Luận án Bài toán parabolic ngược

19 2 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền không bị chặn 28 2.1 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất..

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ MINH TRIẾT

BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 62 46 01 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG VÀ PGS TS PHẠM HOÀNG QUÂN

Tp Hồ Chí Minh - 2014

Mục lục

1.1 Các không gian hàm cơ bản 16

1.2 Định lí ánh xạ co 17

1.3 Tích chập và biến đổi Fourier 18

1.4 Khai triển sin Fourier 18

1.5 Một số bất đẳng thức 19

2 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền không bị chặn 28 2.1 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất 28

2.1.1 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian 29

2.1.2 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu và phụ thuộc vào thời gian 34

2.1.3 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và

phụ thuộc vào thời gian 39

2.1.4 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu và phụ thuộc vào thời gian 46

2.2 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất 49

2.2.1 Nghiệm chỉnh hóa 49

2.2.2 Kết quả chỉnh hóa 50

2.2.3 Ví dụ minh họa 53

2.3 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến 56

2.3.1 Nghiệm chỉnh hóa 57

2.3.2 Kết quả chỉnh hóa 58

2.3.3 Ví dụ minh họa 67

3 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian trong miền bị chặn 71 3.1 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhất 71

3.1.1 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian 72

3.1.2 Trường hợp hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu và phụ thuộc vào thời gian 76

3.1.3 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt chính xác và phụ thuộc vào thời gian 82

3.1.4 Ví dụ minh họa trường hợp hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu và

phụ thuộc vào thời gian 86

3.2 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic không thuần nhất 90

3.2.1 Nghiệm chỉnh hóa 91

3.2.2 Kết quả chỉnh hóa 92

3.2.3 Ví dụ minh họa 98

3.3 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyến 102

3.3.1 Nghiệm chỉnh hóa 103

3.3.2 Kết quả chỉnh hóa 104

3.3.3 Ví dụ minh họa 116

4 Chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào không gian và thời gian 121 4.1 Biến đổi bài toán 121

4.2 Chỉnh hóa bài toán 122

4.2.1 Nghiệm chỉnh hóa 123

4.2.2 Kết quả chỉnh hóa 124

Lời nói đầu

Hiện nay, bài toán ngược là một bài toán có nhiều ứng dụng trong khoa họcvà đời sống Trong thực tế, chúng ta có rất nhiều loại bài toán ngược như: bàitoán truyền nhiệt ngược, bài toán tán xạ ngược, bài toán biên ngược, bài toánhình học (xem trong tài liệu [24]) Khi xét các bài toán ngược, ta có thể chialàm hai loại là bài toán chỉnh (well-posed problem) và bài toán không chỉnh(ill-posed problem) dựa vào định nghĩa của Hadamard Theo Hadamard, chúng

ta có định nghĩa bài toán chỉnh như sau:

Với X, Y là các không gian định chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ (tuyếntính hoặc phi tuyến) Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các tínhchất sau

• Tính tồn tại nghiệm: Với mọi y ∈ Y tồn tại (ít nhất một) x ∈ X sao cho

quát, chúng ta có bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic nhằm tìmhàm u : [0, T ] → H thỏa mãn

ut+ A(t)u = f (t, u(t)), t ∈ (0, T ), (1)

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính, xác định dương trong không gian H thíchhợp, f là một hàm cho trước và g là dữ liệu của bài toán Chúng ta có thể kháiquát lại lịch sử nghiên cứu bài toán (1)-(2) nhằm đưa ra hướng nghiên cứu mớivà chọn phương pháp nghiên cứu hiệu quả áp dụng vào bài toán

Bắt đầu từ năm 1967, Lattes và Lion [62] đã khảo sát bài toán (1)-(2) trongtrường hợp thuần nhất (f = 0) và toán tử A(t) ≡ A không phụ thuộc vào thờigian

với toán tử A tuyến tính, tự liên hợp, dương trong không gian Hilbert H đồngthời đề xuất phương pháp quasi-reversibility (QR) để chỉnh hóa bài toán Ýtưởng chính của phương pháp QR là thêm một lượng chỉnh hóa thích hợp vàophương trình chính của bài toán Phương pháp QR sau này được áp dụng trongnhiều bài báo có khác biệt so với phương pháp QR lần đầu được Lattes và Lionssử dụng nhưng ý tưởng được bắt nguồn từ phiên bản gốc nên các tác giả trongbài báo [9, 22] gọi phương pháp được sử dụng là phương pháp QR có điều chỉnh.Trong tài liệu [62], Lattes và Lions đã sử dụng lượng chỉnh hóa A − αA2 với

α = α(ε) là tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu ε sao cho α(ε) → 0khi ε → 0 để thay thế cho toán tử A ban đầu Từ đó, các tác giả xét bài toánchỉnh hóa như sau

vα0 (t) + Avα(t) − αA2vα(t) = 0, t ∈ (0, T ), (5)

với A là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H Sau đó, vα(0) sẽ đượcsử dụng làm điều kiện đầu cho nghiệm uα của phương trình (3) Tiếp theo, cáctác giả xét bài toán

u0α(t) + Auα(t) = 0, t ∈ (0, T ), (7)

và sử dụng uα(t) làm nghiệm xấp xỉ cho nghiệm của bài toán (3)-(4) Tuynhiên, các tác giả chỉ khẳng định uα(T ) hội tụ về g khi α → 0 mà không đềcập đến tốc độ hội tụ của các uα(t) với t < T

Sau đó, vào năm 1973 Miller [30] đã tổng quát hóa phương pháp QR bằngmột phương pháp mà tác giả gọi là phương pháp stabilized quasi-reversibility(SQR) để chỉnh hóa bài toán (3)-(4) trong trường hợp thuần nhất Cụ thể, Millerkhảo sát bài toán chỉnh hóa như sau

v0α(t) + fα(A)vα(t) = 0, t ∈ (0, T ), (9)

với α = α(ε) là tham số chỉnh hóa phụ thuộc vào sai số dữ liệu ε và fα(A)thỏa một số điều kiện cho trước sao cho có thể sử dụng làm lượng chỉnh hóatối ưu cho toán tử A

Năm 1974, Showalter [42] khảo sát bài toán (3)-(4) trong trường hợp toántử A là toán tử tuyến tính, trội cực đại và dựa vào phương pháp QR đưa ra mộtdạng bài toán chỉnh hóa khác với Lattes và Lions

vα0 (t) + αAv0α(t) + Avα(t) = 0, t ∈ (0, T ), (11)

Sau đó, vα(0) được sử dụng làm điều kiện đầu cho nghiệm uα của phươngtrình (3) và xét bài toán tương tự bài toán (7)-(8) Trong [42], Showalter đãchứng minh rằng limα→0uα(T ) = g Hơn nữa, nếu tồn tại một nghiệm chínhxác u của bài toán (3)-(4) thì nghiệm xấp xỉ uα và các đạo hàm cấp m của

nghiệm xấp xỉ là u(m)

α lần lượt hội tụ đều về nghiệm chính xác u và đạo hàm

u(m) của bài toán giá trị cuối (3)-(4) Đây là điểm cải tiến hơn so với kết quảtrong tài liệu [62] của Lattes và Lions

Cùng khảo sát bài toán (3)-(4), Clark và Oppenheimer [11], Denche vàBessila [13] đã sử dụng phương pháp quasi-boundary value (QBV) để chỉnh hóabài toán Ý tưởng chính của phương pháp QBV là thêm một lượng chỉnh hóathích hợp vào điều kiện biên theo thời gian Ý tưởng này được Showalter đềxuất vào năm 1985 trong [43] Cụ thể, trong [11] Clark và Oppenheimer đã sửdụng điều kiện

Từ năm 1998 đến nay, nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán parabolicngược phi tuyến (3)-(4) bằng các phương pháp khác nhau như Alekseeva vớiphương pháp QR trong bài báo [6], Đặng Đức Trọng và Nguyễn Huy Tuấn vớiphương pháp SQR trong bài báo [48] và phương pháp chặt cụt chuỗi trong [51],Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả với phương pháp chỉnh hóa trực tiếp trêndạng nghiệm trong [52], Phan Thành Nam với phương pháp chặt cụt chuỗi trong[31] và Nguyễn Huy Tuấn với phương pháp QR có điều chỉnh trong [56].Với toán tử A(t) = −∆, bài toán (1)-(2) trở thành bài toán ngược thời giancho phương trình nhiệt với hệ số hằng như sau

ut(x, t) − uxx(x, t) = f (x, t, u), t ∈ [0, T ), (13)

là một bài toán đã được khảo sát nhiều gần đây

Trong miền không bị chặn R, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồnnhiệt thuần nhất f = 0 đã được nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhaubởi các tác giả như Fu và các đồng tác giả [15] với phương pháp chặt cụt tíchphân, Qian và các đồng tác giả [37] với phương pháp chỉnh hóa trực tiếp trêndạng nghiệm, Đinh Nho Hào và đồng tác giả [19] với phương pháp mollification,Rashidinia và đồng tác giả [40] với phương pháp chặt cụt tích phân, Wang vàcác đồng tác giả [59] với phương pháp chỉnh hóa Shannon Wavelet, Tổng quáthơn, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt phi tuyến đã được nghiêncứu bởi các tác giả như Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả đã với phương phápchặt cụt tích phân trong bài báo [53] và phương pháp QBV có điều chỉnh trongbài báo [54], Phạm Hoàng Quân và đồng tác giả trong bài báo [36].

Trong miền bị chặn, bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt thuầnnhất f = 0 đã được nghiên cứu bởi Nguyễn Huy Tuấn và đồng tác giả trongbài báo [55] với phương pháp QR điều chỉnh bắt nguồn từ ý tưởng của Clark vàOppenheimer trong bài báo [11] Tiếp theo, Nguyễn Huy Tuấn và các đồng tácgiả nghiên cứu tiếp tục nghiên cứu bài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồnnhiệt không thuần nhất (f 6= 0) bằng phương pháp QR trong bài báo [46] vàphương pháp chặt cụt chuỗi trong bài báo [49] Tổng quát hơn, Phạm HoàngQuân, Đặng Đức Trọng và các đồng tác giả [35, 38, 47] cũng đã chỉnh hóabài toán (13)-(14) trong trường hợp nguồn nhiệt phi tuyến Ngoài ra, bài toán(13)-(14) còn được xét trong trường hợp hai chiều [0, π] ×[0, π] bởi Nguyễn HuyTuấn và đồng tác giả [50], Phan Thành Nam và các đồng tác giả [32]

Với trường hợp toán tử A trong bài toán (3)-(4) phụ thuộc vào thời giannghĩa là A ≡ A(t), bài toán (3)-(4) trở thành

Bài toán (15)-(16) tổng quát hơn bài toán (3)-(4) và hiện nay được chúngtôi và một số tác giả khác nghiên cứu khảo sát Dù vậy, theo sự tìm kiếm của

chúng tôi số lượng bài báo nghiên cứu trường hợp toán tử A phụ thuộc vào thờigian ít hơn rất nhiều so với trường hợp toán tử A không phụ thuộc vào thờigian Bắt đầu từ bài báo của Krein [25] năm 1957, tác giả đã nghiên cứu bàitoán (15)-(16) và sử dụng phương pháp log-convexity để đưa ra ước lượng sai sốdạng H older Sau đó, phương pháp này được phát triển bởi Agmon và Nirenberg[4, 61] và các tác giả đã đưa ra đánh giá sai số

ku(t)k ≤ c ku(T )kµ(t)ku(0)k1−µ(t)trong đó c là một hằng số dương Năm 2011, Đinh Nho Hào và Nguyễn VănĐức [21] đã sử dụng phương pháp non-local boundary value method (phươngpháp này đã được sử dụng trong các bài báo [18, 20]) để chỉnh hóa bài toánthuần nhất (15)-(16) (f ≡ 0) và đưa ra đánh giá sai số dạng H older với số mũcủa sai số được cải thiện hơn so với kết quả của Agmon và Nirenberg

Với trường hợp bài toán không thuần nhất (f 6= 0), Nguyễn Thị Ngọc Oanh[34] xét hệ

trong đó Ω là một ô (tích các khoảng mở) trong Rn, n = 2, 3 Tác giả đã sửdụng phương pháp gradient liên hợp với một bước dừng được chọn thích hợpnhằm tính toán nghiệm xấp xỉ của bài toán Tuy nhiên, trong [34] tác giả đãviết:

We note that the question of the convergence rate of the methodwhen noise level, space and time-step sizes approach zero, as formost general ill-posed problems, is open and out of the scope of thispaper

Như vậy, trong [34] tác giả đã không đề cập đến ước lượng sai số cụ thểgiữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác của bài toán mà chỉ đưa ra một nghiệmxấp xỉ có thể tính toán số được bằng một phép lặp cho bởi phương pháp gradientliên hợp đồng thời đưa ra một số ví dụ trong các trường hợp cụ thể minh họacho tính hiệu quả của phép lặp.

Từ những liệt kê các bài toán liên quan đến phương trình parabolic đã đượckhảo sát từ trước đến nay, chúng tôi thấy rằng bài toán ngược thời gian chophương trình parabolic với trường hợp hệ số dẫn nhiệt không phụ thuộc biếnthời gian t đã được khảo sát rất nhiều tuy nhiên số lượng công trình nghiêncứu trường hợp hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc t rất ít và hạn chế nên vấn đề màchúng tôi khảo sát trong luận án này là có tính mới mẻ Cụ thể, trong luận ánchúng tôi sẽ tập trung khảo sát và chỉnh hóa một trường hợp cụ thể của bàitoán parabolic ngược là bài toán ngược thời gian với hệ số dẫn nhiệt loại này.Trong thực tế, sự truyền nhiệt của một vật phụ thuộc vào nhiều yếu tố trong đócó yếu tố quan trọng nhất là vật liệu Ngoài ra, mỗi vật liệu thì có hệ số dẫnnhiệt khác nhau và các vật liệu cũng có sự biến đổi theo thời gian do các yếu tốkhác nhau ví dụ như hao mòn, oxy hóa, nên hệ số đó sẽ phụ thuộc vào môitrường (không gian) và thời gian Mục đích chính của chúng tôi khi khảo sátbài toán là nghiên cứu chỉnh hóa bài toán ngược cho phương trình parabolic vớihệ số dẫn nhiệt phụ thuộc t, đưa ra đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chỉnhhóa và nghiệm chính xác đồng thời tiến hành các thực nghiệm tính toán nhằmminh họa cho các kết quả chỉnh hóa Cụ thể, trong chương 2 và 3 chúng tôi xéttrường hợp hệ số dẫn nhiệt a = a(t) Vì vậy, như đã nói ở trên vật liệu củavật thể truyền nhiệt có thể bị biến đổi do tác động của môi trường nên hệ sốdẫn nhiệt mà chúng ta có được cũng không chính xác Do đó, chúng tôi khảosát thêm trường hợp hệ số dẫn nhiệt bị nhiễu khi xét bài toán parabolic ngượcthời gian thuần nhất ở tiểu mục 2.1.2 và 3.1.2 Trong chương 4, chúng tôi chỉnhhóa bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic với hệ số dẫn nhiệt

a = a(x, t) và nguồn nhiệt ở vế phải là một hàm phi tuyến f (x, t, u, ux, uxx)

Đây là kết quả chỉnh hóa cho một trường hợp tổng quát và khó mà bước đầuchúng tôi đang tiếp cận và sẽ tiếp tục khảo sát kĩ hơn trong tương lai.

Với lịch sử nghiên cứu bài toán đã phân tích ở trên, ta thấy rằng các phươngpháp được sử dụng để khảo sát bài toán parabolic ngược rất đa dạng Ta có thểkhái quát lại các cách xử lí như sau

1 Phương pháp tác động trực tiếp trên bài toán: ta thêm một lượng chỉnhhóa thích hợp vào phương trình chính hoặc điều kiện biên theo thời gian(phương pháp QR hoặc QR điều chỉnh, SQR, QBV, ) rồi giải bài toán đểtìm nghiệm xấp xỉ

2 Phương pháp tác động trực tiếp trên dạng nghiệm của bài toán: ta thêmmột lượng chỉnh hóa thích hợp hoặc chặt cụt những tần số gây nên sựkhông ổn định vào trong dạng nghiệm chính xác của bài toán (phươngpháp chặt cụt, phương pháp chỉnh hóa Fourier, phương pháp QBV điềuchỉnh, ) từ đó ta có ngay nghiệm xấp xỉ

3 Phương pháp gián tiếp: ta xấp xỉ dữ kiện hoặc thu hẹp không gian để bàitoán ban đầu trở nên chỉnh (phương pháp mollification của tác giả ĐinhNho Hào)

4 Phương pháp tính toán số: ta đưa ra các dãy lặp để tìm nghiệm xấp xỉcủa bài toán cụ thể như các phương pháp Landweber, phương pháp lặp,phương pháp gradient liên hợp

Ngoài ra, khi a = a(t) trong tài liệu [10] trang 15 tác giả có đưa ra phươngpháp sử dụng một phép đổi biến đơn giản nhằm đưa phương trình parabolic vớihệ số phụ thuộc thời gian về dạng phương trình nhiệt với hệ số hằng (tác giả gọilà ``equation reducible to the heat equation") Theo phương pháp này, xét hàmµ(t) = Rt

0 a(s)ds thì µ(·) là hàm đơn điệu tăng ngặt trong [0, µ(T )] Sử dụngphép đổi biến v(x, µ(t)) = u(x, t), ta có thể đưa bài toán (2.1)-(2.2) về dạng

bài toán nhiệt ngược với hệ số hằng Tuy nhiên, khi xét bài toán trong trườnghợp tổng quát hơn như: nguồn nhiệt không thuần nhất, phi tuyến và hệ số dẫnnhiệt bị nhiễu, phụ thuộc vào không gian và thời gian thì phương pháp tiếpcận này khó áp dụng Vì lí do đó, trong luận án chúng tôi định hướng sử dụngphương pháp tác động trực tiếp trên dạng nghiệm của bài toán và chủ yếu dùng

3 loại phương pháp chỉnh hóa sau: phương pháp chặt cụt tích phân, phương phápchặt cụt chuỗi, phương pháp QBV có điều chỉnh để chỉnh hóa bài toán ngượcthời gian cho các loại phương trình parabolic từ đơn giản đến phức tạp như cáctrường hợp thuần nhất, không thuần nhất và phi tuyến với hệ số dẫn nhiệt khônghằng trong miền không bị chặn R và miền bị chặn [0, π] Cụ thể, luận án đượcchia làm 4 chương chính

Chương 1: Chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản và bất đẳng thứccần thiết cho quá trình chứng minh các kết quả trong luận án

Chương 2: Chúng tôi khảo sát các bài toán sau

Bài toán 1: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhấtvới hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bị chặn R

ut(x, t) = a(t)uxx(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ),

với a(·) ∈ C[0, T ] thỏa mãn điều kiện tồn tại p, q > 0 sao cho

0 < p ≤ a(t) ≤ q,với mọi t ∈ [0, T ] và g ∈ L2(R) Khi xét bài toán 1, chúng tôi đồng thời khảosát hai trường hợp hệ số dẫn nhiệt a(·) chính xác và bị nhiễu

Bài toán 2: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic khôngthuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bị chặn R

ut(x, t) − a(t)uxx(x, t) = f (x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ),

u(x, T ) = g(x), x ∈ R,

với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L2(R) và f (·, t) ∈ L2(R), ∀t ∈ [0, T ]thỏa một số điều kiện cho trước.

Bài toán 3: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyếnvới hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền không bị chặn R

ut(x, t) − a(t)uxx(x, t) = f (x, t, u), (x, t) ∈ R × [0, T ),

với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L2(R) và f là hàm Lipschitz toàncục theo u thỏa f(·, t, 0) ∈ L2(R), ∀t ∈ [0, T ]

Chương 3: Chúng tôi khảo sát các bài toán sau

Bài toán 4: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuần nhấtvới hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bị chặn [0, π]

ut(x, t) = a(t)uxx(x, t), (x, t) ∈ (0, π) × [0, T ),

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ∈ [0, T ],

với a(·) được cho như trong bài toán 1, g ∈ L2(0, π)

Bài toán 5: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic khôngthuần nhất với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bị chặn [0, π]

với hệ số phụ thuộc vào thời gian trong miền bị chặn [0, π]

Chương 4: Chúng tôi khảo sát bài toán sau

Bài toán 7: Bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic phi tuyếnvới hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào không gian và thời gian trong miền không bịchặn R

ii) Tồn tại L > 0 không phụ thuộc vào x, t, u1, v1, w1, u2, v2, w2 thỏa mãn

|f (x, t, u1, v1, w1) − f (x, t, u2, v2, w2)| ≤ L(|u1− v2| + |v1 − v2| + |w1− w2|),với mọi (x, t, u1, v1, w1), (x, t, u2, v2, w2) ∈ R × [0, T ] × (L2(R))3

iii) Với mọi t ∈ [0, T ], ta có

f (·, t, 0, 0, 0) ∈ L2(R)

iv) g ∈ L2(R)

Chương 1

Một số kết quả sử dụng trong luận án

Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản và bất đẳngthức cần thiết cho luận án

1.1 Các không gian hàm cơ bản

Ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong Rk

Định nghĩa 1.1.1 (Định nghĩa không gian Lp(Ω))

Cho f đo được trên Ω Nếu |f|p

(1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω ta định nghĩa

kf kL p (Ω) =

Z

Ω|f |pdx

1 p

.Tập hợp tất cả các hàm f thỏa |f|p

(1 ≤ p < ∞) khả tích trên Ω gọi là

Lp(Ω)

Định lí 1.1.1 (Lp(Ω), k.kL p (Ω)) là một không gian Banach

Trong luận án này để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn trong không gian L2(R)và L2(0, π) lần lượt là k.k2 và k.k

Định nghĩa 1.1.2 Cho tập mở Ω ⊆ Rk, k ∈ N Ta đặt

L1loc(Ω) = 

f : Ω → R đo được : f ∈ L1(ω) với mọi ω ⊆ Rk thỏa

ω là tập compăc chứa trong Ω}

Định nghĩa 1.1.3 (Đạo hàm suy rộng)

.Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu Hm(Ω) = Wm,2(Ω)

Định lí 1.1.2 Không gian Hm(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

1.3 Tích chập và biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.3.1 Cho f ∈ L1(R) và g ∈ L2(R), ta định nghĩa tích chập

Tính chất 1.3.1 (Các tính chất cơ bản)

i) Nếu f ∈ L1(R) và g ∈ L1(R) (hoặc g ∈ L2(R)) thì f ∗ g ∈ L1(R) (hoặc

Nếu f ∈ L2(R) thì kFf k2 = kf k2 với k.k2 là chuẩn trong không gian L2(R)

1.4 Khai triển sin Fourier

Cho hàm f ∈ L2(0, π) Đặt

thì ef ∈ L2(−π, π), ta có các hệ số Fourier

Đây là khai triển trực giao của f theo họ {sin(nx)} trong không gian

L2(0, π) Khai triển này gọi là khai triển sin Fourier Khi đó, ta có đẳngthức sau gọi là đẳng thức Parseval

1.5 Một số bất đẳng thức

Định lí 1.5.1 (Bất đẳng thức Holder) (xem trong [1])

Cho f, g đo được trên một tập đo được Ω, 1

Định lí 1.5.2 (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) (xem trong [8])

Cho T > 0, C1, C2 ≥ 0 và λ(.) ∈ L1(0, T ) thỏa λ ≥ 0 hầu khắp nơi Giả sử

ϕ ∈ L1(0, T ) và ϕ ≥ 0 hầu khắp nơi sao cho λϕ ∈ L1(0, T )

hầu khắp nơi trong (0, T ).

hầu khắp nơi trong (0, T )

Bổ đề 1.5.1 Cho 0 < ε < M và g(x) = 1

εx + e−xM, x ≥ 0 Khi đó, ta có

ε(1 + ln(Mε )) ≤ M

ε ln(Mε ),với mọi x ≥ 0

Chứng minh

Ta có đạo hàm của hàm g như sau

g0(x) = M e−xM − ε

Khi đó, phương trình g0

(x) = 0 có nghiệm x0 = M1 ln(Mε ) Hơn nữa,

g0(x) > 0 với mọi x ∈ [0, x0) và g0(x) < 0 với mọi x ∈ (x0, +∞) Từ đó, tasuy ra

g(x) ≤ g(x0) = g

1

M ln

Mε



ε 1 + ln(Mε )
≤ M

ε ln Mε
,với mọi x ≥ 0

Kết thúc chứng minh

Bổ đề 1.5.2 Cho 0 ≤ t ≤ s ≤ M, 0 < ε < M, ω ∈ R và M0 = max{1; M},chúng ta có các bất đẳng thức sau

i) e(s−t−M)ω

2

εω2 + e−Mω 2 ≤ M0 ε ln(Mε )
t−s

M ,ii) e−tω

2

εω2+ e−Mω 2 ≤ M0 ε ln(Mε )
t−M

M

(εω2+ e−Mω 2

)Ms − t M

.Áp dụng bổ đề 1.5.1 với x = ω2, ta được

≤ M0



ε ln

Mε

t−s M

,với M0 = max{1; M}.

ii) Thế s = M vào phần (i), chúng ta có e−tω

2

εω2+ e−Mω 2 ≤ M0(ε ln Mε )
t − M

Kết thúc chứng minh

Bổ đề 1.5.3 Cho ε > 0, ta giả sử rằng aε, a là hai hàm dương thỏa mãn

kaε− akC[0,T ] ≤ ε, bε là một số dương phụ thuộc vào ε sao cho lim

ε→0bε = +∞và lim

Suy ra

−ε ≤ aε(r) − a(r) ≤ ε

−εT ≤ −ε(s − t) ≤

Z s t

|eω2Rts(a ε (r)−a(r))dr − 1| ≤ hε(t) ≤ 2εT b2ε.Kết thúc chứng minh

Bổ đề 1.5.4 Tồn tại δ > 0 sao cho

Kết thúc chứng minh.

Bổ đề 1.5.5 Cho x ∈ R, λ > 0, 0 ≤ a ≤ b, và b 6= 0 Khi đó, ta có

Bổ đề 1.5.6 Cho α ≥ 0, 0 < β < 1, γ > 0 và a(t) là hàm thỏa mãn điều kiệntồn tại p, q > 0 sao cho

với mọi t ∈ [0, T ] Khi đó, với mọi m ≥ 1 ta có

e−m2(F (t)+α)1+β1e−m 2 (F (T )+α)

!

≤ β1

1β

−F (t)+α

F (T )+α

=

1β

c(t)

với c(t) = F (T ) − F (t)

F (T ) + α Từ (1.3), ta có

βe−m2(F (t)+α)β+e−m 2 (F (T )+α) ≤ β

1β

c(t)

= (β)1−c(t)

Sử dụng điều kiện (1.3), ta có đánh giá

−F(T )+αγ+α

= βF (T )+αγ+α Áp dụng điều kiện (1.3), ta được

γ + α

F (T ) + α ≥ qT + αγ + α

Do 0 < β < 1, ta suy ra

βe−m2(γ+α)β+e−m 2 (F (T )+α) ≤ βqTγ+α+α.Kết thúc chứng minh

Bổ đề 1.5.7 Tồn tại δ > 0 sao cho

Khi đó, nếu ta chọn δ = min{δ1; δ2; e−1} thì







√εln 1ε

< 1,

ε3ln 1ε

< ε3 ln 1ε

2

< 1,với mọi ε ∈ (0, δ)

Kết thúc chứng minh

Bổ đề 1.5.8 Cho K, T, m, α là các số dương và bε > 0 phụ thuộc vào ε > 0sao cho lim

ε→0bε = +∞ Khi đó, tồn tại δ > 0 phụ thuộc vào K, T, m, α sao cho

e32 K2T2b4ε ≤ em2 b4+αε ,với mọi ε ∈ (0, δ)

Tương tự, do lim

ε→0bε = +∞, nên tồn tại δ2 > 0 sao cho

bε ≥ 1,

với mọi ε ∈ (0, δ2) Suy ra R(bε) = 1 + b2ε + b4ε ≤ 3b4ε với mọi ε ∈ (0, δ2).Nếu ta chọn δ = min {δ1; δ2} > 0 thì

e3K2T2b4ε ≤ em2 b4+αε ,với mọi ε ∈ (0, δ)

Kết thúc chứng minh

2.1 Chỉnh hóa bài toán ngược thời gian cho phương

trình parabolic thuần nhất

Trong khi khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic thuầnnhất, chúng tôi đồng thời xét hai trường hợp sau:

1) Trường hợp hệ số dẫn nhiệt a(t) chính xác và phụ thuộc vào thời gianđược trình bày trong tiểu mục 2.1.1

2) Trường hợp hệ số dẫn nhiệt a(t) bị nhiễu và phụ thuộc vào thời gianđược trình bày trong tiểu mục 2.1.2

Trong mục 2.1, chúng tôi xét bài toán ngược thời gian cho phương trìnhparabolic thuần nhất trong miền không bị chặn R

ut(x, t) = a(t)uxx(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ), (2.1)

trong đó g ∈ L2(R) là dữ liệu cuối và hệ số dẫn nhiệt là hàm phụ thuộc vàothời gian a(·) ∈ C[0, T ] thỏa mãn điều kiện tồn tại p, q > 0 sao cho

0 a(s)ds và kí hiệu gε, g lầnlượt là dữ liệu nhiễu và dữ liệu chính xác của bài toán (2.1)-(2.2) thỏa mãn

Với m ≥ 0 cố định trước, chúng tôi xấp xỉ nghiệm chính xác (2.4) bằngnghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu cuối g như sau

rxxε (x, t) = rtε(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ], (2.9)

rε(x, T ) + εrε(x, 0) = g(x), x ∈ R (2.10)Áp dụng phương pháp biến đổi Fourier, chúng ta có nghiệm của bài toán(2.9)-(2.10) như sau

Ta thấy rằng tham số chỉnh hóa của rε là ε khác với tham số chỉnh hóa củanghiệm chỉnh hóa (2.8) Hơn nữa, dạng nghiệm chỉnh hóa (2.8) hoàn toàn khácvới rε Tuy nhiên, vì ý tưởng bắt nguồn từ dạng nghiệm chỉnh hóa của phươngpháp tựa giá trị biên nên chúng tôi gọi phương pháp chỉnh hóa sử dụng trong(2.8) là phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh

Sau đây, chúng ta có bổ đề 2.1.1.1 khẳng định sự phụ thuộc liên tục vào dữliệu cuối của nghiệm chỉnh hóa (2.8)

Bổ đề 2.1.1.1 Cho uε(g1), uε(g2) lần lượt là hai nghiệm chỉnh hóa định nghĩabởi (2.8) tương ứng với các dữ liệu cuối g1, g2 trong L2(R) Khi đó, với mọi

F (t)−F (T )

F (T )+m

kg1 − g2k2,trong đó Tm = max{1, F (T ) + m}.

Chứng minh.

Từ (2.8), ta có

|Fuε(g1)(ω, t) − Fuε(g2)(ω, t)| =

e−ω2(F (t)+m)

εω2+e−ω 2 (F (T )+m)(Fg1(ω) − Fg2(ω))

... chứng minh

Định lí 2.1.1.1 Giả sử u(·, t) ∈ L2(R), t ∈ [0, T ] nghiệm xác củabài tốn (2.1)-(2.2) cho tồn m ≥ thỏa

Qm = kλm(·)Fuxx(·,... class="text_page_counter">Trang 33

Từ bổ đề 1.5.2, ta đánh giá

F (t)−F (T )

F (T )+m

εω2eω2(F