Bài toán parabolic ngược

Bằng cách áp dụng phương pháp biến đổi Fourier và phương pháp chỉnh hóa tựa giá trị biên có điều chỉnh, chúng tôi sẽ chỉnh hóa bài toán trên.. Đồng thời, chúng tôi cũng đánh giá sai số g

Bài toán Parabolic ngược

Tóm tắtTrong đề tài này, chúng tôi xét bài toán parabolic ngược như sau

uxx(x, t) = a(t)ut(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ]

Bằng cách áp dụng phương pháp biến đổi Fourier và phương pháp

chỉnh hóa tựa giá trị biên có điều chỉnh, chúng tôi sẽ chỉnh hóa bài toán

trên Đồng thời, chúng tôi cũng đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác

và nghiệm chỉnh hóa trong đề tài này Một ví dụ số cụ thể cũng được

chúng tôi đưa ra nhằm minh họa cho các kết quả trong đề tài

1 Kiến thức liên quan

dx

1/2

1.2 Bài toán thuận và bài toán ngược

Cho X và Y là 2 không gian định chuẩn, K : X −→ Y là một ánh xạ có thểtuyến tính hoặc không Khi đó ta nói, bài toán thuận là cho x ∈ X và K, tatính giá trị của K(x) Bài toán ngược là cho y ∈ Y và K, ta giải phương trìnhK(x) = y tìm x hoặc cho (x, y) trong X và Y tìm K

1

1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa

1.3.1 Bài toán chỉnh

Cho X và Y là 2 không gian định chuẩn, K : X −→ Y là một ánh xạ có thểtuyến tính hoặc không Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa cácđiều kiện sau đây

i) Sự tồn tại : Với mỗi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y.ii) Sự duy nhất : Với mỗi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y.iii) Tính ổn định : Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là vớimỗi dãy (xn) ⊂ X sao cho Kxn−→ Kx (tức là dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đếndãy dữ liệu chính xác khi n −→ ∞) thì xn −→ x (tức là nghiệm nhiễu hộitụ đến nghiệm chính xác khi n −→ ∞)

1.3.2 Bài toán không chỉnh

Bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó không thỏa ít nhất một trong 3 điềukiện của bài toán chỉnh

1.3.3 Sự chỉnh hóa

Sự chỉnh hóa, nghĩa là, ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại)và nghiệm xấp xỉ của bài toán nhiễu với một điều kiện cho trước của nghiệmchính xác

1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz

Cho n ∈ N, k = 1, n và xk, yk∈ R, ta có

1.5 Mệnh đề về giới hạn các hàm số cơ bản

Ta có các mệnh đề cơ bản sau

iii) Với mọi k ∈ N,

1.6 Định nghĩa hàm Lipschitz

Giả sử X là không gian Banach, f : X −→ R Hàm f được gọi là Lipschitzvới hằng số Lipschitz K trên tập X, nếu tồn tại lân cận U trong X, số K ≥ 0sao cho

f(x) − f(x0)

≤ K 0 0∈ U

1.7 Điểm bất động và Nguyên lý ánh xạ co

1.7.1 Định nghĩa điểm bất động và nguyên lý ánh xạ co

Cho f : X −→ X là một ánh xạ từ một không gian mêtric đầy đủ vào chínhnó Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f(x) = x

Nguyên lý ánh xạ co Cho (X, δ) là một không gian metric đầy đủ và f :

X −→ X là một ánh xạ co từ X vào X, nghĩa là có k ∈ [0, 1) sao cho

δ(f(x), f(y)) ≤ k δ(x, y), ∀x, y ∈ X

Thì f có điểm bất động duy nhất x

Hơn nữa, nếu x0 là một điểm bất kỳ của X và {xn} là dãy trong X xác địnhnhư sau

a = lim

n→∞fn(x),

ở đây f0 = I, fn= f ◦ fn−1 với mọi n ∈ N và I là ánh xạ đồng nhất

Hệ quả 1.7.1.1 Cho f là một ánh xạ từ một không gian mêtric đầy đủ (X,δ)vào X Giả sử fn là ánh xạ co với n nguyên dương Khi đó f có một điểm bấtđộng duy nhất x ∈ X

1.8 Biến đổi Fourier

1.8.1 Các định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.8.1.1 Cho f ∈ L1(R), khi đó ta định nghĩa biến đổi Fourier của

1.8.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L2(R)

Định nghĩa 1.8.2.1 Cho f ∈ L2(R), N > 0 khi đó biến đổi Fourier của f là

Tính chất 1.8.2.2 a) FN{f} hội tụ trong L2(R) đến một hàm F {f} khi

khi đó gN hội tụ trong L2(R) đến f khi N → ∞.

d) F là toán tử đẳng cấu từ L2(R) vào L2(R), nghĩa là

Định lý 1.8.1 Định lý Plancherel (Đẳng thức Plancherel)

Cho f ∈ L2(R) và F {f}(p) là biến đổi Fourier của f trong L2(R) Khi đó,

2 Giới thiệu

Trong đề tài này, chúng tôi xét bài toán ngược cho phương trình parabolicvới hệ số phụ thuộc vào thời gian nghĩa là chúng tôi tìm nhiệt độ u(x, t) thỏamãn

uxx(x, t) = a(t)ut(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ], (1)u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (2)với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0 Chú ý rằng hệ(1)-(2) có thể giải trực tiếp hay chúng ta có thể đặt F (t) =Rt

0

1a(s)ds thì ta cóthể đưa về hệ phương trình với hệ số hằng bằng những tính toán đơn giản.Tuy nhiên, nếu hệ (1)-(2) là hệ phương trình không thuần nhất

uxx(x, t) − a(t)ut(x, t) = f(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ],

u(x, T ) = g(x), x ∈ R,thì bài toán trở nên phức tạp hơn hệ (1)-(2) Theo chúng tôi, chúng ta rấtkhó sử dụng cách đổi biến F (t) trong trường hợp hệ phương trình khôngthuần nhất Do đó, chúng tôi chọn phương pháp trực tiếp để giải quyết trongtrường hợp không thuần nhất và đã thu được một số kết quả trong trườnghợp phương trình không thuần nhất (xem định lí 3)

Như đã biết, bài toán (1)-(2) là không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩalà, bài toán không chắc tồn tại nghiệm, và ngay cả trong trường hợp tồntại nghiệm thì nghiệm cũng không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Vì vậy,chúng ta cần một phương pháp chỉnh hóa thích hợp để chỉnh hóa bài toánnày Thật sự, bài toán ngược cho phương trình parabolic đã được nghiên cứubằng nhiều phương pháp trong khoảng bốn thập kỉ gần đây điển hình nhưcác bài báo [3, 5, 6, 9] Bài toán sau là một trường hợp đặc biệt, trong đóchúng ta cần tìm u thỏa mãn

ut+ A(t)u = 0, t ∈ [0, T ],u(T ) = g,

với A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian hàm thích hợp Trong [5],Lattes-Lions đã sử dụng phương pháp tựa toán tử (QR) để chỉnh hóa phươngtrình chính bằng cách thêm vào một lượng chỉnh hóa ở phương trình chính.Vào năm 1973, K Miller giải quyết bài toán bằng cách sử dụng lượng chỉnhhóa f(A)

ut+ f(A)u = 0, t ∈ [0, T ],u(T ) = g

Một phương pháp khác được gọi là phương pháp tựa giá trị biên (QBV) đãđược nghiên cứu bời nhiều tác giả Khi sử dụng phương pháp này, họ đã

thêm một lượng ổn định vào điều kiện biên của bài toán Trong [7], M.Denche và K Bessila đã sử dụng phương pháp này để chỉnh hóa bài toánngược cho phương trình parabolic

ut+ f(A)u = 0, t ∈ [0, T ],u(T ) − u0(0) = ϕ

Rất gần đây, trong [9], các tác giả đã sử dụng phương pháp giá trị biên đểchỉnh hóa bài toán nhiệt ngược và thu được ước lượng sai số ở cấp độ t

T at

t 6= 0 và một sai số ước lượng cấp độ (ln(1

))−14 tại giá trị 0 Chúng ta dễthấy rằng nếu t nằm gần giá trị 0, sự hội tụ của nghiệm xấp xỉ là rất chậm.Từ những bất lợi của sai số cấp độ t

T, chúng tôi sẽ cải thiện ước lượng saisố để tăng tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ với mọi t ∈ [0, T ) Theo chúngtôi biết, những bài báo liên quan đến toán tử phụ thuộc thời gian A(t) kháhiếm Trong đề tài này, chúng tôi xét trường hợp đặc biệt sau

A(t)u = − 1

a(t)uxx.Bằng cách lấy biến đổi Fourier hai vế của (1) (theo biến x) và sử dụng điềukiện (2), chúng ta có nghiệm chính xác của bài toán (1)-(2) như sau

Phần chính của đề tài được chia làm 3 phần Trong phần 3 và 4, chúng

ta sẽ lần lượt là chứng minh một số kết quả về chỉnh hóa và đánh giá sai sốbằng phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh và phương pháp Tikhonovcó điều chỉnh Trong phần 5, chúng ta sẽ đưa ra một ví dụ số minh họa chophần lí thuyết ở phần 3 và 4 Chú ý rằng trong đề tài này, ở phần 3và phần

4 các kí hiệu toán học là dành riêng cho từng phần và không liên quan đếnnhau

3 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2) bằng phương pháp 1

Trong phần này, chúng tôi sẽ xây dựng nghiệm chỉnh hóa như sau

3.1 Sự ổn định của nghiệm chỉnh hóa (6)

Trước tiên, chúng ta có kết quả về sự ổn định của u(g)

Bổ đề 3.1.0.3 Let g1, g2 be in L2(R) Thì ta có

ku(g1)(., t) − u(g2)(., t)k2 ≤ √1

kg1− g2k2,where k.k2 là chuẩn trong L2(R)

Chứng minh

Từ (6), ta có

|bu(g1)(ω, t) − bu(g2)(ω, t)| =

≤

1

√

ε( bg1(ω) − bg2(ω))

Do đó, chúng ta có

kbu(g1)(., t) − bu(g2)(., t)k ≤ √1

εk bg1− bg2k Từ định lí Plancherel, ta suy ra

ku(g1)(., t) − u(g2)(., t)k ≤ √1

εkg1− g2k Chúng ta đã chứng minh xong bổ đề 3.1.0.3

3.2 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2)

Giả sử rằng uex(ω, t) là nghiệm chính xác của bài toán parabolic ngược tươngứng với dữ liệu chính xác gex, và g là dữ liệu đo thỏa mãn kgε− gexk ≤ ε,với k.k2 là chuẩn trong L2(R) Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng a(t) là hàmcho trước thỏa mãn 0 < N ≤ a(t) ≤ M, ∀t ∈ [0, T ] Do đó, chúng ta dễ thấyrằng 0 < T −t

Chúng ta có ước lượng sau

kuε(gε)(., t)−uex(., t)k2 = kbuε(gε)(., t) − buex(., t)k

≤ kbuε(gε)(., t) − buε(gex)(., t)k+ kbuε(gex)(., t) − buex(., t)k (9)Chúng ta có bổ đề sau

Bổ đề 3.2.0.4 Giả sử rằng uex(., t) ∈ L2(R), ∀t ∈ [0, T ), g, gex ∈ L2(R) and

Do (3) và (8), ta có

|buε(gex)(ω, t) − buex(ω, t)| =

1

√

ε + e−ω 2 b(t)gcex(ω) − e−ω12 b(t)gcex(ω)

... để chỉnh hóa tốnnày Thật sự, tốn ngược cho phương trình parabolic nghiên cứubằng nhiều phương pháp khoảng bốn thập kỉ gần điển hình nhưcác báo [3, 5, 6, 9] Bài toán sau trường hợp đặc biệt, đóchúng... data-page="7">

thêm lượng ổn định vào điều kiện biên toán Trong [7], M.Denche K Bessila sử dụng phương pháp để chỉnh hóa tốnngược cho phương trình parabolic< /p>

ut+ f(A)u = 0, t ∈... class="page_container" data-page="6">

2 Giới thiệu

Trong đề tài này, chúng tơi xét tốn ngược cho phương trình parabolicvới hệ số phụ thuộc vào thời gian nghĩa chúng tơi tìm nhiệt độ u(x, t) thỏamãn