Toán học - Phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt

Trong bài viết này tôi xin được trao đổi về phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt, nhưng thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng.. Tích phân tổ[r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT TRẦN XUÂN ĐƯỜNG (GV Trường sĩ quan Tăng thiết giáp, Tam Dương, Vĩnh Phúc) Trong bài viết này tôi xin trao đổi phương pháp giải lớp tích phân đặc biệt, thường xuất các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng Tích phân tổng quát có dạng:  I   x m (a  bx n ) p dx đó a, b  R; a, b  0; m, n, p  Q; n, p   ( Đối với các trường hợp đặc biệt a  0; b  ; n  p  tích phân trên suy biến thành các tích phân đơn giản Chúng ta dễ dàng tính băng cách dùng bảng nguyên hàm ) Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại các lũy thừa m,n,p mà chúng ta sử dụng phép đổi biến tương ứng  Dạng 1: Nếu p  Z , thì gọi q là mẫu số chung nhỏ các phân số tối giản biểu thị m và n, đó đặt x  t q Thật vậy: Trước hết ta xét tích phân tổng quát sau đây  m1 m2 n1 n2 I   x (a  bx ) p dx đó m1 , m2 , n1 , n2  Z ; m2 , n2   Gọi q là bội số chung nhỏ m2 , n2 đó k , l  Z ; k , l  cho q  km2  ln2 Đặt x  t q  dx  qt q 1dt Khi x    t  1 ; x=  t  1 Từ đó ta có  m1 m2 n1 n2 I   x (a  bx ) p dx  1  q t q m1 m2 (a  bt q n1 n2 ) p t q 1dt 1 1  q t km2 m1 m2 (a  bt ln2 n1 n2 ) p t km2 1dt 1 1  q  t km1 (a  bt ln1 ) p t km2 1dt 1 1  q  t k ( m1  m2 ) 1 (a  bt ln1 ) p dt (1) 1 Do m1 , m2 , k , n1 , l , p  Z nên tích phân (1) là tích phân hàm hữu tỉ, và dĩ nhiên việc tính tích phân này đơn giản so với tích phân ban đầu Lop11.com  Thí dụ Tính tích phân I   dx x(1  x ) Lời giải 4 dx   x 1 (1  x ) 1 dx  m  1; n  ; p  1  Z  q  2 x) 1 x (1  Đặt x  t  dx  2tdt Khi x   t  1; x=4  t  Từ đó Ta có: I   2 tdt dt I  2  2 t (1  t ) t (1  t ) 1  dt dt  2       ln t  ln t  1   t 1 t   ln A  Dạng 2: Nếu m 1  Z , đó gọi r là mẫu số p và đặt a  bx n  t r n Xét tích phân tổng quát trường hợp này:  m 1  Z; n I   x m (a  bx n ) p dx đó  s p  ; s, r  Z ; s, r  r m 1  Z  k  Z cho m   kn n tr  a r  x n 1dx  t r 1dt Đặt a  bx n  t r  x n  b bn Khi x    t  1 ; x=  t  1 Từ đó ta có Từ điều kiện  s I   x m (a  bx n ) r dx   s xm n r n 1   n 1 (a  bx ) x dx  x  s   x m 1 n (a  bx n ) r x n 1dx   x n ( k 1) s n r (a  bx ) x n 1dx  k 1  r  t r  a  r rs r 1    t t dt nb 1  b  r  k nb 1  t 1 r  a  t r  s 1dt (2) k 1 Do r , k , s  Z nên tích phân (2) là tích phân hàm hữu tỉ Lop11.com  Thí dụ ( Đề thi Đại học Ngoại thương, 1996) Tính tích phân I   x3  x dx Lời giải 1 1 Ta có: I   x3  x dx   x3 (1  x ) dx  m  3; n  2; p   0 m 1   Z n Đặt  x  t  x   t  xdx  tdt Khi x   t  1; x=1  t  Từ đó 2 2 1 I   (1  t )t dt   (t  t )dt 0 ( t3 t5  )  A 15  Nhận xét Trong trường hợp đặc biệt m 1  Z và p  Z phép đặt ẩn phụ n tích phân trên có dạng a  bx n  t ta xét thí dụ sau đây:  Thí dụ ( Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân,1997) Tính tích phân I   x5 (1  x3 )6 dx Lời giải Ta có m  5; n  3; p  p  Z ; m 1  Z n Đặt  x3  t  x3   t  3x dx  dt Khi x   t  1; x=1  t  Từ đó 1 I   x (1  x ) dx   x (1  x )6 x dx  1 (1  t )t dt   (t  t )dt  30 30 71 81 1 t  t    A 0 21 24 21 24 168 a  bx n m 1  tr  p  Z , đó gọi r là mẫu số p và đặt  Dạng 3: Nếu xn n  Xét tích phân tổng quát trường hợp này  I   x m (a  bx n ) p dx đó  m 1 m 1 s p   Z ; s, r  Z ; r  n n r m 1  p  Z  k  Z cho m  np   kn n a  bx n a ar t r 1dt r n n 1 t  x  r  x dx    r Đặt xn t b n (t  b) Khi x    t  1 ; x=  t  1 Từ đó Từ điều kiện Lop11.com     I   x m (a  bx n ) p dx   x m (a  bx n ) p np n 1 x x dx x n 1 x np p  x m  np 1 n  p  n  a  bx n  n 1 n ( k 1)  a  bx  n 1 x dx  x     x dx n n   x   x   k 1   a k r r rs t r 1dt ar  a  rp t r 1dt   t   r t  n 1 (t r  b) k 1 n 1  t  b  (t r  b)   a k r t s  r 1 dt (3) n 1 (t r  b) k 1 Do r , k , s  Z nên tích phân (3) là tích phân hàm hữu tỉ  Thí dụ Tính tích phân I   dx x4  x2 Lời giải 2  m 1   x 4 (1  x ) dx  m  4; n  2; p     p  2  Z n  x2 1 x  x2 tdt Đặt  t  x   xdx  2 x t 1 (t  1) Ta có: I   dx Từ đó 2 dx I    x2 1 x Khi x   t  2; x=2  t   xdx x6  x2 x (t  1) tdt    (t  1)dt t (t  1) 2   t   t   3   8 A 24 Để kết thúc bài viết mời các bạn hãy thử tính các tích phân sau: 1 I   x(1  x) 2010 dx I   x (1  x )5 dx 7 I   x dx  x2 I   x (1  x ) 20 dx 16 I   x 2  x dx I  I   x2  dx x2 Lop11.com dx x(1  x ) I     I   3 dx x x2  dx (1  x )3