Tich phan Dac Biet

www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương BÀI PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử u = u ( x ) ; v = v(x) có đạo hàm liên tục miền D, ta có: ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ • d ( uv ) = udv + vdu ⇔ d ( uv ) = udv + vdu ⇔ uv = udv + vdu b ⇒ ∫ udv = uv − ∫ vdu ⇒ ∫ udv = ( uv ) a b a b ∫ − vdu a Nhận dạng: Hàm số dấu tích phân thường tích loại hàm số khác Ý nghĩa: Đưa tích phân phức tạp tích phân đơn giản (trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân phần khử bớt hàm số dấu tích phân cuối lại loại hàm số dấu tích phân) Chú ý: Cần phải chọn u, dv cho du đơn giản dễ tính v đồng thời tích phân ∫ vd u đơn giản tích phân ∫ udv II CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv Dạng 1: ∫ u = P ( x )  sin ( ax + b ) dx   sin ( ax + b ) dx  cos ( ax + b ) dx  cos ( ax + b ) dx P (x)  ⇒ ax + b  dv = e dx  ax + b  e dx  ax + b   m dx ax + b   m dx   (trong P(x) đa thức) Dạng 2: ∫ dv = P ( x ) dx  arcsin ( ax + b ) dx  arcsin ( ax + b )  arccos ( ax + b ) dx  arccos ( ax + b )    ( ) arctg ax + b dx  arctg ( ax + b ) P (x)  ⇒ (trong P(x) đa thức)  u = ( )  arc cotg ax + b dx  ( )  arc cotg ax + b  ln ( ax + b ) dx  ln ( ax + b )    log m ( ax + b ) dx  log m ( ax + b )  Dạng 3: ∫  sin ( ln x ) sin ( ln x ) dx  cos ( ln x )  ( ) u =  k cos ln x dx x  ⇒  sin ( loga x ) ; sin log x dx ( )  a cos ( loga x)  cos ( loga x ) dx   k  dv = x dx 210 ∫  eax+b sin ( αx + β) dx  eax+b  ax+b u =  ax+b  e cos ( αx + β) dx ⇒  m  max+b sin ( αx + β) dx  dv = sin ( αx + β) dx  ax+b cos ( αx + β) dx m cos ( αx + β) dx  www.VNMATH.com Bài Phương pháp tích phân phần III CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: Dạng 1: ∫ P ( x ) {sin ( ax + b ) ; cos ( ax + b ) ; e ax+b ; m ax+b } dx ∫ • A1 = x cos x dx  u = x du = 3x dx Cách làm chậm: Đặt  Khi ta có: ⇒ dv = cos x dx  v = sin x  u = x du = 2x dx A1 = x sin x − x sin x dx Đặt  Khi ta có: ⇒ dv = sin x dx  v = −cosx ∫ u = x du = dx A1 = x sin x −  − x cos x + x cos x dx  Đặt  ⇒   dv = cos x dx  v = sin x ∫ ( ∫ ) A1 = x sin x + 3x cos x − xsin x − sin xdx = x sin x + 3x cos x − ( xsin x + cos x ) + c Cách làm nhanh: Biến đổi dạng ∫ P ( x ) L ( x ) dx = ∫ P ( x ) du A1 = x3 cos x dx = x d ( sin x ) = x sin x − sin x d ( x3 ) = x3 sin x − x sin x dx ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 = x sin x + x d ( cos x ) = x sin x +  x cos x − cos x d ( x )    ∫ ∫ ∫ ∫ = x sin x + 3x cos x − x cos x dx = x sin x + 3x cos x − x d ( sin x ) ( ∫ ) = x sin x + 3x cos x − xsin x − sin xdx = x sin x + 3x cos x − ( xsin x + cos x ) + c ∫ • A2 = x e 5x − dx = ( x −1 )  x −1 x d e = xe − e5 x −1 d ( x3 )   5 ∫ ∫ 1 ( 5x −1 )  =  x e5x −1 − x e5x −1 dx  =  x e5x −1 − x d e    5 ∫ ∫ 3 xe5x −1 dx = x e5x −1 −  x e5x −1 − e5x −1 d ( x )  = x e5x −1 − x e5x −1 +   25 25 25 ∫ ∫ = x e5x −1 − x e5x −1 + x d ( e5x −1 ) = x e5x −1 − x e5x −1 + 25 125 25 ∫ +  5x −1 6 5x −1 xe − e5x −1 dx  = x e5x −1 − x e5x −1 + xe5x −1 − e +c  125  25 125 625 ∫ Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n phải n lần sử dụng tích phân phần 211 www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương π2 /4 ∫ • A3 = x sin x dx Đặt t = x ⇒ t = x ⇒ π2 ∫ 3 π2 A3 = t sin t dt = −2 t d ( cos t ) = −2t cos t 0 π2 π2 ∫ 0 π2 3π = + 12t cos t − 12 ∫ t π/2 2tdt π2 ∫ cos t dt = x sin x cos xdx = − π =− + 48 π6 ∫ π2 + ∫ cos td ( t ) = ∫ t cos t dt π2 ∫ • A4 = π2/4 π2 = t d ( sin t ) = 6t sin t − sin td ( t ) = π6 dx π2 ∫ x π ∫ π2 π2 ∫ ∫ 3π2 3π2 −12 t sin t dt = + 12 td ( cos t ) 2 0 π2 3π2 3π2 − 12 sin t = − 12 2 x cos3 x x d ( cos3 x ) = − π + π ∫ cos x dx π6 (1 − sin x ) d ( sin x ) = − π +  sin x − sin x  = 11π − π 48  0 72 48 u = x e x du = x ( x + ) e x dx  x e dx  • A5 = Đặt  dx ⇒  ( ) dv = v = − x+ 2 ( ) x+2  x+2  ∫ x x 1 1 x e e e x x x A5 = − + xe dx = − + xe dx = − + xd ( e ) x+20 3 e x = − + xe Dạng 2: ∫ ∫ ∫ e x x − e dx = − + e − e ∫ =1− e ∫ P ( x ) {arcsin u; arccos u; arctg u; arc cotg u ; ln u ; log e ∫ • B1 = x ( ln x ) dx = m u u = ax + b} dx e e e   ( ln x ) d ( x ) =  x3 ( ln x )2 − x3 d ( ln x )  31   ∫ ∫ e e  1 e  1 dx   =  e3 − 2x ln x ln x d ( x )   =  e − 2x ln x dx  =  e −  3   x   31 1    ∫ ∫ ∫ e e 3 e  e3 e e ( e 5e ) ( ) = −  x ln x − x d ln x  = − e + x dx = + x = −  91 27 27 27  ∫ 212 ∫ www.VNMATH.com Bài Phương pháp tích phân phần 12 • B2 = ∫  1+ x  x ln   dx =  1− x  = ln − = ln − 12 ∫ x ⋅ 12 ∫ 12 ∫ 12 12 + x   + x  ( )  + x   ln   d x =  x ln  − x d  ln   1− x   1− x   − x  ∫ − x dx ⋅ = ln − 1+ x 1− x   1 −  dx = ln −  1+ x  12 12 ∫  x    dx 1+ x   ∫ 1 + (1 + x ) − 2  dx + x  12 1 ln 3   = ln −  x − − ln + x  = + ln − 1+ x  0 • B3 = ∫ ln ( x + 1+ x ) dx =  x ln ( x + 1 1+ x ) − ∫ xd ln ( x + + x )  1 x  dx x dx  = ln (1 + ) − x  + = ln (1 + ) −  2 1+ x  x + 1+ x  1+ x ∫ = ln (1 + ) − • B4 = ∫ ∫ d (1 + x ) = ln (1 + ) − + x 2 1+ x ∫ x ln ( x + + x 1+ x = 1+ x 2 ln ( x + ) dx = ln ( x + ∫0 1+ x ) 1 − ∫ 0 = ln (1 + ) + − 1 + x2 ) d ( + x2 + x d  ln x + + x  ∫ ( = ln (1 + ) − ) )   dx x  + x 1 +   1+ x  x + 1+ x  = ln (1 + ) − dx = ln (1 + ) − ∫ • B5 = ∫ x ln ( x + + x x + + x2 x  ⇒ du =  + 1+ x  ) dx Đặt   dx  (x + u = ln x + + x   x dx =x dv = x + + x  ( ) + x2 = ) ( ) + x − x dx dx 1+ x 213 www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương ( )1 ( 2) 2 )3 ( x d x x dx x + + − = + − x   ∫ ∫ v= 1 ( dx 1 32  32 3 B5 =  (1 + x ) − x  ln x + + x  −  1+ x ) − x  3 0 1+ x ( = = = = = ) ∫ (2 − 1) ln (1 + ) dx x dx − + 3 + x2 + x2 (2 − 1) ln (1 + ) 1 (1 + x ) − ( d 1+ x ) − arctg x + 3 1+ x (2 − 1) ln (1 + ) π ( 12 −1  − +  + x ) − (1 + x )  d (1 + x ) 12 (2 − 1) ln (1 + ) π  ( 32 12 − +  + x ) − (1 + x )  12  0 (2 − 1) ln (1 + ) π − − + 12 1 ∫ ∫ 1 ∫ ∫ 1 • B6 = ∫ x ln ( x + 1+ x ) dx = ∫ ln ( x + 2  x ln x + + x  =  ( )  + x2 ) d ( x2 ) 1  − x d  ln x + + x   ( ∫ ) = 1 2 x dx 1  = ln (1 + ) − ln (1 + ) − x 1+  2  2 1+ x  x + 1+ x ∫ x dx ∫ Xét I = ⇒I= 1+ x π4 = ∫ 214 π4 x dx ∫ ) Đặt x = tg t ; t ∈  0, π ⇒  2 1+ x = ∫ tg t ⋅ + tg t cos t 2 sin t d ( sin t ) (1 − sin t )2 dt = ∫ u du (1 − u )2 π4 = 0 dx dt cos t π4 sin t ∫ cos = x t 2 ∫ t dt = π/4 sin t ∫ cos d ( sin t ) t  (1 + u ) − (1 − u )   (1 + u ) (1 − u )  du   ∫ x dx 1+ x www.VNMATH.com Bài Phương pháp tích phân phần = 2 ∫ 2   −   du = 1− u 1+ u  ∫ 1 1 1+ u  =  − − ln  1− u 1+ u 1− u    du + − ( 2 (1 + u ) − u   − u) 2 − ln (1 + ) =  1 1 2 ⇒ B6 = ln (1 + ) − I = ln (1 + ) −  − ln (1 + )  = − + ln (1 + ) 2 2  • B7 = ∫ 0 1 x d ( ln − x ) ln − x d ( x2 ) = x2 ln − x −8 − −8 2 −8 ∫ x ln − xdx = −8 ∫ 0 = −32 ln − −1 dx x dx x2 ⋅ ⋅ = −32 ln + −8 −8 − x 1− x 1− x = −32 ln + 1 − (1 − x −8 − x = −32 ln + 1  l 63 − ln − x − x − x  = −32 ln + + ln = − ln  4  −8 2 ∫ ∫ ∫ )   − (1 + x )  dx −8 1 − x  ∫ dx = −32 ln + 0 • B8 = ln − x ∫ (1 − x ) dx Đặt t = − x ⇒ 1− x −3 Khi ta có: B8 = ∫ ln t 2 t 2 x −3 t dx −2tdt (t) ( −2t dt ) = ln t dt2 = ln t d −1 ∫ ∫ t 2 −2 ln t −1 dt d ( ln t ) = − ln + 2 = − ln − = −2 = − ln t t t1 1 t • B9 = = x ln x dx ∫ (x ∫ + 1) − ln x ( x + 1) ln x d ( x + 1)  −1  = = ln x d   2 ( x + 1) 21  x + 1 3 ∫ ∫ 3 1 − ln dx + d ( ln x ) = + 2 x +1 20 x ( x + 1) ∫ ∫ − ln ( x + 1) − x − ln  x  dx = + +  −  dx 20 x ( x + 1) 20  x x +1 = ∫ ∫ ∫ − ln  ln  = + ln x − ( x + 1)  = −2 20 2 20 1 215 www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương Dạng 3: Tích phân phần luân hồi ∫ • C = x sin ( ln x ) dx = 1 sin ( ln x ) d ( x3 ) = x sin ( ln x ) − x d ( sin ( ln x ) ) 3 ∫ ∫ 1 dx 1 = x3 sin ( ln x ) − x3 cos ( ln x ) = x3 sin ( ln x ) − x2 cos ( ln x ) dx 3 x 3 ∫ ∫ 1 3 3 = x sin ( ln x ) − cos ( ln x ) d ( x ) = x sin ( ln x ) − x cos ( ln x ) + x d ( cos ( ln x ) ) 9 ∫ ∫ 3 3 = x sin ( ln x ) − x cos ( ln x ) − x sin ( ln x) dx = x sin ( ln x ) − x cos ( ln x ) − C1 9 9 ∫ ⇒ 10 1 C1 = x3 sin ( ln x ) − x3 cos ( ln x ) ⇒ C1 = 3x3 sin ( ln x ) − x3 cos ( ln x )  + c 9 10 π π 2x e2 x e (1 − cos 2x ) dx = • C2 = e sin x dx = 20 ∫ 2x ∫ π π − π ∫ J = e x cos x dx = π π ∫ π ∫ π π 2x 1 e d ( cos 2x ) = e 2x cos 2x − cos 2x d ( e 2x ) 20 2 0 ∫ π 2π 2π ∫ 2π 2π −1 e −1 e −1 e −1 2x − e cos 2x dx = − J ⇒ 2J = ⇒J= 2 ⇒ C2 = ∫ e2 π − 1 e2π − e2 π − e2 π − − J= − = 4 8 eπ • C3 = ∫ π ∫ e 2x e2π −1 e cos x dx = − J 20 2x 2x 2x e d ( sin 2x ) = e sin 2x − sin 2x d ( e ) 20 2 0 = − e 2x sin 2x dx = = π ∫ cos ( ln x ) dx = eπ x cos ( ln x ) − eπ eπ ∫ xd ( cos ( ln x )) = − ( e π e x sin ( ln x ) eπ e π ∫ − xd ( sin ( ln x ) ) e ∫ sin ( ln x ) dx π π π = − ( e + 1) + ∫ sin ( ln x ) dx = − ( e + 1) + + 1) + π = − ( e + 1) − cos ( ln x ) dx = − ( e + 1) − C3 ⇒ 2C3 = − ( e + 1) ⇒ C3 = ∫ π π π eπ eπ 1 • C4 = ∫ cos ( ln x ) dx = ∫ [1 + cos ( 2ln x)] dx = x eπ 216 2 eπ −1 ( π ) e +1 eπ −1 1 − cos ( 2ln x) dx = − I 21 2 ∫ www.VNMATH.com Bài Phương pháp tích phân phần eπ eπ eπ ∫ eπ ∫ ∫ Xét I = cos ( ln x ) dx = xcos( 2lnx) − xd( cos( 2lnx) ) = e −1+ x π 1 e π e e π 2sin ( 2lnx) dx x π π = e − + ∫ sin ( ln x ) dx = e − + 2x sin ( ln x ) − ∫ xd ( sin ( ln x ) ) π e ∫ π π e = e −1− x cos ( ln x ) π π dx = e − − cos ( ln x ) dx = e − − 4I x ∫ ⇒ 5I = eπ − ⇒ I = ∫ • C5 = e x =e x =e x π eπ − eπ − ( π ⇒ C4 = e π − + I = e π − + = e − 1) 5 + sin x + sin x ( x ) x + sin x dx = d e =e − e x d + sin x + cos x + cos x + cos x + cos x ∫ ( ∫ x ) x + sin x e dx e sin x dx x + cos x + sin x x + sin x − e − − dx = e + cos x + cos x + cos x (1 + cos x ) (1 + cos x )2 ∫ ∫ x ∫ x + sin x e dx e sin x dx − I − J (1) ; I = ;J= + cos x + cos x (1 + cos x )2 ∫ ∫ du = e x dx u = e x   Xét J = Đặt  ⇒ −d (1 + cos x ) sin x dx (1 + cos x ) = dv = v = 2 (1 + cos x ) + cos x (1 + cos x )   ∫ e x sin x dx ∫ x x ⇒ C5 = e π • C6 = x x e e dx e − = −I + cos x + cos x + cos x ⇒ J= ∫ ∫ x  ex  + sin x e x + sin x −I− − I + c = e − +c + cos x + cos x + cos x  + cos x  π π ∫ −x π π π − ∫ −x 1− e e cos x dx = 20 ∫ π ∫ π π sin x −x −x −x dx = e (1 − cos x ) dx = e dx − e cos x dx x 20 20 20 e −e = J= e (2) Thay (2) vào (1) ta có: −x π −π − −x e cos x dx = e d ( sin 2x ) = 20 ∫ π ∫ −x 1− e e cos x dx = 20 ∫ −x sin 2x π − J π − −π −x sin 2x d ( e ) 20 ∫ π π −x −1 − x e− x cos x e sin x dx = e d ( cos x ) = − cos x d ( e − x ) = + 20 4 40 ∫ ∫ ∫ 217 www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương π = − e −π − x − e −π − e −π − e −π e cos x dx = − − J ⇒ J= ⇒J= 40 4 4 ∫ ⇒ C6 = − e −π 1 − e −π − e −π ( − J= − = − e −π ) 2 10 a • C7 = ∫ a − x dx ; ( a > ) C7 = x a − x a = a2 a ∫ ∫ 0 ∫ − a2 − x2 a ⇒ 2C7 = a2 − x2 a − x dx = a arcsin πa πa ⇒ C7 = a x dx a dx ∫ a − x d ( a2 − x2 ) = x a a2 − ( a2 − x2 ) a − ∫ dx a2 − x2 a ∫ = a − x dx = πa − C7 2 a • C8 = ∫ a + x dx ; ( a > ) C8 = x a + x a a ( − ∫ xd a +x a ) = a2 2− a =a 2− ∫ ( a2 + x2 ) − a2 a +x ∫ x2 dx a2 + x2 a a dx = a 2− ∫ 2 a + x dx + a a a = a 2 + a ln x + a + x − ∫ dx a + x2 a + x dx = a 2 + a ln (1 + ) − C8 ∫ ⇒ 2C8 = a 2 + a ln (1 + ) ⇒ C8 = a ∫ • C9 = x du = dx  ⇒ 2 2 dv = x a + x dx  v = ( a + x )  u = x a + x dx ; ( a > ) Đặt  2 a x 2 C9 = ( a + x ) = 218 + ln (1 + ) a 2 a2 a − 3 a ( 2 − a + x ) dx 30 ∫ a ∫ a 2 a + x dx − 2 2 a2 x a + x dx = a − C8 − C9 30 3 ∫ www.VNMATH.com Bài Phương pháp tích phân phần 2 a + ln (1+ ) − ln (1+ ) − ln (1+ ) ⇒ C13 = a − ⋅ = ⇒ C9 = 3 du = dx u = x  a − x dx ; ( a > ) Đặt  ⇒ 2 dv = x a − x dx  v = −1 ( a − x )  a ∫ • C 10 = x 2 a −x ( C10 = a − x2 ) + = a a a  ( 1 a − x ) dx =  a a − x dx + x a − x dx   30  0  ∫ ∫ πa a ⇒ C10 = C7 = 3 12 a C7 + C10 3 2a • C 11 = ∫ ∫ 2a 2a x − a dx = x x − a a − a ∫ ⇒ C10 = πa x d ( x2 − a2 ) a = (2 − ) a − 2a ∫ x x = (2 − ) a − a 2a 2 x −a a 2 2 x −a a 2 ∫ − = ( − ) a − a ln x + x − a a + (x − a 2 ) dx 2a dx ∫ ∫ x −a a 2a dx = ( − ) a − 2 x − a dx a 2a 2a a − ∫ 2 x − a dx a = ( − ) a − a ln 2 2+ 1+ ⇒ 2C11 = ( − ) a − a ln π • C 12 = ∫ π − C11 2+ 1+ ⇒ C11 = π =− − ∫ cos x ∫ cotg x sin π4 =− + π π cotg x dx =− d ( cotg x ) = − sin x sin x π sin x π π2 a  2+ 3 ( − ) − ln   1+  x π2 dx = − − + π4 π2 π2 ∫ ∫ ∫ ∫ sin x  sin π2 ∫π cotg x d ( sin x ) − 1 dx x  dx dx sin x dx − =− + − C12 sin x sin x − cos x π4 π4 π4 ⇒ 2C12 = − − 1 + cos x ln − cos x π2 = − + ln (1 + ) ⇒ C12 = π4 − + ln (1 + ) 219 www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương Dạng 4: Các toán tổng hợp • D1 = ∫ dx = x2 + x3 ( x + ) x + 2x ∫ x2 + = ∫ ∫x x x x + dx + 0 ∫ Xét I = ∫x 2 − ⇒ D1 = I + J = ∫ 32 32 ( 2 ( ) ) x x + dx = − x + d ( x + 1) ∫ ∫ 3 =8− ∫ 2x ( 32 − 1) = 58 15 15 x + dx = − ∫ x 58 26 + = 15 + x3 dx = − + x3 d  13 31 x x ∫  = − 1+ x  x3  = 1 − + ∫ − 1) u 1 u −1 − + ln u +1 = = 1 − + 3 ∫u ∫ ∫ d (u2 ) ∫ (u 2 d ( + x3 ) 31 x3 + 1 x dx 1 d (1 + x ) − + = − + x3 + x3 x3 + x3 32 2 + d ( x + 1) = − ( x + 1) 220 = = dx =I+J • D2 = x2 + x +1 3 x +1 − x dx ∫ u = x du = 2x dx  x dx  Đặt  ⇒ x dx x2 + dv =  v = x +  x2 + J=x 52 2( x + 1) 15 x2 + x3 32 2 I = x ( x + 1) Xét J = ∫ dx + du = 2x dx u = x   x x x + dx Đặt  ⇒ 32 dv = x x + dx  v = ( x + 1)  =8− x ( x + 1) dx = du −1 1  − +  ln + ln (1 + )  3  = www.VNMATH.com Bài Phương pháp tích phân phần π • D3 = ∫e sin x = π2 ∫ sin x cos x dx = (1 + cos 2x ) d ( esin x π2 ∫e sin x ∫ x ( sin x cos x ) esin 2 x dx π2 x − 1 sin 2x dx = − + 2 π • D4 = ∫ cos ) = (1 + cos 2x ) esin −1 = + 2 π π2 ∫e sin x π2 1 sin sin x ∫ d (e ) = − + e 2 d (1 + cos 2x ) π2 x = e −1 π cos x ln ( − cos x ) dx = π ∫π ln (1 − cos x ) d ( sin x ) = sin x ln (1 − cos x ) π2 π2 − π3 π2 ∫ π2 sin xd ( ln (1 − cos x ) ) = π3 sin x dx ln − sin x − cos x π3 ∫ π2 − cos x = ln − dx = ln − (1 + cos x ) dx − cos x π3 π3 ∫ = π2 3 π ln − ( x + sin x ) = ln − − + π3 π3 • D5 = ∫ π3 π3 ∫ sin x ln( tg x) dx = −π∫ ln ( tg x) d ( cos x) = − cos x ln ( tg x) π π4 π3 + ∫ cos x d ( ln ( tg x)) π4 π3 π3 π3 ∫ ∫ ∫ cos x dx dx sin x dx = − ln + = − ln + = − ln + 2 4 sin x π cos x tg x π4 π sin x π3 d ( cos x ) 1 + cos x = − ln − = − ln − ln 4 − cos x π − cos x ∫ π4 • D6 = ∫ x + sin x dx = + cos x π ∫ sin x dx + + cos x π4 x  =  − ln + cos x + x tg  − 20  = ln 2+ + π π4 ∫ tg = ln (1 + ) − π4 π x dx ∫ cos π3 x =− ∫ d (1 + cos x ) + + cos x ln π ∫ xd ( tg ) x π π x x dx = ln + tg + ln cos 2 2+ π4 π ( − 1) + ln + = π ( − 1) + ln1 = π ( − 1) 4 4 221 www.VNMATH.com Chương II: Nguyên hàm tích phân − Trần Phương π2 π2 π2 • D7 = ∫ sin 2x cos ( sin x ) dx = ∫ sin x cos x cos4 ( sin x) dx = ∫ sin x cos4 ( sin x) d( sin x) 0 1 ∫ = t ( cos t ) dt = 1 ( 2 t (1 + cos 2t ) dt = t + cos 2t + cos 2t ) dt 20 20 ∫ ∫ = 1  + cos 4t  t  + cos 2t + t ( + cos 2t + cos 4t ) dt  dt = 20  40  ∫ ∫ 1 1 t 2t dt + t ( cos 2t + cos 4t ) dt = = 40 40 ∫ ∫ 1 + 1   t d  sin 2t + sin 4t  40   ∫ 1  1    = + t  sin 2t + sin 4t  −  sin 2t + sin 4t  dt 4  4 0 0  ∫ = 1 1  1  +  sin + sin  −  − cos 2t − cos 4t  4 4 16   0 = 1 1 31 sin + cos + sin + cos + 16 16 64 π4 ∫ • D8 = tg x + sin2 x dx = cos x ∫ =− 2−u u 2 ∫ π • D9 = du 2−u π = π3 =− ∫ = x u 2 3+ π ∫ x sin x + cos x  1 ∫ = −1− x cos x d u ( 2−u ) π 12 dx ) π3 + ∫ cos x ⋅ ( x sin x + cos x ) − cos2 x d ( cos x ) cos2 x ∫ − π3 x x 1 d =− ⋅ + cos x x sin x + cos x cos x x sin x + cos x −4π 222 ( () = − − arcsin x dx ∫ ( x sin x + cos x ) 2−u 2−u d = u u ∫ du = ∫ π sin x − cos2 x dx = − cos x 1 = −1− π π3  x  ∫ x sin x + cos x d  cos x  cos x + x sin x  dx = −4π + tg x π = 3 − π  3+ π 3+ π cos x 