Tích phân một số hàm đặc biệt 1.Cho hàm số ( )y f x = liên tục và lẻ trên đoạn [ ] ;a a . Khi đó : Ví dụ 1: Chứng minh 2 2 2 0 4 sin xdx I x = = . Ví dụ 2:Tính tích phân: 1 2 1 2 1 cos .ln . 1 x I x dx x = ữ + 2.Cho hàm số ( )y f x = liên tục và chẵn trên đoạn [ ] ;a a . Khi đó : Ví dụ 3: Tính tích phân: 2 2 2 cos 4 sin x x I dx x + = 3.Cho hàm số ( )y f x = liên tục và chẵn trên đoạn [ ] : . Khi đó: Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx Phạm Ngọc Lâm -THPT Vĩnh Chân ( ) 0 a a I f x dx = = 0 ( ) 2 ( ) a a a I f x dx f x dx = = = + = dxxfdx a xf I x )( 2 1 1 )( 1 Ví dụ 4 : Tính tích phân: 1 4 1 2 1 x x I dx = + . Ví dụ 5 : Tính tích phân sau : 2 2 cos3 . 3 1 x x I dx = + 4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0; 2 .Khi đó . Chứng minh: Đặt 2 t x dx dt = = . Khi x = 0 thì 2 t = , khi 2 x = thì t = 0 Ví dụ 6:Chứng minh: I= 2 0 sin sin cos 4 n n n x dx x x = + . 5.Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x) = f(x) thì: Chứng minh: Đặt t = a + b x Ví dụ 7: Tính tích phân: 2 0 sin 4 cos x x dx x Nhận xét : Bằng cách làm tơng tự ta có các công thức Phạm Ngọc Lâm -THPT Vĩnh Chân 2 2 0 0 (sin ) (cos )f x dx f x dx = ( ) . ( ) 2 b b a a a b xf x dx f x dx + = 2 *NÕu f(x) liªn tơc trªn [ ] 0;1 th× *NÕu f(x) liªn tơc trªn [ ] 0;1 th× VÝ dơ 8: TÝnh tÝch ph©n: 2 0 sin 1 cos x x dx x π + ∫ . VÝ dơ 9: TÝnh tÝch ph©n: 2 3 0 .cos .I x x dx π = ∫ 6.NÕu f(x) liªn tơc vµ f(a+b-x) = - f(x) th×: VÝ dơ 10: TÝnh tÝch ph©n: 2 0 1 sin ln . 1 cos x I dx x π + = + ∫ VÝ dơ 11:TÝnh tÝch ph©n: ( ) 4 0 ln 1 tan .I x dx π = + ∫ TÝch ph©n truy håi: VD12: Cho tích phân: 2 0 cos n n I xdx ∏ = ∫ ,với n là số nguyên dương. Thiết lập hệ thức giữa n I và I n+1 với n>2.Từ đó tính 11 I và 12 I Ph¹m Ngäc L©m -THPT VÜnh Ch©n (sin ) (sin ) 2 xf x dx f x dx π α π α α α π − − = ∫ ∫ 2 2 (cos ) (cos ) − − = ∫ ∫ xf x dx f x dx π α π α α α π ( ) 0 b a xf x dx = ∫ 3 VD13:Cho 1 0 . . n x n I x e dx= ∫ a.CMR: I n > I n+1 b.ThiÕt lËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a I n vµ I n-1 vµ tÝnh I n Ph¹m Ngäc L©m -THPT VÜnh Ch©n 4 . Tích phân một số hàm đặc biệt 1.Cho hàm số ( )y f x = liên tục và lẻ trên đoạn [ ] ;a a . Khi đó : Ví dụ 1: Chứng minh 2 2 2 0 4 sin xdx I x = = . Ví dụ 2:Tính tích phân: 1 2 1 2 1 cos. dx = = = + = dxxfdx a xf I x )( 2 1 1 )( 1 Ví dụ 4 : Tính tích phân: 1 4 1 2 1 x x I dx = + . Ví dụ 5 : Tính tích phân sau : 2 2 cos3 . 3 1 x x I dx = + 4.Cho f(x) liên tục trên. ữ + 2.Cho hàm số ( )y f x = liên tục và chẵn trên đoạn [ ] ;a a . Khi đó : Ví dụ 3: Tính tích phân: 2 2 2 cos 4 sin x x I dx x + = 3.Cho hàm số ( )y f x = liên tục và chẵn trên đoạn [