Bài toán parabolic ngược

Bài toán Parabolic ngược Tóm tắt Trong đề tài này, xét toán parabolic ngược sau uxx (x, t) = a(t)ut (x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ] Bằng cách áp dụng phương pháp biến đổi Fourier phương pháp chỉnh hóa tựa giá trò biên có điều chỉnh, chỉnh hóa toán Đồng thời, đánh giá sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa đề tài Một ví dụ số cụ thể đưa nhằm minh họa cho kết đề tài Kiến thức liên quan 1.1 Ký hiệu Ta kí hiệu ||.|| chuẩn L2 (R), |||.||| chuẩn sup C([0, T ]; L2(R)) Với w ∈ C([0, T ]; L2(R)) Khi ta kí hiệu |||w||| = sup t∈[0,T ]||w(., t)||, w(., t) = ∞ w(x, t) dx 1/2 −∞ 1.2 Bài toán thuận toán ngược Cho X Y không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y ánh xạ tuyến tính không Khi ta nói, toán thuận cho x ∈ X K, ta tính giá trò K(x) Bài toán ngược cho y ∈ Y K, ta giải phương trình K(x) = y tìm x cho (x, y) X Y tìm K 1.3 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh chỉnh hóa 1.3.1 Bài toán chỉnh Cho X Y không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y ánh xạ tuyến tính không Phương trình Kx = y gọi chỉnh thỏa điều kiện sau i) Sự tồn : Với y ∈ Y , có x ∈ X cho Kx = y ii) Sự : Với y ∈ Y , có nhiều x ∈ X với Kx = y iii) Tính ổn đònh : Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào liệu y, tức với dãy (xn ) ⊂ X cho Kxn −→ Kx (tức dãy liệu nhiễu hội tụ đến dãy liệu xác n −→ ∞) xn −→ x (tức nghiệm nhiễu hội tụ đến nghiệm xác n −→ ∞) 1.3.2 Bài toán không chỉnh Bài toán gọi không chỉnh không thỏa điều kiện toán chỉnh 1.3.3 Sự chỉnh hóa Sự chỉnh hóa, nghóa là, ta xét xấp xỉ nghiệm xác (nếu tồn tại) nghiệm xấp xỉ toán nhiễu với điều kiện cho trước nghiệm xác 1.4 Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwartz Cho n ∈ N, k = 1, n xk , yk ∈ R, ta có n n xk yk k=1 ≤ n x2k k=1 yk2 k=1 1.5 Mệnh đề giới hạn hàm số Ta có mệnh đề sau i) ex − ln (1 + x) lim = 1; lim = x→0 x→0 x x ii) Với k ∈ N, ex = +∞; lim xk ex = x→+∞ xk x→−∞ lim iii) Với k ∈ N, ln x = 0; lim xk ln x = x→+∞ xk x→0 lim 1.6 Đònh nghóa hàm Lipschitz Giả sử X không gian Banach, f : X −→ R Hàm f gọi Lipschitz với số Lipschitz K tập X, tồn lân cận U X, số K ≥ cho f(x) − f(x ) ≤ K x − x , ∀x, x ∈ U 1.7 Điểm bất động Nguyên lý ánh xạ co 1.7.1 Đònh nghóa điểm bất động nguyên lý ánh xạ co Cho f : X −→ X ánh xạ từ không gian mêtric đầy đủ vào Điểm x ∈ X gọi điểm bất động f f(x) = x Nguyên lý ánh xạ co Cho (X, δ) không gian metric đầy đủ f : X −→ X ánh xạ co từ X vào X, nghóa có k ∈ [0, 1) cho δ(f(x), f(y)) ≤ k δ(x, y), ∀x, y ∈ X Thì f có điểm bất động x Hơn nữa, x0 điểm X {xn } dãy X xác đònh sau xn = f(xn−1 ), n = 1, 2, δ(xn , x) ≤ kn δ(x1 , x0), 1−k a = lim f n (x), n→∞ f = I, f n = f ◦ f n−1 với n ∈ N I ánh xạ đồng Hệ 1.7.1.1 Cho f ánh xạ từ không gian mêtric đầy đủ (X,δ) vào X Giả sử f n ánh xạ co với n nguyên dương Khi f có điểm bất động x ∈ X 1.8 Biến đổi Fourier 1.8.1 Các đònh nghóa tính chất biến đổi Fourier Đònh nghóa 1.8.1.1 Cho f ∈ L (R), ta đònh nghóa biến đổi Fourier f ∞ f (p) = √ 2π f(x) e−ipx dx, −∞ với p ∈ R biến đổi Fourier ngược f ∞ ∨ f (x) = √ 2π f(p) eipx dp −∞ Tính chất 1.8.1.2 Cho f, g ∈ L1 (R), c số thuộc R Khi ta có i) f + g = f + g, ii) c f = c f , với iii) f ∗ g = f g, iv) f(x) = √ 2π ∞ (f ∗ g)(x) = ∞ −∞ f(x − y) g(y) dy, f(p) eipx dp −∞ 1.8.2 Biến đổi Fourier cho hàm thuộc L (R) Đònh nghóa 1.8.2.1 Cho f ∈ L (R), N > biến đổi Fourier f FN {f}(p) = √ 2π với p ∈ R Tính chất 1.8.2.2 a) N → ∞ Hơn F {f} = N f(x) e−ipx dx, −N F N {f} hội tụ L2 (R) đến hàm F {f} ∞ −∞ F {f}(p) dp = ∞ f(x) dx = −∞ b) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) F {f} = f h.k.n R c) Đặt N √ gN (x) = F {f} eixp dp, π −N f gN hội tụ L2 (R) đến f N → ∞ d) F toán tử đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R), nghóa F {f} = f Đònh lý 1.8.1 Đònh lý Plancherel (Đẳng thức Plancherel) Cho f ∈ L2(R) F {f}(p) biến đổi Fourier f L2 (R) Khi đó, ta có F {f} = f 1.9 Bất đẳng thức Holder Giả sử ≤ p , q ≤ ∞, Lq (Ω) f.g ∈ L1 (Ω) p + q = 1, Ω ⊂ R Khi f ∈ Lp (Ω), g ∈ fg dx ≤ f Lp (Ω) Ω g Lq (Ω) Giới thiệu Trong đề tài này, xét toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian nghóa tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn uxx(x, t) = a(t)ut(x, t), u(x, T ) = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ], x ∈ R, (1) (2) với a(t), g(x) hàm cho trước cho a(t) > Chú ý hệ t ds ta có (1)-(2) giải trực tiếp hay đặt F (t) = a(s) thể đưa hệ phương trình với hệ số tính toán đơn giản Tuy nhiên, hệ (1)-(2) hệ phương trình không uxx(x, t) − a(t)ut(x, t) = f(x, t), u(x, T ) = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ], x ∈ R, toán trở nên phức tạp hệ (1)-(2) Theo chúng tôi, khó sử dụng cách đổi biến F (t) trường hợp hệ phương trình không Do đó, chọn phương pháp trực tiếp để giải trường hợp không thu số kết trường hợp phương trình không (xem đònh lí 3) Như biết, toán (1)-(2) không chỉnh theo nghóa Hadamard, nghóa là, toán không tồn nghiệm, trường hợp tồn nghiệm nghiệm không phụ thuộc liên tục vào liệu Vì vậy, cần phương pháp chỉnh hóa thích hợp để chỉnh hóa toán Thật sự, toán ngược cho phương trình parabolic nghiên cứu nhiều phương pháp khoảng bốn thập kỉ gần điển báo [3, 5, 6, 9] Bài toán sau trường hợp đặc biệt, cần tìm u thỏa mãn ut + A(t)u = 0, u(T ) = g, t ∈ [0, T ], với A(t) toán tử tuyến tính không gian hàm thích hợp Trong [5], Lattes-Lions sử dụng phương pháp tựa toán tử (QR) để chỉnh hóa phương trình cách thêm vào lượng chỉnh hóa phương trình Vào năm 1973, K Miller giải toán cách sử dụng lượng chỉnh hóa f(A) ut + f(A)u = 0, u(T ) = g t ∈ [0, T ], Một phương pháp khác gọi phương pháp tựa giá trò biên (QBV) nghiên cứu bời nhiều tác giả Khi sử dụng phương pháp này, họ thêm lượng ổn đònh vào điều kiện biên toán Trong [7], M Denche K Bessila sử dụng phương pháp để chỉnh hóa toán ngược cho phương trình parabolic ut + f(A)u = 0, u(T ) − u (0) = ϕ t ∈ [0, T ], Rất gần đây, [9], tác giả sử dụng phương pháp giá trò biên để t chỉnh hóa toán nhiệt ngược thu ước lượng sai số cấp độ T at t = sai số ước lượng cấp độ (ln( ))− giá trò Chúng ta dễ thấy t nằm gần giá trò 0, hội tụ nghiệm xấp xỉ chậm t Từ bất lợi sai số cấp độ T , cải thiện ước lượng sai số để tăng tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ với t ∈ [0, T ) Theo biết, báo liên quan đến toán tử phụ thuộc thời gian A(t) Trong đề tài này, xét trường hợp đặc biệt sau A(t)u = − uxx a(t) Bằng cách lấy biến đổi Fourier hai vế (1) (theo biến x) sử dụng điều kiện (2), có nghiệm xác toán (1)-(2) sau u(x, t) = √ 2π với +∞ eω (F (T )−F (t)) g(ω)eiωx dω, (3) −∞ g(ω) = √ 2π t F (t) = +∞ g(x)e−iωx dx, (4) −∞ ds a(s) (5) Phần đề tài chia làm phần Trong phần 4, chứng minh số kết chỉnh hóa đánh giá sai số phương pháp tựa giá trò biên có điều chỉnh phương pháp Tikhonov có điều chỉnh Trong phần 5, đưa ví dụ số minh họa cho phần lí thuyết phần Chú ý đề tài này, phần 3và phần kí hiệu toán học dành riêng cho phần không liên quan đến Chỉnh hóa toán (1)-(2) phương pháp Trong phần này, xây dựng nghiệm chỉnh hóa sau u (g)(ω, t) = √ 2π +∞ √ −∞ g(ω) iωx dω b(t) e −ω ε+e (6) 3.1 Sự ổn đònh nghiệm chỉnh hóa (6) Trước tiên, có kết ổn đònh u (g) Bổ đề 3.1.0.3 Let g1 , g2 be in L2 (R) Thì ta có u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) where 2 ≤√ g1 − g2 , chuẩn L2 (R) Chứng minh Từ (6), ta có (g1 (ω) − g2 (ω)) ε+e−ω b(t) √ (g1 (ω) − g2 (ω)) ε √ |u (g1 )(ω, t) − u (g2 )(ω, t)| = ≤ Do đó, có u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) ≤ √ g1 − g2 ε Từ đònh lí Plancherel, ta suy u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) ≤ √ g1 − g2 ε Chúng ta chứng minh xong bổ đề 3.1.0.3 3.2 Chỉnh hóa toán (1)-(2) Giả sử uex (ω, t) nghiệm xác toán parabolic ngược tương ứng với liệu xác gex , g liệu đo thỏa mãn gε − gex ≤ ε, với chuẩn L2(R) Hơn nữa, giả sử a(t) hàm cho trước thỏa mãn < N ≤ a(t) ≤ M, ∀t ∈ [0, T ] Do đó, dễ thấy < TM−t ≤ b(t) ≤ TN−t , ∀t ∈ [0, T ] Từ (6), xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu đo sau +∞ gε (ω) √ uε (gε )(ω, t) = √ eiωx dω, (7) ε + e−ω2 b(t) 2π −∞ nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu xác uε (gex )(ω, t) = √ 2π +∞ √ −∞ gex (ω) iωx dω b(t) e −ω ε+e (8) Chúng ta có ước lượng sau uε (gε )(., t)−uex(., t) = ≤ uε (gε )(., t) − uex (., t) uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t) + uε (gex )(., t) − uex (., t) (9) Chúng ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.0.4 Giả sử u ex (., t) ∈ L2 (R), ∀t ∈ [0, T ), g , gex ∈ L2 (R) and gε − gex ≤ ε Thì ta có uε (gε )(., t) − uex (., t) → với ε → 0, với t ∈ [0, T ) Chứng minh Áp dung bổ đề 3.1.0.3, ta có uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t) ≤ √ gε − gex ε ≤ √ ε ε √ ≤ ε (10) Vì vậy, ta có với ε → Do (3) (8), ta có uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t) |uε (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| = = = = Do < √ ε< √ ε + e−ω →0 (11) 1 gex (ω) b(t) gex (ω) − −ω −ω ε+e e b(t) 1 √ gex (ω) b(t) − −ω −ω ε+e e b(t) 1 √ e−ω b(t) uex (ω, t) b(t) − b(t) −ω −ω ε+e e √ ε √ |uex (ω, t)| (12) ε + e−ω2 b(t) √ b(t) , ta có √ ε < 0< √ ε + e−ω2 b(t) Suy |uε (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| = √ √ ε |uex (ω, t)| < |uex (ω, t)| ε + e−ω2 b(t) Hơn nữa, ta có √ ε lim √ b(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ] and uex (., t) ∈ L (R), ∀t ∈ [0, T ) −ω ε→0 ε+e Từ đó, ta (13) uε (gex )(., t) − uex (., t) → when ε → Do (9), (11) (13), ta có uε (gε )(., t) − uex (., t) →0 với ε → Chúng ta chứng minh xong bổ đề 3.2.0.4 Đònh lý 3.2.1 Cho u ex , g , gex bổ đề 3.2.0.4 E1(t), E2 (t) hai nghiệm t Thì ta có phát biểu sau a) Nếu ta giả sử thêm uex (., t) ∈ H (R), ∀t ∈ [0, T ), ∈ (0, 1) and uex (., t) H (R) ≤ E1 (t) uε (g )(., t) − uex (., t) √ với C1 (t) = 2( + C1(t) ≤ ln( 1ε ) (14) , T −t ) max{1, E1(t)} N b) Nếu uex (x, t) thỏa mãn λ(., t)uex(., t) λ(ω, t) = eω b(t) and ∈ (0, 1) uε (g )(., t) − uex (., t) 2 ≤ E2(t), ∀t ∈ [0, T ) với √ ≤ C2 (t) ε, (15) với C2 (t) = (1 + E2 (t)) Chứng minh a) Bây giờ, xét ước lượng trường hợp uex (., t) ∈ H (R), ∀t ∈ [0, T ) Do uex (., t) H 1(R) ≤ E1 (t) dễ thấy uex (., t) ≤ E1 (t) α(.)uex(., t) ≤ E1 (t) với α(ω) = ω Hơn nữa, từ (12), ta uε (gex )(., t) − uex (., t) √ ε ε + e−ω2 b(t) √ ε √ ε + e−ω2 b(t) √ = R = Dε + R\Dε |uex (ω, t)|2 dω |uex (ω, t)|2 dω √ ε √ ε + e−ω2 b(t) in which Dε = {ω ∈ R/ω ≤ r(ε)}, 10 2 |uex (ω, t)|2dω (16) Chứng minh Chứng minh bổ đề 4.1.1.1 tham khảo [15] Bổ đề 4.1.1.2 Cho ≤ t ≤ s ≤ M, < < M, ξ ∈ R M = max{1, M}, có bất đẳng thức sau t−s e(s−t−M )ξ M , i) 2 ≤ M1 [ ln(M/ )] ξ + e−M ξ t−M e−tξ M ii) 2 ≤ M1 [ ln(M/ )] ξ + e−M ξ Chứng minh i) Ta có e(s−t−M )ξ ξ + e−M ξ e(s−t−M )ξ ≤ s−t M +t−s 2 2 M ( ξ + e−M ξ ) M ( ξ + e−M ξ ) e(s−t−M )x ≤ s t M +t−s − 2 M ( ξ + e−M ξ ) M M (e−M ξ ) Do đó, ta s t − M e(s−t−M )ξ M M ≤ ( ) 2 ln(M/ ) ξ + e−M ξ t−s ≤ M1 [ ln(M/ )] M , với M1 = max{1, M} t−M e−tξ M Chúng ta ii) Chọn s=M, có 2 ≤ M1 [ ln(M/ )] ξ + e−M ξ chứng minh xong bổ đề 4.1.1.2 4.1.2 Các bổ đề ổn đònh nghiệm chỉnh hóa Bổ đề 4.1.2.1 (Sự ổn đònh nghiệm chỉnh hóa cho (25)) Cho ∈ (0, F (T )), g1 , g2 ∈ L2 (R) u (g1 ), u (g2 ) hai nghiệm cho (25) tương ứng với giá trò cuối g1 , g2 , Khi đó, ta có u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) where 2 F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T0[ ln(F (T )/ )] g1 − g2 is the norm in L2 (R) and T0 = max{1, F (T )} 14 , Chứng minh Từ (25) bổ đề 4.1.1.2, ta có e−ω F (t) (g1 (ω) − g2 (ω)) ω 2+e−ω F (T ) |u (g1 )(ω, t) − u (g2 )(ω, t)| = ≤ F (t) − F (T ) F (T ) T0[ ln(F (T )/ )] (g1 (ω) − g2 (ω)) Do đó, ta có u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) Từ đònh lí Plancherel, ta u (g1 )(., t) − u (g2 )(., t) F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T0[ ln(F (T )/ )] g1 − g2 F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T0[ ln(F (T )/ )] g1 − g2 Chúng ta chứng minh xong bổ đề 4.1.2.1 Bổ đề 4.1.2.2 (Sự ổn đònh nghiệm chỉnh hóa cho (26)) Cho ∈ (0, F (T )), m > 0, g1 , g2 ∈ L2 (R) v (g1 ), v (g2 ) hai nghiệm cho (26) tương ứng với giá trò cuối g1 , g2 Khi đó, ta có v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t) F (t) − F (T ) ≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2 , với is the norm in L2 (R) Tm = max{1, F (T ) + m} Chứng minh Từ (26) bổ đề 4.1.1.2, ta có e−ω (F (t)+m) (g1 (ω) − g2 (ω)) ω +e−ω2 (F (T )+m) |v (g1 )(ω, t) − v (g2 )(ω, t)| = ≤ F (t) − F (T ) Tm[ ln((F (T ) + m)/ )] F (T ) + m (g1 (ω) − g2 (ω)) Suy v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t) F (t) − F (T ) ≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2 Từ đònh lí Plancherel, ta v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t) F (t) − F (T ) ≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2 Chúng ta chứng minh xong bổ đề 4.1.2.2 15 4.2 Chỉnh hóa toán (1)-(2) Giả sử uex (x, t) nghiệm xác toán ngược cho phương trình parabolic tương ứng với liệu xác gex g liệu đo cho gε − gex ≤ ε where chuẩn L2 (R) Từ (25), xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu đo uε (gε )(ω, t) = √ 2π +∞ −∞ e−ω F (t) gε (ω)eiωx dω, ω +e−ω2 F (T ) (27) nghiệm chỉnh hóa ứng với liệu xác uε (gex )(ω, t) = √ 2π +∞ −∞ e−ω F (t) gex (ω)eiωx dω ω +e−ω2 F (T ) (28) Chúng ta có ước lượng sau uε (gε )(., t)−uex(., t) Đònh lý 4.2.1 Giả sử = ≤ uε (gε )(., t) − uex (., t) uε (gε )(., t) − uε (gex )(., t) + uε (gex )(., t) − uex (., t) (29) ∈ (0, F (T )), u ex (., t) ∈ L2 (R) ∀t ∈ [0, T ), g , gex ∈ L2 (R) cho gε − gex ∞ Lúc đó, có u (g )(., t) − uex (., t) 2 ≤ ε and < Q = ≤ T0 (1 + Q) F (t) F (T ) ω eω F (T ) gex (ω) dω < R [ln(F (T )/ )] F (t)−F (T ) F (T ) , với t ∈ [0, T ], với T0 = max{1, F (T )} Chứng minh Từ bổ đề 4.1.2.1, ta có u (g )(., t) − u (gex )(., t) F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T0[ ln(F (T )/ )] g − gex F (t) F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T0 F (T ) [ln(F (T )/ )] (30) 16 Từ (3) (28), ta có |u (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| = e−ω F (t) e−ω F (t) g (ω) − gex (ω) ex ω +e−ω2 F (T ) e−ω2 F (T ) = ω 2eω F (T ) ( −ω2 F (T ) )e−ω F (t)gex (ω) ω +e = ω e−ω F (t) ( −ω2 F (T ) )eω F (T ) gex (ω) ω +e ≤ T0 F (t) F (T ) [ln(F (T )/ )] F (t)−F (T ) F (T ) ω eω F (T ) gex (ω) , T0 = max{1, F (T )} Suy u (gex )(., t) − uex (., t) ≤ T0 = T0 F (t) F (T ) [ln(F (T )/ Q F (t)−F (T ) )] F (T ) F (t) F (T ) [ln(F (T )/  ω eω  F (T ) R F (t)−F (T ) )] F (T ) , 1/2 gex (ω) dω  (31) với < Q = ω eω F (T ) R gex (ω) dω < ∞ Do (29), (30) and (31), ta u (g )(., t) − uex (., t) ≤ T0(1 + Q) F (t) F (T ) [ln(F (T )/ F (t)−F (T ) )] F (T ) Q) F (t) F (T ) [ln(F (T )/ F (t)−F (T ) )] F (T ) Vì vậy, từ đònh lí Plancherel, ta có u (g )(., t) − uex (., t) ≤ T0(1 + Chúng ta chứng minh xong đònh lí 4.2.1 Đònh lý 4.2.2 Giả sử ∈ (0, F (T )), u ex (., t) ∈ L2 (R) ∀t ∈ [0, T ), g , gex ∈ L2 (R) cho gε − gex ≤ ε and v nghiệm đònh nghóa (26) Nếu ta giả sử thêm tồn số dương m cho ω eω < Qm = (F (T )+m) gex (ω) dω < ∞ R ta có v (g )(., t) − uex (., t) ≤ Tm (1 + Qm ) F (t)+m F (T )+m với t ∈ [0, T ], với Tm = max{1, F (T ) + m} 17 [ln(F (T )/ )] F (t)−F (T ) F (T )+m , Chứng minh Từ (26), xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu đo v (g )(ω, t) = √ 2π +∞ −∞ e−ω (F (t)+m) g (ω)eiωx dω, ω +e−ω2 (F (T )+m) (32) nghiệm chỉnh hóa tương ứng với liệu xác v (gex )(ω, t) = √ 2π +∞ −∞ e−ω (F (t)+m) iωx dω (F (T )+m) gex (ω)e −ω ω +e (33) Chúng ta có ước lượng sau vε (gε )(., t)−uex(., t) = ≤ vε (gε )(., t) − uex (., t) vε (gε )(., t) − vε (gex )(., t) + vε (gex )(., t) − uex (., t) (34) Từ bổ đề 4.1.2.2, ta có vε (gε )(., t) − vε (gex )(., t) ≤ Tm F (t) + m F (t) − F (T ) F (T ) + m F (T ) + m [ln( )] F (T ) + m (35) với Tm = max{1, F (T ) + m} Mặt khác, ta có |v (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| = = = e−ω (F (t)+m) e−ω (F (t)+m) g (ω) − gex (ω) ex ω +e−ω2 (F (T )+m) e−ω2 (F (T )+m) e−ω e (F (t)+m) 2 e−ω (F (T )+m) − e−ω (F (t)+m) ( ω +e−ω e−ω2 (F (T )+m) ( ω 2+e−ω2 (F (T )+m) ) −ω (F (T )+m) ω2 −ω (F (t)+m) gex (ω) (F (T )+m) e −ω ( ω +e ) = e−ω (F (t)+m) ω eω (F (T )+m) gex (ω) (F (T )+m) −ω ( ω +e ) Từ bổ đề 4.1.1.2, ta |v (gex )(ω, t) − uex (ω, t)| ≤ = F (t) − F (T ) Tm [ ln((F (T ) + m)/ )] F (T ) + m ω 2eω (F (T )+m) gex (ω) Tm F (t) + m F (t) − F (T ) F (T ) + m [ln((F (T ) + m)/ )] F (T ) + m ω eω2 (F (T )+m) g (ω) ex 18 (F (T )+m) ) gex (ω) Suy v (gex )(., t) − uex (., t) < Qm = ≤ Tm ω eω Qm (F (T )+m) R F (t) − F (T ) F (t) + m F (T ) + m [ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m , (36) gex (ω) dω < ∞ Do (34), (35) (36), ta thu F (t) − F (T ) F (t) + m v (g )(., t) − uex (., t) ≤ Tm (1+ Qm ) F (T ) + m [ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m (37) Chúng ta chứng minh xong đònh lí 4.2.2 Chú ý Chúng ta thấy tốc độ hội tụ ước lượng sai số đònh lí 4.2.1 tốt [9] cải thiện tốc độ hội tụ lân cận Đặc biệt, tốc độ hội tụ thời điểm đầu t = (trong đònh lí 4.2.2) nhanh so với mô hình chỉnh hóa đònh lí [9] Trong đònh lí 2, có ước lượng sai số trường hợp Tổng quát hơn, xét hệ (1)-(2) ứng với dạng phương trình không wxx(x, t) − a(t)wt(x, t) = f(x, t), w(x, T ) = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ], x ∈ R (38) (39) Áp dụng phương pháp biến đổi Fourier, có nghiệm xác (38)-(39) T w(ω, t) = e ω (F (T )−F (t)) eω gex (ω) + [F (s)−F (t)] f (ω, s) ds a(s) (40) t Trong đònh lí 4.2.3, đề nghò nghiệm chỉnh hóa (38)-(39) tương ứng với liệu xác gex liệu đo g T w (gex )(ω, t) = e−ω F (t) gex (ω) + ω +e−ω2 F (T ) eω [F (s)−F (t)−F (T )] ω +e−ω2 F (T ) t f(ω, s) ds, a(s) (41) T w (g )(ω, t) = e−ω F (t) g (ω) + ω +e−ω2 F (T ) t eω [F (s)−F (t)−F (T )] ω +e−ω2 F (T ) f(ω, s) ds a(s) (42) Chúng ta thu ước lượng sai số đònh lí 4.2.3 19 Đònh lý 4.2.3 Giả sử ∈ (0, F (T )), g , gex ∈ L2 (R) cho gε − gex ≤ ε w nghiệm xác (38)-(39) thỏa mãn w(., t) ∈ L2 (R) ∀t ∈ [0, T ),  12  T √ f(ω, s) wxx(., 0) ∈ L2 (R) and < K1 =  wxx(., 0) 22 + T dsdω  < ∞ ω eω F (s) a(s) R Nếu ta giả sử w (g ) đònh nghóa (42) ta có w (g )(., t) − w(., t) ≤ T0(1 + K1 ) F (t) F (T ) [ln(F (T )/ )] F (t)−F (T ) F (T ) , (43) với t ∈ [0, T ], where T0 = max{1, F (T )} Chứng minh Do (41) (42), ta có |w (g )(ω, t) − w (gex )(ω, t)| e−ω F (t) (g (ω) − gex (ω)) ω 2+e−ω2 F (T ) = ≤ F (t) − F (T ) F (T ) T0[ ln(F (T )/ )] (g (ω) − gex (ω)) Do đó, ta đươcï w (g )(., t) − w (gex )(., t) F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T0[ ln(F (T )/ )] g − gex F (t) F (t) − F (T ) F (T ) ≤ T F (T ) [ln(F (T )/ )] 20 (44) Do (40) (41), ta suy |w (gex )(ω, t) − w(ω, t)| = eω F (T ) − ω +e−ω2 F (T ) ω F (T ) = ω e ω +e−ω2 F (T ) = e−ω F (t) ω +e−ω2 F (T ) = e−ω F (t) ω +e−ω2 F (T ) Vì thế, ta có   T e−ω2 F (t) gex (ω) + = e eω [F (s)−F (t)−F (T )] e−ω F (t) ≤ ω 2+e−ω2 F (T ) ω 2w(ω, 0) − 2 t 2 Suy  f(ω, s)  ds a(s) e−ω F (t) ≤ ω 2+e−ω2 F (T ) ≤ 2T02 t f(ω, s)  ds a(s) t   T ω eω2 F (T )gex (ω) + ω eω2 F (s) f(ω, s) ds a(s) t   t ω w(ω, 0) − ω eω2 F (s) f (ω, s) ds a(s) e−ω2 F (t) gex (ω) + ω +e−ω F (T ) 2 [F (s)−F (t)−F (T )] T |w (gex )(ω, t) − w(ω, t)|2 −ω F (t) eω  ω eω F (s) f(ω, s) ds a(s) e−ω F (t) ω w(ω, 0) + ω +e−ω2 F (T ) ω2 e 2 ω w(ω, 0) + 2T T F (t) √ ≤ 2T0 F (T ) [ln(F (T )/ )] F (t) − F (T )  ω e F (T ) F (t) F (t) − F (T ) F (T ) ≤ K1 T0 F (T ) [ln(F (T )/ )] , 21 T ω eω F (s) f(ω, s) a(s) ω eω F (s) ω eω R ds f(ω, s) a(s) T +T  T 2 ds  ω w(ω, 0) + T  wxx (., 0) a(s)  R f(ω, s) ds a(s) ω F (s) f(ω, s) 2F (t) 2F (t) − 2F (T )  F (T ) [ln(F (T )/ )] F (T )  ω w(ω, 0) + T w (gex )(., t) − w(., t) F (t) F (t) − F (T )  √ F (T )  ≤ 2T0 F (T ) [ln(F (T )/ )] ω2 F (s) e−ω F (t) ω +e−ω2 F (T ) 2 t 2 F (s) f(ω, s) a(s) 2   12 ds dω   12 dsdω  (45) với < K1 = √  T 2  wxx(., 0) ω eω +T R F (s) f(ω, s) a(s) Do đó, từ (44) (45), ta w (g )(., t) − w(., t) ≤  12 dsdω  < ∞ w (g )(., t) − w (gex )(., t) + w (gex )(., t) − w(., t) F (t) F (T ) ≤ T0(1 + K1 ) [ln(F (T )/ )] F (t)−F (T ) F (T ) Ví dụ minh họa Xét phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian sau uxx (x, t) = a(t)ut(x, t), u(x, 1) = gex (x), với a(t) = (x, t) ∈ R × [0, 1], x ∈ R, , 2t + (46) −x2 u(x, 1) = gex (x) = √ e 12 (47) Nghiệm xác phương trình uex (x, t) = −x2 2(t2 + t + 1) e 4(t2 +t+1) Từ (48), ta có uex (ω, 1) = gex (ω) = e−3ω (48) (49) Do (3) (49), ta có uex (ω, t) = e với F (t) = t ds a(s) (F (1)−F (t))ω2 −3ω e (50) , t = (2s + 1)ds = t2 + t Cho t = 0, từ (50), ta có 2 uex (ω, 0) = e(F (1)−F (0))ω e−3ω = e−ω (51) Xét liệu đo đạc gε (x) = (1+ε( ) )gex (x), π 22 (52) ta có g ε − gex = gε − gex = ε( ) ( π +∞ −∞ x2 √ e− 12 ds) = ε (53) Từ (25) (52) , có biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa cho trường hợp t = uε (gε )(ω, 0) = −3ω (1+ε( ) )e ω +e−2ω π Cho ε ε1 = 10−1 , ε2 = 10−5 , ε3 = 10−10 , ε4 = 10−20 , ε5 = 10−50 Chúng ta có bảng sau cho trường hợp t = ε uεi (g i )(., 0) − uex (., 0) −1 ε1 = 10 0.038172979714189 ε2 = 10−5 1.007122419416841e-005 ε3 = 10−10 1.532571311773795e-010 ε4 = 10−20 2.262863342628008e-020 ε5 = 10−50 1.946443884651801e-032 Do đònh lí 4.2.2 m = 1/2, có Q1/2 = ω e− ω 2 ω eω (F (1)+1/2) gex (ω) dω = R √ π dω = < ∞ R Từ (26) (52) , có biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa cho trường hợp t = vε (gε )(ω, 0) = e− ω εω + e − 25 ω (1+ε( ) ) π Cho ε ε1 = 10−1 , ε2 = 10−5 , ε3 = 10−10 , ε4 = 10−20 , ε5 = 10−50 Chúng ta có bảng sau cho trường hợp t = ε vεi (gεi )(., 0) − uex (., 0) −1 ε1 = 10 0.051493210811570 −5 ε2 = 10 6.033094118141750e-005 −10 ε3 = 10 7.790717090792106e-009 ε4 = 10−20 9.871639018798631e-017 ε5 = 10−50 2.672312964517292e-032 23 Chúng ta có hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm xác uex (., t) biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa uεi (g εi )(., t), i = 1, Chúng ta có hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa uεi (g εi )(., t), i = 3, 4, 24 Tiếp theo, hình sau biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm xác biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa thời điểm đầu t = Chú ý hình trên, đường số biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm xác gần trùng với đường số i biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa tương ứng với εi , i = 2, , Chúng ta có hình vẽ biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm xác uex (., t) biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa vεi (g εi )(., t), i = 1, 25 Chúng ta có hình vẽ biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa vεi (g εi )(., t), i = 3, 4, Tiếp theo, hình sau biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm xác biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa thời điểm đầu t = Chú ý hình trên, đường số biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm xác gần trùng với đường số i biểu diễn biến đổi Fourier nghiệm chỉnh hóa tương ứng với εi , i = 2, , 26 Tài liệu tham khảo [1] Ames, K.A., 2000, Continuous dependence on modelling and nonexistence results for a Ginzburg-Landau equation, Mathematical Methods in Applied Sciences, 23, 1537 1550 [2] Ames, K.A and Hughes, R.J., 2005, Structural stability for ill-posed problems in Banach spaces, Semigroup Forum, 70, 127 145 [3] Clark, G and Oppenheimer, C., 1994, Quasireversibility methods for non-well-posed problem, Electronic Journal of Differential Equations, 8, [4] Alekseeva, S M and Yurchuk, N I., 1998, The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition, Differential Equations 34, no 4, 493-500 [5] Lattes, R and Lions, J.L., 1967, Methode de Quasi-Reversibilite et Applications (Paris: Dunod) [6] Miller, K., 1973, Stabilized quasi-reversibility and other nearly-bestpossible methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-WellPosed Problems and Logarithmic Convexity (Heriot-Watt University, Edinburgh, 1972), Lecture Notes in Mathematics, Vol 316 (Berlin: Springer), pp 161 176 [7] M Denche, K Bessila, 2005, A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems, J.Math Anal Appl, Vol.301, pp.419-426 [8] R E Ewing, 1975, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J Math Anal., Vol 6, No 2, 283-294 [9] D D Trong, P H Quan, T V Khanh, N H Tuan, 2007, A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate, Zeitschrift Analysis und ihre Anwendungen, Volume 26, Issue 2, pp 231-245 [10] Pham Hoang Quan, Dang Duc Trong, 2006, A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate, Applicable Analysis: An International Journal, 1563-504X, Volume 85, Issue 6, Pages 641 657 [11] R E Showalter, 1975, Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf., Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974), pp 76-84 Res Notes in Math., n0 1, Pitman, London 27 [12] Dence, M and Bessila, K., 2001, Quasi-boundary value method for nonwell posed problem for a parabolic equation with integral boundary condition, Math Probl Eng (2), 129-145 [13] Dang Duc Trong, Pham Hoang Quan, Nguyen Huy Tuan, 2009, A quasiboundary value method for regularizing nonlinear ill-posed problems, Electronic Journal of Differential Equations, Vol 2009, No 109, pp 16,ISSN: 1072-6691 [14] L E Payne, 1975, Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia, PA [15] D D Trong, N H Tuan; Vol 2008, A nonhomogeneous backward heat problem: Regularization and error estimates, Electron J Equ., No 33, pp 1-14 28 [...]... được v (g1 )(., t) − v (g2 )(., t) 2 F (t) − F (T ) ≤ Tm [ ln((F (T )+m)/ )] F (T ) + m g1 − g2 Chúng ta đã chứng minh xong bổ đề 4.1.2.2 15 4.2 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2) Giả sử rằng uex (x, t) là nghiệm chính xác của bài toán ngược cho phương trình parabolic tương ứng với dữ liệu chính xác gex và g là dữ liệu đo sao cho gε − gex ≤ ε where 2 là chuẩn trong L2 (R) Từ (25), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh... xong đònh lí 3.2.1 12 (24) 4 Chỉnh hóa bài toán (1)-(2) bằng phương pháp 2 Trong đề tài này, để có nghiệm ổn đònh u chúng ta sẽ sử dụng 1 u (g)(ω, t) = √ 2π và 1 v (g)(ω, t) = √ 2π +∞ −∞ +∞ −∞ 2 e−ω F (t) iωx g(ω)e dω, ω 2 +e−ω2 F (T ) (25) 2 e−ω (F (t)+m) iωx g(ω)e dω ω 2 +e−ω2 (F (T )+m) (26) Thật vậy, nếu chúng ta áp dụng phương pháp QBV [12] để chỉnh hóa bài toán (1)-(2) , chúng ta sẽ có nghiệm chỉnh... hóa bài toán (1)-(2) , chúng ta sẽ có nghiệm chỉnh hóa như sau rxx (x, t) = a(t)rt (x, t), r (x, T ) + r(x, 0) = g(x), (x, t) ∈ R × [0, T ], x ∈ R Áp dụng phương pháp Fourier, chúng ta có nghiệm của bài toán trên 1 r (g)(ω, t) = √ 2π +∞ −∞ 2 e−ω F (t) iωx dω 2 F (T ) g(ω)e −ω +e Dễ thấy rằng tham số chỉnh hóa của r là khác với tham số chỉnh hóa của nghiệm chỉnh hóa (25), (26) Hơn nữa, dạng nghiệm chỉnh... E Showalter, 1975, Quasi-reversibility of first and second order parabolic evolution equations, Improperly posed boundary value problems (Conf., Univ New Mexico, Albuquerque, N M., 1974), pp 76-84 Res Notes in Math., n0 1, Pitman, London 27 [12] Dence, M and Bessila, K., 2001, Quasi-boundary value method for nonwell posed problem for a parabolic equation with integral boundary condition, Math Probl... Springer), pp 161 176 [7] M Denche, K Bessila, 2005, A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems, J.Math Anal Appl, Vol.301, pp.419-426 [8] R E Ewing, 1975, The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations, SIAM J Math Anal., Vol 6, No 2, 283-294 [9] D D Trong, P H Quan, T V Khanh, N H Tuan, 2007, A nonlinear case of the 1-D backward heat problem:... được w (g )(., t) − w(., t) ≤  12 2 dsdω  < ∞ w (g )(., t) − w (gex )(., t) + w (gex )(., t) − w(., t) F (t) F (T ) ≤ T0(1 + K1 ) [ln(F (T )/ )] F (t)−F (T ) F (T ) 5 Ví dụ minh họa Xét phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian sau uxx (x, t) = a(t)ut(x, t), u(x, 1) = gex (x), với a(t) = và (x, t) ∈ R × [0, 1], x ∈ R, 1 , 2t + 1 (46) 1 −x2 u(x, 1) = gex (x) = √ e 12 6 (47) Nghiệm ... ∞) 1.3.2 Bài toán không chỉnh Bài toán gọi không chỉnh không thỏa điều kiện toán chỉnh 1.3.3 Sự chỉnh hóa Sự chỉnh hóa, nghóa là, ta xét xấp xỉ nghiệm xác (nếu tồn tại) nghiệm xấp xỉ toán nhiễu... chỉnh hóa thích hợp để chỉnh hóa toán Thật sự, toán ngược cho phương trình parabolic nghiên cứu nhiều phương pháp khoảng bốn thập kỉ gần điển báo [3, 5, 6, 9] Bài toán sau trường hợp đặc biệt, cần...1.3 Bài toán chỉnh, toán không chỉnh chỉnh hóa 1.3.1 Bài toán chỉnh Cho X Y không gian đònh chuẩn, K : X −→ Y ánh xạ tuyến tính