Cấu trúc ngôn ngữ hữu tỉ và ứng dụng

bộ giáo dục đào tạo trờng đại học vinh *** trần Văn thẩm cấu trúc Ngôn ngữ hữu tỉ ứng dụng chuyên ngành: đại số - lý thuyết số mã số: 60 46 05 luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học pgs.ts lê quốc hán vinh 2007 Mục lục Trang Mở đầu Chơng Đại cơng ngôn ngữ hình thức 1.1 Nửa nhóm tự hệ thức xác định 1.2 Ôtômát đoán nhận ngôn ngữ 1.3 Vị nhóm cú pháp văn phạm 6 11 15 Chơng Ngôn ngữ hữu tỉ 2.1 Nhóm tự Sự mô tả Dick 2.2 Tập hữu tỉ 2.3 Ngôn ngữ hữu tỉ 2.4 Quan hệ hữu tỉ Kết luận Tài liệu tham khảo 19 19 24 28 34 39 40 Bảng danh sách ký hiệu X, : Bảng chữ JX : Nửa nhóm tự sinh X X * , J1X : Vị nhóm tự sinh X * : Vị nhóm tự sinh L : Ngôn ngữ RL : Tơng đẳng Đuybrây PL : Tơng đẳng Kroazô à( L) : Vị nhóm cú pháp ngôn ngữ L (A,X) : Ôtômát trạng thái ( L ) : Ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ L G = ( V,X,P, ) : Văn phạm L( G) : Ngôn ngữ sinh văn phạm G w( G) : Bài toán từ G T(A) : Vị nhóm chuyển trạng thái Mở đầu Ngôn ngữ quy lớp ngôn ngữ có nhiều ứng dụng lý thuyết ngôn ngữ hình thức Có nhiều hớng mở rộng lớp ngôn ngữ Trong luận văn này, mở rộng chúng cách xây dựng khái niệm tập hợp hữu tỉ vị nhóm tuỳ ý (không thiết vị nhóm tự do) Sau nghiên cứu tập hợp hữu tỉ vị nhóm tự do, ngôn ngữ hữu tỉ tích trực tiếp vị nhóm tự do, quan hệ hữu tỉ bớc đầu thu đợc số kết liên quan đến khái niệm Chơng Đại cơng ngôn ngữ hình thức Trong chơng này, hệ thống hoá khái niệm tính chất của: Nửa nhóm tự do, vị nhóm tự do, ngôn ngữ hình thức, vị nhóm cú pháp, ôtômát đoán nhận ngôn ngữ văn phạm sinh ngôn ngữ Kiến thức chơng kiến thức sở để trình bày chơng sau Chơng Ngôn ngữ hữu tỉ Chơng gồm tiết nội dung luận văn 2.1 Nhóm tự Sự mô tả Dick Trong tiết nhắc lại định nghĩa nhóm tự số đặc trng tự do, khái niệm tập hợp hệ thức xác định nhóm, mô tả nhóm thuật ngữ hệ thức hay mô tả Dick nhóm 2.2 Tập hợp hữu tỉ Trong tiết xây dựng khái niệm tập hữu tỉ (Định nghĩa 2.2.1), nêu lên số đặc trng tập hợp hữu tỉ (Định lý 2.2.2), điều kiện cần đủ để tập vị nhóm tập hữu tỉ thông qua thuật ngữ ôtômát (Định lý 2.2.6) 2.3 Ngôn ngữ hữu tỉ Trong tiết xây dựng khái niệm ngôn ngữ hữu tỉ nh trờng hợp riêng tập hợp hữu tỉ vị nhóm tự Để thuận lợi cho việc nghiên cứu tính chất lớp ngôn ngữ ứng dụng việc khảo sát tính chất nhóm, bảng chữ đợc giả thiết có nghịch đảo hình thức = { a,a , } gắn với khái niệm hàm chọn phần tử sinh : * G (G nhóm) thoả mãn tính chất ( a ) = ( a ) Nhờ vậy, toán từ nhóm hữu hạn sinh G đợc mô tả cách tờng minh (Định lý 2.3.8) Từ kết thu đợc số kết quen thuộc lý thuyết nhóm liên quan đến nhóm hữu hạn sinh (Định lý 2.3.9, Định lý 2.3.10) Điều đáng lu ý kết đợc chứng minh chủ yếu lý thuyết ngôn ngữ hình thức gọn chứng minh đợc trình bày lý thuyết nhóm cổ điển 2.4 Quan hệ hữu tỉ Trong tiết xây dựng khái niệm quan hệ hữu tỉ tập tích trực tiếp hai vị nhóm tự (Định nghĩa 2.4.1) nêu lên số đặc trng chúng (Định lý 2.4.3, Hệ 2.4.4, Hệ 2.4.5) Đây kết bớc đầu việc nghiên cứu quan hệ hữu tỉ với ứng dụng đề tài nghiên cứu công phu sâu sắc Luận văn đợc hoàn thành nhờ giúp đỡ nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Lê Quốc Hán Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Tác giả xin trân trọng tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS Mai T, TS Chu Trọng Thanh, TS Nguyễn Thị Hồng Loan thầy cô giáo tổ Đại số động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nh việc hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trờng Đại Học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau đại học phòng ban liên quan tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu trờng Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Sở GD-ĐT Nghệ An, Ban giám hiệu trờng THPT Bắc Yên Thành, thầy cô giáo tổ toán tạo điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng song chắn luận văn thiếu sót, mong đợc góp ý thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 12/2007 Tác giả Chơng I đại cơng ngôn ngữ hình thức 1.1 Nửa nhóm tự hệ thức xác định Vì ngôn ngữ X tập vị nhóm tự sinh tập X, nên muốn khảo sát ngôn ngữ hình thức trớc hết ta cần tìm hiểu nửa nhóm tự Tiết trình bày khái niệm nửa nhóm tự tính chất đặc trng 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tùy ý J x gồm tất dãy hữu hạn phần tử X Tích hai phần tử ( x1,x , ,x m ) , ( y1,y , ,y n ) J x phần tử J x đợc xác định: ( x1,x2 , ,x m ) ( y1,y , ,y n ) = ( x1,x , ,x n ,y1,y , ,y n ) Khi J x với phép toán xây dựng trở thành nửa nhóm đợc gọi nửa nhóm tự tập X Các phần tử J x đợc gọi từ, từ = ( x1 ,x , ,x m ) m đợc gọi độ dài từ ký hiệu , từ có độ dài đợc gọi từ rỗng ký hiệu Nếu ta đồng phần tử x X với dãy ( x ) J x độ dài 1, theo định nghĩa tích J x ta đợc ( x1,x2 , ,x m ) = ( x1 ) ( x ) ( x m ) = x1x x m Vậy X tập sinh J x , tập sinh không chứa phần tử thừa Ta ký hiệu J1x hay X * vị nhóm tạo J X đợc thêm vào từ rỗng nh phần tử đơn vị Bây ta đặt hệ thức xác định lên phần tử thuộc X Chẳng hạn x1x = x 3x 24 , x13 = x x1x Giả sử hệ thức u = v với thuộc tập số I, I u v phần tử thuộc J x Giả sử = { ( u , v ) I} tơng đẳng J x sinh quan hệ , đồng cấu tự nhiên từ J x lên J x ( u ) = ( v ) với I Ta gọi J x nửa nhóm sinh tập X cho hệ thức xác định u = v , I (Thực sinh tập (X)) 1.1.2 Mệnh đề Giả sử J x nửa nhóm tự tập X, S nửa nhóm tùy ý ánh xạ từ X vào S Khi mở rộng cách tới đồng cấu từ J x vào S Chứng minh Nếu đồng cấu từ nửa nhóm J x vào S trùng với X, phần tử tùy ý x1 ,x , ,x n X ta có ( x1x x n ) = ( x1 ) ( x ) ( x n ) Do tồn không đồng cấu nh Nhng đẳng thức cuối lấy làm định nghĩa cho ánh xạ từ J x vào S mà rõ ràng đồng cấu trùng với X 1.1.3 Định lý Giả sử J x nửa nhóm tự tập X, quan hệ J x tơng đẳng J x sinh Giả sử đồng cấu tự nhiên từ J x lên J x Nếu S nửa nhóm đồng cấu từ J x vào S cho (u) = (v) ( u,v ) , tồn đồng cấu từ J x vào S cho o = Chứng minh Trớc hết ta chứng tỏ w w ' phần tử thuộc J x mà w w ' (w) = (w ') Thật vậy, tơng đẳng sinh nên ww ' ta từ w tới w ' dãy hữu hạn -bắc cầu Do cần chứng tỏ (w) = (w ') ta từ w tới w ' dãy -bắc cầu Nhng điều cuối có nghĩa w = w1uw w ' = w1vw , w1 ,w J x (u,v)0 Trong trờng hợp, theo giả thiết ta có (u) = (v) (w) = (w1 )(u)(w ) = (w1 )(v)(w ) = (w 1vw ) = (w ' ) Bây giờ, ta định nghĩa ánh xạ từ J x vào S cách đặt ( ) ( w ) = ( w ) , với w J x ta chứng tỏ đợc * (w) = * (w ' ) (w,w ' J x ) , tức ww ' kéo theo (w) = (w ' ) Từ suy tính đơn trị Còn miền xác định toàn tập J x suy từ chỗ phần tử thuộc tập J x có dạng * (w) với w thuộc J x Vì đẳng thức o * = hiễn nhiên, nên ta cần phải chứng minh đồng cấu Giả sử w,w ' J x , ( ( ) ) = ( ( ww ) ) = ( ww ) = ( w ) ( w ) = ( ( w ) ) ( ( w ) ) * ( w ) * w ' * ' ' ' * * ' Do đồng cấu 1.1.4 Định lý Nửa nhóm S nửa nhóm tự tập X phần tử thuộc S biểu diễn dới dạng tích phần tử thuộc X Chứng minh Nếu S = J x theo định nghĩa nửa nhóm tự do, phần tử thuộc S biểu diễn đợc cách dới dạng tích phần tử thuộc X Đảo lại, giả thiết phần tử thuộc S biểu diễn cách dới dạng tích phần tử thuộc tập X Khi đó, theo mệnh đề 1.1.2 ánh xạ đồng từ tập X vào S mở rộng tới đồng cấu từ nửa nhóm J x lên S Mặt khác ánh xạ 1-1 đẳng cấu Thực chất cách phát biểu xác điều kiện nói phần tử thuộc S biểu diễn cách dới dạng tích phần tử thuộc X Định lý đợc chứng minh 1.1.5 Định lý Nửa nhóm S nửa nhóm tự điều kiện sau đợc thỏa mãn: a) S thỏa mãn luật giản ớc trái phải b) S không chứa đơn vị hai phía c) Nếu ax=by a,b, x, y S a=b phần tử a, b ớc bên trái phần tử d) Mỗi phần tử thuộc S có hữu hạn ớc bên trái Chứng minh Theo định lý 1.1.4 ta suy điều kiện cần định lý Giả thiết điều kiện định lý 1.1.5 đợc thỏa mãn Kí hiệu X tập S \ S , tức tập tất phần tử thuộc S ớc Ta chứng minh S nửa nhóm tự X Trớc hết X sinh S Thật vậy, giả sử a phần tử tùy ý thuộc S Nếu a ớc a X Nếu a có ớc a=bc b,c X a = xyz, Hoặc trình kết thúc ta thu đợc biểu diễn a dới dạng tích phần tử thuộc X với số tự nhiên n lớn tùy ý tồn phần tử a1 ,a , ,a n S cho a = a1a a n Nếu a = a1a a n 10 Chứng minh Vì tập hợp đợc đoán nhận không thay đổi việc bổ sung thêm đỉnh kết thúc mới, nên giả thiết tập hợp đỉnh kết thúc không rỗng Nếu đỉnh xuất phát p có cạnh vào, ta bổ sung thêm đỉnh xuất phát p '0 tăng gấp đôi cạnh p0 Với đỉnh kết thúc p với cạnh ta bổ sung thêm đỉnh kết thúc p tăng gấp đôi cạnh vào p, xóa bỏ khỏi đỉnh kết thúc Khi thay đổi cạnh cạnh cuối nhận đợc tơng ứng quỹ đạo từ p đến p từ p '0 đến p Nh lúc tập hợp nhãn quỹ đạo hữu hiệu cha bị thay đổi Vì đỉnh kết thúc cạnh nên đồng tất đỉnh kết thúc không làm ảnh hởng đến tập hợp tất nhãn quỹ đạo hữu hiệu 2.2.6 Định lý Giả sử A tập hợp phần tử sinh vị nhóm M Một tập M hữu tỉ đợc đoán nhận ôtômát A a Chứng minh Lập luận tập hợp hữu tỉ phơng pháp quy nạp đợc tập hữu tỉ M đợc đoán nhận ôtômát A Thật tập hữu hạn M đợc đoán nhận ôtômát hữu hạn đợc xây dựng từ cây, dễ dàng kết hợp ôtômát thỏa mãn điều kiện mệnh đề 2.2.5 lại để đoán nhận hợp, tích, sinh vị nhóm Nếu đoán nhận S ' đoán nhận S ' đồng hai đỉnh xuất phát nhận đợc ôtômát đoán nhận S S ' Tơng tự, ta đồng đỉnh kết thúc với đỉnh xuất phát ' ta đợc ôtômát 29 đoán nhận SS ' , ta đồng đỉnh kết thúc đỉnh xuất phát ta đợc ôtômát đoán nhận S * Đảo lại, giả sử đoán nhận S ta lập luận quy nạp theo số cạnh Nếu cạnh S { } hay phụ thuộc vào đỉnh xuất phát có phải đỉnh kết thúc hay không Nếu có cạnh, xây dựng ôtômát từ cách bỏ cạnh e giữ lại đỉnh nguồn p đỉnh tơng ứng p ' Giả sử a nhãn e, nhãn w quỹ đạo hữu hiệu tùy ý không nằm trọn vẹn tích w = w aw1a w m , m (*) Đối với điều kiện sau đợc thỏa mãn Từ w0 nhãn quỹ đạo từ p0 đến p, dãy wi trừ dãy cuối nhãn quỹ đạo từ p đến p Cuối wm nhãn quỹ đạo từ p đến đỉnh kết thúc Xây dựng ôtômát i ,1 i từ theo cách sau đây: 1) có đỉnh xuất phát p0 đỉnh kết thúc p 2) có đỉnh xuất phát p đỉnh kết thúc p 3) có đỉnh xuất phát p đỉnh kết thúc nh đỉnh kết thúc Với i , giả sử Si tập hợp đợc đoán nhận i Các tập hợp hữu tỉ theo quy nạp đẳng thức (*) kéo theo S = S S1a(S a)* S Vậy S tập hợp hữu tỉ 30 2.3 NGÔN NGữ HữU Tỉ Ngôn ngữ hữu tỉ có số tính chất mà tập hợp hữu tỉ tổng quát Theo định lý 2.2.6 thiết kế ôtômát nửa nhóm tự nh đợc xác định tập hợp phần tử sinh tự trừ nói cách thiết kế khác 2.3.1 Định nghĩa Giả sử bảng chữ hữu hạn L ngôn ngữ Nếu L tập hữu tỉ * L đợc gọi ngôn ngữ hữu tỉ 2.3.2 Định lý Giả sử bảng chữ hữu hạn tùy ý Thế thì: a) Các ngôn ngữ hữu tỉ ảnh ngợc (tạo ảnh toàn phần) tập vị nhóm hữu hạn F dới đồng cấu : * F b) Các ngôn ngữ hữu tỉ đóng kín dới toán tử Boole Chứng minh Chứng minh khẳng định thứ (a) Giả sử L ngôn ngữ hữu tỉ đợc chứa * giả thiết L đợc đoán nhận ôtômát Với từ w * xác định quan hệ hai : w đỉnh p : w p có quỹ đạo từ p đến p với nhãn w Vì * vị nhóm tự do, nên : w : w wv hợp thành : w o : v Từ đồng cấu từ vị nhóm tự * vào vị nhóm hữu hạn quan hệ hai đỉnh L ảnh ngợc tập hợp tất quan hệ : cho p : p với đỉnh kết thúc p Đảo lại, giả sử : * F đồng cấu từ * vào vị nhóm hữu hạn F L = (A) với A tập F Giả sử đồ thị đa y cho ợc định hớng với đỉnh thuộc F đợc dán nhãn cạnh x 31 b (ax) = y với x,y F a thích hợp Hãy chế tạo ôtômát với đỉnh xuất phát đỉnh kết thúc thuộc A Vì quỹ đạo từ với nhãn w kết thúc (w) , nên đoán nhận L Khẳng định thứ hai (b) đợc suy trực tiếp từ khẳng định thứ (a) Ôtômát đợc chế tạo phần cuối chứng minh có tính chất đặc biệt dẫn tới khái niệm sau 2.3.3 Định nghĩa Ôtômát đợc gọi ôtômát tất định đỉnh có cạnh đợc dán nhãn phần tử sinh Những ôtômát tính chất đợc gọi ôtômát không tất định Thực ra, ngôn ngữ hữu tỉ đợc đoán nhận ôtômát tất định nhỏ nhất, đợc gọi ôtômát tối tiểu ngôn ngữ 2.3.4 Hệ Mỗi ngôn ngữ hữu tỉ đợc đoán nhận ôtômát tất định 2.3.5 Định lý Với ngôn ngữ hữu tỉ L có số nguyên n thoả mãn tính chất Nếu w L w > n w viết đợc dới dạng tích xyz cho xy * z L < y n Chứng minh Giả sử L đợc đoán nhận ôtômát với m đỉnh Mỗi quỹ đạo hữu hiệu với độ dài lớn n phải có nút với độ dài thực nằm n+1 Định lý 2.3.5 gọi bổ đề bơm (Pumping Lemma) cho ngôn ngữ hữu tỉ { } n n mà áp dụng ngôn ngữ a b n ngôn ngữ hữu tỉ Bây đa số kết việc sử dụng ngôn ngữ hữu tỉ để khảo sát nhóm hữu hạn sinh 32 2.3.6 Định nghĩa Giả sử G nhóm Một hàm chọn phần tử sinh G toàn cấu vị nhóm : * G Với w * , ảnh ( w ) ký hiệu w Theo định lý 2.3.2 tập hữu tỉ G đợc nâng lên thành ngôn ngữ hữu tỉ Các phần tử G đợc tơng ứng với từ * tập hữu tỉ nhóm G đợc tơng ứng với ngôn ngữ hữu tỉ Ta nói hàm chọn phần tử sinh : * G có nghịch đảo hình thức tập hợp { } ( ) cặp a,a thỏa mãn điều kiện a = ( a ) Chúng ta nhấn mạnh sinh * cách tự nh vị nhóm, nhng triệt tiêu lẫn * 2.3.7 Định nghĩa Bài toán từ G (The word problem of G) ngôn ngữ { } w ( G ) := w * w = Chú ý w ( G ) phụ thuộc vào hàm chọn phần tử sinh, nhng phụ thuộc tơng đối Định lý sau đặc trng cho toán từ nhóm hữu hạn liên quan đến hàm chọn phần tử sinh 2.3.8 Định lý Bài toán từ nhóm hữu hạn sinh G ngôn ngữ hữu tỉ G nhóm hữu hạn Chứng minh Giả sử : * G hàm chọn phần tử sinh Nếu G hữu hạn theo định lý 2.3.2, w(G) ngôn ngữ hữu tỉ Đảo lại, giả sử w(G) ngôn ngữ hữu tỉ, w(G) đợc đoán nhận ôtômát hữu hạn Chúng ta chứng tỏ cấp nhóm G không vợt số đỉnh Thật vậy, không tính tổng quát ta giả thiết 33 đỉnh đợc dựa quỹ đạo hữu hiệu Thực việc dở bỏ tất cạnh đỉnh không dựa quỹ đạo hữu hiệu không làm ảnh hởng đến việc ngôn ngữ đợc đoán nhận hay không Với từ w * có từ v tơng ứng với nghịch ảnh w Từ wv đợc đoán nhận , w nhãn quỹ đạo đỉnh xuất phát p Nói riêng phần tử G đợc tơng ứng với nhãn quỹ đạo nh Để hoàn thành việc chứng minh cần w v nhãn quỹ đạo xuất phát từ p đến đỉnh p w = v Theo giả thiết có quỹ đạo từ p đến đỉnh kết thúc Giả sử nhãn quỹ đạo u Khi wu vu biểu diễn đơn vị G, nên wu = vu Suy wu = vu w = v (vì G nhóm nên có luật giản ớc) 2.3.9 Định lý Nhóm đợc sinh tập hữu tỉ nhóm nhóm hữu hạn sinh Chứng minh Giả sử S nhóm đợc sinh tập S G Hơn S tập hữu tỉ đợc đoán nhận ôtômát hữu hạn G Nếu S = S = { 1} , giả thiết S Theo mệnh đề 2.2.5 ta giả thiết có đỉnh kết thúc đơn pt, theo nhận xét dở bỏ tất đỉnh cạnh không dựa quỹ đạo hữu hiệu Vì đoán nhận tập khác rỗng nên pt không bị dỡ bỏ Từ điều kiện suy chọn đợc bắc cầu với nút p0, đỉnh xuất phát với tất cạnh đợc định hớng khỏi nút Nhãn quỹ đạo hữu hiệu tích g = g h1g1h 2g2 g m1h mg m 34 g i nhãn quỹ đạo h i nhãn cạnh ei không nằm Giả sử x i y i nhãn quỹ đạo từ nút tới nguồn đỉnh mục tiêu ei tơng ứng giả sử z nhãn quỹ đạo từ p đến p t Vì có nhiều quỹ đạo hai đỉnh nên x1 = g Lý luận tơng tự ta có x i +1 = y i g i với 1[...]... là một bảng chữ cái hữu hạn và L là một ngôn ngữ trên Nếu L là một tập con hữu tỉ của * thì L đợc gọi là ngôn ngữ hữu tỉ 2.3.2 Định lý Giả sử là bảng chữ cái hữu hạn tùy ý Thế thì: a) Các ngôn ngữ hữu tỉ trên là ảnh ngợc (tạo ảnh toàn phần) của một tập con của một vị nhóm hữu hạn F dới đồng cấu : * F b) Các ngôn ngữ hữu tỉ trên đóng kín dới toán tử Boole Chứng minh Chứng minh khẳng định thứ... con hữu tỉ của M nằm trong một vị nhóm con đợc sinh ra bởi một tập con hữu hạn của A b) Các tập con hữu tỉ của M đóng dới các toán tử hữu tỉ c) ảnh của một tập con hữu tỉ của M qua là một tập con hữu tỉ của M và nếu là đồng cấu 1-1 thì mỗi tập con hữu tỉ của M nhận đợc bằng cách đó 26 Chứng minh Khẳng định thứ nhất (a) đợc chứng minh bằng quy nạp trên tập hữu tỉ Giả sử S là một tập con hữu tỉ của... 2.3.5 gọi là bổ đề cái bơm (Pumping Lemma) cho ngôn ngữ hữu tỉ { } n n mà áp dụng đầu tiên của nó là chỉ ra rằng ngôn ngữ a b n 0 không phải là ngôn ngữ hữu tỉ Bây giờ chúng ta đa ra một số kết quả trong việc sử dụng ngôn ngữ hữu tỉ để khảo sát các nhóm hữu hạn sinh 32 2.3.6 Định nghĩa Giả sử G là một nhóm Một hàm chọn các phần tử sinh của G là một toàn cấu vị nhóm : * G Với mỗi w * , ảnh ( w )... đợc gọi là tập hữu tỉ nếu S hữu hạn hoặc S thu đợc từ các tập con hữu hạn nào đó của M bằng cách áp dụng một số hữu hạn các phép toán hợp, tích và sinh vị nhóm con Ta gọi hợp, tích và sinh vị nhóm con là các toán tử hữu tỉ và viết chúng dới dạng S1 S 2 , S1S 2 và S1* trong đó S1, S2 là các tập con hữu hạn bất kỳ của M 2.2.2 Định lý Giả sử M và M là các vị nhóm và : M M ' là một đồng cấu, khi đó a)... , } là một bảng chữ cái với nghịch đảo hình thức và L là một ngôn ngữ hữu tỉ trên , thì ngôn ngữ gồm các từ đợc rút gọn tự do tơng ứng cũng là ngôn ngữ hữu tỉ Chứng minh Giả sử là một ôtômát tất định trên và đoán nhận L, giả sử L 0 là một tập hợp tơng ứng các từ đã rút gọn tự do Chúng ta chế tạo thành một ôtômát trên { } Nếu đối với các đỉnh p và q, có một quỹ đạo từ p đến q mà nhãn của nó rút... của G là một toàn cấu vị nhóm : * G Với mỗi w * , ảnh ( w ) sẽ ký hiệu là w Theo định lý 2.3.2 mỗi tập con hữu tỉ của G đợc nâng lên thành một ngôn ngữ hữu tỉ trên Các phần tử của G đợc tơng ứng với các từ nào đó của * và các tập con hữu tỉ của nhóm G đợc tơng ứng với các ngôn ngữ hữu tỉ trên Ta nói rằng hàm chọn các phần tử sinh : * G có nghịch đảo hình thức nếu là một tập hợp { } ( ) 1... đỉnh kết thúc nh các đỉnh kết thúc của Với 0 i 3 , giả sử Si là tập hợp đợc đoán nhận bởi i Các tập hợp này là hữu tỉ theo quy nạp và đẳng thức (*) kéo theo S = S 0 S1a(S 2 a)* S 3 Vậy S là tập hợp hữu tỉ 30 2.3 NGÔN NGữ HữU Tỉ Ngôn ngữ hữu tỉ có một số tính chất mà các tập hợp hữu tỉ tổng quát không có Theo định lý 2.2.6 chúng ta sẽ thiết kế các ôtômát trên nửa nhóm tự do nh đợc xác định trên... G hữu hạn thì theo định lý 2.3.2, w(G) là một ngôn ngữ hữu tỉ Đảo lại, giả sử w(G) là ngôn ngữ hữu tỉ, khi đó w(G) đợc đoán nhận bởi một ôtômát hữu hạn Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng cấp của nhóm G không vợt quá số đỉnh của Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả thiết rằng 33 mỗi đỉnh của đợc dựa trên một quỹ đạo hữu hiệu Thực ra việc dở bỏ tất cả các cạnh và các đỉnh không dựa trên một quỹ đạo hữu. .. do 1 2 ôtômát đoán nhận ngôn ngữ Giả sử X là một bảng chữ cái, X * là vị nhóm tự do sinh bởi X Khi đó mỗi tập con L của X* đợc gọi là một ngôn ngữ trên X Một ngôn ngữ trên X có thể đợc cho bởi một trong các yếu tố sau: 1) Ôtômát tối tiểu đoán nhận ngôn ngữ 2) Vị nhóm cú pháp của ngôn ngữ 3) Văn phạm sinh ra ngôn ngữ Trong tiết này, chúng ta sẽ xây dựng ôtômát đoán nhận ngôn ngữ cho trớc Ôtômát trạng... Giả sử A=(A,X) và B=(B,X) là hai ôtômát trạng thái Khi đó ánh xạ : A B đợc gọi là đồng cấu ôtômát nếu ( a,u ) = ( a ) u, a A và u X * 1.2.9 Mệnh đề Ôtômát (L) := (A, X ,a0 , , A' ) là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L và là ảnh đồng cấu của mọi ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L Chứng minh Theo định nghĩa và theo cách xây dựng (L) , ta thấy (L) := (A,X,a 0 , ,A ' ) là ôtômát đoán nhận ngôn ngữ L Giả sử B ... nhóm hữu hạn sinh G ngôn ngữ hữu tỉ G nhóm hữu hạn Chứng minh Giả sử : * G hàm chọn phần tử sinh Nếu G hữu hạn theo định lý 2.3.2, w(G) ngôn ngữ hữu tỉ Đảo lại, giả sử w(G) ngôn ngữ hữu tỉ, ... chữ hữu hạn L ngôn ngữ Nếu L tập hữu tỉ * L đợc gọi ngôn ngữ hữu tỉ 2.3.2 Định lý Giả sử bảng chữ hữu hạn tùy ý Thế thì: a) Các ngôn ngữ hữu tỉ ảnh ngợc (tạo ảnh toàn phần) tập vị nhóm hữu. .. cấu, a) Với tập hợp A phần tử sinh M, tập hữu tỉ M nằm vị nhóm đợc sinh tập hữu hạn A b) Các tập hữu tỉ M đóng dới toán tử hữu tỉ c) ảnh tập hữu tỉ M qua tập hữu tỉ M đồng cấu 1-1 tập hữu tỉ