + c) + 108y (a − b + c) VẤN ĐỀ IV Một số phương pháp khác Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x − x + b) x + x − 30 c) x − x + d) x − x + 18 e) x − x + f) x − x − 14 g) x + x + h) x − x + 12 i) x − x + 10 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x − x − b) x + x − c) x + 50 x + d) 12 x + x − 12 e) 15 x + x − f) a2 − 5a − 14 g) 2m2 + 10m + h) p2 − 36 p + 56 i) x + x + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) x + xy − 21y b) x + xy + y c) x + xy − 15y d) ( x − y )2 + 4( x − y) − 12 e) x − xy + 10 y f) x yz + xyz − 14 yz Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (tách hạng tử thành nhiều hạng tử) a) a + a2 + b) a + a2 − c) x + x − d) x − 19 x − 30 e) x − x − Trang f) x − x − 14 x Đại số www.luyenthibienhoa.com Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (thêm bớt hạng tử) a) x + b) x + 64 c) x + x + d) x + x + e) x + x + f) x + x + g) x + x − 24 HD: Số hạng cần thêm bớt: a) x b) 16 x h) x − x − c) x + x i) a + 4b d) x e) x f) x g) x h) x + x i) 4a2 b2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) a) ( x + x )2 − 14( x + x ) + 24 b) ( x + x )2 + x + x − 12 c) e) Bài a) d) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) + x + x + x + x − 12 ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + 7) + 15 f) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) − 24 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (đặt biến phụ) b) ( x + x + 1)( x + x + 2) − 12 ( x + x + 8)2 + x ( x + x + 8) + x d) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 c) ( x + x + 7)( x + x + 15) + 15 VẤN ĐỀ V Tổng hợp Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x + b) 16 x − x − d) x + x − e) x − x + − x g) (a2 + 1)2 − 4a2 c) x 2 + x + f) x − x − h) x − x – x + 12 i) x + x + x + k) x – x – x + l) (2 x + 1)2 –( x –1)2 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) − x − y + x − y b) x ( x + y ) − x − 5y m) x + x – c) x − x + 5y − y d) x − x y − 10 x + 10 xy e) 27 x − 8y f) x – y – x – y g) x − y − xy + y 2  h) x − y + − x i) x − y k) x + x + x + – 27z3 l) x + x – y + Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − 10 xy + 5y − 20 z2 b) x − z2 + y − xy m) x – x + xy –3y c) a3 − ay − a2 x + xy d) x − xy − 4z2 + y e) x − xy + 3y − 12 z2 f) x − xy − 25z2 + y g) x − y + yz − z2 h) x – xy + y – xz + yz i) x – xy + tx – 2ty k) xy + 3z + y + xz l) x + xz + xy + yz m) ( x + y + z)3 – x – y – z3 Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + x z + y z − xyz + y b) bc(b + c) + ca(c − a) − ab(a + b) c) a2 (b − c) + b2 (c − a) + c2 (a − b) d) a6 − a + 2a3 + 2a2 e) x − x − x − x + x + x + x − f) ( x + y + z)3 − x − y − z3 g) (a + b + c)3 − (a + b − c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 h) x + y3 + z3 − 3xyz Bài Giải phương trình sau: a) ( x − 2)2 –( x –3)( x + 3) = b) ( x + 3)2 + (4 + x )(4 – x ) = 10 c) ( x + 4)2 + (1 – x )(1 + x ) = d) ( x – 4)2 – ( x – 2)( x + 2) = Trang ĐT: 0935991949 Đại số e) 4( x – 3)2 – (2 x –1)(2 x + 1) = 10 f) 25( x + 3)2 + (1 – x )(1 + x ) = g) 9( x + 1)2 –(3 x – 2)(3 x + 2) = 10 h) −4( x –1)2 + (2 x –1)(2 x + 1) = −3 Bài Chứng minh rằng: a) a2 (a + 1) + 2a(a + 1) chia hết cho với a ∈ Z b) a(2a − 3) − 2a(a + 1) chia hết cho với a ∈ Z c) x + x + > với x ∈ Z d) − x + x − < với x ∈ Z IV CHIA ĐA THỨC VẤN ĐỀ I Chia đa thức cho đơn thức Bài Thực phép tính: a) (−2)5 : (−2)3 d) (2 x ) : (2 x )3 Bài Thực phép tính: a) ( x + 2)9 : ( x + 2)6 d) 2( x + 1)3 : ( x + 1) Bài Thực phép tính: a) xy : 3y d) x y : xy g) k) 3  2 x y :− x y ÷   (3a2 b)3 (ab3 )2 c) x12 : (− x10 ) e) (−3 x )5 : ( −3 x )2 f) ( xy )4 : ( xy )2 b) ( x − y )4 : ( x − 2)3 e) 5( x − y )5 : ( x − y )2 c) ( x + x + 4)5 : ( x + x + 4) b) x y : xy c) x y : xy e) (−4 x y ) : x y f) xy 3z4 : (−2 xz3 ) h) x y z :12 xy3 i) (2 x y )(3 xy ) : x y l) (a b )4 Bài Thực phép tính: a) (2 x − x + x ) : x (2 xy )3 (3 x y )2 (2 x y )2 b) (3 x − x + x ) : (−2 x )   2 d) ( x – x y + xy ) :  − x ÷  b) (− y )7 : (− y)3  c) (−2 x + x – x ) : x e) 3( x − y )5 − 2( x − y )4 + 3( x − y )2  : 5( x − y )2 Bài Thực phép tính: a) (3 x y + x y3 − x y ) : x y 3  3 b)  a6 x + a3 x − ax ÷: ax 10 5  c) (9 x y3 − 15 x y ) : x y − (2 − x y) y d) (6 x − xy ) : x + (2 x y + xy ) : xy − (2 x − 1) x 3 x y VẤN ĐỀ II Chia đa thức cho đa thức e) ( x − xy) : x + (6 x y − x y + 15 x y ) : Bài Thực phép tính: a) ( x – x ) : ( x –3) c) ( x – x –14) : ( x – 2) b) (2 x + x − 4) : ( x + 2) d) ( x − x + x − 3) : ( x − 3) Trang Đại số www.luyenthibienhoa.com e) ( x + x –12) : ( x – 2) f) (2 x − x + x –15) : (2 x – 5) g) (−3 x + x − x + 15) : (5 − x ) Bài Thực phép tính: a) (2 x − x + x − − x ) : ( x − 3) h) (− x + x − 26 x + 21) : (2 x − 3) b) ( x + x + x + 1) : ( x + 1) c) (2 x + x – x + 3) : (2 x – x + 1) d) (8 x − x − 10 x + x − 5) : (3 x − x + 1) e) (− x + x − − x + x ) : ( x + x − 1) Bài Thực phép tính: a) (5 x + xy − y ) : ( x + y) b) ( x − x y + x y − xy3 ) : ( x + y ) c) (4 x + xy − y + x y − x y ) : (2 x + y3 − xy ) d) (2a3 + 7ab2 − 7a2b − 2b3 ) : (2a − b) Bài Thực phép tính: a) (2 x + y)2 : ( x + y ) − (9 x − 12 x − x ) : (−3 x ) − 3( x + 3) b) (13 x y − x + y − 13 x y − 13 xy3 ) : (2 y − x − xy) Bài Tìm a, b để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) , với: a) f ( x ) = x − x + 21x + ax + b , g( x ) = x − x − b) f ( x ) = x − x + x − x + a , g( x ) = x − x + c) f ( x ) = x + 10 x − + a , g( x ) = x + d) f ( x ) = x –3 x + a , g( x ) = ( x –1)2 ĐS: a) a = 1, b = −30 Bài Thực phép chia f ( x ) cho g( x ) để tìm thương dư: a) f ( x ) = x − x + , g( x ) = x + x − b) f ( x ) = − x + x + x − x , g( x ) = + x − x c) f ( x ) = 19 x − 11x + − 20 x + x , g( x ) = + x − x d) f ( x ) = x y − x − x 3y + x y3 − x y + xy − y , g( x ) = x − x y + y VẤN ĐỀ III Tìm đa thức phương pháp hệ số bất định Bài Cho biết đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) Tìm đa thức thương: a) f ( x ) = x − x + 11x − 10 , g( x ) = x − ĐS: q( x ) = x − x + b) f ( x ) = x − x + x − , g( x ) = x − ĐS: q( x ) = x − x + Bài Phân tích đa thức P( x ) = x − x − x − thành nhân tử, biết nhân tử có dạng: x + dx + ĐS: P( x ) = ( x − x + 2)( x − 2) Bài Với giá trị a b đa thức x + ax + x + b chia hết cho đa thức x + x + ĐS: a = 2, b = Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x − 14 x + 24 b) x + x + x + c) x − x − d) x − 19 x − 30 e) a3 − 6a2 + 11a − Bài Tìm giá trị a, b, k để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g( x ) : a) f ( x ) = x − x + 21x + x + k , g( x ) = x − x − Trang ĐS: k = −30 ĐT: 0935991949 Đại số b) f ( x ) = x − x + x + ax + b , g( x ) = x − 3x + ĐS: a = 3, b = −4 Bài Tìm tất số tự nhiên k đa thức f (k ) = k + 2k + 15 chia hết cho nhị thức g(k ) = k + ĐS: k = 0, k = BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài Thực phép tính: a) (3 x − x + x + 2).(5 x ) c) (3 x + x − 2)(2 x − x + 3) Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (a2 + a − 1)(a2 − a + 1) b) (a2 x − x + 3a).(−2 a3 x ) d) (a + a3b + a2 b2 + ab3 + b4 )(a − b) b) (a + 2)(a − 2)(a2 + 2a + 4)( a2 − a + 4) c) (2 + 3y)2 − (2 x − y)2 − 12 xy d) ( x + 1)3 − ( x − 1)3 − ( x − 1) − ( x − 1)( x + x + 1) Bài Trong biểu thức sau, biểu thức không phụ thuộc vào x: a) ( x − 1)3 − ( x + 1)3 + 6( x + 1)( x − 1) b) ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) c) ( x − 2)2 − ( x − 3)( x − 1) e) Bài a) Bài a) d) ( x + 1)( x − x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1) f) ( x + 3)2 − ( x − 3)2 − 12 x ( x − 1)3 − ( x + 1)3 + 6( x + 1)( x − 1) Tính giá trị biểu thức sau: b) B = 2( x + y ) − 3( x + y ) với x + y = A = a3 − 3a2 + 3a + với a = 11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) a2 + b2 − c2 − d − 2ab + 2cd + xy − x − y c) a3b3 − d) x ( y − z) + y (z − x ) + z2 ( x − y ) e) x − 15 x + 36 f) x12 − x y + y12 g) x − 64 x h) ( x − 8)2 − 784 Bài Thực phép chia đa thức sau: (đặt phép chia vào bài) a) (35 x + 41x + 13 x − 5) : (5 x − 2) b) ( x − x + 16 x − 22 x + 15) : ( x − x + 3) c) ( x − x y + x y − xy3 ) : ( x + y ) d) (4 x − 14 x y − 24 x y − 54 y ) : ( x − xy − y ) Bài Thực phép chia đa thức sau: a) (3 x − x − 10 x + x − 5) : (3 x − x + 1) b) (2 x − x + 19 x − 15) : ( x − x + 5) c) (15 x − x − x + 41x − 70) : (3 x − x + 7) d) (6 x − x y + x y + x y − xy + y ) : (3 x − xy + y3 ) Bài Giải phương trình sau: a) x − 16 x = b) x − 50 x = c) x − x − x + 36 = d) x − 4( x − x + 1) − = e) ( x − 9)2 − ( x − 3)2 = f) x − x + = g) (2 x − 3)( x + 1) + (4 x − x − x ) : (−2 x ) = 18 Bài Chứng minh rằng: a) a2 + 2a + b2 + ≥ với giá trị a b b) x + y + xy + > với giá trị x y c) ( x − 3)( x − 5) + > với giá trị x Trang Đại số www.luyenthibienhoa.com Bài 10.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: a) x + x + b) + x − x c) x − x + d) x + x + 11 g) h(h + 1)(h + 2)(h + 3) e) x − x + Trang 10 f) x − x + y − y + ĐT: 0935991949 Đại số – Bồn trống không, đồng thời mở ba vòi sau 12 phút bồn đầy nước Hỏi bồn chứa đầy nước, mở riêng vòi tháo nước sau tháo ra? ĐS: 36 phút Bài Một công nhân phải làm số sản phẩm 18 ngày Do vượt mức ngày sản phẩm nên sau 16 ngày anh làm xong làm thêm 20 sản phẩm kế hoạch Tính xem ngày anh làm sản phẩm ĐS: 75 sản phẩm VẤN ĐỀ IV Loại chuyển động • Gọi d quãng đường động tử đi, v vận tốc, t thời gian đi, ta có: d = vt • Vận tốc xuôi dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng + Vận tốc dòng nước • Vận tốc ngược dòng nước = Vận tốc lúc nước yên lặng – Vận tốc dòng nước Bài Một xe vận tải từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, từ B quay A với vận tốc 40 km/h Cả thời gian 24 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B ĐS: 120km Bài Một xe đạp khởi hành từ điểm A, chạy với vận tốc 20 km/h Sau giờ, xe đuổi theo với vận tốc 50 km/h Hỏi xe chạy đuổi kịp xe đạp? ĐS: Bài Một người xe gắn máy, từ địa điểm A đến địa điểm B quãng đường dài 35km Lúc trở người theo đường khác dài 42km với vận tốc vận tốc lượt km/h Thời gian lượt thời gian lượt Tìm vận tốc lượt lượt ĐS: Vận tốc lượt 30 km/h; vận tốc lượt 24 km/h Bài Một xe tải từ A đến B với vận tốc 50 km/h Đi 24 phút gặp đường xấu nên vận tốc quãng đường lại giảm 40 km/h Vì đến nơi chậm 18 phút Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B ĐS: 80km Bài Lúc 15 phút, ô tô từ A để đên B với vận tốc 70 km/h Khi đến B, ô tô nghỉ rưỡi, quay A với vận tốc 60 km/h đến A lúc 11 ngày Tính quãng đường AB ĐS: 105 km Bài Hàng ngày Tuấn xe đạp đến trường với vận tốc 12 km/h Sáng dậy muộn, Tuấn xuất phát chậm phút Tuấn nhẩm tính, để đến trường hôm trước Tuấn phải với vận tốc 15 km/h Tính quãng đường từ nhà Tuấn đến trường ĐS: km Bài Một người xe máy từ thành phố Thanh Hoá thành phố Vinh Nếu chạy với vận tốc 25 km/h muộn so với dự định Nếu chạy với vận tốc 30 km/h đường nghỉ muộn Hỏi để đến nơi mà dọc đường không nghỉ xe phải chạy kilômet? ĐS: 37,5 km Bài Hai ô tô khởi hành lúc để từ Huế Đà Nẵng Vận tốc xe thứ 40 km/h, vận tốc xe thứ hai 60 km/h Xe thứ hai đến Đà Nẵng nghỉ nửa quay lại Huế gặp xe thứ cách Đà Nẵng 10 km Tính quãng đường Huế - Đà Nẵng ĐS: 110 km Bài Quãng đường AD dài km, gồm đoạn AB lên dốc, đoạn BC nằm ngang, đoạn CD xuống dốc Một người từ A đến D quay trở A hết tất 41 phút Tính quãng đường BC, biết vận tốc lúc lên dốc người km/h, lúc xuống dốc km/h lúc đường nằm ngang km/h ĐS: km Bài 10 Một xe tải từ A đến B với vận tốc 45 km/h Sau thời gian, xe xuất phát từ A với vận tốc 60 km/h thay đổi đuổi kịp xe tải B Nhưng sau Trang 27 Đại số www.luyenthibienhoa.com nửa quãng đường AB xe tăng vận tốc lên 75 km/h, nên sau đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB ĐS: 450 km Bài 11 Một đò máy xuôi dòng từ bến A đến bến B ngược dòng từ B A Vận tốc dòng nước km/h Tìm chiều dài quãng đường từ A đến B ĐS: 80km Bài 12 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B ngược dòng từ B đến A Tính khoảng cách AB, biết vận tốc dòng nước km/h ĐS: 120 km Bài 13 Hai bến sông A B cách 40 km Cùng lúc với ca nô xuôi dòng từ bến A, có bè trôi từ bến A với vận tốc km/h Sau đến B, ca nô trở bêbs A gặp bè bè trôi km Tính vận tốc ca nô ĐS: 27 km/h Bài 14 Một thuyền từ bến A đến bến B hết giờ, từ bến B đến bến A hết Hỏi đám béo trôi theo dòng sông từ A đến B hết bao lâu? ĐS: 35 VẤN ĐỀ V Loại có nội dung hình học • Hình chữ nhật có hai kích thước a, b Diện tích: S = ab ; Chu vi: P =2(a +b) • Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a, b Diện tích: S = ab Bài Chu vi khu vườn hình chữ nhật 60m , hiệu độ dài chiều dài chiều rộng 20m Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật ĐS: 5m;25m Bài Một đất hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài 4m diện tích tăng thêm 8m Tìm chiều rộng chiều dài đất ĐS: 12m;16m Bài Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lần chiều rộng Nếu tăng cạnh thêm 5m diện tích khu vườn tăng thêm 385m Tính độ dài cạnh khu vườn ĐS: 18m;54m Bài Hiệu số đo chu vi hai hình vuông 32m hiệu số đo diện tích chúng 464m2 Tìm số đo cạnh hình vuông ĐS: cạnh hình vuông nhỏ 25m ; cạnh hình vuông lớn 33m Bài Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 450m Nếu giàm chiều dài chiều dài cũ tăng chiều rộng thêm chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật không đổi Tính chiều dài chiều rộng khu vườn ĐS: 100m;125m Bài Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm 3m diện tích tăng diện tích cũ 12m Tính kích thước khu đất ĐS: 20m, 30m BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Giải phương trình sau: a) x − x + = x − x (3 − x ) b) Trang 28 2( x − 4) + x 1− x − =x+ 10 ĐT: 0935991949 c) Đại số x x − 3(2 x − 1) + = − d) e) ( x − 4)( x + 4) − 2(3 x − 2) = ( x − 4)2 17 ĐS: a) x = − b) x = −5 c) x = 19 Bài Giải phương trình sau: a) (4 x − 3)(2 x − 1) = ( x − 3)(4 x − 3) x + 10 x + 2x + − = 2x + f) ( x + 1)3 − ( x − 1)3 = 6( x + x + 1) d) x = e) x = 14 f) x = − b) 25 x − = (5 x + 3)(2 x + 1) c) (3 x − 4)2 − 4( x + 1)2 = d) x + x − x − x − = e) ( x − 2)( x + 2)( x − 10) = 72 f) x + x + x + = 2  c) S =  ;6  d) S = { −1; −2;2} 5  3  ĐS: a) S =  ; −2  4   4 b) S = − ;   3  1 e) S = { −4;4} f) S = −2; −1; −   2 Bài Giải phương trình sau: x +2 x +4 x +6 x +8 + = + a) 98 96 94 92 ĐS: a) x = −100 b) x = −15 Bài Giải phương trình sau: − = a) 2x + 2x − 4x − b) x + 2 x + 45 x + x + 69 + = + 13 15 37 b) 2x 18 2x − + = x + x + 2x − x + 2x2 − + = x −1 x −1 x + x + ĐS: a) x = − b) x = −1 c) x = Bài Thương hai số Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị giảm số chia nửa số thứ thu lớn số thứ hai thu 30 Tìm hai số ban đầu ĐS: 24 Bài Chu vi hình chữ nhật 140 m, hiệu số đo chiều dài chiều rộng 10 m Tìm số đo cạnh hình chữ nhật ĐS: 30 m 40 m Bài Thùng thứ đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu Ở thùng thứ hai lấy lượng dầu gấp lần lượng dầu lấy thùng thứ Sau lượng dầu lại thùng thứ gấp đôi lượng dầu lại thùng thứ hai Hỏi lấy lít dầu? ĐS: 26 lít 78 lít Bài Chu vi bánh xe lớn đầu máy xe lửa 5,6 m bánh xe nhỏ 2,4 m Khi xe chạy từ ga A đến ga B bánh nhỏ lăn nhiều bánh lớn 4000 vòng Tính quãng đường AB ĐS: 16800 m Bài Hai vòi nước chảy 12 đầy hồ nước Cho hai vòi chảy khoá vòi thứ lại cho vòi thứ hai chảy tiếp với lưu lượng mạnh gấp đôi phải 30 phút đầy hồ Hỏi vòi chảy với lưu lượng ban đầu phải đầy hồ ĐS: Vòi thứ chảy 28 giờ, vòi thứ hai chảy 21 Bài 10 Một ô tô quãng đường dài 60 km thời gian định Ô tô nửa quãng đường đầu với vận tốc dự định 10 km/h nửa quãng đường lại với vận tốc thấp dự định km/h ô tô đến thời gian định Tính thời gian ô tô dự định quãng đường ĐS: c) Trang 29 Đại số www.luyenthibienhoa.com Bài 11 Một xe ô tô từ Hà Nội Thanh Hoá Sau 43 km dừng lại 40 phút Để đến Thanh Hoá định phải với vận tốc 1,2 lần vận tốc trước Tính vận tốc lúc đầu, biết quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá dài 163 km ĐS: 30 km Bài 12 Hai người khởi hành từ A để đến B Người thứ nửa thời gian đầu với vận tốc km/h, nửa thời gian sau với vận tốc km/h Người thứ hai nửa quãng đường đầu với vận tốc km/h nửa quãng đường sau với vận tốc km/h Hỏi người đến B trước? ĐS: Người thứ đến trước Trang 30 ĐT: 0935991949 Đại số CHƯƠNG IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I BẤT ĐẲNG THỨC Bất đẳng thức Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a ≤ b, a ≥ b) bất đẳng thức gọi a vế trái, b vế phải bất đẳng thức Tính chất Điều kiện Nội dung (1) a 0, c > (4) a < b c < d ⇒ ac < bd 2n+1 2n+1 (5a) n nguyên dương a có S = x + y không đổi P = xy lớn ⇔ x = y – Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ ⇔ x = y c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Nội dung x ≥ 0, x ≥ x , x ≥ − x a>0 x ≤ a ⇔ −a≤ x ≤ a  x ≤ −a x ≥a ⇔  x ≥ a a − b ≤ a+b ≤ a + b d) Bất đẳng thức cạnh tam giác Với a, b, c độ dài cạnh tam giác, ta có: + a, b, c > + a−b < c < a+b ; b−c < a < b+c; c−a < b < c+a Chứng minh bất đẳng thức Chứng minh BĐT lập luận để khẳng định tính đắn BĐT Để chứng minh BĐT ta thường sử dụng: – Tính chất quan hệ thứ tự số – Tính chất bất đẳng thức – Một số BĐT thông dụng Trang 31 Đại số www.luyenthibienhoa.com VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia tính chất • Để chứng minh BĐT ta sử dụng cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT biết – Sử dụng BĐT biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh • Một số BĐT thường dùng: + A2 ≥ + A2 + B ≥ + A.B ≥ với A, B ≥ + A2 + B2 ≥ AB Chú ý: – Trong trình biến đổi, ta thường ý đến đẳng thức – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy Khi ta tìm GTLN, GTNN biểu thức Cho a, b, c, d, e ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca b) a2 + b2 + ≥ ab + a + b Bài c) a2 + b2 + c2 + ≥ 2(a + b + c) d) a2 + b2 + c2 ≥ 2(ab + bc − ca) e) a + b + c2 + ≥ 2a(ab2 − a + c + 1) f) g) a2 (1 + b2 ) + b2 (1 + c2 ) + c2 (1 + a2 ) ≥ 6abc h) a2 + b2 + c2 + d + e2 ≥ a(b + c + d + e) HD: a) ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ b) ⇔ (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ c) ⇔ (a − 1)2 + (b − 1)2 + (c − 1)2 ≥ 2 2 a2 + b2 + c2 ≥ ab − ac + 2bc d) ⇔ (a − b + c)2 ≥ e) ⇔ (a − b ) + (a − c) + (a − 1) ≥   f) ⇔  a − (b − c) ÷ ≥ 2  g) ⇔ (a − bc)2 + (b − ca)2 + (c − ab)2 ≥ 2 2         h) ⇔  a − b ÷ +  a − c ÷ +  a − d ÷ +  a − e ÷ ≥ 2  2  2  2  Bài Cho a, b, c ∈ R Chứng minh bất đẳng thức sau: b) c) a + b ≥ a3b + ab3 d) a + ≥ 4a e) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc , với a, b, c > f) a + b ≤ g) 1+ a + 1+ b ≥ a3 + b3  a + b  ≥ ÷ ; với a, b ≥ 2   2 a) ab ≤  a + b ÷ ≤ a + b   a6 b2 + b6 a2 ; với a, b ≠ ; với ab ≥ h) (a5 + b5 )(a + b) ≥ (a + b4 )(a2 + b2 ) ; với ab > + ab 2 2 2 HD: a)  a + b ÷ − ab = (a − b) ≥ ; a + b −  a + b ÷ = (a − b) ≥     b) ⇔ (a + b)(a − b)2 ≥ c) ⇔ (a3 − b3 )(a − b) ≥ d) ⇔ (a − 1)2 (a2 + 2a + 3) ≥ e) Chú ý: a3 + b3 = (a + b)3 − 3a2 b − 3ab2 BĐT ⇔ (a + b + c)  a2 + b2 + c2 − (ab + bc + ca) ≥ f) ⇔ (a2 − b2 )2 (a4 + a2 b2 + b ) ≥ g) ⇔ Trang 32 (b − a)2 (ab − 1) (1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 ) ≥0 ĐT: 0935991949 Đại số h) ⇔ ab(a − b)(a3 − b3 ) ≥ Cho a, b, c, d ∈ R Chứng minh a2 + b2 ≥ 2ab (1) Áp dụng chứng minh bất đẳng thức sau: a) a + b + c + d ≥ 4abcd b) (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) ≥ 8abc Bài c) (a2 + 4)(b2 + 4)(c2 + 4)(d + 4) ≥ 256 abcd HD: a) a + b ≥ 2a2 b2 ; c2 + d ≥ 2c2 d ; a2 b2 + c2 d ≥ 2abcd b) a2 + ≥ a ; b2 + ≥ b ; c2 + ≥ c c) a2 + ≥ a ; b2 + ≥ b ; c2 + ≥ c ; d + ≥ d Bài Cho a, b, c, d > Chứng minh a a a+c (1) Áp dụng chứng minh < < b b b+c bất đẳng thức sau: a b c a b c d + + abc = + + ≤1; a + b +1 b + c +1 c + a +1 HD: (1) ⇔ (a2 − b2 )(a − b) ≥ b) + + a) Từ (1) ⇒ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) ⇒ ≤ a3 + b3 + abc Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b, c) Sử dụng a) Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a) ab + bc + ca ≤ a2 +b2 + c2 d) a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a > b − c ⇒ a2 > b2 − 2bc + c2 Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm b) Ta có: a2 > a2 − (b − c)2 ⇒ a2 > (a + b − c)(a − b + c) Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm c) ⇔ (a + b + c)(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) > d) ⇔ (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) > Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: 1 ; ; a) độ dài cạnh tam giác khác a+b b+c c+a 1 1 1 + + > + + b) a+b−c b +c −a c+a −b a b c HD: a) Sử dụng tính chất phân số BĐT cạnh tam giác 1 1 + > + = Ta có: > a+b b+c a+b+c a+b+c c+a+c+a c+a Tương tự, chứng minh BĐT lại 1 b) Sử dụng BĐT: Với x > 0, y > ta có: + ≥ x y x+y 1 + ≥ = Ta có: a + b − c b + c − a (a + b − c) + (b + c − a) b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy đpcm VẤN ĐỀ 2: Phương pháp làm trội Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tổng hữu hạn tích hữu hạn • Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn: S = u1 + u + + un u k = ak − ak +1 Ta biến đổi số hạng tổng quát uk hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: S = ( a1 − a2 ) + ( a2 − a3 ) + + ( an − an +1 ) = a1 − an +1 • Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un Khi đó: Ta biến đổi số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: Trang 34 uk = ak ak +1 ĐT: 0935991949 Khi đó: Đại số P= a1 a2 a a n = a2 a3 an +1 an +1 Chứng minh với số tự nhiên n > , ta có: 1 1 1 + + + > n +1 −1 + + + < a) < b) + n n +1 n + n+n 1 1 1 + + + + = HD: a) Ta có: , với k = 1, 2, 3, …, n –1 n + k n + n 2n 2 = > = k + − k , với k = 1, 2, 3, …, n b) Ta có: k k k + k +1 1 1 = − , với k = 2, 3, …, n c) Ta có: < k k ( k − 1) k − k 1 = − , với k = 2, 3, …, n d) Ta có: (k − 1).n k − k Bài ( ( ) ) VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si Bất đẳng thức Cô–si: a+b ≥ ab Dấu "=" xảy ⇔ a = b + Với a, b ≥ 0, ta có: 2 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN: + Nếu x, y > có S = x + y không đổi P = xy lớn ⇔ x = y + Nếu x, y > có P = x y không đổi S = x + y nhỏ ⇔ x = y Cho a, b, c ≥ Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc bc ca ab b) + + ≥ a + b + c ; với a, b, c > a b c ab bc ca a+b+c c) ; với a, b, c > + + ≤ a+b b+c c+a a b c d) + + ≥ ; với a, b, c > b+c c+a a+b HD: a) a + b ≥ ab ; b + c ≥ bc ; c + a ≥ ca ⇒ đpcm Bài 2 b) bc + ca ≥ abc = 2c , ca + ab ≥ a bc = 2a , ab + bc ≥ ab c = 2b ⇒đpcm a b ab b c bc c a ac c) Vì a + b ≥ ab nên ab ab ab bc bc ca ca ≤ = Tương tự: ≤ ; ≤ a + b ab b+c c+a ab bc ca ab + bc + ca a + b + c (vì ab + bc + ca ≤ a + b + c ) + + ≤ ≤ a+b b+c c+a 2  a   b   c  + ÷+  + ÷+  + ÷− d) VT =  b+c  c+a  a+b   1 1  + + = [ ( a + b ) + ( b + c ) + (c + a) ]  ÷− ≥ − = b+c c+a a+b 2 ⇒ Trang 35 Đại số www.luyenthibienhoa.com • Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b  x y   z x   z y   Khi đó, VT =  + ÷+  + ÷+  + ÷− 3 ≥ (2 + + − 3) =  y x   x z   y z   2 Bài Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức sau:  1 1 a) (a3 + b3 + c3 )  + + ÷ ≥ (a + b + c)2 a b c 3 b) 3(a + b + c ) ≥ (a + b + c)(a2 + b2 + c ) c) 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ (a + b + c)3  a3 b   b3 c   c a  HD: a) VT = a2 + b2 + c +  + ÷+  + ÷+  + ÷ a   c b  a c   b Chú ý: a3 b3 + ≥ a2 b2 = 2ab Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b a b) ⇔ 2(a3 + b3 + c3 ) ≥ ( a2 b + b2 a ) + ( b2c + bc ) + ( c a + ca ) Chú ý: a3 + b3 ≥ ab(a + b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm c) Áp dụng b) ta có: 9(a3 + b3 + c3 ) ≥ 3(a + b + c)(a2 + b2 + c ) Dễ chứng minh được: 3(a2 + b2 + c ) ≥ (a + b + c)2 ⇒ đpcm 1 (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: + ≥ a b a+b  1 1 1  + + a) + + ≥  ÷; với a, b, c > a b c  a+b b+c c+a   1 1 1 + + ≥ 2 + + b) ÷ ; với a, b, c > a+b b+c c+a  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c  1 1 1 c) Cho a, b, c > thoả + + = Chứng minh: + + ≤1 a b c a + b + c a + b + c a + b + 2c ab bc ca a+b+c d) ; với a, b, c > + + ≤ a+b b+c c+a 2 xy 8yz xz + + ≤ e) Cho x, y, z > thoả x + y + z = 12 Chứng minh: x + y 2y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥  + + ÷ p−a p−b p−c a b c 1 1 HD: (1) ⇔ (a + b)  + ÷ ≥ Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si a b 1 1 1 a) Áp dụng (1) ba lần ta được: + ≥ ; + ≥ ; + ≥ a b a+b b c b+c c a c+a Cộng BĐT vế theo vế ta đpcm b) Tương tự câu a)   1 1 1 + + c) Áp dụng a) b) ta được: + + ≥  ÷ a b c  a + b + c a + b + c a + b + 2c  11 1 ab ≤  + ÷⇔ d) Theo (1): ≤ ( a + b) a+b 4a b a+b Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta đpcm e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z a + b + c = 12 ⇒ đpcm f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c Bài Cho a, b > Chứng minh Trang 36 ĐT: 0935991949 Đại số 1 4 + ≥ = p − a p − b ( p − a) + ( p − b ) c Cùng với BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta đpcm 1 Bài Cho a, b, c > Chứng minh + + ≥ (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b c a+b+c  1  + + a) (a2 + b2 + c2 )  ÷ ≥ ( a + b + c)  a+b b+c c+a x y z + + b) Cho x, y, z > thoả x + y + z = Tìm GTLN biểu thức: P = x +1 y +1 z +1 c) Cho a, b, c > thoả a + b + c ≤ Tìm GTNN biểu thức: 1 + + P= a + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 1 + + + ≥ 30 d) Cho a, b, c > thoả a + b + c = Chứng minh: 2 ab bc ca a +b +c  1 1 HD: Ta có: (1) ⇔ (a + b + c)  + + ÷ ≥ Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si a b c 1 + + ≥ a) Áp dụng (1) ta được: a + b b + c c + a 2(a + b + c ) Áp dụng (1) ta được: ⇒ VT ≥ 9(a2 + b2 + c ) 3(a2 + b2 + c ) = ≥ (a + b + c ) 2(a + b + c) a+b+c Chú ý: (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2 ) b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P sau:  1  x +1−1 y +1−1 z +1−1 + + + + P= = 3− ÷ x +1 y +1 z +1  x +1 y +1 z +1 1 9 + + ≥ = Suy ra: P ≤ − = Ta có: x +1 y +1 z +1 x + y + z + 4 Chú ý: Bài toán tổng quát sau: Cho x, y, z > thoả x + y + z = k số dương cho trước Tìm GTLN x y z + + biểu thức: P = kx + ky + kz + 9 = ≥ c) Ta có: P ≥ 2 a + 2bc + b + 2ca + c + 2ab (a + b + c)2 + d) VT ≥ a + b2 + c2 ab + bc + ca   1 + + = ÷+ 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca a +b +c 9 ≥ + = 30 ≥ (a + b + c) ab + bc + ca 1 1 Chú ý: ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = 3 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN biểu thức sau: Bài + Trang 37 Đại số www.luyenthibienhoa.com x 18 + ; x >0 x 3x c) y = + ; x > −1 x +1 x e) y = + ; < x 0 x HD: a) Miny = x = c) Miny = 6− x = −1 e) Miny = + x = x + ; x > x −1 x d) y = + ;x> 2x −1 x +1 f) y = ; x>0 x2 2 h) y = x + ; x > x b) Miny = x = 30 + 30 + d) Miny = x = 3 f) Miny = x = h) Miny = x = 27 b) y = 5− g) Miny = x = Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN biểu thức sau: a) y = ( x + 3)(5 − x ); − ≤ x ≤ b) y = x (6 − x ); ≤ x ≤ 5 c) y = ( x + 3)(5 − x ); − ≤ x ≤ d) y = (2 x + 5)(5 − x ); − ≤ x ≤ 2 x ; x>0 e) y = (6 x + 3)(5 − x ); − ≤ x ≤ f) y = 2 x +2 HD: a) Maxy = 16 x = b) Maxy = x = 121 625 c) Maxy = x = − d) Maxy = x = 8 e) Maxy = x = f) Maxy = x = ( + x ≥ 2 x ) 2 Bài II BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Định nghĩa Bất phương trình dạng ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ ), a, b hai số cho, a ≠ 0, đgl bất phương trình bậc ẩn Hai qui tắc biến đổi bất phương trình • Qui tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử • Qui tắc nhân: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: – Giữ nguyên chiều bất phương trình số dương – Đổi chiều bất phương trình số âm Giải bất phương trình sau: a) 3(2 x − 3) ≥ 4(2 − x ) + 13 Bài b) x − − (3 x+9) ≤ x − − (2 x − 1) Trang 38 ĐT: 0935991949 Đại số c) x + 17 − 3(2 x + 3) ≤ 10( x + 2) d) 17( x + 5) + 41x ≥ −15( x + 4) − e) 4(2 − x ) − (5 − x ) > 11 − x f) 2(3 − x ) − 1,5( x − 4) < − x 83 18 ĐS: a) x ≥ b) x ≥ − c) x ≥ − d) x ≥ − e) x < − f) x > 73 5 Bài Giải bất phương trình sau: 2x − x + 5( x − 1) 2( x + 1) < −1 ≥ a) b) 3( x + 1) x −1 3x + x+2 ≤ 3− −1 ≤ +x c) + d) 1 x − 22 − x − x 5x + x− 2x − x− + > −x− e) f) 5− 3 f) x < 19 Bài Giải bất phương trình sau: a) (2 x + 3)(2 x − 1) > x ( x + 2) b) 5( x − 1) − x (7 − x ) < x c) ( x − 1)2 + ( x − 3)2 > x + ( x + 1)2 d) (2 x − 1)2 (3 − x )2 < ( x − 2)2 3( x − 1)2 x + x (1,5 x + 1) (2 − x )2 x f) + < − ≥ −2 10 ĐS: a) x < − b) x > − c) x < d) x < e) x > f) x ≤ 10 Bài Giải bất phương trình sau:  8x  2x + 1 > 3x − a) x − <  + ÷ b) x +   x + x −1 x + 5x x x + ≤ −1 −3> − c) d) x − 6 x + 2x x > − + e) 15 15 ĐS: a) x tuỳ ý b) x tuỳ ý c) x tuỳ ý d) vô nghiệm e) vô nghiệm Bài Với giá trị x thì: a) Giá trị biểu thức − 3( x + 1) không nhỏ giá trị biểu thức 2( x − 3) − x+2 − x + lớn giá trị biểu thức x + b) Giá trị biểu thức c) Giá trị biểu thức ( x + 1)2 − không lớn giá trị biểu thức ( x − 3)2 e) x 2− x d) Giá trị biểu thức nhỏ giá trị biểu thức + x− 14 ĐS: a) x ≤ b) x < −2 c) x ≤ d) x < Bài Giải bất phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) x + 1987 x + 1988 x + 1989 x + 1990 x −1 x − x − x − x − x − + > + + + < + + a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1987 x − 1988 x − 1989 x − 1990 x +1 x + x + x + x + x + + > + + + < + + c) d) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x > 15 x > 100 ĐS: a) b) 1− Trang 39 Đại số www.luyenthibienhoa.com Bài a) Một số có hai chữ số có chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị Tìm số biết lớn 21 nhỏ 36 b) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 300 đến 400, biết số chia cho 3, 4, có số dư c) Tìm số nguyên nằm khoảng từ 500 đến 600, biết số chia cho 5, 8, 10 có số dư 2, 5, ĐS: a) 31 b) 301 ( x − chia hết cho 3, 4, 5) c) 557 ( x + chia hết cho 5, 8, 10) III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định nghĩa giá trị tuyệt đối a a ≥ a = −a a < Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối C C • Dạng A = B ⇔  A ≥ hay  A < ⇔  B ≥ hay  B ≥ A = B − A = B A = B  A = −B • Dạng A = B ⇔ A = B hay A = − B • Dạng phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối – Xét dấu biểu thức chứa ẩn nằm dấu GTTĐ – Chia trục số thành nhiều khoảng cho khoảng, biểu thức nói có dấu xác định – Xét khoảng, khử dấu GTTĐ, giải PT tương ứng trường hợp – Kết hợp trường hợp xét, suy số nghiệm PT cho Giải phương trình sau: a) −4 x = x + b) − x = − x c) x − = x − − 5x x + x −1 x + = − 5x d) x − x − = − x + e) f) − = + 3  2 9  19  1  ĐS: a) S = − ;  b) S = { 0} c) S =   d) S = ∅ e) S =   f) S =    3 7  20  8 Bài Giải phương trình sau: a) x − x = x b) x − x + = −2 x + c) x + x − = x − Bài d) x − x + = − x + x −  1 b) S = 1;  c) S = { −3;1} d) S = { 2}  4 Bài Giải phương trình sau: x −6 3x − x2 − 6x + =2 = x −2 a) b) −2 x + = c) − 2x x +3 x − 36 ĐS: a) S = { 0;1;3} −2 x + x − f) = 4− x 2x + 5x − x +    13  3  ĐS: a) S = { 2} b) S = − ;4  c) S = −  d) S =  ;3  2   5  Bài Giải phương trình sau: a) x + = x − b) − x = x + c) d) x2 − 4x + = x −3 d) x + x − 10 = x + e) e) x − + = Trang 40 x + 5x + x + 3x + e) S = { 4} = x+4 f) S = { −4} + x − 7x − = f) x − x = x + ĐT: 0935991949 Đại số 1  1   9  1 b) S =  ;  c) S =  ;1 d) S = − ;1;  e) S = { 1;5} f) S = 1;  11   2 8   5 Bài Giải phương trình sau: a) x + − x − = b) x − x + − = c) x − + x − = d) x + − x − = x e) x + − x + x − = f) x − + x + = 1   1 ĐS: a) S = ∅ b) S = { 4} c) ≤ x ≤ d) S =  ;  e) S = −  f) S = ∅ 2   2 ĐS: a) S = { −2;0} BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Giải bất phương trình sau: a) x − ≥ x+12 b) −4 x + 15 < 24 − x x +1 x + x+3 2x − + ≥ 1− − x ≤ −(2 x + 1) d) e) 11 ĐS: a) x ≤ −10 b) x < c) x ≥ d) x ≥ − Bài c) x + ≥ − x x −1 x − x −3 − ≤ x− f) e) x ≤ − f) x ≥ −1 Bài a) Tìm tất nghiệm nguyên dương bất phương trình: 11x − < x + b) Tìm tất nghiệm nguyên âm bất phương trình: x2 + 2x + x2 − x + x2 + x + x + − > − 4(2 − x ) − (5 − x ) > 11 − x c) Tìm nghiệm nguyên lớn bất phương trình: d) Tìm nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình: 2(3 − x ) − 1,5( x − 4) < − x ĐS: a) { 1;2} b) { −3; −2; −1} Bài Giải bất phương trình sau: x − x − 15 x − 2005 x − 1995 1987 − x 1988 − x 27 + x 28 + x + < + + + + >4 a) b) 2005 1995 15 15 16 1999 2000  1  1 + + + + + + c)  ÷x ≥ 10.110  1.11 2.12 100.110  1.101 2.102 ĐS: a) x > 2010 Trừ vế cho b) x < 1972 Trừ vế cho 1 1  1 1  = =  − c) x ≥ 10 Biến đổi  − ÷, ÷ k (100 + k ) 100  k 100 + k  k (k + 10) 10  k k + 10  Bài Giải phương trình sau: a) x − − x = b) x − = x − c) x − 11 − x = x − x + 15 x − x + = 3x − e) f) = − 7x 5x + 2x2 − 9x −  14   15   2 b) S = 4;  c) S = { 1;19} d) S = − ;  e) S = − ;  f) S = { 3}  4  3  7 − 4x d) x − + =9 4x − 5 ĐS: a) S =   3  Trang 41 [...]... một số lớn gấp ba lần số nhận được khi ta viết thêm vào bên trái số đó Tìm số đó ĐS: 4 285 7 Bài 4 Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số ta được một số có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị Tìm số đó ĐS: 31 Bài 5 Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7 Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số có 3 chữ số lớn... hai chữ số là 12 – Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36 ĐS: 48 Bài 2 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng: – Tổng hai chữ số là 10 – Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được một số mới nhỏ hơn số đó là 36 ĐS: 73 Bài 3 Một số tự nhiên có 5 chữ số Nếu thêm chữ số 1 vào bên phải hay bên trái số đó ta được một số có 6 chữ số Biết rằng nếu viết thêm vào bên phải số đó... ứng với phép toán chia Bài 1 Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng 87 ĐS: − 18; − 17 Bài 2 Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 8 Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số và bớt mẫu số đi 3 3 đơn vị thì ta được phân số bằng Tìm phân số đã cho 4 7 ĐS: 15 Bài 3 Tổng của 4 số là 45 Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chi cho 2... quả đó bằng nhau Tìm 4 số ban đầu ĐS: 8; 12; 5; 20 Bài 4 Thương của hai số là 3 Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của Trang 24 ĐT: 0935991949 Đại số 8 hai số mới là 30 Tìm hai số đó ĐS: 24; 8 Bài 5 Một đội công nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày Ngày thứ nhất đội sửa được 1 đoạn 3 4 đoạn được làm được trong ngày 3 thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa 80 m còn lại Tính chiều dài... hết và số sầu riêng bán mỗi lần đều bằng nhau Hỏi người đó đã bán bao nhiêu lần và số sầu riêng thu hoạch được là bao nhiêu trái? ĐS: 225 trái, bán 5 lần đường, ngày thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng Trang 25 Đại số 8 www.luyenthibienhoa.com Bài 13 Ba lớp A, B, C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 3 58 cuốn Tỉ số 6 7 số cuốn sách của lớp A so với lớp B là Tỉ số số cuốn... A so với lớp B là Tỉ số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là 11 10 Hỏi mỗi lớp góp được bao nhiêu cuốn sách? ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn Bài 14 Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1% Hỏi hai năm trước đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu? ĐS: 600000 người Bài 15 Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau Nhưng trong... bao lâu số nước ở bể thứ nhất bằng số nước ở bể 3 thứ hai? ĐS: 40 phút Bài 8 Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa Tính tuổi của Dung hiện nay ĐS: 14 tuổi Bài 9 Tìm một số có chữ số hàng đơn vị là 2, biết rằng nếu xoá chữ số 2 đó thì số ấy giảm đi 200 ĐS: 222 Bài 10 Gia đình Đào có 4 người: bố, mẹ, bé Mai và Đào Tuổi trung bình của cả nhà là 23 Nếu 9 viết thêm chữ số 0 vào... nên số học sinh nữ chiếm 51% số học sinh của trường Hỏi cuối học kì 1, trường có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ? ĐS: 245 nam, 255 nữ VẤN ĐỀ II Loại tìm số gồm hai, ba chữ số • Số có hai chữ số có dạng: xy = 10 x + y Điều kiện: x , y ∈ N ,0 < x ≤ 9,0 ≤ y ≤ 9 • Số có ba chữ số có dạng: xyz = 100 x + 10 y + z Điều kiện: x , y, z ∈ N ,0 < x ≤ 9,0 ≤ y, z ≤ 9 Bài 1 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, ...ĐT: 0935991949 Đại số 8 CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 8 Tìm điều kiện xác định của phân thức: 2x − 1 x2 − 4 a) b) 2 2 x − 4x + 4 9 x − 16 5x − 3 x 2 − 5x + 6 d) e) 2x 2 − x x2 − 1 2x + 1 g) 2 x − 5x + 6 Bài 9 Tìm điều kiện xác định của phân thức: 1 x2y + 2x a) 2 b) x + y2 x2 −... bằng 3 Nếu tăng số bị chia 10 đơn vị và giảm số chia đi một nửa thì số thứ nhất thu được lớn hơn số thứ hai thu được là 30 Tìm hai số ban đầu ĐS: 24 và 8 Bài 6 Chu vi của một hình chữ nhật bằng 140 m, hiệu giữa số đo chiều dài và chiều rộng là 10 m Tìm số đo các cạnh của hình chữ nhật ĐS: 30 m và 40 m Bài 7 Thùng thứ nhất đựng 40 lít dầu, thùng thứ hai đựng 85 lít dầu Ở thùng thứ hai lấy ra một lượng ... sau: (Biến đổi đặc biệt) x + 1 987 x + 1 988 x + 1 989 x + 1990 x −1 x − x − x − x − x − + > + + + < + + a) b) 2002 2003 2004 2005 99 97 95 98 96 94 x-1 987 x − 1 988 x − 1 989 x − 1990 x +1 x + x + x... 27 x − 25 x − 23 x − 21 x − 19 + + + + + = 1970 1972 1974 1976 19 78 1 980 x − 1970 x − 1972 x − 1974 x − 1976 x − 19 78 x − 1 980 = + + + + + 29 27 25 23 21 19 ĐS: a) x = −66 b) x = −60 c) x = −2005... sách tặng bạn học sinh vùng khó khăn, tất 3 58 Tỉ số số sách lớp A so với lớp B Tỉ số số sách lớp A so với lớp C 11 10 Hỏi lớp góp sách? ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 Bài 14

Ngày đăng: 27/12/2015, 22:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan