TRAO DOI VE CACH TINH DOI VOI MOT LOP TICH PHAN DAC BIET

TRAO ĐỔI VỀ CÁCH TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh (Đã đăng www.mathvn.com ) Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân Đường trao đổi cách tính lớp tích  phân đặc biệt dạng x  m (a  bx n ) p dx Trong tác giả có chia làm trường hợp để tính phương pháp đặt ẩn phụ Tuy nhiên theo chưa rèn tư kỹ cho học sinh mà học sinh lại phải nhớ trường hợp Trên thực tế p hữu tỷ tức tồn tích phân chứa Mà kì thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng nội dung hay khai thác Vậy ta nên hình thành cho học sinh “lối tư duy” hay “cách nghĩ” để giải toán Cụ thể là:  Nếu gặp dạng x  m (a  bx n ) p dx với m,n, p số hữu tỷ; a, b số thực ta suy nghĩ theo hướng sau: - Hướng 1: Đặt t=(a+bxn) t=(a+bxn)p Cách đặt thoả mãn viết x m (a  bx n ) p dx qua f(t)dt m 1 s  p  ; p= ta đặt - Hướng 2: ( Nếu hướng không thành công) Kiểm tra n r n a  bx tr  xn Ta phân tích ví dụ cụ thể sau: Thí dụ 1: Tính tích phân I  dx  x x 9 (ĐH An Ninh A1999 - 2000)  xdx  tdt  2 Lời giải: Đặt t  x   x  t    x  : t  x  : t   I  tdt dt t 3    ln  ln t  t ( t  9) t  x 9 4 xdx x2 Tương tự ta tính I   dx x x2  Thí dụ 2: Tính tích phân I   ( ĐH Khối A 2003) x3dx x2    xdx  t dt  2 Lời giải: Đặt t  x   x  t    x  : t   x  : t   x xdx (t  1).t 2dt  t t  93 I      (t  t )dt      2 t 21   10 x 1 1 x dx x4 ( Dự bị 2002) dx (CĐ KTKT I 2004) ; I   x  0 x 1 Tương tự : I   Thí dụ 3: Tính tích phân I  x  x dx ( Dự bị đại học Khối A 2003 – ĐH Ngoại Thương 1996)  xdx  tdt  2 Lời giải: Đặt t   x  x   t   x  : t   x  1: t    t3 t5  I   x  x xdx    (1  t ).t.tdt   (t  t )dt        15 1 Tương tự: I   x5  x dx (CĐ GTVT 2005); 2 2 I x  x dx (ĐH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002) I   x  xdx (Cao đẳng Khối T –M Đại học Hùng Vương 2004) Thí dụ 4: Tính tích phân I  x 1 dx  x2 Lời giải: - dx Nếu đặt t  1 x2 việc biểu diễn x  x2 qua t dt gặp khó khăn Tức hướng không làm - Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên đặt Thí dụ 5:Tính tích phân I   x2   t ( Xem lời giải THTT số 5/2010) x2 dx (1  x )3 Lời giải: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta đặt x2  t x2 tdt   xdx  (t  1)   Khi :  x2   x  :t  t 1   x  : t   dt 1       I   t  x 2 (t  1)2 t t t (1  x ) 2 x 2 3 ( t  1) x x Như qua thí dụ 1,2,3 ta hình thành “lối tư duy” cho học sinh gặp toán tích phân có chứa thức Phát huy điều ta giải số toán khác sau: xdx tdt / sin 2x  sin x dx ( Đề thi ĐH khối A – 2005)  3cos x 2tdt   sin xdx  t 1  Lời giải: Đặt t   3cos x  cos x   x  : t    x  : t   t 1  1)  /2 t(2 sinx(2cos x  1) 2  2t  34 I  dx   dt   (2t  1)dt   t  31 t 91   3cos x  27   a.sin x  b sin x a.sin x  bcosx Tổng quát :  dx ta đặt c  d cos x =t dx  c  d cos x c  d s inx   Thí dụ 6:Tính tích phân I   xdx ( ĐH Khối A 2004) x 1 1 dx  2tdt  Lời giải: Đặt t  x   x  t    x  1: t  x  : t   Thí dụ 7: Tính tích phân I    t3 t2  11 t (t  1)   dt  2  t  t   dt     2t  2ln t     4ln  1 t t 1  3 0 0 I  2 b Tổng quát:  a p ( x) dx với p(x) đa thức chứa x ta đặt t  ax  b  c t  ax  b ax  b  c  3ln x ln x dx (Đại học KB 2004) x  dx 2tdt x  t 1  Lời giải: Đặt t   3ln x  ln x    x  1: t  x  e : t    2 t  2t 2  t t  116 I   t dt   (t  t )dt      3 91   135 Kết thúc viết mời bạn làm tập sau: 16 1 dx 20 I2   I1   x (1  x ) dx I3   x 2  x3 dx x x 1 0 e Thí dụ 8: Tính tích phân I    I5   dx x x 4 1  x  dx I9   I6    x3dx 1 x I7   2 I10   x  x dx I11  I13   x5  x3 dx x2 1 I   x  x dx  x  1dx  I   x  x dx dx x 1 x  I12   1  x dx x2  (CĐSP KA 04) tan x dx (CĐSP Bắc Ninh 2004)  cos x  cos x I14   ln x I15   dx x ln x  e3 e I16   dx (CĐ SP Vĩnh Phúc 2005) x  ln x http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình TRAO ðỔI VỀ CÁCH TÍNH ðỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ðẶC BIỆT Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân ðường ñã trao ñổi về cách tính ñối với một lớp tích phân ñặc biệt dạng ( ) m n p x a bx dx β α + ∫ . Trong ñó tác giả có chia làm 3 trường hợp ñể tính bằng phương pháp ñặt ẩn phụ. Tuy nhiên như vậy theo tôi chưa rèn ñược tư duy và kỹ năng cho học sinh mà học sinh lại phải nhớ các trường hợp. Trên thực tế khi p hữu tỷ tức là tồn tại tích phân chứa căn. Mà trong các kì thi tuyển sinh vào ñại học – cao ñẳng thì ñây là một nội dung rất hay ñược khai thác. Vậy ta nên hình thành cho học sinh một “lối tư duy” hay “cách nghĩ” ñể giải bài toán ñó. Cụ thể là: Nếu gặp dạng ( ) m n p x a bx dx β α + ∫ với m,n, p là các số hữu tỷ; a, b là các số thực ta suy nghĩ theo 2 hướng sau: - Hướng 1: ðặt t=(a+bx n ) hoặc t=(a+bx n ) p . Cách ñặt ñược thoả mãn nếu có thể viết ñược ( ) m n p x a bx dx + qua f(t)dt. - Hướng 2: ( Nếu hướng 1 không thành công) . Kiểm tra nếu 1 ; p= m s p n r + + ∈¢ thì ta ñặt n r n a bx t x + = . Ta phân tích ví dụ cụ thể sau: Thí dụ 1: Tính tích phân 4 2 7 9 dx I x x = + ∫ (ðH An Ninh A1999 - 2000) Lời giải: ðặt 2 2 2 9 9 7 : 4 4: 5 xdx tdt t x x t x t x t =   = + ⇒ = − ⇒ = =   = =  4 5 5 2 2 2 2 4 4 7 5 1 3 1 7 ln ln 4 6 3 6 4 ( 9) 9 9 xdx tdt dt t I t t t t x x − = = = = = + − − + ∫ ∫ ∫ Tương tự ta tính ñược 2 3 2 5 dx I . x x 4 = + ∫ ( ðH Khối A 2003) Thí dụ 2: Tính tích phân 7 3 3 2 0 1 x dx I x = + ∫ Lời giải: ðặt 2 3 2 2 3 3 2 1 1 0: 1 7 : 2 xdx t dt t x x t x t x t  =   = + ⇒ = − ⇒ = =   = =   7 2 2 2 3 2 5 2 4 3 2 0 1 1 2 . 3 ( 1). 3 3 93 ( ) 1 2 2 2 5 2 10 1 x xdx t t dt t t I t t dt t x   − = = = − = − =   +   ∫ ∫ ∫ http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình Tương tự : 4 2 5 0 1 I x dx x = ∫ + (Cð KTKT I 2004) ; ∫ + = 1 0 2 3 1x dxx I ( Dự bị 2002) Thí dụ 3: Tính tích phân 1 3 2 0 1 I x x dx = − ∫ ( Dự bị ñại học Khối A 2003 – ðH Ngoại Thương 1996) Lời giải: ðặt 2 2 2 1 1 0: 1 1: 0 xdx tdt t x x t x t x t = −   = − ⇒ = − ⇒ = =   = =  1 0 1 3 5 2 2 2 2 4 0 1 0 1 2 . 1 . (1 ). . ( ) 0 3 5 15 t t I x x xdx t t tdt t t dt   = − = − − = − = − =     ∫ ∫ ∫ Tương tự: 1 5 2 1 0 I x x dx = − ∫ (Cð GTVT 2005); 3 3 2 0 1 I x x dx = + ∫ (ðH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002) 9 3 1 I x 1 xdx = − ∫ (Cao ñẳng Khối T –M ðại học Hùng Vương 2004) Thí dụ 4: Tính tích phân 2 4 2 1 1 dx I x x − = + ∫ Lời giải: - Nếu ñặt 2 1 t x = + thì việc biểu diễn 4 2 1 dx x x + qua t và dt gặp khó khăn. Tức là hướng 1 không làm ñược. - Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên ñặt 2 2 2 1x t x + = ( Xem lời giải THTT số 5/2010) Thí dụ 5: Tính tích phân 3 2 3 3 2 (1 ) dx I x = + ∫ Lời giải: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta ñặt 2 2 2 1x t x + = Khi ñó : 2 2 2 2 ( 1) 1 3 : 3 1 2 2 3 3 : 3 tdt xdx t x x t t x t −  =  −    = ⇒ = =  −   = =    và 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 1 2 3 (1 ) 1 ( 1) . . . . . 3 ( 1) xdx tdt dt I t t x x t t t x t x x = = = = − = + + − − ∫ ∫ ∫ http://ebook.here.vn – Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình Như vậy qua thí dụ 1,2,3 ta ñã hình thành ñược một “lối tư duy” cho học sinh khi gặp bài toán tích phân có chứa căn thức. Phát huy ñiều ñó ta có thể giải ñược một số bài toán khác sau: Thí dụ 6: Tính tích phân / 2 0 sin 2x sin x I dx 1 3cosx π + = + ∫ ( ðề thi ðH TRAO ĐỔI VỀ CÁCH TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân Đường đã trao đổi về cách tính đối với một lớp tích phân đặc biệt dạng ( ) m n p x a bx dx β α + ∫ . Trong đó tác giả có chia làm 3 trường hợp để tính bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Tuy nhiên như vậy theo tôi chưa rèn được tư duy và kỹ năng cho học sinh mà học sinh lại phải nhớ các trường hợp. Trên thực tế khi p hữu tỷ tức là tồn tại tích phân chứa căn. Mà trong các kì thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng thì đây là một nội dung rất hay được khai thác. Vậy ta nên hình thành cho học sinh một “lối tư duy” hay “cách nghĩ” để giải bài toán đó. Cụ thể là: Nếu gặp dạng ( ) m n p x a bx dx β α + ∫ với m,n, p là các số hữu tỷ; a, b là các số thực ta suy nghĩ theo 2 hướng sau: - Hướng 1: Đặt t=(a+bx n ) hoặc t=(a+bx n ) p . Cách đặt được thoả mãn nếu có thể viết được ( ) m n p x a bx dx+ qua f(t)dt. - Hướng 2: ( Nếu hướng 1 không thành công) . Kiểm tra nếu 1 ; p= m s p n r + + ∈¢ thì ta đặt n r n a bx t x + = . Ta phân tích ví dụ cụ thể sau: Thí dụ 1: Tính tích phân 4 2 7 9 dx I x x = + ∫ (ĐH An Ninh A1999 - 2000) Lời giải: Đặt 2 2 2 9 9 7 : 4 4: 5 xdx tdt t x x t x t x t =   = + ⇒ = − ⇒ = =   = =  4 5 5 2 2 2 2 4 4 7 5 1 3 1 7 ln ln 4 6 3 6 4 ( 9) 9 9 xdx tdt dt t I t t t t x x − = = = = = + − − + ∫ ∫ ∫ Tương tự ta tính được 2 3 2 5 dx I . x x 4 = + ∫ ( ĐH Khối A 2003) Thí dụ 2: Tính tích phân 7 3 3 2 0 1 x dx I x = + ∫ Lời giải: Đặt 2 3 2 2 3 3 2 1 1 0: 1 7 : 2 xdx t dt t x x t x t x t  =   = + ⇒ = − ⇒ = =   = =   7 2 2 2 3 2 5 2 4 3 2 0 1 1 2 . 3 ( 1). 3 3 93 ( ) 1 2 2 2 5 2 10 1 x xdx t t dt t t I t t dt t x   − = = = − = − =  ÷ +   ∫ ∫ ∫ Tương tự : 4 2 5 0 1 I x dx x = ∫ + (CĐ KTKT I 2004) ; ∫ + = 1 0 2 3 1x dxx I ( Dự bị 2002) Thí dụ 3: Tính tích phân 1 3 2 0 1I x x dx= − ∫ ( Dự bị đại học Khối A 2003 – ĐH Ngoại Thương 1996) Lời giải: Đặt 2 2 2 1 1 0: 1 1: 0 xdx tdt t x x t x t x t = −   = − ⇒ = − ⇒ = =   = =  1 0 1 3 5 2 2 2 2 4 0 1 0 1 2 . 1 . (1 ). . ( ) 0 3 5 15 t t I x x xdx t t tdt t t dt   = − = − − = − = − =  ÷   ∫ ∫ ∫ Tương tự: 1 5 2 1 0 I x x dx = − ∫ (CĐ GTVT 2005); 3 3 2 0 1I x x dx= + ∫ (ĐH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002) 9 3 1 I x 1 xdx= − ∫ (Cao đẳng Khối T –M Đại học Hùng Vương 2004) Thí dụ 4: Tính tích phân 2 4 2 1 1 dx I x x − = + ∫ Lời giải: - Nếu đặt 2 1t x= + thì việc biểu diễn 4 2 1 dx x x+ qua t và dt gặp khó khăn. Tức là hướng 1 không làm được. - Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên đặt 2 2 2 1x t x + = ( Xem lời giải THTT số 5/2010) Thí dụ 5:Tính tích phân 3 2 3 3 2 (1 ) dx I x = + ∫ Lời giải: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta đặt 2 2 2 1x t x + = Khi đó : 2 2 2 2 ( 1) 1 3 : 3 1 2 2 3 3 : 3 tdt xdx t x x t t x t −  =  −    = ⇒ = =  −   = =    và 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 1 2 3 (1 ) 1 ( 1) . . . . . 3 ( 1) xdx tdt dt I t t x x t t t x t x x = = = = − = + + − − ∫ ∫ ∫ Như vậy qua thí dụ 1,2,3 ta đã hình thành được một “lối tư duy” cho học sinh khi gặp bài toán tích phân có chứa căn thức. Phát huy điều đó ta có thể giải được một số bài toán khác sau: Thí dụ 6:Tính tích phân / 2 0 sin 2x sin x I dx 1 3cosx π + = + ∫ ( Đề thi ĐH khối A – 2005) Lời giải: Đặt 2 2tdt sin xdx 3 t 1 t 1 3cos x cos x x 0 TRAO ĐỔI VỀ CÁCH TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh (Đã đăng tại www.mathvn.com ) Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân Đường đã trao đổi về cách tính đối với một lớp tích phân đặc biệt dạng ( ) m n p x a bx dx     . Trong đó tác giả có chia làm 3 trường hợp để tính bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Tuy nhiên như vậy theo tôi chưa rèn được tư duy và kỹ năng cho học sinh mà học sinh lại phải nhớ các trường hợp. Trên thực tế khi p hữu tỷ tức là tồn tại tích phân chứa căn. Mà trong các kì thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng thì đây là một nội dung rất hay được khai thác. Vậy ta nên hình thành cho học sinh một “lối tư duy” hay “cách nghĩ” để giải bài toán đó. Cụ thể là: Nếu gặp dạng ( ) m n p x a bx dx     với m,n, p là các số hữu tỷ; a, b là các số thực ta suy nghĩ theo 2 hướng sau: - Hướng 1: Đặt t=(a+bx n ) hoặc t=(a+bx n ) p . Cách đặt được thoả mãn nếu có thể viết được ( ) m n p x a bx dx  qua f(t)dt. - Hướng 2: ( Nếu hướng 1 không thành công) . Kiểm tra nếu 1 ; p= m s p n r    thì ta đặt n r n a bx t x   . Ta phân tích ví dụ cụ thể sau: Thí dụ 1: Tính tích phân 4 2 7 9 dx I x x    (ĐH An Ninh A1999 - 2000) Lời giải: Đặt 2 2 2 9 9 7 : 4 4: 5 xdx tdt t x x t x t x t                 4 5 5 2 2 2 2 4 4 7 5 1 3 1 7 ln ln 4 6 3 6 4 ( 9) 9 9 xdx tdt dt t I t t t t x x              Tương tự ta tính được 2 3 2 5 dx I . x x 4    ( ĐH Khối A 2003) Thí dụ 2: Tính tích phân 7 3 3 2 0 1 x dx I x    Lời giải: Đặt 2 3 2 2 3 3 2 1 1 0: 1 7 : 2 xdx t dt t x x t x t x t                   7 2 2 2 3 2 5 2 4 3 2 0 1 1 2 . 3 ( 1). 3 3 93 ( ) 1 2 2 2 5 2 10 1 x xdx t t dt t t I t t dt t x                   Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Tương tự : 4 2 5 0 1 I x dx x    (CĐ KTKT I 2004) ;    1 0 2 3 1x dxx I ( Dự bị 2002) Thí dụ 3: Tính tích phân 1 3 2 0 1 I x x dx    ( Dự bị đại học Khối A 2003 – ĐH Ngoại Thương 1996) Lời giải: Đặt 2 2 2 1 1 0: 1 1: 0 xdx tdt t x x t x t x t                  1 0 1 3 5 2 2 2 2 4 0 1 0 1 2 . 1 . (1 ). . ( ) 0 3 5 15 t t I x x xdx t t tdt t t dt                    Tương tự: 1 5 2 1 0 I x x dx    (CĐ GTVT 2005); 3 3 2 0 1 I x x dx    (ĐH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002) 9 3 1 I x 1 xdx    (Cao đẳng Khối T –M Đại học Hùng Vương 2004) Thí dụ 4: Tính tích phân 2 4 2 1 1 dx I x x     Lời giải: - Nếu đặt 2 1 t x   thì việc biểu diễn 4 2 1 dx x x  qua t và dt gặp khó khăn. Tức là hướng 1 không làm được. - Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên đặt 2 2 2 1x t x   ( Xem lời giải THTT số 5/2010) Thí dụ 5:Tính tích phân 3 2 3 3 2 (1 ) dx I x    Lời giải: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta đặt 2 2 2 1x t x   Khi đó : 2 2 2 2 ( 1) 1 3 : 3 1 2 2 3 3 : 3 tdt xdx t x x t t x t                      và 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 1 2 3 (1 ) 1 ( 1) . . . . . 3 ( 1) xdx tdt dt I t t x x t t t x t x x              Như vậy qua thí dụ 1,2,3 ta đã hình thành được một “lối tư duy” cho học sinh khi gặp bài toán tích phân có chứa căn thức. Phát huy điều đó ta có thể giải được