Bài tập Hình học Lớp 8 HAY

Tổng hợp lý thuyết, phân dạng bài tập, và hệ thống bài tập rất hay của môn hình học lớp 8. Thầy cô có thể dùng để dạy thêm rất hay.

LUYỆN THI BIÊN HÒA BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP HỌ VÀ TÊN:………………………………………… Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com CHƯƠNG I: TỨ GIÁC I TỨ GIÁC VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất góc tứ giác để tính góc Bài Cho tứ giác ABCD có µB = 1200 ,µC = 600 ,µD = 900 Tính góc A góc đỉnh A Bài Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD, µC = 600 , µA = 1000 a) Chứng minh AC đường trung trực BD ĐS: b) µB = µD = 1000 b) Tính µB, µD Bài Cho tứ giác ABCD có phân giác góc A góc B cắt E, phân giác µ µ µ µ góc A góc B cắt F Chứng minh: ·AEB = C + D ·AFB = A + B 2 Bài Cho tứ giác ABCD có µB + µD = 1800 , CB = CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE = AB Chứng minh: a) Các tam giác ABC EDC b) AC phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD biết số đo góc µA, µB, µC , µD tỉ lệ thuận với 5; 8; 13 10 a) Tính số đo góc tứ giác ABCD b) Kéo dài hai cạnh AB DC cắt E, kéo dài hai cạnh AD BC cắt F Hai tia phân giác góc AED góc AFB cắt O Phân giác góc AFB cắt cạnh CD AB M N Chứng minh O trung điểm đoạn MN Bài Cho tứ giác ABCD có µB + µD = 1800 , AC tia phân giác góc A Chứng minh CB = CD Bài Cho tứ giác ABCD có µA = a , µC = b Hai đường thẳng AD BC cắt E, hai đường thẳng AB DC cắt F Các tia phân giác hai góc AEB AFD cắt I Tính góc ·EIF theo a , b VẤN ĐỀ II Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải toán liên hệ đến cạnh tứ giác Bài a) Bài Bài Cho tứ giác ABCD Chứng minh: AB < BC + CD + AD b) AC + BD < AB + BC + CD + AD Cho tứ giác ABCD có AB + BD ≤ AC + CD Chứng minh: AB < AC Cho tứ giác ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD AB + BC + CD + AD < OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + AD a) Chứng minh: b) * Khi O điểm thuộc miền tứ giác ABCD, kết luận có không? Bài Chứng minh tứ giác thì: a) Tổng độ dài cạnh đối diện nhỏ tổng độ dài hai đường chéo b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn nửa chu vi tứ giác Trang LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học II HÌNH THANG – HÌNH THANG VUÔNG Định nghĩa: • Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song • Hình thang vuông hình thang có góc vuông Tính chất: • Nếu hình thang có hai cạnh bên song song hai cạnh bên nhau, hai cạnh đáy • Nếu hình thang có hai cạnh đáy hai cạnh bên song song VẤN ĐỀ I Tính chất góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có µA − µD = 200 , µB = 2µC Tính góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD, AD = BC = AB, ·BDC = 300 Tính góc hình thang Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AB < CD Chứng minh rằng: µA + µB > µC + µD Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Hai đường phân giác góc A B cắt điểm K thuộc đáy CD Chứng minh AD + BC = DC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) a) Chứng minh hai tia phân giác hai góc A D qua trung điểm F cạnh bên BC cạnh bên AD tổng hai đáy b) Chứng minh AD = AB + CD hai tia phân giác hai góc A D cắt trung điểm cạnh bên BC AD Bài Cho hình thang ABCD có µA = µB = 900 BC = AB = Lấy điểm M thuộc đáy nhỏ BC Kẻ Mx ⊥ MA, Mx cắt CD N Chứng minh tam giác AMN vuông cân VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang, hình thang vuông Bài Cho tứ giác ABCD có AB = BC AC tia phân giác góc A Chứng minh ABCD hình thang Bài Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M thuộc cạnh BC cho AM = BC , N trung điểm cạnh AB Chứng minh: a) Tam giác AMB cân b) Tứ giác MNAC hình thang vuông Bài Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Từ H kẻ HD ⊥ AC, HE ⊥ AB Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng HB, HC Chứng minh tứ giác DEMN hình thang vuông Trang Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com III HÌNH THANG CÂN Định nghĩa: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất: Trong hình thang cân: • Hai cạnh bên • Hai đường chéo Dấu hiệu nhận biết: • Hình thang có hai góc kề đáy hình thang cân • Hình thang có hai đường chéo hình thang cân VẤN ĐỀ I Sử dụng tính chất hình thang cân để tính toán chứng minh Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ đường cao AE, BF hình thang Chứng minh DE = CF Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) a) Chứng minh: ·ACD = ·BDC b) Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh: EA = EB Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB > CD) có CD = a , µA + µB = (µC + µD ) Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC a) Tính góc hình thang b) Chứng minh AC phân giác góc ·DAB c) Tính diện tích hình thang Bài Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có ·BDC = 450 Gọi O giao điểm AC BD a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân b) Tính diện tích hình thang ABCD, biết BD = (cm) ĐS: b) S = 18(cm ) VẤN ĐỀ II Chứng minh tứ giác hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB) Chứng minh BEDC hình thang cân có đáy nhỏ cạnh bên Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có ·ACD = ·BDC Chứng minh ABCD hình thang cân Bài Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = AE a) Chứng minh BDEC hình thang cân b) Tính góc hình thang cân đó, biết µA = 500 ĐS: b) µB = µC = 650 , ·CED = ·BDE = 1150 Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC E Chứng minh: a) Tam giác BDE tam giác cân b) Các tam giác ACD BDC c) ABCD hình thang cân Bài Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D, đường thẳng song song với AC cắt BC E, đường thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh: a) Các tứ giác BDME, CFME, ADMF hình thang cân Trang LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học b) Chu vi tam giác DEF tổng khoảng cách từ M đến đỉnh tam giác ABC c) ·DME = ·DMF = ·EMF ĐS: c) ·DME = ·DMF = ·EMF = 1200 Bài Cho hình thang ABCD (AD // BC, AD > BC) có đường chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, ·BAC = ·CAD µD = 600 a) Chứng minh ABCD hình thang cân b) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang 20 cm ĐS: b) AD = 8(cm) Trang Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com IV ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG Đường trung bình tam giác: • Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác • Đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba • Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Đường trung bình hình thang • Đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang • Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai • Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EB Gọi I giao điểm AM với CD Chứng minh: AI = IM Bài Cho tam giác ABC hai đường trung tuyến BD, CE cắt G Gọi M, N trung điểm BG, CG Chứng minh tứ giác MNDE có cặp cạnh đối song song Bài Cho tam giác ABC Trên tia BA lấy điểm D cho A trung điểm BD Trên tia CB lấy điểm E cho B trung điểm CE Hai đường thẳng AC DE cắt I Chứng minh DE rằng: DI = Bài Cho tứ giác ABCD có góc µC = 400 , µD = 800 , AD = BC Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB CD Tính góc nhọn tạo đường thẳng FE với đường thẳng AD BC Bài Cho A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d (AB > BC) Trên nửa mặt phẳng bờ d, vẽ tam giác AMB BNC Gọi P, Q, R, S trung điểm BM, CM, BN, AN Chứng minh: a) PQRS hình thang cân b) SQ = MN Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM, D giao điểm BI AC a) Chứng minh: AD = DC b) So sánh độ dài BD ID Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC, BD a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường thẳng b) Tính MN, PQ, biết cạnh đáy hình thang AB = a, CD = b (a > b) c) Chứng minh MP = PQ = QN a = 2b Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, BD Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F trung điểm AD BC Đường thẳng EF cắt BD I, cắt AC K a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID b) Cho AB = 6, CD = 10 Tính EI, KF, IK Bài 10.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, K trung điểm AD, BC, AC a) So sánh độ dài đoạn thẳng EK CD, KF AB AB + CD b) Chứng minh: EF ≤ Trang LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học AB + CD tứ giác ABCD hình ĐS: c) ABCD hình thang Bài 11.Tính độ dài đường trung bình hình thang cân biết đường chéo vuông góc với đường cao 10 cm Bài 12.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d qua G cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A’, B’ C’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ Bài 13.Cho tam giác ABC, trọng tâm G Vẽ đường thẳng d nằm tam giác ABC Gọi A’, B’ C’, G’ thứ tự hình chiếu A, B, C d Tìm liên hệ độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’ c) Khi EF = Trang Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com V ĐỐI XỨNG TRỤC Bài Cho góc ·xOy = 50 điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox , điểm C đối xứng với A qua Oy a) So sánh độ dài OB OC b) Tính số đo góc ·BOC ĐS: b) ·BOC = 1000 Bài Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi K điểm đối xứng với H qua BC a) Chứng minh hai tam giác BHC BKC b) Cho ·BAC = 700 Tính số đo góc ·BKC ĐS: b) ·BKC = 1100 Bài Cho hình thang vuông ABCD ( µA = µD = 900 ) Gọi K điểm đối xứng với B qua AD, E giao điểm CK AD Chứng minh ·CED = ·AEB Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K điểm đối xứng với điểm H qua cạnh AB, AC Chứng minh: a) Ba điểm I, A, K thẳng hàng b) Tứ giác BIKC hình thang c) IK = AH Bài Cho tam giác ABC, phân giác BM CN cắt I Từ A vẽ đường vuông góc với BM CN, chúng cắt BC thứ tự E F Gọi I′ hình chiếu I BC Chứng minh E F đối xứng qua II′ Bài Cho hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d Tìm điểm M ∈ d cho MA + MB ngắn Bài Cho góc ·xOy = 60 điểm A nằm góc Gọi B, C hai điểm đối xứng với điểm A qua Ox , Oy a) Chứng minh tam giác BOC tam giác cân Tính góc tam giác b) Tìm điểm I ∈ Ox điểm K ∈ Oy cho tam giác AIK có chu vi nhỏ ĐS: a) ·BOC = 1200 , ·OBC = ·OCB = 300 b) I, K giao điểm đường thẳng BC với tia Ox Oy Bài Cho tam giác ABC, Cx phân giác góc C Trên Cx lấy điểm M (khác C) Chứng minh rằng: MA + MB > CA + CB Bài Cho góc nhọn ·xOy điểm A góc Tìm điểm B tia Ox điểm C tia Oy cho chu vi tam giác ABC nhỏ Trang LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học VI HÌNH BÌNH HÀNH Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cặp cạnh đối song song Tính chất: Trong hình bình hành: • Các cạnh đối • Các góc đối • Hai đường chéo cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành • Tứ giác có cạnh đối hình bình hành • Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành • Tứ giác có góc đối hình bình hành • Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành VẤN ĐỀ I Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AD, F trung điểm BC a) Chứng minh BE = DF ·ABE = ·CDF b) Chứng minh tứ giác EBFD hình bình hành c) Chứng minh đường thẳng EF, DB AC đồng qui Bài Cho hình bình hành ABCD (AB > BC) Tia phân giác góc D cắt AB E, tia phân giác góc B cắt CD F a) Chứng minh DE P BF b) Tứ giác DEBF hình gì? Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi K, I trung điểm cạnh AB vad CD, M N giao điểm AI CK với BD a) Chứng minh: AI P CK b) Chứng minh: DM = MN = NB VẤN ĐỀ II Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD Kẻ AH vuông góc với BD H, CK vuông góc với BD K Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC E, F, vẽ đường thẳng b cắt hai cạnh AB, CD K, H Chứng minh tứ giác EKFH hình bình hành Bài Cho tam giác ABC Từ điểm E cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB F đường thẳng song song với AB cắt BC D Giả sử AE = BF a) Chứng minh tam giác AED cân b) Chứng minh AD phân giác góc A Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA I, K trung điểm đường chéo AC, BD Chứng minh: a) Các tứ giác MNPQ, INKQ hình bình hành b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng qui Bài Cho tam giác ABC H trực tâm Các đường thẳng vuông góc với AB B, vuông góc với AC C cắt D a) Chứng minh tứ giác BDCH hình bình hành b) Tính số đo góc ·BDC , biết ·BAC = 600 Bài Cho hình bình hành ABCD, AD = AB Từ C vẽ CE vuông góc với AB Nối E với trung điểm M AD Từ M vẽ MF vuông góc với CE, MF cắt BC N a) Tứ giác MNCD hình gì? b) Tam giác EMC tam giác gì? Trang Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com c) Chứng minh: ·BAD = 2·AEM Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F giao điểm AB CD, AD BC; M, N, P, Q trung điểm AE, EC, CF, FA Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC cho AE = EF = FC Gọi M giao điểm BF CD; N giao điểm DE AB Chứng minh rằng: a) M, N theo thứ tự trung điểm CD, AB b) EMFN hình bình hành Bài Cho hình thang vuông ABCD, có µA = µB = 900 AD = 2BC Kẻ AH vuông góc với BD (H thuộc BD) Gọi I trung điểm HD Chứng minh rằng: CI ⊥ AI Bài 10.Cho tam giác ABC O điểm thuộc miền tam giác Gọi D, E, F trung điểm cạnh AB, BC, CA L, M, N trung điểm đoạn OA, OB, OC Chứng minh rằng: đoạn thẳng EL, FM DN đồng qui Trang 10 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com VẤN ĐỀ II Chứng minh hai đường thẳng song song Bài Cho hình chữ nhật ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H AE AH CF CG = = = cho AB AD CB CD a) Chứng minh tứ giác EFGH hình bình hành b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi HD: b) Gọi I, J giao điểm AC với HE GF ⇒ PEFGH = 2( AI + IJ + JC ) = AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm BM AC a) Chứng minh IK // AB b) Đường thẳng IK cắt AD, BC E F Chứng minh EI = IK = KF MI MK = ⇒ IK P AB HD: a) Chứng minh IA KB Bài Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt AC M AB K Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB F Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC P Chứng minh rằng: a) MP song song với AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui HD: b) Gọi I giao điểm DB với CF Chứng minh P, I, M thẳng hàng Bài Cho tứ giác ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng song song với BC qua O, cắt AB E đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD F a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD b) Từ O vẽ đường thẳng song song với AB AD, cắt BC DC G H Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH AE AF = HD: a) Chứng minh b) Dùng kết câu a) cho đoạn GH AB AD VẤN ĐỀ III Tính chất đường phân giác tam giác Bài Cho tam giác ABC cân A, BC = 8cm, phân giác góc B cắt đường cao AH K, AK = AH a) Tính độ dài AB b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH E Tính EH HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = m, AC = n; AD đường phân giác góc A Tính tỉ số diện tích tam giác ABD tam giác ACD S m HD: ABD = S ACD n Bài Cho tam giác ABC cân A, phân giác BD, BC = 10cm, AB = 15cm a) Tính AD, DC b) Đường phân giác góc B tam giác ABC cắt đường thẳng AC D′ Tính D′C HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) D′C = 10cm Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM đường phân giác AD a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích ∆ABC S b) Cho n = 7cm, m = 3cm Diện tích tam giác ADM chiếm phần trăm diện tích tam giác ABC? Trang 28 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học n−m S b) S ADM = 20%S ABC 2(m + n) ABC Bài Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai đường phân giác BD, AE a) Tính độ dài đoạn thẳng AD b) Chứng minh OG // AC HD: a) AD = 2,5cm b) OG // DM ⇒ OG // AC Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc ·AMB cắt AB D, đường phân giác góc ·AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC HD: a) S ADM = DA EA = ⇒ DE P BC DB EC Bài Cho tam giác ABC (AB < AC), AD phân giác góc A Qua trung điểm E cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC F, cắt đường thẳng AB G Chứng minh CF = BG BG BE.CD.BA CD.AB = = = HD: CF BD.CE AC BD AC Bài Cho tam giác ABC ba đường phân giác AM, BN, CP cắt O Ba cạnh AB, BC, CA tỉ lệ với 4, 7, a) Tính MC, biết BC = 18cm b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm OP c) Tính tỉ số OC MB NC PA = d) Chứng minh: MC NA PB 1 1 1 + + > + + e) Chứng minh: AM BN CP BC CA AB OP = HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) OC AC AB 1 1  >  + e) Vẽ BD // AM ⇒ BD < 2AB ⇒ AM < ⇒ ÷ AC + AB AM  AB AC  1 1  1 1  >  + >  + Tương tự: ÷, ÷ ⇒ đpcm BN  AB BC  CP  AC BC  Bài Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC Đường phân giác góc AIB cắt cạnh AB M Đường phân giác góc AIC cắt cạnh AC N a) Chứng minh MM // BC b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN = AI? c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện để có MN ⊥ AI? AM AN = HD: a) Chứng minh BM CN Bài 10 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc µD = 600 Đường phân giác góc D cắt đường chéo AC I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số cắt đáy AB M Tính 11 cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm MB = ⇒ DC = 66cm, AB = 42cm HD: Chứng minh DC = AB + AD ⇒ DC = AB + AM ⇒ MA Bài 11 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC AB AD AC + = G Chứng minh hệ thức: AE AF AG HD: Trang 29 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com HD: Vẽ DM // EF, BN // EF Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADM, ABN Bài 12 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh CD lấy điểm N cho DN = BM Chứng minh ba đường thẳng MN, DB, AC đồng qui HD: Trang 30 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học II TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Khái niệm hai tam giác đồng dạng a) Định nghĩa: Tam giác A′B′C′ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: µA′ = µA, µB′ = µB, µC ′ = µC; A′B′ = B′C ′ = C′A′ AB BC CA Chú ý: Khi viết kí hiệu hai tam giác đồng dạng, ta phải viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng: ∆ A′B′C ′ # ∆ ABC b) Định lí: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với hai cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho Chú ý: Định lí trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại A M B N C Các trường hợp đồng dạng hai tam giác Trường hợp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng với A′B′ B′C ′ C′A′ = = ⇒ ∆A′B′C′ # ∆ABC AB BC CA Trường hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng với A′B′ A′C′ µ µ = , A′ = A ⇒ ∆A′B′C′ # ∆ABC AB AC Trường hợp 3: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với µA′ = µA, µB′ = µB ⇒ ∆A′B′C′ # ∆ABC Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông Trường hợp 1: Nếu tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng với Trường hợp 2: Nếu tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng với Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông đồng dạng với Tính chất hai tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng với thì: • Tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số hai đường phân giác tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng • Tỉ số chu vi tỉ số đồng dạng • Tỉ số diện tích bình phương tỉ số đồng dạng VẤN ĐỀ I Sử dụng tam giác đồng dạng để tính toán Bài Cho tam giác A′B′C′ đòng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k Trang 31 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác b) Cho k = hiệu chu vi hai tam giác 40dm Tính chu vi tam giác P′ =k HD: a) b) P′ = 60(dm), P = 100(dm) P Bài Cho tam giác A′B′C′ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = Tính chu vi tam giác ABC, biết chu vi tam giác A′B′C′ 27cm HD: P = 20,25(cm) Bài Cho tam giác ABC có độ dài cạnh AB = 3cm, AC = 5cm, BC = 7cm Tam giác A′B′C′ đồng dạng với tam giác ABC có chu vi 75cm Tính độ dài cạnh ∆A′B′C′ HD: A′B′ = 15cm, B′C′ = 25cm, A′C ′ = 35cm Bài Cho tam giác ABC đường cao BH, CK a) Chứng minh ∆ABH # ∆ACK b) Cho ·ACB = 400 Tính ·AKH HD: b) ·AKH = ·ACB = 400 Bài Cho hình vuông ABCD Trên hai cạnh AB, BC lấy hai điểm P Q cho BP = BQ Gọi H hình chiếu B đường thẳng CP BH CH = a) Chứng minh ∆BHP # ∆CHB b) Chứng minh: BQ CD c) Chứng minh ∆CHD # ∆BHQ Từ suy ·DHQ = 900 HD: c) Chứng minh ·DHQ = ·CHD + ·CHQ = ·BHQ + ·CHQ = ·BHC = 900 Bài Hai tam giác ABC DEF có µA = µD , µB = µE , AB = 8cm, BC = 10cm, DE = 6cm a) Tính độ dài cạnh AC, DF, EF, biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm b) Cho diện tích tam giác ABC 39,69cm2 Tính diện tích tam giác DEF HD: a) ∆ABC # ∆DEF ⇒ EF = 7,5cm, DF = 9cm, AC = 12cm b) SDEF = 22,33(cm2 ) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, BH = 4cm, CH = 9cm Gọi I, K hình chiếu H lên AB, AC a) Chứng minh ∆AKI # ∆ABC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tứ giác AKHI 216 cm HD: b) S ABC = 39cm2 c) S AKHI = 13 Bài Cho tam giác ABC, có µA = 900 + µB , đường cao CH Chứng minh: a) ·CBA = ·ACH b) CH = BH AH Bài Cho tam giác ABC, hai trung tuyến BM CN cắt G Tính diệnt ích tam giác GMN, biết diện tích tam giác ABC S S HD: SGMN = 12 Bài 10 Cho hình vuông ABCD, cạnh a Gọi E điểm đối xứng với C qua D, EB cắt AD I Trên EB lấy điểm M cho DM = DA a) Chứng minh ∆EMC # ∆ECB b) Chứng minh EB.MC = 2a2 c) Tính diện tích tam giác EMC theo a HD: c) SEMC = a2 Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, lấy điểm M cho AM = 3MB Một đường thẳng qua M, song song với BC, cắt AC N Một đường thẳng qua N, song song với AB, cắt BC D Trang 32 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học a) Chứng minh ∆AMN # ∆ NDC b) Cho AN = 8cm, BM = 4cm Tính diện tích tam giác AMN, ABC NDC 200 32 cm , SNDC = cm HD: b) S AMN = 24cm , S ABC = 3 VẤN ĐỀ II Chứng minh hai tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC Gọi A′, B′, C′ trung điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ∆A′B′C′ # ∆CAB b) Tính chu vi ∆A′B′C′, biết chu vi ∆ABC 54cm HD: b) P′ = 27(cm) Bài Cho tam giác ABC, G trọng tâm tam giác Gọi E, F, H trung điểm AG, BG, CG Chứng minh tam giác EFH ABC đồng dạng với G trọng tâm tam giác EFH HD: Sử dụng tính chất đường trung bình trọng tâm tam giác Bài Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, P cho AM, BN, CP đồng qui O Qua A C vẽ đường thẳng song song với BO cắt CO, OA E F a) Chứng minh: ∆FCM # ∆OMB ∆PAE # ∆PBO MB NC PA = b) Chứng minh: MC NA PB HD: b) Sử dụng định lí Ta-lét tam giác đồng dạng Bài Cho tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AD = 8cm, AE = 6cm a) Chứng minh ∆AED # ∆ABC b) Tính chu vi tam giác ADE, biết BC = 25cm c) Tính góc ADE, biết µC = 200 HD: b) PADE = 24(cm) c) ·ADE = 20 Bài Cho góc ·xOy (·xOy ≠ 180 ) Trên cạnh Ox, lấy điểm A, B cho OA = 5cm, OB = 16cm Trên cạnh Oy, lấy điểm C, D cho OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh: ∆OCB # ∆OAD b) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh ·BAI = ·DCI HD: Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = 24cm, AC = 28cm Đường phân giác góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N hình chiếu điểm B, C đường thẳng AD BM AM DM = a) Tính tỉ số b) Chứng minh CN AN DN BM = HD: a) Chứng minh ∆BDM # ∆CDN ⇒ b) Chứng minh ∆ABM # ∆CAN CN Bài Cho hình bình hành ABCD Vẽ CE ⊥ AB CF ⊥ AD, BH ⊥ AC a) Chứng minh ∆ABH # ∆ACE b) Chứng minh: AB AE + AD AF = AC HD: b) Chứng minh: AB.AE = AC.AH, AD.AF = AC.CH ⇒ đpcm Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh OA.OD = OB.OC OH AB = b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự H, K Chứng minh OK CD HD: a) Chứng minh ∆OAB # ∆OCD Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O giao điểm ba đường cao AH, BK, CI Trang 33 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com a) Chứng minh OK.OB = OI.OC b) Chứng minh ∆OKI # ∆OCB c) Chứng minh ∆BOH # ∆BCK d) Chứng minh BO.BK + CO.CI = BC HD: Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A, AB = 5,4cm, AC = 7,2cm a) Tính BC b) Từ trung điểm M BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AC H cắt đường thẳng AB E Chứng minh ∆EMB # ∆CAB c) Tính EB EM d) Chứng minh BH vuông góc với EC e) Chứng minh HA.HC = HM.HE HD: a) BC = 9(cm) c) EM = 6(cm), EB = 7,5(cm) Bài 11 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH a) Hãy nêu cặp tam giác đồng dạng b) Cho AB = 12,45cm, AC = 20,50cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, AH, BH, CH HD: b) BC = 23,98cm, AH = 10,64cm, HB = 6,45cm, HC = 17,53cm 20 Bài 12 Cho tam giác ABC đường cao AH, AB = 5cm, BH = 3cm, AC = cm a) Tính độ dài AH b) Chứng minh ∆ABH # ∆CAH Từ tính ·BAC HD: a) AH = 4cm b) ·BAC = 900 Bài 13 Cho tứ giác ABCD, có ·DBC = 900 , AD = 20cm , AB = 4cm , DB = 6cm , DC = 9cm a) Tính góc ·BAD b) Chứng minh ∆BAD # ∆DBC c) Chứng minh DC // AB · HD: a) BAD = 90 Trang 34 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm Tia phân giác góc A, cắt cạnh BC D DB a) Tính DC b) Đường thẳng qua D, song song với AB, cắt AC E Chứng minh ∆EDC # ∆ABC c) Tính DE diện tích tam giác EDC DB 60 2400 = (cm2 ) HD: a) c) DE = (cm) , SEDC = DC 49 Bài Cho tam giác cân ABC, AB = AC = b, BC = a Vẽ đường cao BH, CK a) Chứng minh BK = CH b) Chứng minh KH // BC c) Tính độ dài HC HK a3 a2 HD: c) HC = , KH = a − 2b 2b Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm K, H cho BK CH = BI Chứng minh: a) ∆KBI # ∆ICH b) ∆KIH # ∆KBI c) KI phân giác góc ·BKH d) IH KB + HC.IK > HK BI HD: d) Chứng minh IH KB + HC.IK = BI (KI + IH ) > HK BI Bài Cho tam giác ABC (AB < AC) Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM a) Chứng minh HD + DM = HM b) Vẽ đường cao BF, CE So sánh hai đoạn thẳng BF CE c) Chứng minh ∆AFE # ∆ABC d) Gọi O trực tâm ∆ABC Chứng minh BO.BF + CO.CE = BC µA HD: a) AB < AC ⇒ DC > MC, ·CAH > ⇒ D nằm H M ⇒ đpcm b) BF < CE d) BO.BF = BC.BH, CO.CE = BC.CH AD AE = Bài cho tam giác ABC Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AB AC Đường trung tuyến AI (I ∈ BC) cắt đoạn thẳng DE H Chứng minh DH = HE DH HE = HD: ⇒ đpcm BI IC Bài Cho tam giác ABC vuông A, µC = 300 đường phân giác BD (D ∈ AC) DA a) Tính tỉ số b) Cho AB = 12,5cm Tính chu vi diện tích tam giác ABC CD DA = HD: a) b) BC = 25cm, AC = 21,65cm DC Bài Cho tam giác ABC cạnh a, M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho ·DME = 600 a2 b) Chứng minh ∆MBD # ∆EMD ∆ECM # ∆EMD c) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng DE a) Chứng minh BD.CE = HD: c) Vẽ MH ⊥ DE, MK ⊥ EC ⇒ MH = MK; MK = MC − CK = Trang 35 a Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Bài Cho tam giác ABC cân A, µA = 200 , AB = AC = b, BC = a Trên cạnh AC lấy điểm D cho ·DBC = 200 a) Chứng minh ∆BDC # ∆ABC b) Vẽ AE vuông góc với BD E Tính độ dài đoạn thẳng AD, DE, AE c) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 b DE = b − a a2 , , AD = b − c) AD = DE + AE ⇒ đpcm 2 b Bài Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, K điểm AM cho AM = 3AK, BK cắt AC N, P trung điểm NC a) Tính tỉ số diện tích tam giác ANK AMP b) Cho biết diện tích ∆ABC S tính diện tích tam giác ANK AB AC + =6 c) Một đường thẳng qua K cắt cạnh AB, AC I J Chứng minh AI AJ S ANK S = HD: a) b) S AMP = S AMC ; SAMC = SABC ⇒ S ANK = S AMP 30 c) Vẽ BE // IJ, CH // IJ (E, H ∈ AM) ⇒ ∆EBM = ∆HCM ⇒ EM = MH; AB AE AC AH = , = ⇒ đpcm AI AK AJ AK Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC O giao điểm đường trung trực, H trực tâm, G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh ∆OMN # ∆HAB b) So sánh độ dài AH OM c) Chứng minh ∆HAG # ∆OMG d) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO HD: b) AH = 2OM d) ·HGO = ·HGM +·MGO = ·HGM + ·AGH = ·MGA = 1800 ⇒ đpcm Bài 11 Cho tam giác ABC, đường cao AK BD cắt G Vẽ đường trung trực HE, HF AC BC Chứng minh: a) BG = 2HE b) AG = 2HF HD: ∆ABG # ∆FEH ⇒ đpcm Bài 12 Cho hình thang vuông ABCD (AB // DC, µA = µD = 900 ) Đường chéo BD vuông góc với HD: b) AE = cạnh bên BC Chứng minh BD = AB.DC HD: Chứng minh ∆ABD # ∆BCD Bài 13 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), O trung điểm cạnh đáy BC Một điểm D di động cạnh AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = OB2 Chứng minh: BD a) Hai tam giác DBO, OCE đồng dạng b) Tam giác DOE đồng dạng với hai tam giác c) DO phân giác góc ·BDE , EO phân giác góc ·CED d) Khoảng cách từ điểm O đến đoạn ED không đổi D di động AB HD: d) Vẽ OI ⊥ DE, OH ⊥ AC ⇒ OI = OH Bài 14 Cho tam giác ABC, µB,µC góc nhọn Các đường cao AA′, BB′, CC′ cắt H a) Chứng minh: A′A.A′H = A′B.A′C b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Giả sử đường thẳng GH song song với cạnh đáy BC Chứng minh: A′A2 = A′B A′C Trang 36 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học A′A Bài 15 Cho hình thang KLMN (KN // LM) gọi E giao điểm hai đường chéo Qua E, vẽ 1 = + đường thẳng song song với LM, cắt MN F Chứng minh: EF KN LM EF EF , HD: Tính tỉ số LM KN Bài 16 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AC BC D E; đường thẳng song song với AC, cắt AB BC F K; đường thẳng song song với BC, cắt AB AC M N Chứng minh: AF BE CN + + =1 AB BC CA AF KC CN KE = , = HD: Chứng minh ⇒ đpcm AB BC CA BC Bài 17 Qua điểm O tuỳ ý tam giác ABC, vẽ đường thẳng AO, BO, CO cắt BC, OA′ OB′ OC′ + + = CA, AB A′, B′, C′ Chứng minh: AA′ BB′ CC ′ SBOC OA′ OA′ OI SBOC = OI = = HD: Vẽ AH ⊥ BC, OI ⊥ BC ⇒ ; ⇒ S ABC AA′ AA′ AH S ABC AH HD: a) Chứng minh ∆BA′H # BB′C, ∆CAA′ # ∆CB′B b) GH // BC ⇒ A′H = SCOA OB′ S AOB OC ′ = , = ⇒ đpcm S ABC BB′ S ABC CC ′ Bài 18 Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R Chứng minh PB QC RA = (định lí Ceva) đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui O PC QA RB HD: Qua C A vẽ đường thẳng song song với BQ, cắt đường thẳng AP E cắt PB OB RA AD QC EC = , = , = đường thẳng CR D Chứng minh ⇒ đpcm PC EC RB OB QA AD Bài 19 Trên đường thẳng qua cạnh BC, CA, AB tam giác ABC, lấy điểm P, Q, R (không trùng với đỉnh tam giác) Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng PB QC RA = (định lí Menelaus) hàng PC QA RB HD: Gọi khoảng cách từ A, B, C đến đường thẳng PQR m, n, p PB n QC p RA m = , = , = Ta có: ⇒ đpcm PC p QA m RB n Tương tự: Trang 37 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com CHƯƠNG IV: HÌNH LĂNG TRỤ – HÌNH CHÓP ĐỀU I Mở đầu hình học không gian Đường thẳng, mặt phẳng – Qua ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng – Qua hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng – Đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Hai đường thẳng song song không gian – Hai đường thẳng a, b gọi song song với chúng nằm mặt phẳng điểm chung Kí hiệu a // b – Hai đường thẳng phân biệt, song song với đường thẳng thứ ba song song với Chú ý: Hai đường thẳng phân biệt không gian có thể: – Cắt – Song song – Chéo (không nằm mặt phẳng) Đường thẳng song song với mặt phẳng – Một đường thẳng a gọi song song với mặt phẳng (P) đường thẳng không nằm mặt phẳng (P) song song với đường thẳng b nằm mặt phẳng Kí hiệu a // (P) – Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng chúng điểm chung Hai mặt phẳng song song – Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt nhau, song song với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) // (P) – Hai mặt phẳng song song với điểm chung – Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có chung đường thẳng qua điểm chung (đường thẳng chung đgl giao tuyến hai mặt phẳng) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Đường thẳng a gọi vuông góc với mặt phẳng (P) đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng (P) Kí hiệu a ⊥ (P) – Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) điểm A vuông góc với đường thẳng nằm (P) qua điểm A Hai mặt phẳng vuông góc – Mặt phẳng (Q) gọi vuông góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) Kí hiệu (Q) ⊥ (P) II Hình hộp chữ nhật - Hình lập phương • Hình hộp chữ nhật có: mặt hình chữ nhật, đỉnh, 12 cạnh • Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vuông • Thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc • Thể tích hình lập phương cạnh a là: V = a3 III Hình lăng trụ đứng • Hình lăng trụ đứng có: – Hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song – Các cạnh bên song song, vuông góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên đgl chiều cao hình lăng trụ đứng – Các mặt bên hình chữ nhật vuông góc với hai mặt phẳng đáy – Hình hộp chữ nhật, hình lập phương hình lăng trụ đứng – Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành đgl hình hộp đứng • Diện tích - Thể tích – Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao: Trang 38 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học Sxq = ph (p: nửa chu vi đáy, h: chiều cao) – Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy Stp = Sxq + 2S (S: điện tích đáy) – Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) IV Hình chóp - Hình chóp cụt • Hình chóp có: – Đáy đa giác, mặt bên tam giác có chung đỉnh – Đường thẳng qua đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy gọi đường cao • Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh – Chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn qua đỉnh mặt đáy – Đường cao vẽ từ đỉnh mặt bên hình chóp đgl trung đoạn hình chóp • Hình chóp cụt phần hình chóp nằm mặt phẳng đáy hình chóp mặt phẳng song song với đáy cắt hình chóp – Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân • Diện tích - Thể tích: – Diện tích xung quanh hình chóp tích nửa chu vi đáy với trung đoạn: Sxq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn) – Diện tích toàn phần hình chóp tổng diện tích xung quanh diện tích đáy: Stp = S xq + S (S: diện tích đáy) – Thể tích hình chóp phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao: V = S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao) * Đường tròn qua tất đỉnh đa giác đgl đường tròn ngoại tiếp đa giác VẤN ĐỀ I: Chứng minh tính chất song song - vuông góc Bài 50.Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp(ABC) Nối S với A, B, C Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, SC, SA a) Chứng minh MQ // mp(SBC) NP // mp(SAB) b) Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Bài 51.Cho hình thang vuông ABCD, µB = µC = 900 AD không song song với BC Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) B, lấy điểm S nối S với A, C, D a) Chứng minh AB ⊥ mp(SBC) b) Chứng minh mp(SBC) ⊥ mp(ABCD) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD) Bài 52.Cho hình vuông ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) O, lấy điểm S nối S với A, B, C, D a) Chứng minh mp(SAC) ⊥ mp(SBD) b) Gọi M, N, P, Q trung điểm SA, SB, SC, SD Chứng minh mp(MNPQ) // mp(ABCD) c) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác biết AB = a Trang 39 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com a Bài 53.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH a) Đường thẳng BF vuông góc với mặt phẳng nào? b) Chứng minh mp(AEHD) ⊥ mp(CGHD) c) Gọi M, P theo thứ tự trung điểm AE, CG Chứng minh MP // AC d) Gọi N, Q theo thứ tự trung điểm BF, DH Chứng tỏ M, N, P, Q nằm mặt phẳng mp(MNPQ) song song với mặt phẳng nào? HD: c) MNPQ hình vuông; SMNPQ = VẤN ĐỀ II: Tính diện tích - thể tích Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = 12cm, AD = 16cm, AA′ = 25cm a) Chứng minh ACC′A′, BDD′B′ hình chữ nhật b) Chứng minh BD′2 = AB + AD + AA′2 c) Tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ Bài Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm, có chứa nước với độ sâu nước 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2dm, chiều rộng 1dm chiều cao 0,5dm vào thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miện thùng bao nhiêm dm? (giả thiết toàn gạch ngập nước gạch không thấm nước) ĐS: Nước dâng lên cách miệng thùng 2,49dm Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy tam giác cạnh a M trung điểm cạnh BC ·A′MA = 600 a) Tính độ dài đoạn thẳng AA′ b) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần thể tích hình lăng trụ 3a a2 a2 3 ĐS: a) AA′ = b) Sxq = ; Stp = (9 + 3) ; V = a 2 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD hình thoi cạnh a ·DAB = 600 , AA′ = a a) Chứng minh mp(A′BD) // mp(CB′D′) b) Chứng minh mp(ACCA′) ⊥ mp(BDD′B′) c) Tính diện tích toàn phần thể tích hình lăng trụ a3 Bài Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy tam giác đều, AA′ = 5cm ·BAB′ = 450 Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ ĐS: c) Stp = (4 + 3)a2 ; V = 125 3 cm Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có cạnh AB = a, AD = b M N hai điểm cạnh AB, BC Mặt phẳng (MDD′) cắt A′B′ M′, mặt phẳng (NDD′) cắt B′C′ N′ Các mặt phẳng chia hình hộp thành ba phần tích a) Tính AM, CN theo a, b b) Tính tỉ số thể tích hai hình lăng trụ đứng DMN.D′M′N′ BMN.B′M′N′ VDMN D′M ′N ′ 2a = ĐS: a) AM = ; CN = b Sử dụng giả thiết thể tích b) VBMN B′M ′N ′ 3 Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên 25cm, đáy hình vuông có cạnh 30cm a) Tính độ dài đường cao, diện tích toàn phần thể tích hình chóp ĐS: Sxq = 75cm ; V = Trang 40 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông, O′ trung điểm SO Cắt hình chóp mặt phẳng qua O′ song song với mp(ABCD) ta hình chóp cụt ABCD.A′B′C′D′ Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cụt ĐS: a) SO = 43cm; Stp = 2100cm ; V = 1500 43cm3 2625 43 cm Bài Cho hình chóp S.ABC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính R = OA = 3cm M, N, P trùng điểm cạnh AB, BC, CA a) Chứng minh ·SMO = ·SNO = ·SPO b) Sxq = 900cm ; V = b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp, biết ·SMO = 600 Bài Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo A′C′ B′D′ a) Chứng minh hình chóp S.ABCD hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.ABCD hình lập phương VS ABCD = ĐS: b) VABCD A′B′C ′D′ Bài 10 Cho hình chóp lục giác S.MNOPQR H tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đáy có bán kính R = HM = 12cm, chiều cáo SH = 35cm a) Tính diện tích đáy thể tích hình chóp b) Tính độ dài cạnh bên SM diện tích toàn phần hình chóp ĐS: a) SMNOPQR = 108cm ; V = 70 108cm3 b) SM = 37cm; Stp = 36 1333 + 108 (cm ) Bài 11 Cho hình chóp cụt ABC.A′B′C′ có cạnh AB = 2a, A′B′ = a, đường cao mặt bên a a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt b) Tính cạnh bên, chiều cao thể tích hình chóp cụt a 17 a2 a ĐS: a) Sxq = b) AA′ = , OO′ = , VABC A′B′C ′ = a3 2 Bài 12 Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi S giao điểm hai đường chéo A′C′ B′D′, M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Chứng minh hình chóp S.MNPQ hình chóp b) Tính tỉ số thể tích hình chóp S.MNPQ hình hộp đứng V ĐS: b) = V Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 8cm, chiều cao 10cm a) Tính diện tích toàn phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp 640 (cm3 ) ĐS: a) Sxq = 16 116 (cm2 ), Stp = 16 116 + 64(cm2 ) b) V = Trang 41 Hình học LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′, đáy ABCD hình thang vuông có µA = µD = 900 , AB = BC = AA′ = 4cm, µC = 600 a) Chứng minh mp(ABB′A′) ⊥ mp(ADD′A′) b) Tính diện tích toàn phần, thể tích hình lăng trụ đứng ĐS: b) Sxq ≈ 34,92(cm ), V ≈ 69,20(cm3 ) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ a) Tứ giác AA′C′C hình gì? b) Gọi O giao điểm AC′ A′C Chứng minh ba điểm B, O, D′ thẳng hàng c) Tính thể tích hình hộp, biết AD = 4cm, AB = 3cm, BD′ = 13cm ĐS: a) AA′C′C hình chữ nhật b) O trung điểm BD′ c) V = 144(cm3 ) Bài Cho hình chóp S.ABC, đáy tam giác có cạnh 4cm Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh ·SAH = ·SBH = ·SCH b) Tính thể tích hình chóp, biết ·SAH = 450 ĐS: b) V ≈ 5,33(cm3 ) Bài Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy hình thoi cạnh 6cm, góc ·ABD = 600 Gọi M, N trung điểm cạnh AA′, CC′ a) Tứ giác B′MDN hình gì? b) Khi tứ giác B′MDN hình vuông, tính thể tích hình lăng trụ ĐS: a) B′MDN hình thoi b) V ≈ 264,72(cm3 ) Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD hình vuông, AB = 20cm, AA′ = 19,4cm a) Chứng minh tứ giác ABC′D′, CDA′B′ hình chữ nhật b) Tính thể tích diện tích toàn phần hình hộp c) Gọi S giao điểm hai đường chéo A′C′ B′D′ Chứng minh S.ABCD hình chóp d) Tính độ dài cạnh bên SA, diện tích toàn phần thể tích hình chóp ĐS: b) Stp = 2352(cm ), V = 7760(cm3 ) d) SA = 24(cm), Stp = 1272(cm ), V = 2586,7(cm3 ) Trang 42 [...]... chất của hình chữ nhật và hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết: • Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông • Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông • Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông • Hình thoi có một góc vuông là hình vuông • Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông • Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi... Trang 13 Hình học 8 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com IX HÌNH THOI 1 Định nghĩa: Hình thoi là một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau 2 Tính chất: Trong hình thoi: • Hai đường chéo vuông góc với nhau • Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi 3 Dấu hiệu nhận biết: • Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi • Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi • Hình bình... là hình gì? b) Tứ giác ABED là hình gì? Trang 18 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com c) Tính số đo của góc ·AED Hình học 8 ĐS: a) ECDF là hình thoi b) ABED là hình thang cân c) ·AED = 900 Bài 9 Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD Gọi O là trung điểm của EF Qua O vẽ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự tại M và N a) Tứ giác EMFN là hình. .. tích bằng nhau Trang 22 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học 8 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, AD = 6 ,8 cm Gọi H, I, E, K là các trung điểm tương ứng của BC, HC, DC, EC a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK ĐS: a) SDBE = 20,4 cm2 b) SEHIK = 8, 55 cm2 Bài 2 Cho hình vuông ABCD có tâm đối xứng O, cạnh a Một góc vuông xOy có tia Ox... e) ∆ACD vuông tại C và CA = 3CD Bài 7 Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K a) Tứ giác OBKC là hình gì? b) Chứng minh AB = OK c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông ĐS: a) OBKC là hình chữ nhật c) ABCD là hình vuông Bài 8 Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và... và EB ⊥ FG b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng BE, AG, CF đồng qui Bài 8 Cho tam giác ABC Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC, các hình vuông ABDE và ACFG Vẽ hình bình hành EAGH Chứng minh rằng: a) AK = BC và AH ⊥ BC b) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui Trang 17 Hình học 8 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I Bài 1 Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB,... giác BPQC là hình chữ nhật b) Chứng minh SBPQC = S ABC Bài 14.Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Chứng minh các tứ giác ADCM và ABCN có diện tích bằng nhau Bài 15.Cho hình thang vuông ABCD ( µA = µD = 900 ), AB = 3cm, AD = 4cm và ·ABC = 1350 Tính diện tích của hình thang đó Trang 20 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học 8 ĐS: S ABCD = 20cm2 Bài 16.Cho tam... là: a) Hình chữ nhật ĐS: AC ⊥ BD b) Hình thoi ĐS: AC = BD c) Hình vuông ĐS: AC = BD và AC ⊥ BD Bài 2 Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM Gọi I là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng của điểm M qua điểm I a) Tứ giác AMCK là hình gì? b) Tứ giác AKMB là hình gì? c) Có trường hợp nào của tam giác ABC để tứ giác AKMB là hình thoi ĐS: a) AMCK là hình chữ nhật b) AKMB là hình bình hành c) Không Bài. .. cạnh hình thoi ĐS: AB = 41 (cm) Trang 14 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com Hình học 8 Bài 2 Cho hình thoi ABCD có µA = 600 Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho BM = CN Chứng minh tam giác MDN là tam giác đều Bài 3 Cho hình thoi ABCD có µA = 600 Trên AD và CD lấy các điểm M, N sao cho AM + CN = AD Gọi P là điểm đối xứng của N qua BC, MP cắt BC tại Q Tứ giác MDCQ là hình. .. MDCQ là hình gì ? Bài 4 Cho P là một điểm chuyển động trong tam giác ABC sao cho ·PBA = ·PCA Hạ PM ⊥ AB; PN ⊥ AC (M ∈ AB; N ∈ AC) Gọi K, S là hai đỉnh khác của hình thoi KMSN Chứng minh KS đi qua một điểm cố định Bài 5 Trang 15 Hình học 8 LUYỆN THI BIÊN HÒA www.luyenthibienhoa.com X HÌNH VUÔNG 1 Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau 2 Tính chất: Hình vuông có tất ... Tính độ dài cạnh bên SM diện tích toàn phần hình chóp ĐS: a) SMNOPQR = 108cm ; V = 70 108cm3 b) SM = 37cm; Stp = 36 1333 + 1 08 (cm ) Bài 11 Cho hình chóp cụt ABC.A′B′C′ có cạnh AB = 2a, A′B′ = a,... giác • Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc Một số kết • Tổng góc đa giác n cạnh (n − 2). 180 (n − 2). 180 0 • Mỗi góc đa giác n cạnh n n(n − 3) • Số đường chéo đa giác n cạnh Diện tích • Diện... AB = 12 cm, AD = 6 ,8 cm Gọi H, I, E, K trung điểm tương ứng BC, HC, DC, EC a) Tính diện tích tam giác DBE b) Tính diện tích tứ giác EHIK ĐS: a) SDBE = 20,4 cm2 b) SEHIK = 8, 55 cm2 Bài Cho hình